Die Unbekannte x
x steht für eine Zahl, die wir bestimmen möchten. 3x bedeutet 3 · x. Das Malzeichen wird zwischen Zahl und Buchstabe oft weggelassen.
Mathe · ab Klasse 7 · etwa 25–40 Minuten
Lineare Gleichungen
Du löst lineare Gleichungen auch mit Klammern und Brüchen, prüfst durch Einsetzen und erkennst Sonderfälle.
Voraussetzungen ansehen
Grundrechenarten, negative Zahlen und einfache Terme.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Finde jeweils x. Notiere die Umformungen auf Papier und mache die Probe in der ursprünglichen Gleichung.
Gib die Lösung ein, zum Beispiel 5, x = −3 oder 3/2. Dezimalkomma und Dezimalpunkt funktionieren. Für Sonderfälle schreibst du „keine“ oder „alle“ (alle reellen Zahlen).
02 · Verstehen
Was bedeutet eine Gleichung?
Die Grundidee
Eine Gleichung sagt: Links und rechts steht derselbe Wert. Bei einer Gleichung mit einer Unbekannten suchen wir die Zahl, für die diese Aussage stimmt.
x + 4 = 9
Für x = 5 stimmt die Gleichung, denn 5 + 4 = 9. Für x = 3 stimmt sie nicht: 3 + 4 = 7.
Auf beiden Seiten dasselbe tun
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
3x + 5 = 20
3x = 15
x = 5
2 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 3 · 5 + 5 = 20. Die Gleichung stimmt.
Term oder Gleichung?
3x + 5 ist ein Term. Er hat kein Gleichheitszeichen.
3x + 5 = 20 ist eine Gleichung. Sie verknüpft zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen.
Auf dieser Seite
Wir lösen lineare Gleichungen mit einer Unbekannten. Beispiele mit x², mehreren Unbekannten oder x im Nenner benötigen weitere Methoden.
Die Grundregel: beide Seiten gleich verändern
Auf beiden Seiten dasselbe tun
Stelle dir zwei gleich schwere Waagschalen vor. Nimmst du auf beiden Seiten dasselbe Gewicht weg, bleiben sie im Gleichgewicht. So funktioniert auch das Umformen einer Gleichung.
| Operation auf beiden Seiten | Beispiel |
|---|---|
| Dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren | x + 4 = 9 → auf beiden Seiten − 4 → x = 5 |
| Mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizieren | x3 = 2 → auf beiden Seiten · 3 → x = 6 |
| Durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen | 4x = 20 → auf beiden Seiten : 4 → x = 5 |
Äquivalenzumformung
nennt man eine Umformung, bei der die Lösungsmenge gleich bleibt. Durch 0 darfst du nicht teilen. Auch Multiplikation mit 0 ist keine geeignete Äquivalenzumformung: Sie würde jede Gleichung zu 0 = 0 machen.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Löse x − 7 = 4.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
x − 7 = 4
x = 11
1 beide Seiten + 7
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 11 − 7 = 4.
Eine Gleichung Schritt für Schritt lösen
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
3x + 5 = 20
Ziel ist, dass x am Ende allein auf einer Seite steht.
3x = 15
1 beide Seiten − 5
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 5
2 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Warum zuerst minus 5?
Beim Berechnen von 3x + 5 wird x zuerst mit 3 multipliziert und danach 5 addiert. Beim Lösen gehen wir in umgekehrter Reihenfolge vor: Zuerst ziehen wir auf beiden Seiten 5 ab. Danach teilen wir beide Seiten durch 3. So steht x am Ende allein.
Die Probe
Setze x = 5 in die ursprüngliche Gleichung ein.
Links: 3 · 5 + 5 = 20.
Rechts: 20.
Beide Seiten sind gleich. Die Lösung stimmt.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Löse 4x − 6 = 18.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
4x − 6 = 18
4x = 24
1 beide Seiten + 6
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 6
2 beide Seiten : 4
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 4 · 6 − 6 = 18.
x auf beiden Seiten zusammenführen
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
5x + 2 = 2x + 14
Du darfst auch denselben Term auf beiden Seiten subtrahieren. Ziehe zunächst 2x ab.
