Proportional: gleicher Faktor
Doppelt so viele gleich teure Hefte kosten doppelt so viel. Dreimal so viele kosten dreimal so viel.
Gleich bleibt: der Preis pro Heft.
Dreisatz · meist Klasse 6–7
Drei Zeilen. Ein klarer Rechenweg.
Erkenne proportionale und antiproportionale Zusammenhänge und rechne mit dem Dreisatz. Mit verständlichen Tabellen, Alltagsbeispielen und Aufgaben mit Lösungen.
Gleicher Preis pro Heft
| Anzahl | Preis |
|---|---|
| 3 Hefte | 6 € |
| 1 Heft | 2 € |
| 5 Hefte | 10 € |
Erst auf ein Heft zurückrechnen, dann auf die gesuchte Anzahl.
Lernschritt 1
Was ist der Dreisatz?
Mit dem Dreisatz berechnest du einen fehlenden Wert aus einem bekannten Wertepaar. Du schreibst die Zuordnung auf, rechnest auf eine Einheit zurück und anschließend auf die gesuchte Menge.
Vorher musst du prüfen, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist. Nicht jede Aufgabe mit zwei Größen lässt sich so lösen.
Antiproportional: umgekehrter Faktor
Bei gleicher Arbeit brauchen doppelt so viele gleich schnell arbeitende Maschinen halb so lange – sofern sie unabhängig gleichzeitig arbeiten können.
Gleich bleibt: Anzahl · Zeit.
Mehr oder weniger allein reicht nicht: Proportional heißt nicht bloß „mehr führt zu mehr“, sondern „derselbe Faktor auf beiden Seiten“. Antiproportional heißt „ein Faktor auf der einen Seite, sein Kehrwert auf der anderen“.
Lernschritt 2
Proportionalen Dreisatz rechnen
Aufgabe: 3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Wie viel kosten 5 kg? Wir nehmen einen unveränderten Preis pro Kilogramm an.
| Menge | Preis | Was passiert? |
|---|---|---|
| 3 kg | 7,50 € | Bekanntes Wertepaar |
| 1 kg | 2,50 € | Beide Werte durch 3 teilen |
| 5 kg | 12,50 € | Beide Werte mit 5 multiplizieren |
7,50 € : 3 = 2,50 €Preis für 1 kg
2,50 € · 5 = 12,50 €Preis für 5 kg
Antwort: 5 kg Äpfel kosten 12,50 €.
So prüfst du: 5 kg sind mehr als 3 kg. Bei gleichem Kilopreis muss der Gesamtpreis größer sein. Außerdem gilt in beiden Zeilen: Preis : Kilogrammzahl = 2,50 € pro kg.
Probier es selbst: 4 gleiche Stifte kosten zusammen 6 €. Wie viel kosten 10 Stifte bei gleichem Stückpreis?
Lösung und Rechenweg ansehen
6 € : 4 = 1,50 € pro Stift.
1,50 € · 10 = 15 €.
10 Stifte kosten 15 €.
Lernschritt 3
Antiproportionalen Dreisatz rechnen
Aufgabe: 4 gleich leistungsfähige Pumpen leeren ein Becken in 6 Stunden. Wie lange brauchen 3 Pumpen?
Wir nehmen an: Die Wassermenge bleibt gleich, es fließt kein Wasser nach und jede Pumpe fördert konstant gleich viel. Dann ist die Zuordnung antiproportional.
| Pumpen | Zeit | Was passiert? |
|---|---|---|
| 4 | 6 h | Bekanntes Wertepaar |
| 1 | 24 h | Pumpenzahl : 4, Zeit · 4 |
| 3 | 8 h | Pumpenzahl · 3, Zeit : 3 |
6 h · 4 = 24 hEine Pumpe braucht länger
24 h : 3 = 8 hDrei Pumpen teilen sich die Arbeit
Antwort: 3 Pumpen brauchen unter diesen Bedingungen 8 Stunden.
Probe: 4 · 6 = 24 und 3 · 8 = 24. Das Produkt aus Pumpenzahl und Stundenzahl bleibt gleich. Weniger Pumpen benötigen mehr Zeit.
Probier es selbst: 6 gleich schnelle Maschinen erledigen einen Auftrag in 8 Stunden. Wie lange brauchen 4 Maschinen unter denselben Bedingungen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Maschine: 8 h · 6 = 48 h.
Vier Maschinen: 48 h : 4 = 12 h.
Probe: 6 · 8 = 4 · 12 = 48.
Lernschritt 4
Welcher Zusammenhang liegt vor?
| Situation | Einordnung | Begründung |
|---|---|---|
| Gewicht und Preis bei festem Kilopreis | Proportional | Doppelte Menge kostet doppelt so viel. |
| Zeit und Strecke bei konstantem Tempo | Proportional | Doppelte Zeit ergibt doppelte Strecke. |
| Tempo und Fahrzeit für eine feste Strecke | Antiproportional | Doppeltes Tempo halbiert die Zeit, ohne Pausen und Verzögerungen. |
| Taxistrecke und Preis mit Grundgebühr | Nicht proportional | Die Grundgebühr verdoppelt sich bei doppelter Strecke nicht. |
| Alter eines Kindes und Körpergröße | Keines von beidem | Doppeltes Alter bedeutet nicht doppelte Größe. |
Häufiger Fehler: Ohne Prüfung einfach immer teilen und multiplizieren. Überlege zuerst, welche Größe konstant bleibt und wie sich eine Verdopplung auswirken würde.
