Du bestimmst Dreiecksarten, berechnest fehlende Winkel und prüfst, ob drei Seiten ein echtes Dreieck bilden können.
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Winkel in Grad, Grundrechenarten und Vergleichen von Längen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Bestimme die Dreiecksart nach den Seiten, berechne den fehlenden Winkel und prüfe anschließend, ob die drei Seiten ein Dreieck bilden können.
Winkel: Zahl mit oder ohne °, etwa 65 oder 65°. Seitenarten: gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig. Winkelarten: spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig. Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Seiten, Ecken und Innenwinkel im Dreieck
Drei Winkel ergeben zusammen
α + β + γ = 180°
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Innenwinkelsumme anwenden
Dreieck · zwei Innenwinkel: 65° und 45° Gesucht: der dritte Innenwinkel γ
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
65° + 45° = 110°
1 Die bekannten Winkel addieren
Addiere die beiden bekannten Innenwinkel.
γ = 180° − 110° = 70°
2 Den fehlenden Winkel berechnen
Der dritte Innenwinkel ergänzt die Summe auf 180°.
Die Seite a liegt gegenüber von A, b gegenüber von B und c gegenüber von C. Die Innenwinkel heißen hier α, β und γ. Skizze, nicht maßstabsgetreu.
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Seiten und drei Ecken. Seine drei Eckpunkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen. An jeder Ecke befindet sich ein Innenwinkel.
Oft werden die Ecken A, B und C genannt. Die gegenüberliegenden Seiten heißen dann a, b und c. Für die Winkel verwendet man zum Beispiel α (Alpha), β (Beta) und γ (Gamma). Prüfe die Beschriftung in deiner Aufgabe: Entscheidend ist, welche Ecke beziehungsweise Seite gemeint ist.
Eine Drehung verändert weder Seitenlängen noch Winkel. Ein Dreieck bleibt dieselbe Dreiecksart, auch wenn seine Spitze nach unten oder zur Seite zeigt.
Dreiecke nach ihren Seiten einteilen
Dreiecksart
Eigenschaft
Was folgt daraus?
Gleichseitig
Alle drei Seiten sind gleich lang.
Alle drei Winkel betragen 60°.
Gleichschenklig
Mindestens zwei Seiten sind gleich lang.
Die Winkel gegenüber diesen Seiten sind gleich groß.
Ungleichseitig
Alle drei Seiten sind unterschiedlich lang.
Auch die drei gegenüberliegenden Winkel sind unterschiedlich groß.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck nennt man zwei gleich lange Seiten die Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis. Die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß.
Wir verwenden hier „mindestens zwei gleich lange Seiten“. Damit ist ein gleichseitiges Dreieck ein besonderer Fall des gleichschenkligen Dreiecks. Wird in deinem Unterricht „genau zwei“ festgelegt, wird dort enger unterschieden.
Probier es selbst: Ein Dreieck hat die Seitenlängen 5 cm, 5 cm und 6 cm. Welche Art ist es?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Seitenlängen prüfen und vergleichen
Seitenlängen: 5 cm, 5 cm und 6 cm Gesucht: die Dreiecksart nach den Seiten
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
5 cm + 5 cm = 10 cm > 6 cm
1 Die Dreiecksungleichung prüfen
Die positiven Seitenlängen bilden ein Dreieck: Die beiden kürzeren Seiten sind zusammen länger als die längste.
5 cm = 5 cm 5 cm ≠ 6 cm
2 Die Seitenlängen vergleichen
Zwei Seiten sind gleich lang, die dritte unterscheidet sich.
gleichschenklig, nicht gleichseitig
3 Die Dreiecksart benennen
Die beiden 5-cm-Seiten sind die Schenkel; die 6-cm-Seite ist die Basis.
Dreiecke nach ihren Winkeln einteilen
Dreiecksart
Eigenschaft
Spitzwinklig
Alle drei Innenwinkel sind kleiner als 90°.
Rechtwinklig
Ein Innenwinkel ist genau 90°.
Stumpfwinklig
Ein Innenwinkel ist größer als 90°.
Das kleine Quadrat markiert den rechten Winkel bei A. Die beiden anderen Innenwinkel ergänzen sich zu 90°.
Die Einteilung nach Seiten und die Einteilung nach Winkeln beschreiben unterschiedliche Eigenschaften. Ein Dreieck kann daher zum Beispiel gleichschenklig und rechtwinklig sein.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechte und gleich große Winkel verbinden
Gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck Gesucht: die beiden übrigen Innenwinkel
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
180° − 90° = 90°
1 Den rechten Winkel abziehen
Nach dem rechten Winkel bleiben für die beiden anderen Innenwinkel zusammen 90°.
90° : 2 = 45°
2 Den Rest gleichmäßig aufteilen
Die beiden übrigen Winkel sind im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck gleich groß.
45° + 45° + 90° = 180°
3 Die Innenwinkelsumme prüfen
Die drei Winkel sind 45°, 45° und 90°. Die Probe bestätigt die Innenwinkelsumme.
