1 · Zwei Winkel sind 50° und 60°. Wie groß ist der dritte?
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180° − 50° − 60° = 70°. Die Probe ergibt 180°.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Dreiecke: verstehen und üben
Erkenne Dreiecksarten, berechne fehlende Winkel und prüfe, ob drei Seiten ein Dreieck bilden können. Mit Zeichnungen, Beispielen und Aufgaben zum Selbstcheck.
Drei Winkel ergeben zusammen
α + β + γ = 180°
Sind zwei Winkel 65° und 45° groß, bleibt für den dritten: 180° − 65° − 45° = 70°.
Lernschritt 1
Seiten, Ecken und Innenwinkel im Dreieck
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Seiten und drei Ecken. Seine drei Eckpunkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen. An jeder Ecke befindet sich ein Innenwinkel.
Oft werden die Ecken A, B und C genannt. Die gegenüberliegenden Seiten heißen dann a, b und c. Für die Winkel verwendet man zum Beispiel α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma). Prüfe die Beschriftung in deiner Aufgabe: Entscheidend ist, welche Ecke beziehungsweise Seite gemeint ist.
Eine Drehung verändert weder Seitenlängen noch Winkel. Ein Dreieck bleibt dieselbe Dreiecksart, auch wenn seine Spitze nach unten oder zur Seite zeigt.
Lernschritt 2
Dreiecke nach ihren Seiten einteilen
| Dreiecksart | Eigenschaft | Was folgt daraus? |
|---|---|---|
| Gleichseitig | Alle drei Seiten sind gleich lang. | Alle drei Winkel betragen 60°. |
| Gleichschenklig | Mindestens zwei Seiten sind gleich lang. | Die Winkel gegenüber diesen Seiten sind gleich groß. |
| Ungleichseitig | Alle drei Seiten sind unterschiedlich lang. | Auch die drei gegenüberliegenden Winkel sind unterschiedlich groß. |
Bei einem gleichschenkligen Dreieck nennt man zwei gleich lange Seiten die Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis. Die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß.
Wir verwenden hier „mindestens zwei gleich lange Seiten“. Damit ist ein gleichseitiges Dreieck ein besonderer Fall des gleichschenkligen Dreiecks. Wird in deinem Unterricht „genau zwei“ festgelegt, wird dort enger unterschieden.
Probier es selbst: Ein Dreieck hat die Seitenlängen 5 cm, 5 cm und 6 cm. Welche Art ist es?
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Es ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. Die beiden Seiten mit 5 cm sind die Schenkel, die Seite mit 6 cm ist die Basis.
Lernschritt 3
Dreiecke nach ihren Winkeln einteilen
| Dreiecksart | Eigenschaft |
|---|---|
| Spitzwinklig | Alle drei Innenwinkel sind kleiner als 90°. |
| Rechtwinklig | Ein Innenwinkel ist genau 90°. |
| Stumpfwinklig | Ein Innenwinkel ist größer als 90°. |
Die Einteilung nach Seiten und die Einteilung nach Winkeln beschreiben unterschiedliche Eigenschaften. Ein Dreieck kann daher zum Beispiel gleichschenklig und rechtwinklig sein. Seine Winkel sind dann 45°, 45° und 90°.
Ein echtes Dreieck kann höchstens einen rechten oder stumpfen Innenwinkel haben. Zwei rechte Winkel würden bereits 180° ergeben. Für den dritten Winkel bliebe nichts übrig.
Lernschritt 4
Fehlende Winkel mit der Innenwinkelsumme berechnen
In jedem ebenen Dreieck beträgt die Summe der drei Innenwinkel 180°. Kennst du zwei Winkel, berechnest du den dritten durch Subtraktion.
γ = 180° − α − β
Beispiel: α = 65° und β = 45°.
- Addiere die bekannten Winkel: 65° + 45° = 110°.
- Ziehe die Summe von 180° ab: γ = 180° − 110° = 70°.
- Mache die Probe: 65° + 45° + 70° = 180°.
Der fehlende Winkel ist 70°. Alle drei Winkel liegen unter 90°, also ist das Dreieck spitzwinklig.
Probier es selbst: Die Winkel sind 100°, 50° und 40°. Kann das stimmen?
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Nein. Ihre Summe ist 190° statt 180°. Mindestens eine Angabe ist falsch, wenn es die drei Innenwinkel eines Dreiecks sein sollen.