3x + 2 = 14
1 beide Seiten − 2x
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
3x = 12
2 beide Seiten − 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 4
3 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: Links 5 · 4 + 2 = 22. Rechts 2 · 4 + 14 = 22.
Schreibe die Operation dazu
Ein Term springt nicht einfach über das Gleichheitszeichen. Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe. Das hilft dir, Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Löse 7x − 3 = 4x + 12.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
7x − 3 = 4x + 12
3x − 3 = 12
1 beide Seiten − 4x
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
3x = 15
2 beide Seiten + 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 5
3 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 35 − 3 = 20 + 12 = 32.
Gleichungen mit Klammern lösen
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
2(x + 3) = 18
Eine Zahl vor der Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert.
2x + 6 = 18
1 Klammer ausmultiplizieren
2x = 12
2 beide Seiten − 6
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 6
3 beide Seiten : 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 2 · (6 + 3) = 2 · 9 = 18.
Bei dieser Aufgabe geht auch ein kürzerer Weg
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
2(x + 3) = 18
x + 3 = 9
1 beide Seiten : 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 6
2 beide Seiten − 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Beide Wege sind richtig. Das direkte Teilen funktioniert hier, weil die gesamte linke Seite mit 2 multipliziert wird.
Achtung bei Minus vor der Klammer
−(x − 4) = −x + 4. Beide Vorzeichen in der Klammer ändern sich. Zum Beispiel ist 10 − (x − 4) = 14 − x.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Löse 3(x − 2) = 15.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
3(x − 2) = 15
x − 2 = 5
1 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 7
2 beide Seiten + 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 3 · (7 − 2) = 15.
Gleichungen mit Brüchen und negativen Lösungen
Ein Bruch mit x im Zähler
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
x4 + 2 = 5
x4 = 3
1 beide Seiten − 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 12
2 beide Seiten · 4
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 12 : 4 + 2 = 5.
Eine negative Lösung ist möglich
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
2x + 7 = 1
2x = −6
1 beide Seiten − 7
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = −3
2 beide Seiten : 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 2 · (−3) + 7 = −6 + 7 = 1.
Bei mehreren konstanten Nennern
Du kannst die ganze Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner multiplizieren. Dabei musst du jedes Glied auf beiden Seiten mitmultiplizieren.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Löse x2 + 3 = x4 + 5.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
x2 + 3 = x4 + 5
2x + 12 = x + 20
1 beide Seiten · 4
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x + 12 = 20
2 beide Seiten − x
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 8
3 beide Seiten − 12
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 8 : 2 + 3 = 7 und 8 : 4 + 5 = 7.
Aus einem Text eine Gleichung machen
Textaufgabe · Vom Text zur Gleichung
Wie viel kostet ein Heft?
3 Hefte + 1 Stift = 11 €
Aufgabe: Drei gleich teure Hefte und ein Stift für 2 € kosten zusammen 11 €. Wie viel kostet ein Heft?
| Schritt | So gehst du vor |
|---|---|
| 1 · Unbekannte festlegen | x ist der Zahlenwert des Heftpreises in Euro. |
| 2 · Gleichung aufstellen | Drei Hefte kosten 3x Euro. Dazu kommen 2 Euro: 3x + 2 = 11. |
| 3 · Gleichung lösen | Beide Seiten − 2: 3x = 9. Dann beide Seiten : 3: x = 3. |
| 4 · Antwort und Probe | Ein Heft kostet 3 €. Probe: 3 · 3 € + 2 € = 11 €. |
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Das Doppelte einer Zahl plus 7 ergibt 25. Wie heißt die Zahl?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
2x + 7 = 25
2x = 18
1 beide Seiten − 7
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 9
2 beide Seiten : 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Die Zahl ist 9. Probe: 2 · 9 + 7 = 25.
Für den nächsten Schritt
Keine Lösung oder jede Zahl als Lösung
Manchmal fällt x beim Umformen weg. Dann entscheidest du anhand der übrig gebliebenen Aussage.
Widerspruch: keine Lösung
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
2x + 3 = 2x + 7
3 = 7
1 beide Seiten − 2x
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Diese Aussage ist für kein x wahr. Die Gleichung hat keine Lösung.
