Mathe · etwa 30–45 Minuten
Du verstehst Funktionen als eindeutige Zuordnungen, berechnest Werte, liest Graphen ab und prüfst Punkte sowie erlaubte Eingaben.
Grundrechenarten, negative Zahlen und das Koordinatensystem.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne einen Funktionswert, prüfe einen Punkt und entscheide über die Eindeutigkeit.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Punkte: x | y. Terme mit x, etwa 2x + 1. Mehrere gesuchte Eingaben mit Semikolon: −3; 3. Bedingungen: x != 0 oder alle. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Ein x-Wert, genau ein y-Wert
y = 2x + 1
Setze x = 3 ein: y = 2 · 3 + 1 = 7. Das Wertepaar wird im Koordinatensystem zum Punkt (3 | 7).
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x-Wert genau einen y-Wert zu. Du kannst dir x als Eingabe und y als Ergebnis vorstellen. Entscheidend ist die Eindeutigkeit: Für dieselbe Eingabe darf die Funktion nicht zwei verschiedene Ergebnisse liefern.
Ein Beispiel ist die Regel „verdoppeln und 1 addieren“. Aus 3 wird 7, aus 0 wird 1 und aus −2 wird −3. Als Formel schreibt man y = 2x + 1. Manchmal steht dafür f(x) = 2x + 1. Dabei bezeichnet f(x) den Funktionswert zur Eingabe x; es bedeutet nicht f mal x.
Verschiedene x-Werte dürfen denselben y-Wert haben. Entscheidend ist, dass jede einzelne Eingabe genau ein Ergebnis hat.
Beispiel · Schritt für Schritt
y = x²
Eingaben: x = 2 und x = −2
Die Klammern zeigen, dass die ganze negative Zahl quadriert wird.
Zwei verschiedene Eingaben führen zum selben Ergebnis. Das ist bei einer Funktion erlaubt.
Bei y = 2x + 1 ersetzt du x durch eine Zahl und rechnest aus. Beachte dabei Punkt vor Strich. Für negative Eingaben helfen Klammern:
Beispiel · Schritt für Schritt
y = 2x + 1 für x = −2
Ersetze x durch −2. Klammern halten das negative Vorzeichen beim Einsetzen fest.
Punkt vor Strich: Berechne zuerst 2 · (−2).
Addiere eins. Die Eingabe steht im Punkt zuerst, der Funktionswert danach.
| x | Rechnung 2x + 1 | y |
|---|---|---|
| −2 | 2 · (−2) + 1 | −3 |
| −1 | 2 · (−1) + 1 | −1 |
| 0 | 2 · 0 + 1 | 1 |
| 1 | 2 · 1 + 1 | 3 |
| 2 | 2 · 2 + 1 | 5 |
Jede Zeile enthält ein zusammengehöriges Wertepaar. Eine Tabelle zeigt ausgewählte Eingaben und Ergebnisse. Sie muss nicht alle möglichen Werte der Funktion auflisten.
Lösung · Schritt für Schritt
y = x − 2
Eingaben: 0, 2 und 5
Der zugehörige Punkt ist (0 | −2).
Der zugehörige Punkt ist (2 | 0).
Der zugehörige Punkt ist (5 | 3). Jede Eingabe wird in dieselbe Regel y = x − 2 eingesetzt.
Übertrage jedes Wertepaar als Punkt (x | y) in ein Koordinatensystem. Die erste Koordinate liest du auf der waagerechten x-Achse ab, die zweite auf der senkrechten y-Achse. Der Graph einer Funktion besteht aus ihren zugehörigen Punkten.
Für die lineare Funktion y = 2x + 1 liegen die Punkte auf einer Geraden. Wenn alle reellen x-Werte erlaubt sind, gehören auch die Punkte zwischen den Tabellenwerten dazu: Du kannst die Gerade zeichnen und über die ausgewählten Punkte hinaus verlängern.
Verbinde Punkte nicht automatisch: Beschreibt x beispielsweise die Anzahl gekaufter Hefte, sind nur ganze, nicht negative Stückzahlen sinnvoll. Dann besteht die Darstellung aus einzelnen Punkten. Und andere Funktionen, etwa y = x², haben einen gekrümmten Graphen.
Ein besonders übersichtliches Beispiel ist die lineare Funktion y = mx + b. Dabei gibt m die Steigung an: Wird x um 1 größer, ändert sich y um m. Der Wert b ist der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert bei x = 0. Für einen Einstieg kannst du b auch als Startwert verstehen.
Versuch 1: Lass m = 2 stehen und ändere nur b. Die Gerade verschiebt sich nach oben oder unten; ihre Steigung bleibt gleich.
Versuch 2: Stelle b = 0 ein und ändere m. Alle diese Geraden verlaufen durch den Ursprung. Bei positivem m steigen sie nach rechts, bei negativem m fallen sie. Bei m = 0 ist y immer gleich b.
