1 · Was wird aus x = 4 bei y = 2x + 1?
Lösung und Rechenweg ansehen
y = 2 · 4 + 1 = 9. Das zugehörige Wertepaar lautet (4 | 9).
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Funktionen: verstehen und üben
Verstehe, was eine Funktion ist und wie Rechenregel, Wertetabelle und Graph zusammenhängen. Mit Beispielen, Aufgaben und einer veränderbaren Geraden.
Ein x-Wert, genau ein y-Wert
y = 2x + 1
Setze x = 3 ein: y = 2 · 3 + 1 = 7. Das Wertepaar wird im Koordinatensystem zum Punkt (3 | 7).
Lernschritt 1
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x-Wert genau einen y-Wert zu. Du kannst dir x als Eingabe und y als Ergebnis vorstellen. Entscheidend ist die Eindeutigkeit: Für dieselbe Eingabe darf die Funktion nicht zwei verschiedene Ergebnisse liefern.
Ein Beispiel ist die Regel „verdoppeln und 1 addieren“. Aus 3 wird 7, aus 0 wird 1 und aus −2 wird −3. Als Formel schreibt man y = 2x + 1. Manchmal steht dafür f(x) = 2x + 1. Dabei bezeichnet f(x) den Funktionswert zur Eingabe x; es bedeutet nicht f mal x.
Verschiedene x-Werte dürfen denselben y-Wert haben. Bei y = x² ergibt sowohl x = 2 als auch x = −2 den Wert 4. Das ist trotzdem eine Funktion: Jede einzelne Eingabe hat genau ein Ergebnis.
Lernschritt 2
Funktionswerte berechnen und eine Wertetabelle erstellen
Bei y = 2x + 1 ersetzt du x durch eine Zahl und rechnest aus. Beachte dabei Punkt vor Strich. Für negative Eingaben helfen Klammern:
x = −2: y = 2 · (−2) + 1 = −3
| x | Rechnung 2x + 1 | y |
|---|---|---|
| −2 | 2 · (−2) + 1 | −3 |
| −1 | 2 · (−1) + 1 | −1 |
| 0 | 2 · 0 + 1 | 1 |
| 1 | 2 · 1 + 1 | 3 |
| 2 | 2 · 2 + 1 | 5 |
Jede Zeile enthält ein zusammengehöriges Wertepaar. Eine Tabelle zeigt ausgewählte Eingaben und Ergebnisse. Sie muss nicht alle möglichen Werte der Funktion auflisten.
Probier es selbst: Berechne für y = x − 2 die Werte zu x = 0, 2 und 5.
Lösung ansehen
Für x = 0 erhältst du −2, für x = 2 den Wert 0 und für x = 5 den Wert 3. Die Punkte heißen (0 | −2), (2 | 0) und (5 | 3).
Lernschritt 3
Von der Wertetabelle zum Graphen
Übertrage jedes Wertepaar als Punkt (x | y) in ein Koordinatensystem. Die erste Koordinate liest du auf der waagerechten x-Achse ab, die zweite auf der senkrechten y-Achse. Der Graph einer Funktion besteht aus ihren zugehörigen Punkten.
Für die lineare Funktion y = 2x + 1 liegen die Punkte auf einer Geraden. Wenn alle reellen x-Werte erlaubt sind, gehören auch die Punkte zwischen den Tabellenwerten dazu: Du kannst die Gerade zeichnen und über die ausgewählten Punkte hinaus verlängern.
Verbinde Punkte nicht automatisch: Beschreibt x beispielsweise die Anzahl gekaufter Hefte, sind nur ganze, nicht negative Stückzahlen sinnvoll. Dann besteht die Darstellung aus einzelnen Punkten. Und andere Funktionen, etwa y = x², haben einen gekrümmten Graphen.
Lernschritt 4
Entdecke Steigung und Startwert an einer Geraden
Ein besonders übersichtliches Beispiel ist die lineare Funktion y = mx + b. Dabei gibt m die Steigung an: Wird x um 1 größer, ändert sich y um m. Der Wert b ist der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert bei x = 0. Für einen Einstieg kannst du b auch als Startwert verstehen.
Versuch 1: Lass m = 2 stehen und ändere nur b. Die Gerade verschiebt sich nach oben oder unten; ihre Steigung bleibt gleich.
Versuch 2: Stelle b = 0 ein und ändere m. Alle diese Geraden verlaufen durch den Ursprung. Bei positivem m steigen sie nach rechts, bei negativem m fallen sie. Bei m = 0 ist y immer gleich b.
Probier es selbst: Was bedeutet m = −1 und b = 2?
