Die Unbekannte x
x steht für eine Zahl, die wir bestimmen möchten. 3x bedeutet 3 · x. Das Malzeichen wird zwischen Zahl und Buchstabe oft weggelassen.
Lineare Gleichungen · Einstieg ab Klasse 7
Finde x. Und verstehe jeden Schritt.
Lerne einfache lineare Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen – von den ersten Umformungen bis zu Klammern und x auf beiden Seiten. Mit Probe, Übungsaufgaben und kostenlosen Materialien.
Auf beiden Seiten dasselbe tun
3x + 5 = 20beide Seiten − 5
3x = 15beide Seiten : 3
x = 5Lösung
Probe: 3 · 5 + 5 = 20. Die Gleichung stimmt.
Lernschritt 1
Was bedeutet eine Gleichung?
Eine Gleichung sagt: Links und rechts steht derselbe Wert. Bei einer Gleichung mit einer Unbekannten suchen wir die Zahl, für die diese Aussage stimmt.
x + 4 = 9
Für x = 5 stimmt die Gleichung, denn 5 + 4 = 9. Für x = 3 stimmt sie nicht: 3 + 4 = 7.
Term oder Gleichung?
3x + 5 ist ein Term. Er hat kein Gleichheitszeichen.
3x + 5 = 20 ist eine Gleichung. Sie verknüpft zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen.
Auf dieser Seite: Wir lösen lineare Gleichungen mit einer Unbekannten. Beispiele mit x², mehreren Unbekannten oder x im Nenner benötigen weitere Methoden.
Lernschritt 2
Die Grundregel: beide Seiten gleich verändern
Stelle dir zwei gleich schwere Waagschalen vor. Nimmst du auf beiden Seiten dasselbe Gewicht weg, bleiben sie im Gleichgewicht. So funktioniert auch das Umformen einer Gleichung.
| Operation auf beiden Seiten | Beispiel |
|---|---|
| Dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren | x + 4 = 9 → auf beiden Seiten − 4 → x = 5 |
| Mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizieren | x3 = 2 → auf beiden Seiten · 3 → x = 6 |
| Durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen | 4x = 20 → auf beiden Seiten : 4 → x = 5 |
Äquivalenzumformung nennt man eine Umformung, bei der die Lösungsmenge gleich bleibt. Durch 0 darfst du nicht teilen. Auch Multiplikation mit 0 ist keine geeignete Äquivalenzumformung: Sie würde jede Gleichung zu 0 = 0 machen.
Probier es selbst: Löse x − 7 = 4.
Lösung und Rechenweg ansehen
x − 7 = 4beide Seiten + 7
x = 11Lösung
Probe: 11 − 7 = 4.
Lernschritt 3
Eine Gleichung Schritt für Schritt lösen
Aufgabe: 3x + 5 = 20. Ziel ist, dass x am Ende allein auf einer Seite steht.
3x + 5 = 20beide Seiten − 5
3x = 15beide Seiten : 3
x = 5Lösung
Warum zuerst minus 5?
3x wurde zuerst mit 5 addiert. Diese Addition machen wir rückgängig. Danach bleibt die Multiplikation mit 3, die wir durch Teilen rückgängig machen.
Die Probe
Setze x = 5 in die ursprüngliche Gleichung ein.
Links: 3 · 5 + 5 = 20.
Rechts: 20.
Beide Seiten sind gleich. Die Lösung stimmt.
Probier es selbst: Löse 4x − 6 = 18.
Lösung und Rechenweg ansehen
4x − 6 = 18beide Seiten + 6
4x = 24beide Seiten : 4
x = 6Lösung
Probe: 4 · 6 − 6 = 18.
Lernschritt 4
x auf beiden Seiten zusammenführen
Aufgabe: 5x + 2 = 2x + 14. Du darfst auch denselben Term auf beiden Seiten subtrahieren. Ziehe zunächst 2x ab.