Wahre Aussage: alle zugelassenen Zahlen
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
2(x + 3) = 2x + 6
2x + 6 = 2x + 6
1 ausmultiplizieren
6 = 6
2 beide Seiten − 2x
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Jede Zahl der zugelassenen Grundmenge erfüllt diese Gleichung.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Gib bei Sonderfällen „keine“ oder „alle“ ein. Eine Probe hilft dir bei jeder Aufgabe.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Selbstständig anwenden
Sechs Gleichungen mit Lösungen
Schreibe deine Umformungen auf und mache jeweils die Probe in der ursprünglichen Gleichung. Öffne die Lösungen anschließend.
Aufgabe 1 · Auf Papier lösen
6x + 4 = 34
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
6x + 4 = 34
6x = 30
1 beide Seiten − 4
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 5
2 beide Seiten : 6
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 6 · 5 + 4 = 34.
Aufgabe 2 · Auf Papier lösen
4x + 9 = x + 24
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
4x + 9 = x + 24
3x + 9 = 24
1 beide Seiten − x
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
3x = 15
2 beide Seiten − 9
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 5
3 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 29 = 29.
Aufgabe 3 · Auf Papier lösen
5(x − 1) = 20
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
5(x − 1) = 20
x − 1 = 4
1 beide Seiten : 5
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 5
2 beide Seiten + 1
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 5 · (5 − 1) = 20.
Aufgabe 4 · Auf Papier lösen
x3 − 2 = 4
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
x3 − 2 = 4
x3 = 6
1 beide Seiten + 2
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = 18
2 beide Seiten · 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 18 : 3 − 2 = 4.
Aufgabe 5 · Auf Papier lösen
3x + 8 = −4
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse die Gleichung
3x + 8 = −4
3x = −12
1 beide Seiten − 8
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
x = −4
2 beide Seiten : 3
Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.
Probe
Probe: 3 · (−4) + 8 = −4.
Aufgabe 6 · Auf Papier lösen
3(x + 2) = 3x + 9
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Prüfe die Lösungsmenge
3(x + 2) = 3x + 9
3x + 6 = 3x + 9
1 Ausmultiplizieren
Multipliziere 3 mit beiden Teilen der Klammer.
6 = 9
2 Auf beiden Seiten 3x abziehen
Die x-Terme fallen weg. Es bleibt eine falsche Aussage.
Keine Lösung
3 Widerspruch erkennen
Keine Zahl kann die Gleichung erfüllen.
Merke
Der Selbstcheck gibt dir eine erste Orientierung. Wenn ein Schritt schwierig war, gehe zur verlinkten Erklärung zurück und probiere danach eine ähnliche Aufgabe.
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Noch unsicher?
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Schon sicher?
Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Klammern gezielt weiterüben →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Zum Nachschlagen
Häufige Fragen
Muss x immer links stehen?
Nein. x = 5 und 5 = x bedeuten dasselbe. Meist wird x links geschrieben, damit die Lösung leichter zu lesen ist.
Was bedeutet der Strich mit einer Rechenoperation?
Er zeigt an, welche Operation im nächsten Schritt auf beide Seiten angewendet wird. Auf dieser Seite steht das ausdrücklich dabei, zum Beispiel „beide Seiten − 5“.
Darf eine Lösung ein Bruch sein?
Ja. Beispielsweise hat 2x = 3 die Lösung x = 32. Welche Zahlen zugelassen sind, hängt von der in der Aufgabe vorgegebenen Grundmenge ab.
Warum ist die Probe wichtig?
Mit der Probe prüfst du, ob dein Ergebnis die ursprüngliche Gleichung erfüllt. So kannst du Rechen- und Vorzeichenfehler entdecken.
Darf ich durch x teilen?
Nicht ohne zusätzliche Prüfung. x könnte 0 sein; durch 0 darfst du nicht teilen. Beim Einstieg vermeidest du das und teilst nur durch bekannte Zahlen ungleich 0.
Noch unsicher, welche Lernhilfe passt?
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Führe diese Operation auf beiden Seiten aus. So erhältst du die angezeigte Gleichung.