Mathe · etwa 35–50 Minuten
Du prüfst die Ähnlichkeit, bestimmst passende Längenfaktoren und berechnest fehlende Seiten, Umfänge und Flächen vorwärts und rückwärts.
Bruch- und Dezimalrechnung, Flächeninhalte und Winkelsumme im Dreieck.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Bestimme einen Faktor, berechne eine Bildseite und prüfe zwei Rechtecke.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Gib die Zahl in der gefragten Einheit ein. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Gleiche Form – Größe darf sich ändern
Entsprechende Winkel gleich.
Entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis.
Beim maßstäblichen Vergrößern oder Verkleinern bleibt die Form erhalten.
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine durch gleichmäßiges Vergrößern oder Verkleinern aus der anderen entstehen kann; zusätzlich darf sie verschoben, gedreht oder gespiegelt werden. Bei Vielecken bleiben entsprechende Winkel gleich, und alle entsprechenden Seitenlängen ändern sich mit demselben positiven Faktor k.
„Entsprechend“ heißt: Die Seiten und Ecken gehören beim Vergleich zueinander. Die Lage auf dem Blatt entscheidet nicht über die Zuordnung. Die längste Seite gehört bei ähnlichen Dreiecken zur längsten Seite.
Gleiche Winkel allein reichen bei beliebigen Vielecken nicht. Alle Rechtecke haben vier rechte Winkel, sind aber nicht automatisch ähnlich. Auch ihre Seitenverhältnisse müssen passen.
Lege zuerst die Richtung fest: Welche Figur ist das Original, welche das Bild? Teile dann eine Bildlänge durch die zugehörige Originallänge.
Die Regel
k = Bildlänge : Originallänge
Beispiel · Schritt für Schritt
Originalseite: 4 cm; k = 2
Aus der ursprünglichen 4-cm-Seite wird eine 8-cm-Seite.
Beispiel · Schritt für Schritt
Originalseite: 4 cm; k = 0,5
Ein positiver Faktor unter 1 verkleinert alle Längen.
Die ursprüngliche Seite wird halb so lang.
Beispiel · Schritt für Schritt
Originalseite: 4 cm; k = 1
Original und Bild haben dieselbe Größe.
Die Länge bleibt gleich. Ähnliche Figuren mit k = 1 sind kongruent.
Beispiel · Schritt für Schritt
Original: 3 cm → Bild: 4,5 cm
Weitere Originalseite: 6 cm
Ordne Originalseite und Bildseite einander zu und beachte die Richtung Original → Bild.
Der Faktor ist Bildlänge durch Originallänge. Beide Angaben haben dieselbe Einheit; k ist einheitenlos.
Multipliziere eine weitere Originallänge mit demselben Faktor. Ihre Bildseite ist 9 cm lang.
Beispiel · Schritt für Schritt
Vorwärtsfaktor: k = 2
In Vorwärtsrichtung werden die Längen verdoppelt.
Der Rückweg verwendet den Kehrwert des positiven Faktors.
Die anschließende Halbierung macht die Vergrößerung rückgängig.
Versuch 1: Stelle k = 1 ein. Beide Rechtecke haben dieselbe Größe. Stelle danach k = 2 ein: Beide Seiten verdoppeln sich, der Flächeninhalt vervierfacht sich.
Versuch 2: Stelle k = 0,5 ein. Das Bild misst 2 cm × 1 cm und hat 2 cm² Fläche. Das ist ein Viertel der ursprünglichen 8 cm².
Der Regler verändert Breite und Höhe gleichzeitig. So bleibt ihr Verhältnis 2 : 1 bei jeder Einstellung erhalten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Original: 4 cm × 2 cm
Bild A: 6 cm × 3 cm
Das Originalrechteck hat das Seitenverhältnis 2 : 1.
Ordne lange Seite zu langer Seite und kurze zu kurzer. Beide Faktoren stimmen überein.
Zusätzlich sind alle entsprechenden Winkel der Rechtecke 90°. Gleiche Winkel und einheitlicher Seitenfaktor sichern hier die Ähnlichkeit.
Beispiel · Schritt für Schritt
Original: 4 cm × 2 cm
Bild B: 6 cm × 4 cm
Der Faktor zwischen den langen Seiten ist 1,5.
Der Faktor zwischen den kurzen Seiten ist dagegen 2.
Ein gemeinsamer Faktor fehlt. Bild B ist trotz der gleichen rechten Winkel nicht ähnlich.
Bei Bild B wurden die Seiten um denselben Betrag von 2 cm verlängert. Das genügt nicht: Für Ähnlichkeit brauchst du denselben Faktor, nicht denselben Zuwachs.
Für Dreiecke ist der Vergleich besonders einfach: Stimmen zwei entsprechende Winkel überein, stimmt wegen der Innenwinkelsumme auch der dritte. Die Dreiecke sind dann ähnlich. Alternativ genügt, dass alle drei entsprechenden Seiten dasselbe Verhältnis haben.
Lösung · Schritt für Schritt
Dreieck: 3 cm, 4 cm, 5 cm
Bild: 6 cm, 8 cm, 10 cm
Ordne die Seiten nach ihren Längen passend zu.