5x + 2 = 2x + 14beide Seiten − 2x
3x + 2 = 14beide Seiten − 2
3x = 12beide Seiten : 3
x = 4Lösung
Probe: Links 5 · 4 + 2 = 22. Rechts 2 · 4 + 14 = 22.
Schreibe die Operation dazu: Ein Term springt nicht einfach über das Gleichheitszeichen. Du rechnest auf beiden Seiten dasselbe. Das hilft dir, Vorzeichenfehler zu vermeiden.
Probier es selbst: Löse 7x − 3 = 4x + 12.
Lösung und Rechenweg ansehen
7x − 3 = 4x + 12beide Seiten − 4x
3x − 3 = 12beide Seiten + 3
3x = 15beide Seiten : 3
x = 5Lösung
Probe: 35 − 3 = 20 + 12 = 32.
Lernschritt 5
Gleichungen mit Klammern lösen
Aufgabe: 2(x + 3) = 18. Eine Zahl vor der Klammer wird mit jedem Glied in der Klammer multipliziert.
2(x + 3) = 18Klammer ausmultiplizieren
2x + 6 = 18beide Seiten − 6
2x = 12beide Seiten : 2
x = 6Lösung
Probe: 2 · (6 + 3) = 2 · 9 = 18.
Bei dieser Aufgabe geht auch ein kürzerer Weg
2(x + 3) = 18beide Seiten : 2
x + 3 = 9beide Seiten − 3
x = 6Lösung
Beide Wege sind richtig. Das direkte Teilen funktioniert hier, weil die gesamte linke Seite mit 2 multipliziert wird.
Achtung bei Minus vor der Klammer: −(x − 4) = −x + 4. Beide Vorzeichen in der Klammer ändern sich. Zum Beispiel ist 10 − (x − 4) = 14 − x.
Probier es selbst: Löse 3(x − 2) = 15.
Lösung und Rechenweg ansehen
3(x − 2) = 15beide Seiten : 3
x − 2 = 5beide Seiten + 2
x = 7Lösung
Probe: 3 · (7 − 2) = 15.
Lernschritt 6
Gleichungen mit Brüchen und negativen Lösungen
Ein Bruch mit x im Zähler
Aufgabe: x4 + 2 = 5.
x4 + 2 = 5beide Seiten − 2
x4 = 3beide Seiten · 4
x = 12Lösung
Probe: 12 : 4 + 2 = 5.
Eine negative Lösung ist möglich
2x + 7 = 1beide Seiten − 7
2x = −6beide Seiten : 2
x = −3Lösung
Probe: 2 · (−3) + 7 = −6 + 7 = 1.
Bei mehreren konstanten Nennern: Du kannst die ganze Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner multiplizieren. Dabei musst du jedes Glied auf beiden Seiten mitmultiplizieren.
Probier es selbst: Löse x2 + 3 = x4 + 5.
Lösung und Rechenweg ansehen
x2 + 3 = x4 + 5beide Seiten · 4
2x + 12 = x + 20beide Seiten − x
x + 12 = 20beide Seiten − 12
x = 8Lösung
Probe: 8 : 2 + 3 = 7 und 8 : 4 + 5 = 7.
Lernschritt 7
Aus einem Text eine Gleichung machen
Aufgabe: Drei gleich teure Hefte und ein Stift für 2 € kosten zusammen 11 €. Wie viel kostet ein Heft?
| Schritt | So gehst du vor |
|---|---|
| 1 · Unbekannte festlegen | x ist der Zahlenwert des Heftpreises in Euro. |
| 2 · Gleichung aufstellen | Drei Hefte kosten 3x Euro. Dazu kommen 2 Euro: 3x + 2 = 11. |
| 3 · Gleichung lösen | Beide Seiten − 2: 3x = 9. Dann beide Seiten : 3: x = 3. |
| 4 · Antwort und Probe | Ein Heft kostet 3 €. Probe: 3 · 3 € + 2 € = 11 €. |
Probier es selbst: Das Doppelte einer Zahl plus 7 ergibt 25. Wie heißt die Zahl?
