Physik · Sekundarstufe I und II

Zerfallsgesetz und Halbwertszeit: verstehen und üben

Wie viel bleibt nach zwei, drei oder einer halben Halbwertszeit übrig? Lies Zerfallskurven, rechne Restanteile aus und bestimme umgekehrt vergangene Zeiten.

Verstehen Ausprobieren Selbstcheck

Immer die Hälfte des verbliebenen Bestands

Nach jeder Halbwertszeit halbiert sich der noch nicht zerfallene Bestand. Es verschwindet nicht jedes Mal dieselbe Anzahl an Kernen.

Was bedeutet Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit T_½ ist die Zeit, in der der erwartete Bestand eines bestimmten radioaktiven Nuklids auf die Hälfte sinkt. Aus anfangs 8000 Kernen werden im Mittel 4000, dann 2000 und danach 1000 noch nicht zerfallene Kerne.

Einzelne Kerne besitzen keine innere Uhr, die genau nach einer Halbwertszeit abläuft. Jeder Kern zerfällt zufällig. Bei einer kleinen Probe kann nach einer Halbwertszeit mehr oder weniger als die Hälfte übrig sein. Die glatte Kurve beschreibt den Erwartungswert und bei großen Beständen sehr gut den beobachteten Verlauf.

Wir betrachten ein einzelnes Nuklid mit konstanter Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit, ohne Nachlieferung und ohne Entfernung von Mutterkernen auf anderem Weg. Tochterkerne können selbst radioaktiv sein; ihre zusätzliche Strahlung gehört dann nicht einfach zur hier berechneten Mutteraktivität.

Das Zerfallsgesetz in zwei Schreibweisen

N(t) = N₀ · 2^−tT_½

N₀ ist der Anfangsbestand, N(t) der erwartete noch nicht zerfallene Bestand nach der Zeit t. Der Exponent enthält den Quotienten aus Zeit und Halbwertszeit; beide müssen in derselben Einheit stehen.

N(t) = N₀ · e^−λt mit λ = ln 2T_½

λ heißt Zerfallskonstante, nicht Wellenlänge. Sie besitzt die Einheit einer umgekehrten Zeit, zum Beispiel s⁻¹. ln 2 ist ungefähr 0,693. In der Exponentialschreibweise ist das Produkt λt einheitenlos.

N(t)N₀ = 2^−tT_½

Die linke Seite ist der verbleibende Anteil. Der bereits zerfallene Anteil beträgt eins minus diesen Restanteil. Die Masse des noch vorhandenen Mutternuklids folgt demselben relativen Gesetz; die gesamte Probe verliert dadurch nicht einfach die Hälfte ihrer Masse. Die Tochterprodukte bleiben häufig in der Probe.

Zeit und Halbwertszeit getrennt verändern

Beginne mit T½ = 2 Stunden. Stelle nacheinander t = 2, 4 und 6 Stunden ein. Ändere danach bei derselben Zeit nur die Halbwertszeit.

Nach 2,0 h bleiben 50,00 % übrig: im Mittel 4000 von 8000 Kernen.

Feste Achsen: Der grüne Punkt markiert die gewählte Zeit, die blaue Kurve das Zerfallsgesetz. Modellwerte für ein frei gewähltes Nuklid; keine experimentellen Daten.

Die Anzeige rundet den erwarteten Kernbestand. Sie behauptet nicht, dass ein Teil eines Kerns existiert. Alle Kerne werden entweder als noch vorhanden oder als zerfallen registriert; nur der Mittelwert über viele Wiederholungen darf eine Kommazahl haben.

Unterrichtsimpuls mit Erklärung

Bei t = 3 h und T½ = 2 h sind erst 1,5 Halbwertszeiten vergangen. Es bleiben etwa 35,36 %, nicht 25 %. Das Gesetz gilt auch zwischen den ganzen Halbierungen.

Restbestand Schritt für Schritt berechnen

Eine Modellprobe enthält anfangs 8000 Mutterkerne. Ihre Halbwertszeit beträgt 2 h. Gesucht ist der erwartete Bestand nach 6 h.

Anzahl der Halbwertszeiten: tT_½ = 6 h2 h = 3

N(6 h) = 8000 · 2⁻³ = 80008 = 1000

Es bleiben 12,5 % der Mutterkerne. Im Mittel sind 8000 − 1000 = 7000 zerfallen, also 87,5 %. Einheitenprobe: h geteilt durch h ergibt eine reine Zahl.

Zwischenwert: Nach nur 1 h ist eine halbe Halbwertszeit vergangen. Es bleiben 8000 · 2^−0,5 ≈ 5657 Kerne im Mittel, also etwa 70,71 %. „Halbe Halbwertszeit“ bedeutet nicht „25 % Verlust“.

Wann bleibt ein bestimmter Anteil übrig?

Gesucht ist die Zeit, nach der 10 % des Anfangsbestands verbleiben. Mit dem Restanteil r = N(t) geteilt durch N₀ folgt:

t = T_½ · ln(1/r)ln 2

t = 2 h · ln 10ln 2 ≈ 6,64 h

Das entspricht etwa 3,32 Halbwertszeiten. Verwende als r den Dezimalanteil 0,10, nicht die Prozentzahl 10. Die Umkehrung gilt für 0 < r ≤ 1. Einen exakt verschwindenden Erwartungswert erreicht die mathematische Exponentialkurve in endlicher Zeit nicht.

Eine endliche reale Probe kann trotzdem irgendwann keinen Mutterkern mehr enthalten. Das widerspricht der Erwartungskurve nicht: Sie mittelt über viele mögliche Zerfallsverläufe.

Halbwertszeit aus Messdaten ablesen

Suche auf einer bereinigten Zerfallskurve einen Wert und danach seinen halben Wert. Der zugehörige Zeitabstand ist T½. Es ist egal, ob du bei 100 %, 80 % oder 40 % beginnst: Die Halbierung dauert im idealen Modell immer gleich lange.

Beispiel: Eine bereinigte Zählrate fällt von 160 auf 80 Impulse pro Minute zwischen t = 2 min und t = 7 min. Dann beträgt die Halbwertszeit 5 min. Das Messgerät und die Geometrie müssen vergleichbar bleiben; ein konstanter Untergrund muss vorher abgezogen werden.

Bei einer Mischung mehrerer Radionuklide oder zusätzlicher Tochteraktivität kann eine einzige Exponentialkurve ungeeignet sein. Die Aktivität eines einzelnen Mutternuklids halbiert sich dagegen im selben Rhythmus wie sein Bestand.

Diese Fehler vermeiden

Jedes Mal N₀ halbieren und dieselbe Menge abziehen: Halbiert wird der jeweils verbleibende Bestand.

Stunden mit Sekunden vermischen: t und T½ zuerst in dieselbe Einheit bringen.

Restanteil mit zerfallenem Anteil verwechseln: Beide ergänzen sich zu 100 %.

Eine kurze Halbwertszeit als Sicherheitsurteil verwenden: Aktivität, Nuklid, Menge, Strahlungsenergie und Expositionsweg müssen getrennt betrachtet werden.