1 · ZP = 5 cm und k = 2. Wie groß ist ZP′?
Lösung und Rechenweg ansehen
10 cm. Multipliziere den Abstand zum Zentrum mit 2.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Zentrische Streckung: verstehen und üben
Vergrößere und verkleinere Figuren von einem festen Zentrum aus. Mit interaktivem Streckfaktor, Konstruktionsanleitung, Koordinatenbeispielen und einem kostenlosen Arbeitsblatt.
Vom Zentrum aus denken
Z, P und P′ liegen auf einer Geraden.
Für k > 0 gilt: ZP′ = k · ZP.
Das Zentrum legt die Lage fest, der Streckfaktor die Größe.
Lernschritt 1
Was ist eine zentrische Streckung?
Bei einer zentrischen Streckung entsteht aus einer Figur eine ähnliche Bildfigur. Dazu wählst du ein festes Zentrum Z und einen Streckfaktor k. Für positive Faktoren liegt jeder Bildpunkt P′ auf dem Strahl von Z durch den Originalpunkt P.
Der Abstand vom Zentrum wird mit k multipliziert. Ist ZP = 3 cm und k = 2, liegt P′ auf demselben Strahl in 6 cm Abstand von Z.
Du multiplizierst den Abstand ZP, nicht den Abstand zwischen Originalpunkt und Bildpunkt. Im Beispiel liegen P und P′ nur 3 cm auseinander, obwohl ZP′ = 6 cm ist.
Lernschritt 2
Was bewirkt der Streckfaktor?
| Faktor | Wirkung | Lage für P ≠ Z |
|---|---|---|
| k > 1 | Vergrößerung | P′ liegt auf dem Strahl hinter P |
| 0 < k < 1 | Verkleinerung | P′ liegt zwischen Z und P |
| k = 1 | keine Veränderung | P′ = P |
Das Zentrum selbst bleibt immer fest. Bei k = 1 bleiben auch alle anderen Punkte fest. Für k > 0 und k ≠ 1 ist Z der einzige feste Punkt der Abbildung.
Die folgenden Konstruktionen und der Regler verwenden positive Faktoren. Negative Faktoren erklären wir anschließend als Erweiterung.
Lernschritt 3
Verändere den Streckfaktor
Versuch 1: Stelle k = 0,5 ein. Die Bildpunkte liegen auf halbem Weg zwischen Z und den jeweiligen Originalpunkten.
Versuch 2: Vergleiche k = 1 und k = 2. Bei k = 1 decken sich die Dreiecke; bei k = 2 verdoppeln sich alle Abstände zum Zentrum und alle Seitenlängen.
Die gestrichelten Hilfslinien zeigen die Richtung vom Zentrum zu den Ecken. Die Bildpunkte bleiben bei jedem positiven Faktor auf diesen Strahlen.
Lernschritt 4
Eine Figur mit Lineal und Zirkel strecken
Beispiel: Strecke ein Dreieck mit dem Zentrum Z und dem Faktor k = 2.
- Markiere Z und die Ecken A, B und C.
- Zeichne die Strahlen von Z durch jede Ecke.
- Miss ZA oder nimm den Abstand mit dem Zirkel auf.
- Trage auf dem Strahl von Z aus die doppelte Länge ab. Dort liegt A′.
- Wiederhole das für B′ und C′ mit den jeweiligen Abständen ZB und ZC.
- Verbinde A′, B′ und C′ in derselben Reihenfolge wie beim Original.
Bei k = 0,5 verwendest du jeweils die halbe Entfernung. Bei k = 1,5 berechnest du beispielsweise aus 4 cm den Abstand 6 cm und trägst ihn von Z aus ab.
Probier es selbst: ZB ist 4 cm lang. Wo liegt B′ bei k = 0,75?
Lösung ansehen
Auf dem Strahl von Z durch B in 3 cm Abstand von Z, denn 4 · 0,75 = 3.
Lernschritt 5
Streckung im Koordinatensystem
Zentrum im Ursprung
Für Z(0 | 0) multiplizierst du beide Koordinaten mit k:
(x | y) → (k · x | k · y)
Aus P(2 | 3) wird bei k = 2 der Punkt P′(4 | 6). Aus Q(−4 | 2) wird bei k = 0,5 der Punkt Q′(−2 | 1).
