Bruchrechnung einfach erklärt: Beispiele & Übungen

Mathe verstehen und üben / Bruchrechnung

Mathe · Klasse 5–7 · auch zum Wiederholen

Brüche? Schritt für Schritt verständlich.

Bruchrechnung einfach erklärt: Verstehe Zähler und Nenner, kürze und erweitere Brüche und lerne die vier Rechenarten. Mit anschaulichen Beispielen, Aufgaben mit Lösungen und kostenlosen Arbeitsblättern als PDF.

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Ein Ganzes. Vier gleiche Teile.

34= drei Viertel

Drei von vier gleich großen Teilen sind gefärbt. Jeder Teil ist ein Viertel.

Wo fängst du an? Wenn dir die Grundlagen fehlen, beginne mit Zähler und Nenner. Wenn Plus und Minus schwierig sind, übe zuerst gemeinsame Nenner. Du möchtest dein Wissen prüfen? Springe zum Selbstcheck.

Lernschritt 1

Was sagen Zähler und Nenner?

Ein Bruch kann einen Anteil an einem Ganzen beschreiben. Dafür teilen wir das Ganze in gleich große Teile.

Oben: der Zähler

Wie viele Teile sind gemeint?

Bei 34 ist die 3 der Zähler. Sie zählt die drei gefärbten Teile.

Unten: der Nenner

In wie viele Teile wurde geteilt?

Bei 34 ist die 4 der Nenner. Das Ganze ist in vier gleich große Teile geteilt.

Merke: Die Teile müssen gleich groß sein. Der Nenner darf nie 0 sein.

Lernschritt 2

Kürzen: kleinere Zahlen, gleicher Wert.

Wir kürzen 68. Dazu teilen wir Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl.

Gemeinsamen Teiler finden.
6 und 8 lassen sich beide ohne Rest durch 2 teilen.

Oben und unten durch 2 teilen.
6 : 2 = 3 und 8 : 2 = 4.

Ergebnis prüfen.
3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1. Der Bruch ist vollständig gekürzt.

68=6 : 28 : 2=34

Der Anteil bleibt gleich.

Vorher: sechs Achtel

Nachher: drei Viertel

Die gefärbte Fläche ist gleich groß. Nur die Einteilung hat sich verändert.

Häufiger Fehler: Nur den Zähler zu teilen verändert den Wert. Beim Kürzen teilst du immer Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl größer als 1.

Probier es selbst: Kürze 912 vollständig.

Lösung und Rechenweg ansehen

912=9 : 312 : 3=34

Teile Zähler und Nenner durch 3. Drei Viertel lässt sich nicht weiter kürzen.

Lernschritt 3

Brüche erweitern

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl größer als 1. Der Wert bleibt gleich. Du teilst das Ganze nur feiner ein.

23=2 · 43 · 4=812

Aus jedem Drittel werden vier Zwölftel. Deshalb sind zwei Drittel genauso viel wie acht Zwölftel.

Kürzen und Erweitern gehören zusammen: Beim Kürzen teilst du oben und unten durch dieselbe Zahl; beim Erweitern multiplizierst du oben und unten mit derselben Zahl.

Probier es selbst: Erweitere 35 auf den Nenner 20.

Lösung und Rechenweg ansehen

35=3 · 45 · 4=1220

5 · 4 = 20. Deshalb musst du auch den Zähler mit 4 multiplizieren.

Lernschritt 4

Nenner gleich machen und Brüche vergleichen

Mit einem gemeinsamen Nenner sind die Teile gleich groß. Dann erkennst du am Zähler, welcher Bruch größer ist. Ein gemeinsamer Nenner ist eine Zahl, die ein Vielfaches beider Nenner ist.

So machst du die Nenner gleich: Finde ein gemeinsames Vielfaches der Nenner. Teile es durch den jeweiligen alten Nenner: Das ist der Erweiterungsfaktor. Multipliziere dann Zähler und Nenner dieses Bruchs mit diesem Faktor.

Bei den Nennern 3 und 4 wählen wir 12: Für Drittel ist der Faktor 12 : 3 = 4, für Viertel 12 : 4 = 3.

