1 · Eine Seite wächst von 4 cm auf 10 cm. Wie groß ist k?
Lösung und Rechenweg ansehen
k = 10 : 4 = 2,5.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Ähnlichkeit: verstehen und üben
Erkenne ähnliche Figuren und berechne fehlende Seiten mit dem passenden Faktor. Entdecke interaktiv, warum doppelte Seitenlängen die vierfache Fläche ergeben.
Gleiche Form – Größe darf sich ändern
Entsprechende Winkel gleich.
Entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis.
Beim maßstäblichen Vergrößern oder Verkleinern bleibt die Form erhalten.
Lernschritt 1
Wann sind Figuren ähnlich?
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine durch gleichmäßiges Vergrößern oder Verkleinern aus der anderen entstehen kann; zusätzlich darf sie verschoben, gedreht oder gespiegelt werden. Bei Vielecken bleiben entsprechende Winkel gleich, und alle entsprechenden Seitenlängen ändern sich mit demselben positiven Faktor k.
„Entsprechend“ heißt: Die Seiten und Ecken gehören beim Vergleich zueinander. Die Lage auf dem Blatt entscheidet nicht über die Zuordnung. Die längste Seite gehört bei ähnlichen Dreiecken zur längsten Seite.
Gleiche Winkel allein reichen bei beliebigen Vielecken nicht. Alle Rechtecke haben vier rechte Winkel, sind aber nicht automatisch ähnlich. Auch ihre Seitenverhältnisse müssen passen.
Lernschritt 2
Den Ähnlichkeitsfaktor bestimmen
Lege zuerst die Richtung fest: Welche Figur ist das Original, welche das Bild? Teile dann eine Bildlänge durch die zugehörige Originallänge.
k = Bildlänge : Originallänge
| Faktor | Bedeutung | Aus 4 cm werden … |
|---|---|---|
| k = 2 | Vergrößerung | 8 cm |
| k = 0,5 | Verkleinerung | 2 cm |
| k = 1 | gleiche Größe | 4 cm |
Ist eine ursprüngliche Seite 3 cm und die Bildseite 4,5 cm lang, gilt k = 4,5 : 3 = 1,5. Eine zugehörige ursprüngliche Seite von 6 cm wird dann 6 · 1,5 = 9 cm lang.
In der umgekehrten Richtung benutzt du den Kehrwert. Eine Vergrößerung mit Faktor 2 machst du durch Verkleinern mit Faktor 0,5 rückgängig.
Lernschritt 3
Vergrößere ein Rechteck und beobachte die Fläche
Versuch 1: Stelle k = 1 ein. Beide Rechtecke haben dieselbe Größe. Stelle danach k = 2 ein: Beide Seiten verdoppeln sich, der Flächeninhalt vervierfacht sich.
Versuch 2: Stelle k = 0,5 ein. Das Bild misst 2 cm × 1 cm und hat 2 cm² Fläche. Das ist ein Viertel der ursprünglichen 8 cm².
Der Regler verändert Breite und Höhe gleichzeitig. So bleibt ihr Verhältnis 2 : 1 bei jeder Einstellung erhalten.
Lernschritt 4
Ähnlichkeit prüfen: ein Beispiel und ein Gegenbeispiel
| Rechteck | Seiten | Vergleich zum Original 4 cm × 2 cm |
|---|---|---|
| Original | 4 cm und 2 cm | Seitenverhältnis 2 : 1 |
| Bild A | 6 cm und 3 cm | 6 : 4 = 3 : 2 = 1,5 → ähnlich |
| Bild B | 6 cm und 4 cm | 6 : 4 = 1,5, aber 4 : 2 = 2 → nicht ähnlich |
Bei Bild B wurden die Seiten um denselben Betrag von 2 cm verlängert. Das genügt nicht: Für Ähnlichkeit brauchst du denselben Faktor, nicht denselben Zuwachs.
Für Dreiecke ist der Vergleich besonders einfach: Stimmen zwei entsprechende Winkel überein, stimmt wegen der Innenwinkelsumme auch der dritte. Die Dreiecke sind dann ähnlich. Alternativ genügt, dass alle drei entsprechenden Seiten dasselbe Verhältnis haben.
Probier es selbst: Ein Dreieck hat die Seiten 3, 4 und 5 cm. Ein anderes hat 6, 8 und 10 cm. Sind sie ähnlich?
Lösung ansehen
Ja. Alle drei Seiten wurden mit Faktor 2 vervielfacht.