Ein anderes Zentrum
Bei Z(1 | 1) und P(3 | 2) gehst du von Z aus 2 nach rechts und 1 nach oben. Für k = 2 verdoppelst du diesen Weg: 4 nach rechts und 2 nach oben. Wieder von Z aus gezählt ergibt das P′(5 | 3).
Bei einem Zentrum außerhalb des Ursprungs darfst du nicht einfach die ursprünglichen Koordinaten mit k multiplizieren. Verändere zuerst die Abstände und Richtungsanteile relativ zum Zentrum.
Lernschritt 6
Was bleibt gleich, was verändert sich?
| Eigenschaft | Bei positivem Faktor k |
|---|---|
| Winkelgrößen | bleiben gleich |
| Seitenlängen und Umfang | werden mit k multipliziert |
| Flächeninhalt | wird mit k² multipliziert |
| Entsprechende Seiten | liegen parallel oder auf derselben Geraden |
| Form | bleibt erhalten: Original und Bild sind ähnlich |
Bei k = 2 ist der Umfang doppelt so groß und die Fläche viermal so groß. Eine ursprüngliche Fläche von 6 cm² wird zu 24 cm².
Für eine Rückwärtskonstruktion mit positivem k benutzt du dasselbe Zentrum und den Faktor 1 : k. Eine Streckung mit k = 3 machst du also durch eine Streckung mit k = ⅓ rückgängig.
Lernschritt 7
Erweiterung: negative Faktoren und der Sonderfall 0
Bei einem negativen Streckfaktor liegt P′ auf der anderen Seite des Zentrums. Für den Abstand verwendest du den Betrag des Faktors: Bei k = −2 wird der Abstand verdoppelt und die Richtung umgekehrt.
Bei Z(0 | 0), P(2 | 1) und k = −2 entsteht P′(−4 | −2). Der Faktor −1 ergibt genau eine Punktspiegelung am Zentrum. Seitenlängen ändern sich mit |k|, Flächen mit k².
Bei k = 0 fallen alle Bildpunkte im Zentrum zusammen. Es entsteht keine ähnliche Figur mit derselben Form. Deshalb wird dieser Fall bei einer zentrischen Streckung als Ähnlichkeitsabbildung ausgeschlossen.
Lernschritt 8
Kontrolliere diese drei Punkte
- Richtiges Zentrum: Alle Verbindungsgeraden der zugehörigen Punkte müssen durch Z laufen.
- Richtiger Abstand: Rechne vom Zentrum aus. Für positive Faktoren gilt ZP′ : ZP = k, sofern P ≠ Z.
- Richtige Zuordnung: Verbinde A′ mit B′ und C′ passend zum ursprünglichen Dreieck.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · ZP = 8 cm und k = 0,25. Wie groß ist ZP′?
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2 cm. P′ liegt zwischen Z und P.
Erklärung wiederholen →3 · Strecke P(−2 | 3) um den Ursprung mit k = 2.
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P′(−4 | 6). Beide Koordinaten werden verdoppelt.
Erklärung wiederholen →4 · Z(1 | 1), P(3 | 2), k = 0,5: Wo liegt P′?
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P′(2 | 1,5). Halbiere den Weg von Z nach P: 1 nach rechts und 0,5 nach oben.
Erklärung wiederholen →5 · Eine Fläche beträgt 4 cm². Wie groß wird sie bei k = 3?
Lösung und Rechenweg ansehen
36 cm², denn 4 · 3² = 36.
Erklärung wiederholen →6 · Was bewirkt k = −1?
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Eine Punktspiegelung am Zentrum: gleicher Abstand, entgegengesetzte Seite.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ähnlichkeit und zentrische Streckung üben
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Was bedeutet „zentrisch“?
Die Abbildung bezieht sich auf ein gemeinsames Zentrum. Für jeden Punkt verläuft die Richtung zu seinem Bild durch dieses Zentrum.
Bleibt das Zentrum fest?
Ja. Sein Abstand zu sich selbst ist 0; daraus wird bei jeder Streckung wieder 0.
Ist eine zentrische Streckung eine Verschiebung?
Nein. Bei einer Verschiebung haben alle Punkte denselben Verschiebungsweg. Bei der Streckung werden ihre Abstände zu einem Zentrum mit demselben Faktor verändert.