Lösung ansehen
Die Regel lautet y = −x + 2. Die Gerade schneidet die y-Achse bei (0 | 2). Gehst du eine Einheit nach rechts, sinkt y um eine Einheit: Ein weiterer Punkt ist (1 | 1).
Lernschritt 5
Prüfen, ob ein Punkt zum Graphen gehört
Du musst dafür nicht genau zeichnen. Setze die x-Koordinate in die Funktionsregel ein. Vergleiche das berechnete Ergebnis mit der y-Koordinate des Punktes.
Gehört P(2 | 5) zu y = 2x + 1? Einsetzen ergibt 2 · 2 + 1 = 5. Das passt, also liegt P auf dem Graphen. Q(2 | 6) liegt dagegen nicht darauf: Für x = 2 liefert diese Funktion den Wert 5, nicht 6.
Probier es selbst: Gehört R(−1 | −1) zu y = 2x + 1?
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Ja. Es gilt 2 · (−1) + 1 = −2 + 1 = −1. Das Ergebnis stimmt mit der y-Koordinate überein.
Lernschritt 6
Erlaubte Eingaben und typische Fehler
Die Menge der erlaubten Eingaben heißt Definitionsmenge. Sie hängt von der Regel und gegebenenfalls von der Situation ab. Bei der Regel y = 1/x darf x zum Beispiel nicht 0 sein, weil eine Division durch 0 nicht definiert ist. Die tatsächlich erreichten Ergebnisse bilden die Wertemenge.
- 2x mit x + 2 verwechselt: 2x bedeutet 2 · x, also verdoppeln.
- Aus 2x + 1 wird 2 · (x + 1): Das wäre eine andere Regel. Bei x = 3 ergeben sich 7 beziehungsweise 8.
- x und y vertauscht: Ein Punkt wird in der Reihenfolge (x | y) geschrieben.
- Jede Funktion für eine Gerade gehalten: Die Regler zeigen nur lineare Funktionen. Andere Funktionen können andere Graphen haben.
- Eindeutigkeit falsch verstanden: Zwei Eingaben dürfen dasselbe Ergebnis haben; eine Eingabe darf nicht mehrere Ergebnisse haben.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Stelle die Regel „verdoppeln und 5 addieren“ als Formel dar.
Lösung und Rechenweg ansehen
y = 2x + 5. Zuerst wird die Eingabe verdoppelt, anschließend werden 5 addiert.
Erklärung wiederholen →3 · Gehört P(1 | 3) zu y = 2x + 1?
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Ja: 2 · 1 + 1 = 3. Das berechnete y stimmt mit der zweiten Koordinate überein.
Erklärung wiederholen →4 · Bei y = −x + 2: Wie groß sind m und b?
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m = −1 und b = 2. Die Gerade fällt nach rechts und schneidet die y-Achse bei (0 | 2).
Erklärung wiederholen →5 · Dürfen bei einer Funktion x = 2 und x = −2 beide y = 4 ergeben?
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Ja. Verschiedene Eingaben dürfen dasselbe Ergebnis haben. Entscheidend ist, dass jeder erlaubten Eingabe genau ein Ergebnis zugeordnet wird.
Erklärung wiederholen →6 · Warum verbindet man bei einer Anzahl gekaufter Hefte nicht automatisch alle Punkte?
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Die Stückzahl ist ganzzahlig und nicht negativ. Zwischenwerte wie 1,5 gekaufte Hefte sind in diesem Modell keine erlaubten Eingaben.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lineare Funktionen im Überblick
Das Lernposter fasst Steigung, Achsenabschnitt und das Zeichnen von Geraden zusammen – passend zum interaktiven Beispiel.
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Den y-Achsenabschnitt üben
Vertiefe die Bedeutung von b bei linearen Funktionen mit einem passenden Arbeitsblatt.
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Optional: Definitionsmenge und Wertemenge
Eine ergänzende Lernkarte zu erlaubten Eingaben und möglichen Ergebnissen, wenn du die Grundidee bereits verstanden hast.
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Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Was unterscheidet eine Funktion von einer beliebigen Zuordnung?
Bei einer Funktion gehört zu jeder erlaubten Eingabe genau ein Ergebnis. Eine Zuordnung, die derselben Eingabe mehrere verschiedene Ergebnisse zuweist, ist keine Funktion.
Ist jede Funktion eine Gerade?
Nein. Lineare Funktionen haben eine Gerade als Graphen. Die quadratische Funktion y = x² hat zum Beispiel eine Parabel als Graphen.
Was bedeutet f(3)?
f(3) ist der Funktionswert an der Stelle x = 3. Bei f(x) = 2x + 1 ist f(3) = 7.