Du ordnest entsprechende Teile zu, wählst passende Kongruenzsätze und erkennst unzureichende Angaben.
Voraussetzungen ansehen
Seiten und Winkel im Dreieck; für die SSW-Vertiefung Sinus im rechtwinkligen Dreieck.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y, Zahlen mit Komma oder Punkt und Brüche mit / eingeben. Bei Begriffen die passende Bezeichnung, bei Kongruenzsätzen SSS, SWS, WSW oder SsW. Entscheidungen: ja oder nein. Achte auf die verlangte Einheit.
02 · Verstehen
Was bedeutet kongruent?
Gleiche Form und gleiche Größe
Kongruent bedeutet deckungsgleich.
Verschieben, Drehen und Spiegeln sind erlaubt. Vergrößern oder Verkleinern verändert dagegen die Größe.
Beide Dreiecke haben dieselben Seitenlängen. Das rechte ist gedreht. Lage und Ausrichtung ändern die Kongruenz nicht.
Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie sich durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau zur Deckung bringen lassen. Form und Größe stimmen überein. Alle entsprechenden Seiten sind gleich lang, alle entsprechenden Winkel gleich groß.
Du kannst dir vorstellen, eine Figur auszuschneiden und auf die andere zu legen. Passt sie nach dem Verschieben, Drehen oder Wenden genau darauf, sind die Figuren deckungsgleich.
Die Position auf dem Blatt spielt keine Rolle. Eine gespiegelte Figur kann ebenfalls kongruent sein. Entscheidend sind gleiche Form und gleiche Größe.
Entsprechende Ecken und Seiten zuordnen
Vergleiche nicht einfach links mit links oder oben mit oben. Nach einer Drehung können entsprechende Seiten anders liegen. Suche passende Seitenlängen und Winkel.
Schreibt man ΔABC ≅ ΔDEF, gibt die Reihenfolge die Zuordnung an: A gehört zu D, B zu E und C zu F. Entsprechend gehören AB zu DE, BC zu EF und AC zu DF.
Erstes Dreieck
Entsprechender Teil im zweiten
Ecke A
Ecke D
Seite AB
Seite DE
Seite BC
Seite EF
Winkel bei C
Winkel bei F
Beispiel · Schritt für Schritt
Ordne die Dreiecke zu und begründe ihre Kongruenz
Seiten: 3 cm, 4 cm, 5 cm ΔABC und ΔDEF
Schritt / PrüfungBegründung
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F
1 Ecken zuordnen
Lege die Zuordnung der Ecken fest. Sie bestimmt die entsprechenden Seiten unabhängig von der Lage auf dem Blatt.
AB = DE = 3 cm BC = EF = 4 cm AC = DF = 5 cm
2 Seitenpaare vergleichen
Prüfe alle drei Seitenpaare in dieser Zuordnung.
3 cm + 4 cm > 5 cm
3 Dreiecksungleichung prüfen
Die positiven Seitenlängen erfüllen die Dreiecksungleichung.
ΔABC ≅ ΔDEF nach SSS
4 Kongruenz begründen
Alle drei entsprechenden Seiten sind gleich lang. Schreibe die Ecken in der passenden Reihenfolge.
Die Kongruenzsätze für Dreiecke
Du musst nicht immer alle Seiten und Winkel vergleichen. Bestimmte Kombinationen von Angaben legen ein Dreieck bis auf Lage und Spiegelung eindeutig fest.
Satz
Welche Angaben stimmen überein?
Darauf kommt es an
SSS
Drei entsprechende Seiten
Die Seiten müssen ein Dreieck bilden können.
SWS
Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten.
WSW
Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel
Die Seite liegt zwischen den beiden Winkeln.
SsW
Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite
Die Lage des gegebenen Winkels ist entscheidend.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe zwei eindeutige Dreiecksangaben
SSS: 3 cm, 4 cm, 5 cm SWS: 4 cm, 6 cm; Winkel 50°
Schritt / PrüfungBegründung
3 cm + 4 cm = 7 cm > 5 cm
1 Dreiecksungleichung prüfen
Die positiven Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm können ein echtes Dreieck bilden.