Alle drei entsprechenden Seitenpaare haben denselben Faktor.
Bei Dreiecken reicht die Übereinstimmung aller drei Seitenverhältnisse. Die Seiten bilden echte Dreiecke: 3 + 4 > 5 und 6 + 8 > 10.
Beispiel · Schritt für Schritt
5 cm → 8 cm
7,5 cm → b′
Zwei Dreiecke sind als ähnlich gegeben. Eine Seite von 5 cm gehört zu einer Bildseite von 8 cm. Wie lang ist die Bildseite zur ursprünglichen Seite von 7,5 cm?
Die Dreiecke sind als ähnlich gegeben. Ordne die bekannte Originalseite ihrer Bildseite zu.
Berechne den Faktor in Richtung Original → Bild.
Verwende denselben Faktor für die gesuchte entsprechende Seite.
Die Bildseite ist 12 cm lang.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bildseite: 12 cm; k = 1,6
Der Bildseite b′ entspricht die Originalseite b.
Für die gesuchte Originallänge teilst du durch den positiven Faktor k.
In Rückwärtsrichtung erhältst du wieder die ursprüngliche Seite.
Rechne beim Bestimmen des Faktors mit derselben Längeneinheit. 2 m und 50 cm musst du zunächst beispielsweise in 200 cm und 50 cm umwandeln.
Beispiel · Schritt für Schritt
Längenfaktor: k = 3
Entsprechende Seiten und der Umfang ändern sich bei ähnlichen Figuren mit demselben positiven Längenfaktor k.
Flächen ändern sich mit dem Quadrat des Längenfaktors.
Seiten und Umfang werden dreimal so groß.
Der Flächeninhalt wird dagegen neunmal so groß.
Beim Rechteck werden beide Seiten mit k multipliziert. Deshalb gilt für die Fläche: (k · a) · (k · b) = k² · a · b. Dieser Flächenfaktor gilt auch für andere ähnliche ebene Figuren.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ausgangsfläche: 10 cm²
k = 3 oder k = 0,5
Beim Vergrößern mit Längenfaktor 3 ist der Flächenfaktor 9.
Multipliziere die ursprüngliche Fläche mit k², nicht nur mit k.
Bei halbierten Seitenlängen bleibt ein Viertel der Fläche.
Das verkleinerte Bild hat 2,5 cm² Fläche. Längeneinheiten und Flächeneinheiten müssen unterschieden werden.
Kongruente Figuren sind gleich in Form und Größe. Sie sind ein besonderer Fall ähnlicher Figuren mit k = 1. Ähnliche Figuren dürfen unterschiedlich groß sein.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zeichnung : Wirklichkeit = 1 : 100
Maßstab ist eine Anwendung des Längenverhältnisses. Vergleiche Längen stets in derselben Einheit.
Die Zeichnungslänge ist ein Hundertstel der wirklichen Länge.
In Gegenrichtung verwendest du den Kehrwert.
Bei einer zentrischen Streckung wird zusätzlich festgelegt, wie die Bildpunkte zu einem gemeinsamen Zentrum liegen. Damit kannst du ähnliche Figuren gezielt konstruieren.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Lege immer fest, welche Figur das Original und welche das Bild ist. Längen und Umfang ändern sich mit k, Flächen mit k².
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Original: 4 cm → Bild: 10 cm
Lege die Richtung fest und verwende dieselbe Einheit.
Teile die Bildlänge durch die zugehörige Originallänge.
Lösung · Schritt für Schritt
Originalseite: 6 cm; k = 1,5
Bei bekanntem Faktor erhältst du die Bildlänge durch Multiplikation.
Die Seite wird um den Faktor 1,5 verlängert.
Lösung · Schritt für Schritt
3 cm × 2 cm und 6 cm × 5 cm
Vergleiche die beiden langen Seiten.
Vergleiche die beiden kurzen Seiten.
Die Faktoren unterscheiden sich. Gleiche rechte Winkel allein reichen bei Rechtecken nicht.
Lösung · Schritt für Schritt
Umfang: 18 cm; k = 0,5
Der Umfang ist eine Summe von Längen und erhält daher den Längenfaktor k.
Der Umfang wird halbiert.
Lösung · Schritt für Schritt
Fläche: 7 cm²; k = 2
Berechne zuerst den Flächenfaktor.
Bei verdoppelten Seitenlängen vervierfacht sich die Fläche.
Lösung · Schritt für Schritt
Zwei kongruente Figuren
Bei kongruenten Figuren sind entsprechende Seiten gleich lang; entsprechende Winkel sind ebenfalls gleich.
Damit erfüllen sie die Bedingungen der Ähnlichkeit mit Faktor 1. Alle kongruenten Figuren sind auch ähnlich.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Zentrische Streckung →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Ja. Alle Winkel sind rechte Winkel, und die entsprechenden Seiten haben jeweils denselben Faktor.
Nein. Zusätzlich zu den gleichen Winkeln muss das Verhältnis von langer zu kurzer Seite übereinstimmen.
Ja. Die Lage und Orientierung ändern die Ähnlichkeit nicht. Entscheidend sind Form und einheitliche Längenverhältnisse.
Die Richtung ist vom Original zum Bild: Der Faktor 2 vergrößert alle Längen.