Proportional: gleicher Faktor
Doppelt so viele gleich teure Hefte kosten doppelt so viel. Dreimal so viele kosten dreimal so viel.
Gleich bleibt: der Preis pro Heft.
Mathe · meist Klasse 6–7 · etwa 25–35 Minuten
Dreisatz
Du unterscheidest proportionale und antiproportionale Zusammenhänge, rechnest über eine Einheit und erkennst Grenzen des Dreisatzes.
Voraussetzungen ansehen
Multiplizieren, Dividieren und einfache Einheitenumrechnungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Rechne die ersten beiden Aufgaben. Ordne beim dritten Beispiel den Zusammenhang ein. Du kannst auch direkt mit der Erklärung beginnen.
Gib bei Rechenaufgaben nur den Zahlenwert in der genannten Einheit ein, zum Beispiel 2,5. Bei Einordnungen schreibst du „proportional“, „antiproportional“ oder „keines“.
02 · Verstehen
Was ist der Dreisatz?
Gleicher Preis pro Heft
| Anzahl | Preis |
|---|---|
| 3 Hefte | 6 € |
| 1 Heft | 2 € |
| 5 Hefte | 10 € |
Erst auf ein Heft zurückrechnen, dann auf die gesuchte Anzahl.
Mit dem Dreisatz berechnest du einen fehlenden Wert aus einem bekannten Wertepaar. Du schreibst die Zuordnung auf, rechnest auf eine Einheit zurück und anschließend auf die gesuchte Menge.
Vorher musst du prüfen, ob der Zusammenhang proportional oder antiproportional ist. Nicht jede Aufgabe mit zwei Größen lässt sich so lösen.
Antiproportional: umgekehrter Faktor
Bei gleicher Arbeit brauchen doppelt so viele gleich schnell arbeitende Maschinen halb so lange – sofern sie unabhängig gleichzeitig arbeiten können.
Gleich bleibt: Anzahl · Zeit.
Mehr oder weniger allein reicht nicht: Proportional heißt nicht bloß „mehr führt zu mehr“, sondern „derselbe Faktor auf beiden Seiten“. Antiproportional heißt „ein Faktor auf der einen Seite, sein Kehrwert auf der anderen“.
Proportionalen Dreisatz rechnen
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie viel kosten fünf Kilogramm Äpfel?
3 kg → 7,50 €
5 kg → ?
Aufgabe: 3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Wie viel kosten 5 kg? Wir nehmen einen unveränderten Preis pro Kilogramm an.
| Menge | Preis | Was passiert? |
|---|---|---|
| 3 kg | 7,50 € | Bekanntes Wertepaar |
| 1 kg | 2,50 € | Beide Werte durch 3 teilen |
| 5 kg | 12,50 € | Beide Werte mit 5 multiplizieren |
3 kg ↔ 7,50 €
7,50 € : 3 = 2,50 €
2 Auf 1 kg zurückrechnen
Teile Menge und Preis durch 3. Ein Kilogramm kostet 2,50 €.
2,50 € · 5 = 12,50 €
3 Auf 5 kg hochrechnen
Multipliziere Menge und Preis mit 5.
Antwort: 5 kg Äpfel kosten 12,50 €.
So prüfst du: 5 kg sind mehr als 3 kg. Bei gleichem Kilopreis muss der Gesamtpreis größer sein. Außerdem gilt in beiden Zeilen: Preis : Kilogrammzahl = 2,50 € pro kg.
Probier es selbst: 4 gleiche Stifte kosten zusammen 6 €. Wie viel kosten 10 Stifte bei gleichem Stückpreis?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne den Preis bei gleichem Stückpreis
4 Stifte → 6 €
10 Stifte → ?
6 € : 4 = 1,50 €
1 Preis für einen Stift
Bei proportionaler Zuordnung teilst du beide Werte durch 4.
1,50 € · 10 = 15 €
2 Preis für zehn Stifte
Multipliziere den Einzelpreis mit 10. Zehn Stifte kosten 15 €.
Antiproportionalen Dreisatz rechnen
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie lange brauchen drei gleiche Pumpen?
4 Pumpen → 6 Stunden
3 Pumpen → ?
Aufgabe: 4 gleich leistungsfähige Pumpen leeren ein Becken in 6 Stunden. Wie lange brauchen 3 Pumpen?
Wir nehmen an: Die Wassermenge bleibt gleich, es fließt kein Wasser nach und jede Pumpe fördert konstant gleich viel. Dann ist die Zuordnung antiproportional.
| Pumpen | Zeit | Was passiert? |
|---|---|---|
| 4 | 6 h | Bekanntes Wertepaar |
| 1 | 24 h | Pumpenzahl : 4, Zeit · 4 |
| 3 | 8 h | Pumpenzahl · 3, Zeit : 3 |
4 Pumpen ↔ 6 h
1 Gegeben
Bei gleicher Wassermenge und konstanter gleicher Pumpenleistung ist die Zuordnung antiproportional.
6 h · 4 = 24 h
2 Auf eine Pumpe zurückrechnen
Eine Pumpe braucht viermal so lange. Die Pumpenzahl wird durch 4 geteilt, die Zeit mit 4 multipliziert.