3 cm, 4 cm, 5 cm: SSS
2 SSS zuordnen
Die drei Seitenlängen legen das Dreieck bis auf Lage und Spiegelung eindeutig fest.
4 cm, 6 cm und 50° zwischen ihnen
3 Eingeschlossenen Winkel prüfen
Für SWS müssen die beiden Seiten den gegebenen Winkel einschließen. 50° liegt zwischen 0° und 180°, die Seitenlängen sind positiv.
Eindeutigkeit nach SWS
4 SWS begründen
Zeichne den Winkel und trage von seinem Scheitel aus 4 cm beziehungsweise 6 cm auf den Schenkeln ab. Die Verbindung der Endpunkte vervollständigt das Dreieck.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe, ob ein echtes Dreieck entsteht
3 cm, 4 cm, 5 cm im Vergleich zu 2 cm, 3 cm, 5 cm
Schritt / PrüfungBegründung
3 cm + 4 cm = 7 cm > 5 cm
1 Gültige Seitenlängen prüfen
Bei positiven Seitenlängen genügt die Prüfung: Die beiden kürzeren müssen zusammen länger als die längste sein.
2 cm + 3 cm = 5 cm
2 Grenzfall erkennen
Gleichheit genügt nicht. Die kurzen Seiten erreichen sich nur in einer gestreckten Lage.
2 cm, 3 cm, 5 cm: kein Dreieck
3 Unzulässige Angaben begründen
Die drei Punkte lägen auf einer Geraden. Ohne ein echtes Dreieck ist SSS hier nicht anwendbar.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe die Eindeutigkeit mit WSW
AB = 5 cm α = 45°; β = 65°
Schritt / PrüfungBegründung
AB = 5 cm α = 45°, β = 65°
1 Seite und Winkel zuordnen
Die Winkel liegen an den beiden Endpunkten A und B der gegebenen Seite.
45° + 65° = 110° < 180°
2 Winkelsumme prüfen
Beide Winkel sind positiv und lassen einen positiven dritten Innenwinkel übrig.
γ = 180° − 110° = 70°
3 Dritten Winkel berechnen
Berechne den fehlenden Winkel.
Eindeutigkeit nach WSW
4 Konstruktion und Eindeutigkeit erklären
Zeichne AB und trage die Winkel bei A und B auf derselben Seite von AB ab. Die Winkelschenkel schneiden sich im dritten Eckpunkt. Bei einer Seite und zwei anderen eindeutig zugeordneten Winkeln berechnest du erst den benötigten anliegenden Winkel.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe die Bedingung für SsW
AB = 7 cm; AC = 4 cm Winkel bei C: 50°
Schritt / PrüfungBegründung
AB = 7 cm > AC = 4 cm
1 Bekannte Seiten vergleichen
Vergleiche die beiden bekannten Seitenlängen.
∠ACB = 50°
2 Gegenüberliegende Seite zuordnen
Der bekannte Winkel liegt bei C. Die gegenüberliegende Seite ist AB, denn C liegt nicht auf AB.
AB ist die längere bekannte Seite
3 Längere Seite erkennen
Damit liegt der Winkel gegenüber der längeren Seite. Das ist genau die Voraussetzung von SsW.
Eindeutigkeit nach SsW
4 SsW begründen
Die Angaben legen das Dreieck bis auf Lage und Spiegelung eindeutig fest. Der Winkel zwischen AB und AC läge dagegen bei A; dann wäre SWS die passende Lage.
Die Schreibweise SsW betont die längere Seite mit dem großen S. In manchen Materialien steht SSW. Achte in jedem Fall auf die Bedingung: Der gegebene Winkel muss dem längeren der beiden bekannten Seiten gegenüberliegen.
Welche Angaben reichen nicht?
Beispiel · Schritt für Schritt
Reichen gleiche Winkel für Kongruenz?
