Mathe · etwa 35–50 Minuten
Du berechnest Bild- und Originalpunkte für verschiedene Zentren, unterscheidest Punktabstände und berücksichtigst positive und negative Streckfaktoren.
Ähnlichkeit, Koordinatensystem und Rechnen mit negativen Zahlen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne einen Zentrumsabstand und einen Bildpunkt und prüfe die Bedeutung des Zentrums.
Punkte als x | y eingeben, zum Beispiel −2 | 1,5. Zahlen mit Komma oder Punkt; Brüche mit /. Bei Faktoren das Vorzeichen beachten. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Vom Zentrum aus denken
Z, P und P′ liegen auf einer Geraden.
Für k > 0 gilt: ZP′ = k · ZP.
Das Zentrum legt die Lage fest, der Streckfaktor die Größe.
Bei einer zentrischen Streckung mit k ≠ 0 entsteht aus einer Figur eine ähnliche Bildfigur. Dazu wählst du ein festes Zentrum Z und einen Streckfaktor k. Für positive Faktoren liegt jeder Bildpunkt P′ auf dem Strahl von Z durch den Originalpunkt P.
Beispiel · Schritt für Schritt
ZP = 3 cm; k = 2
Da k = 2 > 1 ist, liegt P zwischen Z und P′. Du multiplizierst ZP, nicht PP′; die Punkte sind nur drei Zentimeter voneinander entfernt.
| Faktor | Wirkung | Lage für P ≠ Z |
|---|---|---|
| k > 1 | Vergrößerung | P′ liegt auf dem Strahl hinter P |
| 0 < k < 1 | Verkleinerung | P′ liegt zwischen Z und P |
| k = 1 | keine Veränderung | P′ = P |
Das Zentrum selbst bleibt immer fest. Bei k = 1 bleiben auch alle anderen Punkte fest. Für k > 0 und k ≠ 1 ist Z der einzige feste Punkt der Abbildung.
Die folgenden Konstruktionen und der Regler verwenden positive Faktoren. Negative Faktoren erklären wir anschließend als Erweiterung.
Versuch 1: Stelle k = 0,5 ein. Die Bildpunkte liegen auf halbem Weg zwischen Z und den jeweiligen Originalpunkten.
Versuch 2: Vergleiche k = 1 und k = 2. Bei k = 1 decken sich die Dreiecke; bei k = 2 verdoppeln sich alle Abstände zum Zentrum und alle Seitenlängen.
Die gestrichelten Hilfslinien zeigen die Richtung vom Zentrum zu den Ecken. Die Bildpunkte bleiben bei jedem positiven Faktor auf diesen Strahlen.
Beispiel: Strecke ein Dreieck mit dem Zentrum Z und dem Faktor k = 2.
Beispiel · Schritt für Schritt
ZP = 4 cm; k = 1,5
Bei k = 0,5 verwendest du jeweils die halbe Entfernung. Für k = 1,5 und einen ursprünglichen Zentrumsabstand von 4 cm rechnest du:
Multipliziere den Abstand des Originalpunkts mit dem positiven Faktor 1,5.
Trage die sechs Zentimeter von Z auf dem Strahl durch P ab. P′ liegt hinter P, weil k > 1 ist.
Lösung · Schritt für Schritt
ZB = 4 cm; k = 0,75
Der Faktor wirkt auf den Abstand von Z zu B.
B′ liegt auf dem Strahl von Z durch B zwischen Z und B, drei Zentimeter von Z entfernt.
Für Z(0 | 0) multiplizierst du beide Koordinaten mit k:
Die Regel
(x | y) → (k · x | k · y)
Beispiel · Schritt für Schritt
Z(0 | 0); P(2 | 3)
k = 2
Das Zentrum ist der Ursprung. Für P(2 | 3) und k = 2 gilt die direkte Koordinatenregel.
Beide Koordinatenanteile relativ zum Ursprung wurden verdoppelt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Z(0 | 0); Q(−4 | 2)
k = 0,5
Für Q(−4 | 2) gilt k = 0,5. Das negative Vorzeichen der x-Koordinate bleibt bei positivem Faktor erhalten.
Q′ liegt auf halbem Weg zwischen Ursprung und Q.
Beispiel · Schritt für Schritt
Z(1 | 1); P(3 | 2)
k = 2
Von Z(1 | 1) nach P(3 | 2) geht es zwei Einheiten nach rechts und eine nach oben.
Multipliziere nur den Weg relativ zum Zentrum mit k = 2.
Addiere die gestreckten Richtungsanteile zu den Koordinaten von Z.