Lösung · Schritt für Schritt
y = mx + b
m = −1 und b = 2
Setze m = −1 und b = 2 in y = mx + b ein.
Die Gerade schneidet die y-Achse bei (0 | 2).
Ein Schritt nach rechts senkt y um eins. Ein weiterer Punkt ist (1 | 1).
Du musst dafür nicht genau zeichnen. Setze die x-Koordinate in die Funktionsregel ein. Vergleiche das berechnete Ergebnis mit der y-Koordinate des Punktes.
Gehört P(2 | 5) zu y = 2x + 1?
Beispiel · Schritt für Schritt
y = 2x + 1
P(2 | 5) und Q(2 | 6)
Setze die erste Koordinate von P in die Regel ein.
Die Werte stimmen überein. P(2 | 5) liegt auf dem Graphen.
Q(2 | 6) hat dieselbe Eingabe 2, aber die falsche y-Koordinate. Q liegt deshalb nicht auf dem Graphen.
Lösung · Schritt für Schritt
y = 2x + 1
Prüfe R(−1 | −1)
Berechne den Funktionswert zur ersten Koordinate von R.
Ja: Beide Werte stimmen überein. R(−1 | −1) liegt auf dem Graphen.
Die Menge der erlaubten Eingaben heißt Definitionsmenge. Sie hängt von der Regel und gegebenenfalls von der Situation ab. Bei der Regel y = 1/x darf x zum Beispiel nicht 0 sein, weil eine Division durch 0 nicht definiert ist. Die tatsächlich erreichten Ergebnisse bilden die Wertemenge.
Beispiel · Schritt für Schritt
y = 1/x
Im reellen Modell ist die Regel für jede reelle Zahl außer null definiert. Falls die Situation weitere Einschränkungen vorgibt, gehören sie ebenfalls zur Definitionsmenge.
Der Zähler ist eins; der Bruch kann nicht null werden.
Wenn alle reellen Eingaben außer null erlaubt sind, werden auch genau alle reellen Ergebnisse außer null erreicht. Definitionsmenge und Wertemenge beschreiben unterschiedliche Rollen.
Beispiel · Schritt für Schritt
2x + 1 und 2 · (x + 1)
Vergleiche für x = 3
Zuerst wird verdoppelt, dann eins addiert.
Hier wird zuerst eins addiert und anschließend alles verdoppelt. Die Ergebnisse unterscheiden sich.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Eine Eingabe hat genau einen Funktionswert. Verschiedene Eingaben dürfen denselben Wert liefern. Nutze den vorhandenen Geraden-Regler in der Erklärung zum Ausprobieren.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
y = 2x + 1 für x = 4
Ersetze x durch die Eingabe 4.
Multipliziere zuerst, addiere dann. Das Wertepaar lautet (4 | 9).
Lösung · Schritt für Schritt
Regel: verdoppeln und 5 addieren
x steht für die Eingabe. Verdoppeln bedeutet mit zwei multiplizieren.
Zum verdoppelten Wert werden anschließend fünf addiert.
Lösung · Schritt für Schritt
y = 2x + 1
Prüfe P(1 | 3)
Verwende die erste Koordinate von P als Eingabe.
Ja: P(1 | 3) liegt auf dem Graphen, weil die Werte übereinstimmen.
Lösung · Schritt für Schritt
y = −x + 2
Gesucht: m und b
Vor x steht der Faktor −1; die hinzuaddierte Konstante ist 2.
Die Gerade fällt nach rechts und schneidet die y-Achse bei (0 | 2).
Lösung · Schritt für Schritt
x = 2 und x = −2 ergeben beide y = 4
Die Funktion y = x² liefert für beide Eingaben das Ergebnis 4.
Ja. Verschiedene Eingaben dürfen dasselbe Ergebnis haben. Jede einzelne erlaubte Eingabe muss genau ein Ergebnis liefern.
Lösung · Schritt für Schritt
Modell: Anzahl gekaufter Hefte
Die Anzahl gekaufter Hefte ist ganzzahlig und nicht negativ.
Zwischenwerte wie eineinhalb gekaufte Hefte gehören in diesem Modell nicht dazu. Verbinde die einzelnen Punkte deshalb nicht automatisch.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Lineare Funktionen vertiefen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Bei einer Funktion gehört zu jeder erlaubten Eingabe genau ein Ergebnis. Eine Zuordnung, die derselben Eingabe mehrere verschiedene Ergebnisse zuweist, ist keine Funktion.
Nein. Lineare Funktionen haben eine Gerade als Graphen. Die quadratische Funktion y = x² hat zum Beispiel eine Parabel als Graphen.
f(3) ist der Funktionswert an der Stelle x = 3. Bei f(x) = 2x + 1 ist f(3) = 7.
Betrachte die Regel y = x².