Gleichseitige Dreiecke Seitenlängen: 3 cm und 6 cm
Schritt / PrüfungBegründung
60° + 60° + 60° = 180°
1 Winkel vergleichen
Beide gleichseitigen Dreiecke haben drei gleiche Innenwinkel.
6 cm : 3 cm = 2
2 Seitenlängen vergleichen
Die Seiten des zweiten Dreiecks sind doppelt so lang wie die des ersten.
ähnlich, aber nicht kongruent
3 Form und Größe unterscheiden
Die Form stimmt überein, die Größe nicht. Drei Winkel allein bestimmen keine Seitenlänge.
Zwei Seiten und irgendein Winkel reichen nicht als allgemeiner Kongruenzsatz. Liegt der Winkel nicht zwischen den Seiten und gegenüber der kürzeren bekannten Seite, können je nach Angaben zwei, ein oder kein Dreieck entstehen. Du darfst deshalb nicht aus jeder SSW-Angabe sofort Eindeutigkeit folgern.
Beispiel · Schritt für Schritt
Reicht gleicher Flächeninhalt für Kongruenz?
Rechtecke: 2 cm × 6 cm und 3 cm × 4 cm
Schritt / PrüfungBegründung
A₁ = 2 cm · 6 cm = 12 cm²
1 Erste Fläche berechnen
Berechne die Fläche des ersten Rechtecks.
A₂ = 3 cm · 4 cm = 12 cm²
2 Zweite Fläche berechnen
Das zweite Rechteck hat dieselbe Fläche.
2 cm ≠ 3 cm und 2 cm ≠ 4 cm
3 Seitenlängen vergleichen
Die Seite von 2 cm hat im zweiten Rechteck keine gleich lange Entsprechung.
gleiche Fläche, keine Kongruenz
4 Gegenbeispiel begründen
Gleicher Flächeninhalt beweist keine gleiche Form und Größe. Auch gleicher Umfang allein reicht nicht als Kongruenznachweis.
Erst entscheiden, dann die Begründung lesen
Probier es selbst – die Winkellage entscheidet: Bekannt sind wieder AB = 7 cm und AC = 4 cm. Diesmal beträgt der Winkel bei B 30°. Kannst du mit SsW begründen, dass das Dreieck eindeutig festgelegt ist?
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Lösung · Schritt für Schritt
Prüfe, ob das Dreieck eindeutig festgelegt ist
AB = 7 cm; AC = 4 cm Winkel bei B: 30°
Schritt / PrüfungBegründung
AC = 4 cm < AB = 7 cm
1 Winkellage prüfen
Dem Winkel bei B liegt AC gegenüber. Das ist die kürzere bekannte Seite; SsW ist nicht erfüllt.
AB = 7 cm zeichnen
2 Bekannte Seite zeichnen
Beginne die Konstruktion mit der bekannten Strecke.
Bei B: 30° zur Richtung BA abtragen
3 Winkel abtragen
Zeichne den neuen Strahl auf einer gewählten Seite von AB. Er gibt die mögliche Richtung von BC vor.
Kreis um A mit Radius 4 cm zeichnen
4 Kreis um A zeichnen
Jeder Punkt dieses Kreises hat den geforderten Abstand AC = 4 cm zu A.
Zwei Schnittpunkte C₁ und C₂ markieren
5 Zwei mögliche Dreiecke erkennen
Der Kreis schneidet den neuen Strahl in zwei Punkten. Beide erfüllen die Angaben. Es entstehen zwei nicht kongruente Dreiecke; die Angaben legen das Dreieck also nicht eindeutig fest.
Probier es selbst: Zwei Dreiecke haben die Seiten 5 cm, 5 cm und 6 cm. Reicht das?
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Lösung · Schritt für Schritt
Reichen die drei Seitenangaben?
Beide Dreiecke: 5 cm, 5 cm, 6 cm
Schritt / PrüfungBegründung
5 cm + 5 cm = 10 cm > 6 cm
1 Dreiecksungleichung prüfen
Die positiven Seitenlängen erfüllen die Dreiecksungleichung.