Lösung und Rechenweg ansehen
2x + 7 = 25beide Seiten − 7
2x = 18beide Seiten : 2
x = 9Lösung
Die Zahl ist 9. Probe: 2 · 9 + 7 = 25.
Für den nächsten Schritt
Keine Lösung oder jede Zahl als Lösung
Manchmal fällt x beim Umformen weg. Dann entscheidest du anhand der übrig gebliebenen Aussage.
Widerspruch: keine Lösung
2x + 3 = 2x + 7beide Seiten − 2x
3 = 7falsch
Diese Aussage ist für kein x wahr. Die Gleichung hat keine Lösung.
Wahre Aussage: alle zugelassenen Zahlen
2(x + 3) = 2x + 6ausmultiplizieren
2x + 6 = 2x + 6beide Seiten − 2x
6 = 6wahr
Jede Zahl der zugelassenen Grundmenge erfüllt diese Gleichung.
Selbstständig anwenden
Sechs Gleichungen mit Lösungen
Schreibe deine Umformungen auf und mache jeweils die Probe in der ursprünglichen Gleichung. Öffne die Lösungen anschließend.
1 · 6x + 4 = 34
Lösung und Rechenweg ansehen
6x + 4 = 34beide Seiten − 4
6x = 30beide Seiten : 6
x = 5Lösung
Probe: 6 · 5 + 4 = 34.
2 · 4x + 9 = x + 24
Lösung und Rechenweg ansehen
4x + 9 = x + 24beide Seiten − x
3x + 9 = 24beide Seiten − 9
3x = 15beide Seiten : 3
x = 5Lösung
Probe: 29 = 29.
3 · 5(x − 1) = 20
Lösung und Rechenweg ansehen
5(x − 1) = 20beide Seiten : 5
x − 1 = 4beide Seiten + 1
x = 5Lösung
Probe: 5 · (5 − 1) = 20.
4 · x3 − 2 = 4
Lösung und Rechenweg ansehen
x3 − 2 = 4beide Seiten + 2
x3 = 6beide Seiten · 3
x = 18Lösung
Probe: 18 : 3 − 2 = 4.
5 · 3x + 8 = −4
Lösung und Rechenweg ansehen
3x + 8 = −4beide Seiten − 8
3x = −12beide Seiten : 3
x = −4Lösung
Probe: 3 · (−4) + 8 = −4.
6 · 3(x + 2) = 3x + 9
Lösung und Rechenweg ansehen
Ausmultiplizieren: 3x + 6 = 3x + 9.
Auf beiden Seiten 3x abziehen: 6 = 9.
Das ist ein Widerspruch. Keine Lösung.
Der Selbstcheck gibt dir eine erste Orientierung. Wenn ein Schritt schwierig war, gehe zur verlinkten Erklärung zurück und probiere danach eine ähnliche Aufgabe.
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Häufige Fragen
Muss x immer links stehen?
Nein. x = 5 und 5 = x bedeuten dasselbe. Meist wird x links geschrieben, damit die Lösung leichter zu lesen ist.
Was bedeutet der Strich mit einer Rechenoperation?
Er zeigt an, welche Operation im nächsten Schritt auf beide Seiten angewendet wird. Auf dieser Seite steht das ausdrücklich dabei, zum Beispiel „beide Seiten − 5“.
Darf eine Lösung ein Bruch sein?
Ja. Beispielsweise hat 2x = 3 die Lösung x = 32. Welche Zahlen zugelassen sind, hängt von der in der Aufgabe vorgegebenen Grundmenge ab.
Warum ist die Probe wichtig?
Mit der Probe prüfst du, ob dein Ergebnis die ursprüngliche Gleichung erfüllt. So kannst du Rechen- und Vorzeichenfehler entdecken.
Darf ich durch x teilen?
Nicht ohne zusätzliche Prüfung. x könnte 0 sein; durch 0 darfst du nicht teilen. Beim Einstieg vermeidest du das und teilst nur durch bekannte Zahlen ungleich 0.
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