Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Kongruenz: verstehen und üben

Erkenne deckungsgleiche Figuren und entscheide, welche Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen. Mit Kongruenzsätzen, Beispielen und Übungen mit Lösungen.

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Gleiche Form und gleiche Größe

Kongruent bedeutet deckungsgleich.

Verschieben, Drehen und Spiegeln sind erlaubt. Vergrößern oder Verkleinern verändert dagegen die Größe.

Lernschritt 1

Was bedeutet kongruent?

Beide Dreiecke haben dieselben Seitenlängen. Das rechte ist gedreht. Lage und Ausrichtung ändern die Kongruenz nicht.

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie sich durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau zur Deckung bringen lassen. Form und Größe stimmen überein. Alle entsprechenden Seiten sind gleich lang, alle entsprechenden Winkel gleich groß.

Du kannst dir vorstellen, eine Figur auszuschneiden und auf die andere zu legen. Passt sie nach dem Verschieben, Drehen oder Wenden genau darauf, sind die Figuren deckungsgleich.

Die Position auf dem Blatt spielt keine Rolle. Eine gespiegelte Figur kann ebenfalls kongruent sein. Entscheidend sind gleiche Form und gleiche Größe.

Lernschritt 2

Entsprechende Ecken und Seiten zuordnen

Vergleiche nicht einfach links mit links oder oben mit oben. Nach einer Drehung können entsprechende Seiten anders liegen. Suche passende Seitenlängen und Winkel.

Schreibt man ΔABC ≅ ΔDEF, gibt die Reihenfolge die Zuordnung an: A gehört zu D, B zu E und C zu F. Entsprechend gehören AB zu DE, BC zu EF und AC zu DF.

Erstes Dreieck	Entsprechender Teil im zweiten
Ecke A	Ecke D
Seite AB	Seite DE
Seite BC	Seite EF
Winkel bei C	Winkel bei F

Beispiel: AB = 3 cm, BC = 4 cm und AC = 5 cm. Sind DE = 3 cm, EF = 4 cm und DF = 5 cm, stimmen alle drei entsprechenden Seiten überein. Die Dreiecke sind kongruent.

Lernschritt 3

Die Kongruenzsätze für Dreiecke

Du musst nicht immer alle Seiten und Winkel vergleichen. Bestimmte Kombinationen von Angaben legen ein Dreieck bis auf Lage und Spiegelung eindeutig fest.

Satz	Welche Angaben stimmen überein?	Darauf kommt es an
SSS	Drei entsprechende Seiten	Die Seiten müssen ein Dreieck bilden können.
SWS	Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel	Der Winkel liegt zwischen den beiden Seiten.
WSW	Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel	Die Seite liegt zwischen den beiden Winkeln.
SsW	Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite	Die Lage des gegebenen Winkels ist entscheidend.

SSS: Die Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm bestimmen ein Dreieck eindeutig. SWS: Zwei Seiten von 4 cm und 6 cm mit einem eingeschlossenen Winkel von 50° bestimmen ebenfalls ein Dreieck eindeutig.

WSW: Eine Seite von 5 cm mit den anliegenden Winkeln 45° und 65° legt das Dreieck fest. Der dritte Winkel beträgt 70°. Sind eine Seite und zwei andere eindeutig zugeordnete Winkel bekannt, kannst du zunächst den fehlenden Winkel berechnen und dann WSW anwenden.

Die Schreibweise SsW betont die längere Seite mit dem großen S. In manchen Materialien steht SSW. Achte in jedem Fall auf die Bedingung: Der gegebene Winkel muss dem längeren der beiden bekannten Seiten gegenüberliegen.

Lernschritt 4

Welche Angaben reichen nicht?

Drei Winkel allein legen die Größe nicht fest. Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 3 cm und eines mit Seitenlänge 6 cm haben beide drei 60°-Winkel. Sie sind ähnlich, aber nicht kongruent.

Zwei Seiten und irgendein Winkel reichen nicht als allgemeiner Kongruenzsatz. Liegt der Winkel nicht zwischen den Seiten und gegenüber der kürzeren bekannten Seite, können je nach Angaben zwei, ein oder kein Dreieck entstehen. Du darfst deshalb nicht aus jeder SSW-Angabe sofort Eindeutigkeit folgern.

Gleicher Umfang oder gleicher Flächeninhalt beweist ebenfalls keine Kongruenz. Zum Beispiel haben ein Rechteck mit 2 cm und 6 cm Seitenlänge und eines mit 3 cm und 4 cm beide 12 cm² Fläche, aber unterschiedliche Formen.

Lernschritt 5

Erst entscheiden, dann die Begründung lesen

Probier es selbst: Zwei Dreiecke haben die Seiten 5 cm, 5 cm und 6 cm. Reicht das?

Lösung ansehen

Ja, nach SSS. Alle drei entsprechenden Seiten stimmen überein; die Seiten erfüllen auch die Dreiecksungleichung.

Probier es selbst: Zwei Dreiecke haben Winkel von 40°, 60° und 80°. Sind sie sicher kongruent?

Lösung ansehen

Nein. Sie können unterschiedlich groß sein. Die Winkel sichern nur die gleiche Form, also Ähnlichkeit.

Probier es selbst: Die Seiten 4 cm und 7 cm und der Winkel zwischen ihnen stimmen überein. Welcher Satz passt?

Lösung ansehen

SWS. Wichtig ist, dass der Winkel ausdrücklich zwischen den beiden bekannten Seiten liegt.

Lernschritt 6

So begründest du Kongruenz sauber

Ordne die Ecken und Seiten einander zu.
Markiere die gegebenen gleichen Längen und Winkel.
Prüfe, welcher Kongruenzsatz genau zu diesen Angaben passt.
Kontrolliere bei SWS den eingeschlossenen Winkel und bei SsW die gegenüberliegende längere Seite.
Schreibe den Satz als Begründung dazu.

Eine vollständige Begründung lautet zum Beispiel: „Die Dreiecke sind nach SSS kongruent, weil ihre drei entsprechenden Seiten paarweise gleich lang sind.“ Das bloße Aussehen einer Skizze reicht dafür nicht aus.

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