5 cm ↔ 5 cm 5 cm ↔ 5 cm 6 cm ↔ 6 cm
2 Entsprechende Seiten zuordnen
Ordne die drei Seiten passend zu.
kongruent nach SSS
3 SSS anwenden
Alle drei entsprechenden Seiten stimmen überein. Spiegelung oder Drehung ändern daran nichts.
Probier es selbst: Zwei Dreiecke haben Winkel von 40°, 60° und 80°. Sind sie sicher kongruent?
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Lösung · Schritt für Schritt
Ist Kongruenz durch diese Winkel gesichert?
Beide Dreiecke: 40°, 60°, 80°
Schritt / PrüfungBegründung
40° + 60° + 80° = 180°
1 Winkelsumme prüfen
Die drei Winkel passen zu einem Dreieck.
Seitenlängen sind nicht festgelegt
2 Fehlende Größenangabe erkennen
Du könntest alle Seiten eines solchen Dreiecks verdoppeln; die Winkel blieben gleich.
Ähnlichkeit, keine sichere Kongruenz
3 Ähnlichkeit und Kongruenz unterscheiden
Gleiche Winkel sichern dieselbe Form, aber nicht dieselbe Größe.
Probier es selbst: Die Seiten 4 cm und 7 cm und der Winkel zwischen ihnen stimmen überein. Welcher Satz passt?
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Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme den passenden Kongruenzsatz
Seiten: 4 cm und 7 cm Gleicher Winkel zwischen ihnen
Schritt / PrüfungBegründung
4 cm ↔ 4 cm 7 cm ↔ 7 cm
1 Seiten vergleichen
Zwei entsprechende Seiten stimmen überein.
Eingeschlossener Winkel gleich
2 Winkellage prüfen
Der gegebene Winkel liegt ausdrücklich zwischen den beiden bekannten Seiten.
kongruent nach SWS
3 SWS anwenden
Die Winkellage erfüllt die Voraussetzung des Satzes.
So begründest du Kongruenz sauber
Ordne die Ecken und Seiten einander zu.
Markiere die gegebenen gleichen Längen und Winkel.
Prüfe, welcher Kongruenzsatz genau zu diesen Angaben passt.
Kontrolliere bei SWS den eingeschlossenen Winkel und bei SsW die gegenüberliegende längere Seite.
Schreibe den Satz als Begründung dazu.
Eine vollständige Begründung lautet zum Beispiel: „Die Dreiecke sind nach SSS kongruent, weil ihre drei entsprechenden Seiten paarweise gleich lang sind.“ Das bloße Aussehen einer Skizze reicht dafür nicht aus.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Zeichne oder begründe auf Papier. Lies genau, ob ein Punkt, eine Zahl, ein Begriff oder eine Entscheidung gefragt ist.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Was bedeutet kongruent?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Erkläre, was kongruent bedeutet
Zwei Figuren vergleichen
Schritt / PrüfungBegründung
Gleiche Form und gleiche Größe prüfen
1 Form und Größe vergleichen
Entsprechende Seiten müssen gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sein.
Zur Deckung bringen
2 Deckungsgleichheit prüfen
Lassen sich die Figuren durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau aufeinanderlegen, heißen sie kongruent. Vergrößern oder Verkleinern ist dabei nicht erlaubt.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Sind gespiegelte Figuren kongruent?
Ja. Eine Spiegelung erhält Längen und Winkel.
Was unterscheidet kongruent und ähnlich?
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein. Kongruente Figuren haben zusätzlich dieselbe Größe.
Reicht gleicher Flächeninhalt?
Nein. Unterschiedlich geformte Figuren können denselben Flächeninhalt haben. Kongruenz verlangt gleiche Form und Größe.
Lege die Zuordnung der Ecken fest. Sie bestimmt die entsprechenden Seiten unabhängig von der Lage auf dem Blatt.