23 = 2 · 43 · 4 = 812

34 = 3 · 34 · 3 = 912

Achte darauf: Nur den Nenner zu ändern würde den Wert des Bruchs verändern. Die beiden Brüche dürfen unterschiedliche Erweiterungsfaktoren haben.

1. Gemeinsamen Nenner finden

Vergleiche 23 und 34.

Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12 …
Vielfache von 4: 4, 8, 12 …

12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Es eignet sich als gemeinsamer Nenner.

2. Erweitern und vergleichen

23=812und34=912

8 Zwölftel sind weniger als 9 Zwölftel. Deshalb gilt:

23<34

Zwei schnelle Regeln: Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Bei gleichem positiven Zähler und positiven Nennern ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer – seine Teile sind größer.

Probier es selbst: Was ist größer: 35 oder 23?

Lösung und Rechenweg ansehen

35=915<1015=23

Zwei Drittel sind größer. Du kannst beide Brüche auf den Nenner 15 erweitern.

Lernschritt 5

Brüche addieren und subtrahieren

Bei Plus und Minus brauchst du zuerst gleiche Nenner. Danach rechnest du mit den Zählern. Der gemeinsame Nenner bleibt stehen.

Addieren: Teile zusammenzählen

Aufgabe: 12 + 13

Gemeinsamen Nenner finden: 6.
Beide Brüche passend erweitern.
Zähler addieren.

12+13=36+26

=3 + 26=56

Das Ergebnis lässt sich nicht weiter kürzen.

Subtrahieren: Teile wegnehmen

Aufgabe: 56 − 13

Ein Drittel zu zwei Sechsteln erweitern.
Zähler subtrahieren.
Ergebnis kürzen.

56−26=5 − 26

=36=12

Typischer Fehler: 12 + 13 ist nicht 25. Nenner werden bei der Addition nicht addiert. Mache sie zuerst gleich.

Probier es selbst: Berechne 34 − 16.

Lösung und Rechenweg ansehen

912−212=712

Erweitere drei Viertel mit 3 und ein Sechstel mit 2. Subtrahiere dann 9 − 2. Sieben Zwölftel ist vollständig gekürzt.

Lernschritt 6

Brüche multiplizieren

Bei Malaufgaben multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Gleiche Nenner sind dafür nicht nötig.

23·35=2 · 33 · 5=615=25

Rechne zuerst 2 · 3 und 3 · 5. Kürze anschließend sechs Fünfzehntel durch 3.

So kannst du vor dem Multiplizieren kürzen

In dieser Malaufgabe kannst du die 3 im Nenner des ersten Bruchs und die 3 im Zähler des zweiten Bruchs durch 3 teilen.

23·35=21·15=25

Das macht die Zahlen kleiner. Dieses Kürzen über beide Brüche hinweg funktioniert bei einem Produkt. Bei Plus und Minus darfst du nicht auf diese Weise kürzen.

Probier es selbst: Berechne 34 · 25.

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3 · 24 · 5=620=310

Kürze sechs Zwanzigstel durch 2. Alternativ kannst du vorab die 2 und die 4 durch 2 teilen.

Lernschritt 7

Brüche dividieren

Wenn du durch einen Bruch teilst, multiplizierst du mit seinem Kehrwert. Für den Kehrwert vertauschst du Zähler und Nenner. Der Bruch, durch den du teilst, darf nicht 0 sein.

Ersten Bruch stehen lassen.
Wir rechnen 34 : 25.

Teilen wird Malnehmen.
Nur den zweiten Bruch umdrehen: Aus 25 wird 52.

Multiplizieren und prüfen.
Rechne Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

34:25=34·52=158

Das Ergebnis ist größer als 1. Als gemischte Zahl sind das 1 78. Wie du umwandelst, lernst du im nächsten Abschnitt.

Warum kann das Ergebnis größer werden? In 2 Ganzen stecken vier Hälften. Deshalb gilt 2 : 12 = 4. Teilen durch eine positive Zahl kleiner als 1 vergrößert eine positive Ausgangszahl.