24 h : 3 = 8 h
3 Auf drei Pumpen umrechnen
Drei Pumpen teilen sich die Arbeit. Die Pumpenzahl wird mit 3 multipliziert, die Zeit durch 3 geteilt.
Antwort: 3 Pumpen brauchen unter diesen Bedingungen 8 Stunden.
Probe: 4 · 6 = 24 und 3 · 8 = 24. Das Produkt aus Pumpenzahl und Stundenzahl bleibt gleich. Weniger Pumpen benötigen mehr Zeit.
Probier es selbst: 6 gleich schnelle Maschinen erledigen einen Auftrag in 8 Stunden. Wie lange brauchen 4 Maschinen unter denselben Bedingungen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Zeit bei gleicher Arbeit und Leistung
6 Maschinen → 8 Stunden
4 Maschinen → ?
8 h · 6 = 48 h
1 Zeit für eine Maschine
Bei gleicher Arbeit und gleicher Leistung braucht eine Maschine sechsmal so lange.
48 h : 4 = 12 h
2 Zeit für vier Maschinen
Vier gleichzeitig arbeitende Maschinen benötigen ein Viertel dieser Zeit.
6 · 8 = 4 · 12 = 48
3 Probe
Das Produkt aus Maschinenzahl und Stundenzahl bleibt gleich.
Welcher Zusammenhang liegt vor?
| Situation | Einordnung | Begründung |
|---|---|---|
| Gewicht und Preis bei festem Kilopreis | Proportional | Doppelte Menge kostet doppelt so viel. |
| Zeit und Strecke bei konstantem Tempo | Proportional | Doppelte Zeit ergibt doppelte Strecke. |
| Tempo und Fahrzeit für eine feste Strecke | Antiproportional | Doppeltes Tempo halbiert die Zeit, ohne Pausen und Verzögerungen. |
| Taxistrecke und Preis mit Grundgebühr | Nicht proportional | Die Grundgebühr verdoppelt sich bei doppelter Strecke nicht. |
| Alter eines Kindes und Körpergröße | Keines von beidem | Doppeltes Alter bedeutet nicht doppelte Größe. |
Häufiger Fehler: Ohne Prüfung einfach immer teilen und multiplizieren. Überlege zuerst, welche Größe konstant bleibt und wie sich eine Verdopplung auswirken würde.
Probier es selbst: Eine Taxifahrt kostet 4 € Grundgebühr und 2 € je Kilometer. Kosten 6 km doppelt so viel wie 3 km?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Verdoppelt sich der gesamte Taxipreis?
4 € Grundgebühr + 2 € je km
3 km und 6 km
4 € + 3 · 2 € = 10 €
1 Preis für 3 km
Addiere zur Grundgebühr die Kosten für drei Kilometer.
4 € + 6 · 2 € = 16 €
2 Preis für 6 km
Die Grundgebühr bleibt gleich, nur die Streckenkosten verdoppeln sich.
2 · 10 € = 20 € ≠ 16 €
3 Proportionalität prüfen
Nein: Der Gesamtpreis verdoppelt sich nicht. Ein proportionaler Dreisatz wäre hier falsch.
Einheiten passend machen
Verwende innerhalb einer Spalte dieselbe Einheit. Bei Zeitangaben gilt: 1,5 Stunden sind 90 Minuten, nicht 150 Minuten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Strecke bei konstantem Tempo
30 Minuten → 6 km
1,5 Stunden → ?
Beispiel: Bei konstantem Tempo werden in 30 Minuten 6 km zurückgelegt. Welche Strecke wird in 1,5 Stunden zurückgelegt?
| Zeit | Strecke |
|---|---|
| 30 min | 6 km |
| 1 min | 0,2 km |
| 90 min | 18 km |
1,5 h = 90 min
1 Einheiten angleichen
Eine Stunde hat 60 Minuten: 1,5 · 60 = 90.
6 km : 30 = 0,2 km
2 Strecke in einer Minute
Bei konstantem Tempo teilst du Zeit und Strecke durch 30.
0,2 km · 90 = 18 km
3 Strecke in 90 Minuten
Ohne Pausen und bei gleichbleibendem Tempo sind es in 1,5 Stunden 18 km.
Verbindung zum nächsten Thema
Prozentrechnung mit dem Dreisatz
Auch Prozentaufgaben kannst du über 1 % lösen. Bei einem festen Grundwert sind Prozentzahl und Anteil proportional.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Anteil über 1 %
15 % von 80 €
Aufgabe: Wie viel sind 15 % von 80 €?
| Prozent | Betrag |
|---|---|
| 100 % | 80 € |
| 1 % | 0,80 € |
| 15 % | 12 € |
100 % ↔ 80 €
1 Grundwert zuordnen
Der ganze Betrag entspricht 100 %.
80 € : 100 = 0,80 €
2 Wert von 1 %
Teile beide Werte durch 100.