Lernschritt 5
Mit gleich großen Winkeln rechnen
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Ist der Winkel zwischen den beiden gleich langen Schenkeln 40°, bleiben für beide Basiswinkel zusammen 180° − 40° = 140°. Teile durch zwei:
Basiswinkel = 140° : 2 = 70°
Achte genau darauf, welcher Winkel gegeben ist. Ist stattdessen ein Basiswinkel 40°, ist der andere ebenfalls 40°. Der Winkel an der Spitze beträgt dann 180° − 40° − 40° = 100°.
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Deshalb gilt 180° : 3 = 60°. „Gleich lange Seiten“ und „gleich große gegenüberliegende Winkel“ gehören zusammen.
Probier es selbst: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Basiswinkel von 55°. Berechne den Spitzenwinkel.
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Der zweite Basiswinkel ist ebenfalls 55°. Der Spitzenwinkel beträgt 180° − 55° − 55° = 70°.
Lernschritt 6
Können drei Seiten ein Dreieck bilden?
Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste Seite. Sonst können sich die Endpunkte nicht zu einem echten Dreieck schließen. Das ist eine praktische Form der Dreiecksungleichung.
| Seitenlängen | Prüfung | Dreieck möglich? |
|---|---|---|
| 3 cm, 4 cm, 5 cm | 3 + 4 > 5 | Ja. |
| 2 cm, 3 cm, 5 cm | 2 + 3 = 5 | Nein, nur eine gestreckte Lage. |
| 2 cm, 3 cm, 6 cm | 2 + 3 < 6 | Nein, die kurzen Seiten reichen nicht. |
Allgemein muss die Summe von je zwei Seiten größer als die dritte sein. Bei positiven Seitenlängen genügt es, die beiden kürzeren mit der längsten zu vergleichen.
Lernschritt 7
Typische Fehler bei Dreiecken vermeiden
- 360° statt 180° verwendet: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180°.
- Spitzenwinkel und Basiswinkel verwechselt: Markiere zuerst, welche Winkel gleich groß sind.
- Nur einen kleinen Winkel gesehen und „spitzwinklig“ gesagt: Dafür müssen alle drei Winkel kleiner als 90° sein.
- Seiten- und Winkelarten vermischt: Gib bei Bedarf beide Einteilungen an.
- Der Skizze zu sehr vertraut: Rechne mit den angegebenen Werten. Skizzen müssen nicht maßstabsgetreu sein.
Als nächsten Schritt kannst du Winkel messen und Dreiecke mit Lineal, Geodreieck und Zirkel konstruieren. Das vertiefende Material unten knüpft daran an.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Winkel hat ein gleichseitiges Dreieck?
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60°, 60° und 60°. Alle drei sind gleich groß und ergeben zusammen 180°.
Erklärung wiederholen →3 · Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Spitzenwinkel von 80°. Wie groß sind die Basiswinkel?
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180° − 80° = 100°. Beide Basiswinkel sind gleich groß, also je 100° : 2 = 50°.
Erklärung wiederholen →4 · Wie ordnest du ein Dreieck mit 90°, 45° und 45° ein?
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Es ist rechtwinklig und gleichschenklig. Ein Winkel ist 90°; die beiden gleichen Winkel liegen zwei gleich langen Seiten gegenüber.
Erklärung wiederholen →5 · Können 4 cm, 5 cm und 10 cm ein Dreieck bilden?
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Nein. 4 cm + 5 cm = 9 cm ist kleiner als 10 cm. Die beiden kürzeren Seiten reichen nicht.
Erklärung wiederholen →6 · Kann ein Dreieck zwei stumpfe Innenwinkel haben?
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Nein. Jeder wäre größer als 90°. Zusammen wären sie schon größer als 180°, bevor der dritte dazukommt.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Hat jedes Dreieck einen rechten Winkel?
Nein. Nur rechtwinklige Dreiecke haben einen Winkel von 90°. Es gibt auch spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
Ist ein gleichseitiges Dreieck auch gleichschenklig?
Mit der hier verwendeten Definition „mindestens zwei gleich lange Seiten“ ja. Es erfüllt diese Bedingung und hat zusätzlich eine gleich lange dritte Seite.
Reichen zwei Winkel, um die Seitenlängen zu kennen?
Nein. Zwei Winkel legen zwar den dritten Winkel fest, aber nicht die Größe des Dreiecks. Ähnliche Dreiecke können dieselben Winkel und unterschiedliche Seitenlängen haben.