Probier es selbst: Eine Taxifahrt kostet 4 € Grundgebühr und 2 € je Kilometer. Kosten 6 km doppelt so viel wie 3 km?
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3 km: 4 € + 3 · 2 € = 10 €.
6 km: 4 € + 6 · 2 € = 16 €.
Nein. 16 € sind nicht das Doppelte von 10 €. Ein proportionaler Dreisatz mit dem Gesamtpreis wäre hier falsch.
Lernschritt 5
Einheiten passend machen
Verwende innerhalb einer Spalte dieselbe Einheit. Bei Zeitangaben gilt: 1,5 Stunden sind 90 Minuten, nicht 150 Minuten.
Beispiel: Bei konstantem Tempo werden in 30 Minuten 6 km zurückgelegt. Welche Strecke wird in 1,5 Stunden zurückgelegt?
| Zeit | Strecke |
|---|---|
| 30 min | 6 km |
| 1 min | 0,2 km |
| 90 min | 18 km |
6 km : 30 · 90 = 18 km. Ohne Pausen und bei gleichbleibendem Tempo werden in 1,5 Stunden 18 km zurückgelegt.
Verbindung zum nächsten Thema
Prozentrechnung mit dem Dreisatz
Auch Prozentaufgaben kannst du über 1 % lösen. Bei einem festen Grundwert sind Prozentzahl und Anteil proportional.
Aufgabe: Wie viel sind 15 % von 80 €?
| Prozent | Betrag |
|---|---|
| 100 % | 80 € |
| 1 % | 0,80 € |
| 15 % | 12 € |
80 € : 100 · 15 = 12 €.
Selbstständig anwenden
Sechs Aufgaben zum Dreisatz
Entscheide zuerst: proportional, antiproportional oder keines von beidem? Rechne danach auf Papier und prüfe deine Lösung.
1 · 6 kg kosten 15 €. Was kosten 2,5 kg bei gleichem Kilopreis?
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Proportional. 15 € : 6 = 2,50 € pro kg.
2,50 € · 2,5 = 6,25 €.
2 · 8 Personen brauchen je 300 g Reis. Wie viel brauchen 5 Personen bei gleicher Portion?
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Proportional. 8 Personen benötigen insgesamt 2.400 g. Eine Portion sind 300 g.
5 · 300 g = 1.500 g = 1,5 kg.
3 · 3 gleiche Pumpen brauchen 10 h. Wie lange brauchen 5 unter gleichen Bedingungen?
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Antiproportional. Eine Pumpe: 10 h · 3 = 30 h.
Fünf Pumpen: 30 h : 5 = 6 h.
4 · Bei konstantem Tempo: 12 km in 40 min. Strecke in 1 h?
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Proportional. 1 h = 60 min.
12 km : 40 · 60 = 18 km.
5 · 30 % von 250 €?
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Proportional. 100 % entsprechen 250 €.
250 € : 100 · 30 = 75 €.
6 · Ein Kind ist mit 5 Jahren 110 cm groß. Kannst du seine Größe mit 10 Jahren per Dreisatz bestimmen?
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Nein. Körpergröße wächst nicht proportional zum Alter. Die doppelte Größe von 220 cm wäre keine sinnvolle Vorhersage.
Der Selbstcheck ist eine kurze Orientierung. Bei einem Fehler findest du über den Lösungslink den passenden Lernschritt.
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Zusammenhänge anwenden
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Proportionale und antiproportionale Aufgaben
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Vertiefe die Frage, wann beide Größen mit demselben Faktor verändert werden.
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Antiproportionalität verstehen
Eine Übersicht zu umgekehrten Zusammenhängen und ihren Merkmalen.
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Antiproportionale Zusammenhänge erkennen
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Häufige Fragen
Muss ich immer über 1 rechnen?
Nein. Wenn sich ein passender Faktor direkt erkennen lässt, kannst du ihn nutzen. Von 3 kg auf 6 kg verdoppelst du beispielsweise bei proportionaler Zuordnung direkt den Preis. Der Weg über 1 funktioniert systematisch auch bei weniger einfachen Zahlen.
Warum wird beim antiproportionalen Dreisatz erst multipliziert?
Wenn du die Zahl der gleichzeitig arbeitenden Pumpen auf eine reduzierst, braucht diese eine Pumpe entsprechend länger. Deshalb wird die Zeit beim Rückrechnen auf eine Pumpe größer.
Was ist bei Textaufgaben wichtig?
Schreibe Größen und Einheiten auf, prüfe den Zusammenhang und notiere einen Antwortsatz. Bei Arbeitszeitaufgaben müssen die Bedingungen wie gleiche Leistung und unveränderte Arbeitsmenge stimmen.
Kann ich den Dreisatz bei Mengenrabatten verwenden?
Nicht über verschiedene Preisstufen hinweg. Wenn sich der Stückpreis ab einer bestimmten Menge ändert, gilt kein einheitlicher proportionaler Zusammenhang für alle Mengen. Prüfe zuerst die Preisregel.
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