Bei einem Zentrum außerhalb des Ursprungs darfst du nicht einfach die ursprünglichen Koordinaten mit k multiplizieren. Verändere zuerst die Abstände und Richtungsanteile relativ zum Zentrum.
| Eigenschaft | Bei positivem Faktor k |
|---|---|
| Winkelgrößen | bleiben gleich |
| Seitenlängen und Umfang | werden mit k multipliziert |
| Flächeninhalt | wird mit k² multipliziert |
| Entsprechende Seiten | liegen parallel oder auf derselben Geraden |
| Form | bleibt erhalten: Original und Bild sind ähnlich |
Beispiel · Schritt für Schritt
Fläche: 6 cm²; k = 2
Bei k = 2 verdoppeln sich Seitenlängen und Umfang. Der Flächeninhalt wird dagegen vervierfacht.
Eine ursprüngliche Fläche von sechs Quadratzentimetern wird zu vierundzwanzig Quadratzentimetern.
Beispiel · Schritt für Schritt
Streckfaktor: k = 3
Für positives k verwendest du dasselbe Zentrum und den Kehrwert des ursprünglichen Faktors.
Eine Verdreifachung wird durch eine Streckung mit dem Faktor ein Drittel rückgängig gemacht.
Die nacheinander angewendeten Faktoren ergeben eins: Jeder Punkt kehrt an seine Ausgangsstelle zurück.
Bei einem negativen Streckfaktor liegt P′ auf der anderen Seite des Zentrums. Für den Abstand verwendest du den Betrag des Faktors: Bei k = −2 wird der Abstand verdoppelt und die Richtung umgekehrt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Z(0 | 0); P(2 | 1)
k = −2
Das Zentrum liegt im Ursprung; für P(2 | 1) werden beide Koordinaten mit −2 multipliziert.
P′ liegt auf der anderen Seite von Z. Abstände und Seitenlängen werden mit dem positiven Betrag zwei multipliziert.
Flächen werden vervierfacht, nicht negativ. Allgemein ändern sich Seitenlängen mit |k| und Flächen mit k².
Der Faktor −1 ergibt genau eine Punktspiegelung am Zentrum.
Beispiel · Schritt für Schritt
Beliebiges Zentrum Z; k = 0
zₓ und zᵧ sind die Koordinaten des Zentrums. Jeder Weg vom Zentrum wird mit null multipliziert.
Alle Bildpunkte fallen im Zentrum zusammen. Es entsteht keine ähnliche Figur mit derselben Form; deshalb ist k = 0 als Ähnlichkeitsabbildung ausgeschlossen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne bei Koordinaten immer vom Zentrum aus. Das Vorzeichen von k bestimmt die Richtung, sein Betrag den Längenfaktor.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
ZP = 5 cm; k = 2
Der Faktor zwei ist positiv; der Bildpunkt liegt auf demselben Strahl.
Gesucht ist der Abstand zum Zentrum, nicht der Abstand PP′.
Lösung · Schritt für Schritt
ZP = 8 cm; k = 0,25
Ein Viertel von acht Zentimetern sind zwei Zentimeter.
P′ liegt zwischen Z und P, zwei Zentimeter vom Zentrum entfernt.
Lösung · Schritt für Schritt
Z(0 | 0); P(−2 | 3)
k = 2
Da das Zentrum der Ursprung ist, werden beide Koordinaten direkt verdoppelt.
Der positive Faktor erhält die Richtung vom Zentrum zum Punkt.
Lösung · Schritt für Schritt
Z(1 | 1); P(3 | 2)
k = 0,5
Die Koordinaten des Zentrums müssen zuerst abgezogen werden.
Halbiere beide Richtungsanteile.
Addiere den halben Weg wieder zum Zentrum Z(1 | 1).
Lösung · Schritt für Schritt
Fläche: 4 cm²; k = 3
Flächen wachsen quadratisch mit dem Längenfaktor.
Die Bildfläche beträgt sechsunddreißig Quadratzentimeter.
Lösung · Schritt für Schritt
Streckfaktor: k = −1
Der Abstand zum Zentrum bleibt gleich.
P′ liegt für P ≠ Z auf der entgegengesetzten Seite; Z ist der Mittelpunkt von PP′. Das ist eine Punktspiegelung am Zentrum. Z selbst bleibt fest.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Längenverhältnisse mit Strahlensätzen nutzen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Die Abbildung bezieht sich auf ein gemeinsames Zentrum Z. Von dort aus werden die Abstände zu den Punkten mit dem Streckfaktor verändert. Das Zentrum selbst bleibt fest.
Ja. Sein Abstand zu sich selbst ist 0; daraus wird bei jeder Streckung wieder 0.
Nein. Bei einer Verschiebung haben alle Punkte denselben Verschiebungsweg. Bei der Streckung werden ihre Abstände zu einem Zentrum mit demselben Faktor verändert.
Hier ist k positiv. P′ liegt auf dem Strahl von Z durch P, sechs Zentimeter von Z entfernt.