Lernschritt 5
Eine fehlende Seite Schritt für Schritt berechnen
Zwei Dreiecke sind als ähnlich gegeben. Eine Seite von 5 cm gehört zu einer Bildseite von 8 cm. Wie lang ist die Bildseite zur ursprünglichen Seite von 7,5 cm?
- Ordne die entsprechenden Seiten zu: 5 cm ↔ 8 cm.
- Berechne k = 8 : 5 = 1,6.
- Multipliziere die gesuchte ursprüngliche Seite mit k: 7,5 · 1,6 = 12.
- Schreibe die Einheit dazu: Die Bildseite ist 12 cm lang.
Wenn stattdessen eine Originallänge gesucht ist, teile die zugehörige Bildlänge durch k. Bei k = 1,6 gehört zu 12 cm also 12 : 1,6 = 7,5 cm.
Rechne beim Bestimmen des Faktors mit derselben Längeneinheit. 2 m und 50 cm musst du zunächst beispielsweise in 200 cm und 50 cm umwandeln.
Lernschritt 6
Längen, Umfang und Flächen unterscheiden
| Größe | Änderung bei Faktor k | Bei k = 3 |
|---|---|---|
| Seitenlänge | mit k multiplizieren | dreifach |
| Umfang | mit k multiplizieren | dreifach |
| Flächeninhalt | mit k² multiplizieren | neunfach |
Beim Rechteck werden beide Seiten mit k multipliziert. Deshalb gilt für die Fläche: (k · a) · (k · b) = k² · a · b. Dieser Flächenfaktor gilt auch für andere ähnliche ebene Figuren.
Hat eine Figur 10 cm² Fläche, hat ein ähnliches Bild bei k = 3 die Fläche 90 cm². Bei k = 0,5 beträgt sie 2,5 cm². Längeneinheiten wie cm und Flächeneinheiten wie cm² darfst du dabei nicht verwechseln.
Lernschritt 7
Ähnlichkeit, Kongruenz und Maßstab
Kongruente Figuren sind gleich in Form und Größe. Sie sind ein besonderer Fall ähnlicher Figuren mit k = 1. Ähnliche Figuren dürfen unterschiedlich groß sein.
Maßstab ist eine Anwendung des Längenverhältnisses. Bei einer Zeichnung im Maßstab 1 : 100 beträgt der Faktor von der Wirklichkeit zur Zeichnung 0,01. Von der Zeichnung zur Wirklichkeit ist er 100.
Bei einer zentrischen Streckung wird zusätzlich festgelegt, wie die Bildpunkte zu einem gemeinsamen Zentrum liegen. Damit kannst du ähnliche Figuren gezielt konstruieren.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie lang wird eine 6-cm-Seite bei k = 1,5?
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9 cm, denn 6 · 1,5 = 9.
Erklärung wiederholen →3 · Sind Rechtecke 3 × 2 cm und 6 × 5 cm ähnlich?
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Nein. 6 : 3 = 2, aber 5 : 2 = 2,5. Die Faktoren sind verschieden.
Erklärung wiederholen →4 · Der ursprüngliche Umfang ist 18 cm. Wie groß ist er bei k = 0,5?
Lösung und Rechenweg ansehen
9 cm. Der Umfang wird wie eine Länge mit k multipliziert.
Erklärung wiederholen →5 · Eine Fläche ist 7 cm² groß. Wie groß ist das ähnliche Bild bei k = 2?
Lösung und Rechenweg ansehen
28 cm². Multipliziere mit 2² = 4.
Erklärung wiederholen →6 · Sind alle kongruenten Figuren auch ähnlich?
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Ja. Sie sind ähnlich mit Faktor k = 1.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ähnlichkeit und zentrische Streckung
Kostenloses Arbeitsblatt von Martin Behm | MB Nachhilfe: Einführung in ähnliche Figuren und das Vergrößern und Verkleinern.
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Anwenden: mit Maßstäben rechnen
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Sind alle Quadrate ähnlich?
Ja. Alle Winkel sind rechte Winkel, und die entsprechenden Seiten haben jeweils denselben Faktor.
Sind alle Rechtecke ähnlich?
Nein. Zusätzlich zu den gleichen Winkeln muss das Verhältnis von langer zu kurzer Seite übereinstimmen.
Darf eine ähnliche Figur gedreht oder gespiegelt sein?
Ja. Die Lage und Orientierung ändern die Ähnlichkeit nicht. Entscheidend sind Form und einheitliche Längenverhältnisse.