Probier es selbst: Berechne 23 : 45.

Lösung und Rechenweg ansehen

23·54=1012=56

Drehe nur den zweiten Bruch um und kürze das Ergebnis durch 2.

Wähle auf der Materialseite die Variante „Multiplikation und Division“.

Lernschritt 8

Gemischte Zahlen und unechte Brüche

Bei einem unechten Bruch ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner. Sein Wert ist also mindestens 1. Eine gemischte Zahl schreibt einen ganzen Anteil und einen Bruch nebeneinander: 2 13 bedeutet 2 + 13.

Gemischte Zahl → Bruch

Wandle 2 13 um.

Ein Ganzes sind drei Drittel. Zwei Ganze sind sechs Drittel. Dazu kommt ein Drittel.

2 13=2 · 3 + 13=73

Bruch → gemischte Zahl

Wandle 114 um.

11 : 4 = 2 Rest 3.
Die 2 ist der ganze Anteil. Der Rest 3 wird der Zähler, der Nenner bleibt 4.

114=2 34

Zum Rechnen: Wandle gemischte Zahlen am besten zuerst in unechte Brüche um. Danach kannst du die bekannten Bruchregeln anwenden.

Probier es selbst: Schreibe 175 als gemischte Zahl.

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17 : 5 = 3 Rest 2. Also gilt:

175=3 25

Probe: 3 · 5 + 2 = 17.

Lernschritt 9

Brüche im Alltag: einen Anteil berechnen

In einer Lerngruppe sind 24 Kinder. 38 davon kommen mit dem Fahrrad. Wie viele Kinder sind das?

Ein Achtel bestimmen.
24 : 8 = 3. Ein Achtel der Gruppe sind 3 Kinder.

Drei Achtel bestimmen.
3 · 3 = 9. Also kommen 9 Kinder mit dem Fahrrad.

Für einen Bruchteil einer Menge: Teile die Menge durch den Nenner und multipliziere anschließend mit dem Zähler.

Probier es selbst: Wie viel sind 25 von 30 €?

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30 € : 5 = 6 €.
6 € · 2 = 12 €.

Probe: Zwei Fünftel sind weniger als die Hälfte. 12 € sind weniger als 15 € – das passt.

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Kürzen sicher üben

Finde gemeinsame Teiler und kürze die Brüche. Passend zum Beispiel oben.

Einstieg
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Gemeinsame Nenner finden

Übe das Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner. Das bereitet dich auf Plus- und Minusaufgaben vor.

Grundlagen festigen
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Brüche addieren und subtrahieren

Wende gemeinsame Nenner beim Rechnen an. Wähle auf der Materialseite die Variante für Addition und Subtraktion.

Rechenarten üben
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Varianten für Plus/Minus und Mal/Geteilt

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Brüche multiplizieren

Übe Malaufgaben mit Brüchen und kontrolliere deine Ergebnisse mit den Lösungen.

Multiplikation üben
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Mit Lösungen

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Gemischte Zahlen umwandeln

Übe den Wechsel zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen. Wähle die passende Richtung auf der Materialseite.

Umwandeln üben
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Zwei Umwandlungsrichtungen; Varianten mit Lösungsblatt

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Grundlagen gemischt wiederholen

Nutze das Überblicksblatt, wenn du mehrere Bereiche der Bruchrechnung wiederholen möchtest.

Gemischte Wiederholung
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Mehrere Grundlagen in einem Blatt

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So übst du sinnvoll: Rechne zuerst selbst. Vergleiche anschließend mit der Lösung, falls sie für deine Variante enthalten ist. Verbessere Fehler und versuche eine ähnliche Aufgabe noch einmal.

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Für ausführlicheres Training: ein Übungsbuch für das Gymnasium, Klasse 5–8. Prüfe auf der Produktseite, ob es zu deinem Unterricht passt.

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Mathe-Spickzettel · Klasse 5–7

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Wie sicher rechnest du schon?

Bearbeite die sechs Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne die Lösungen anschließend einzeln. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung. Das ist eine kurze Orientierung, kein vollständiger Lernstandstest.

Aufgabe 1