1 · Zeichne A(−2 | 3).
Lösung und Rechenweg ansehen
Gehe vom Ursprung zwei Einheiten nach links und drei nach oben. A liegt im II. Quadranten.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Koordinatensystem: verstehen und üben
Lerne, Punkte abzulesen und einzuzeichnen: erst die x-Koordinate, dann die y-Koordinate. Mit negativen Zahlen, Beispielen und einem Punkt zum Verschieben.
Die Reihenfolge zählt
P(3 | 2)
Vom Ursprung aus: 3 nach rechts, dann 2 nach oben. Der Punkt P liegt dort, wo beide Angaben zusammenpassen.
Lernschritt 1
So ist ein Koordinatensystem aufgebaut
Ein ebenes Koordinatensystem besteht hier aus zwei senkrecht zueinander stehenden Zahlengeraden. Die x-Achse verläuft waagerecht, die y-Achse senkrecht. Ihr Schnittpunkt heißt Ursprung und hat die Koordinaten O(0 | 0).
Auf der x-Achse werden die Zahlen nach rechts größer, auf der y-Achse nach oben. Links vom Ursprung und unterhalb des Ursprungs liegen negative Werte. Die Pfeile zeigen die Richtung, in der die Werte größer werden.
Prüfe zuerst die Skalierung: Ein Kästchen kann zum Beispiel 1, 2 oder 10 Einheiten bedeuten. Gleiche Zahlenabstände brauchen auf derselben Achse gleiche Strecken. Die beiden Achsen können unterschiedlich skaliert sein. In unserer interaktiven Zeichnung entspricht ein Kästchen auf beiden Achsen einer Einheit.
Lernschritt 2
Punkte einzeichnen: zuerst x, dann y
Ein Punkt wird als geordnetes Zahlenpaar angegeben, zum Beispiel A(3 | 2). Die erste Zahl ist immer die x-Koordinate. Die zweite Zahl ist immer die y-Koordinate.
- Starte im Ursprung O(0 | 0).
- Gehe für x = 3 drei Einheiten nach rechts.
- Gehe von dort für y = 2 zwei Einheiten nach oben.
- Markiere die Stelle und beschrifte sie mit A.
Bei B(−2 | 4) gehst du zwei Einheiten nach links und anschließend vier nach oben. Bei C(1 | −3) gehst du eine nach rechts und drei nach unten. Die Wege sind nur Hilfen: Gemeint ist jeweils der Punkt am Ende.
Probier es selbst: Wo liegt D(−3 | −2)?
Lösung ansehen
D liegt drei Einheiten links und zwei Einheiten unter dem Ursprung. Beide Koordinaten sind negativ.
Lernschritt 3
Verschiebe einen Punkt selbst
Versuch 1: Verändere nur x. Der Punkt bewegt sich waagerecht und bleibt auf derselben Höhe. Verändere anschließend nur y: Jetzt bewegt er sich senkrecht.
Versuch 2: Vergleiche P(3 | 2) und P(2 | 3) über die Beispieltasten. Die gleichen Zahlen ergeben bei vertauschter Reihenfolge zwei verschiedene Punkte.
Probier es selbst: Welche Einstellung bringt P auf die y-Achse?
Lösung ansehen
Stelle x auf 0. Der y-Wert darf beliebig sein. Für x = 0 und y = 0 liegt P zusätzlich auf der x-Achse: im Ursprung.
Lernschritt 4
Koordinaten aus einer Zeichnung ablesen
Zum Ablesen gehst du gedanklich den umgekehrten Weg: Folge vom Punkt einer senkrechten Hilfslinie zur x-Achse und lies x ab. Folge dann einer waagerechten Hilfslinie zur y-Achse und lies y ab. Schreibe beide Werte in der Reihenfolge (x | y) auf.
Liegt ein Punkt vier Einheiten links vom Ursprung und eine Einheit darüber, lautet sein Zahlenpaar (−4 | 1). Steht an der x-Achse zwischen benachbarten Markierungen 0, 2, 4, zählt jede dieser Strecken zwei Einheiten. Drei solcher Strecken nach rechts bedeuten dann x = 6.