0,80 € · 15 = 12 €
3 Wert von 15 %
Multipliziere mit 15. Der gesuchte Anteil beträgt 12 €.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Entscheide vor jeder Rechnung, welche Größe konstant bleibt. Prüfe anschließend, ob dein Ergebnis zur Situation passt.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Selbstständig anwenden
Sechs Aufgaben zum Dreisatz
Entscheide zuerst: proportional, antiproportional oder keines von beidem? Rechne danach auf Papier und prüfe deine Lösung.
1 · 6 kg kosten 15 €. Was kosten 2,5 kg bei gleichem Kilopreis?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne den Preis bei gleichem Kilopreis
6 kg → 15 €
2,5 kg → ?
15 € : 6 = 2,50 €
1 Auf 1 kg zurückrechnen
Die Zuordnung ist bei gleichem Kilopreis proportional.
2,50 € · 2,5 = 6,25 €
2 Auf 2,5 kg umrechnen
2,5 kg kosten 6,25 €.
2 · 8 Personen brauchen je 300 g Reis. Wie viel brauchen 5 Personen bei gleicher Portion?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die benötigte Gesamtmenge
300 g Reis pro Person
5 Personen → ?
8 · 300 g = 2.400 g
1 Bekannte Gesamtmenge
Bei gleicher Portion ist die Zuordnung proportional.
2.400 g : 8 = 300 g
2 Eine Portion
Der Bedarf pro Person ist hier schon in der Aufgabe angegeben.
5 · 300 g = 1.500 g
3 Fünf Portionen
Multipliziere die Portionsgröße mit der gesuchten Personenzahl.
1.500 g = 1,5 kg
4 Einheit umrechnen
Fünf Personen benötigen zusammen 1,5 kg Reis.
3 · 3 gleiche Pumpen brauchen 10 h. Wie lange brauchen 5 unter gleichen Bedingungen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Zeit bei gleicher Leistung
3 Pumpen → 10 Stunden
5 Pumpen → ?
10 h · 3 = 30 h
1 Zeit für eine Pumpe
Bei gleicher Arbeit ist die Zuordnung antiproportional.
30 h : 5 = 6 h
2 Zeit für fünf Pumpen
Fünf gleiche Pumpen benötigen unter denselben Bedingungen 6 Stunden.
4 · Bei konstantem Tempo: 12 km in 40 min. Strecke in 1 h?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Strecke bei konstantem Tempo
40 Minuten → 12 km
1 Stunde → ?
1 h = 60 min
1 Zeit umrechnen
Verwende für beide Zeitangaben Minuten.
12 km : 40 = 0,3 km
2 Strecke in einer Minute
Bei konstantem Tempo ist die Zuordnung proportional.
0,3 km · 60 = 18 km
3 Strecke in einer Stunde
In 60 Minuten werden 18 km zurückgelegt.
5 · 30 % von 250 €?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne den Anteil mit dem Dreisatz
30 % von 250 €
100 % ↔ 250 €
1 Grundwert
Bei festem Grundwert sind Prozentzahl und Anteil proportional.
250 € : 100 = 2,50 €
2 Wert von 1 %
Teile durch 100.
2,50 € · 30 = 75 €
3 Wert von 30 %
Der gesuchte Anteil beträgt 75 €.
6 · Ein Kind ist mit 5 Jahren 110 cm groß. Kannst du seine Größe mit 10 Jahren per Dreisatz bestimmen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Körpergröße wächst nicht proportional zum Alter. Die doppelte Größe von 220 cm wäre keine sinnvolle Vorhersage.
Der Selbstcheck ist eine kurze Orientierung. Bei einem Fehler findest du über den Lösungslink den passenden Lernschritt.
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Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Schon sicher?
Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Prozentrechnung weiterüben →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Zum Nachschlagen
Häufige Fragen
Muss ich immer über 1 rechnen?
Nein. Wenn sich ein passender Faktor direkt erkennen lässt, kannst du ihn nutzen. Von 3 kg auf 6 kg verdoppelst du beispielsweise bei proportionaler Zuordnung direkt den Preis. Der Weg über 1 funktioniert systematisch auch bei weniger einfachen Zahlen.
Warum wird beim antiproportionalen Dreisatz erst multipliziert?
Wenn du die Zahl der gleichzeitig arbeitenden Pumpen auf eine reduzierst, braucht diese eine Pumpe entsprechend länger. Deshalb wird die Zeit beim Rückrechnen auf eine Pumpe größer.
Was ist bei Textaufgaben wichtig?
Schreibe Größen und Einheiten auf, prüfe den Zusammenhang und notiere einen Antwortsatz. Bei Arbeitszeitaufgaben müssen die Bedingungen wie gleiche Leistung und unveränderte Arbeitsmenge stimmen.
Kann ich den Dreisatz bei Mengenrabatten verwenden?
Nicht über verschiedene Preisstufen hinweg. Wenn sich der Stückpreis ab einer bestimmten Menge ändert, gilt kein einheitlicher proportionaler Zusammenhang für alle Mengen. Prüfe zuerst die Preisregel.
Noch unsicher, welche Lernhilfe passt?
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Der Preis pro Kilogramm bleibt gleich. Deshalb ist die Zuordnung proportional.