Zähle Einheiten statt ungeprüft Kästchen. Liegt ein Punkt zwischen beschrifteten Markierungen, helfen die gleichmäßigen Zwischenabstände beim Ablesen.
Lernschritt 5
Negative Koordinaten, Quadranten und Achsen
Die Achsen teilen die Ebene in vier Bereiche, die Quadranten. Man beginnt rechts oben mit I und zählt gegen den Uhrzeigersinn weiter.
| Bereich | Vorzeichen (x | y) | Beispiel |
|---|---|---|
| I · rechts oben | (+ | +) | (3 | 2) |
| II · links oben | (− | +) | (−3 | 2) |
| III · links unten | (− | −) | (−3 | −2) |
| IV · rechts unten | (+ | −) | (3 | −2) |
Punkte auf einer Achse gehören zu keinem der vier Quadranten. Bei (4 | 0) ist y = 0: Der Punkt liegt auf der x-Achse. Bei (0 | −2) ist x = 0: Er liegt auf der y-Achse. Der Ursprung gehört zu beiden Achsen.
Lernschritt 6
Punkte vergleichen und typische Fehler vermeiden
A(−2 | 3) und B(4 | 3) liegen auf derselben Höhe, weil beide die y-Koordinate 3 haben. C(2 | −1) und D(2 | 4) liegen senkrecht übereinander, weil beide die x-Koordinate 2 haben.
- x und y vertauscht: Sprich beim Einzeichnen mit: erst waagerecht, dann senkrecht.
- Minuszeichen übersehen: Negatives x bedeutet links; negatives y bedeutet unten.
- Auf der falschen Achse abgelesen: Die senkrechte Hilfslinie trifft die x-Achse, die waagerechte die y-Achse.
- Skalierung übersehen: Kontrolliere zwei beschriftete Markierungen, bevor du Kästchen zählst.
Probier es selbst: Liegen E(1 | −2) und F(−3 | −2) auf derselben Höhe?
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Ja. Beide haben y = −2. Unterschiedliche x-Werte ändern ihre Höhe nicht.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ein Punkt liegt 4 links und 1 unten. Wie heißen seine Koordinaten?
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P(−4 | −1). Links bedeutet negatives x, unten negatives y.
Erklärung wiederholen →3 · Auf welcher Achse liegt B(0 | 5)?
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Auf der y-Achse, denn x = 0. Der Punkt liegt fünf Einheiten über dem Ursprung.
Erklärung wiederholen →4 · Sind C(2 | 4) und D(4 | 2) derselbe Punkt?
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Nein. C liegt zwei nach rechts und vier nach oben; D vier nach rechts und zwei nach oben. Die Reihenfolge ist entscheidend.
Erklärung wiederholen →5 · Welche Koordinate stimmt bei Punkten auf gleicher Höhe überein?
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Die y-Koordinate. Zum Beispiel liegen (−1 | 3) und (5 | 3) beide auf der Höhe y = 3.
Erklärung wiederholen →6 · Auf der x-Achse zählt jeder Kästchenabstand 2. Was bedeuten 3 Kästchen nach rechts?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 6, denn 3 · 2 = 6. Die y-Koordinate ist dadurch noch nicht bestimmt.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Was bedeutet der Strich in P(3 | 2)?
Er trennt die beiden Koordinaten. Links steht x, rechts y. Der Strich ist hier kein Rechenzeichen.
Dürfen Koordinaten auch Dezimalzahlen sein?
Ja. P(1,5 | 2) liegt zum Beispiel genau zwischen x = 1 und x = 2 auf der Höhe y = 2. Die Regler oben verwenden zum Einstieg ganze Zahlen.
Müssen beide Achsen gleich skaliert sein?
Nein, eine unterschiedliche Skalierung ist möglich und muss deutlich erkennbar sein. Beim Zeichnen geometrischer Figuren verwendet man häufig auf beiden Achsen denselben Maßstab, damit die Form unverzerrt bleibt.