Beispiel · Schritt für Schritt
Warum ist höchstens ein rechter oder stumpfer Winkel möglich?
Annahme: Ein Dreieck hätte zwei rechte Innenwinkel
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
90° + 90° = 180°
1 Zwei rechte Winkel addieren
Zwei rechte Winkel würden die gesamte Innenwinkelsumme bereits verbrauchen.
180° − 180° = 0°
2 Den verbleibenden Winkel prüfen
Für den dritten Innenwinkel bliebe 0°. Ein echtes Dreieck benötigt drei positive Innenwinkel.
α ≥ 90°, β ≥ 90° ⇒ α + β ≥ 180°
3 Auf stumpfe Winkel übertragen
Auch bei stumpfen Winkeln reicht die Winkelsumme nicht. Ein echtes Dreieck hat höchstens einen rechten oder stumpfen Innenwinkel.
Fehlende Winkel mit der Innenwinkelsumme berechnen
In jedem ebenen Dreieck beträgt die Summe der drei Innenwinkel 180°. Kennst du zwei Winkel, berechnest du den dritten durch Subtraktion.
γ = 180° − α − β
Beispiel: α = 65° und β = 45°.
Beispiel · Schritt für Schritt
Den dritten Winkel berechnen und das Dreieck einordnen
Dreieck · α = 65° · β = 45° Gesucht: γ und die Winkelart des Dreiecks
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
α + β = 65° + 45° = 110°
1 Die bekannten Winkel addieren
Addiere die beiden bekannten Innenwinkel.
γ = 180° − 110° = 70°
2 Von 180° abziehen
Subtrahiere die Summe von 180°.
65° + 45° + 70° = 180°
3 Die Summe kontrollieren
Prüfe durch Addition aller drei Winkel.
65° < 90°, 45° < 90°, 70° < 90°
4 Alle drei Winkel einordnen
Alle drei Innenwinkel sind spitz. Deshalb ist das Dreieck spitzwinklig.
Der fehlende Winkel ist 70°. Alle drei Winkel liegen unter 90°, also ist das Dreieck spitzwinklig.
Probier es selbst: Die Winkel sind 100°, 50° und 40°. Kann das stimmen?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Können diese Winkel zu einem Dreieck gehören?
Angegebene Innenwinkel: 100°, 50° und 40°
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
100° + 50° + 40° = 190°
1 Die drei Winkel addieren
Addiere alle angegebenen Innenwinkel.
190° ≠ 180°
2 Mit 180° vergleichen
Die Summe stimmt nicht mit der Innenwinkelsumme eines ebenen Dreiecks überein. Mindestens eine Angabe ist falsch.
Mit gleich großen Winkeln rechnen
Beispiel · Schritt für Schritt
Vom Spitzenwinkel zu den Basiswinkeln
Gleichschenkliges Dreieck · Spitzenwinkel: 40° Gesucht: die beiden Basiswinkel
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
α = β
1 Die gleichen Basiswinkel erkennen
Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Der gegebene Spitzenwinkel zwischen den Schenkeln beträgt 40°.
α + β = 180° − 40° = 140°
2 Den Spitzenwinkel abziehen
Ziehe den Spitzenwinkel von der Innenwinkelsumme ab.
α = β = 140° : 2 = 70°
3 Den Rest halbieren
Verteile die verbleibenden 140° gleichmäßig auf beide Basiswinkel.
70° + 70° + 40° = 180°
4 Die Summe kontrollieren
Die Probe bestätigt das Ergebnis.
Beispiel · Schritt für Schritt
Vom Basiswinkel zum Spitzenwinkel
Gleichschenkliges Dreieck · ein Basiswinkel: 40° Gesucht: der Spitzenwinkel γ
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
α = 40° β = 40°
1 Den zweiten Basiswinkel übertragen
Achte auf die Lage des gegebenen Winkels: Ist ein Basiswinkel 40°, ist der andere Basiswinkel ebenfalls 40°.
γ = 180° − 40° − 40°
2 Beide Basiswinkel abziehen
Ziehe beide Basiswinkel ab, um den Spitzenwinkel zu bestimmen.
γ = 100°
3 Den Spitzenwinkel berechnen
Das ist ein anderes Ergebnis als bei einem gegebenen Spitzenwinkel von 40°.
40° + 40° + 100° = 180°
4 Die Summe kontrollieren
Die Probe bestätigt die Winkel.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Winkelsumme gleichmäßig verteilen
Gleichseitiges Dreieck Gesucht: alle drei Innenwinkel
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
α = β = γ
1 Die Winkelgleichheit erkennen
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten und die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
α = β = γ = 180° : 3 = 60°
2 180° durch drei teilen
Teile die gesamte Innenwinkelsumme gleichmäßig durch drei.
60° + 60° + 60° = 180°
3 Die Summe kontrollieren
Alle drei Winkel betragen 60°. Gleich lange Seiten und gleich große gegenüberliegende Winkel gehören zusammen.
Probier es selbst: Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Basiswinkel von 55°. Berechne den Spitzenwinkel.
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den Spitzenwinkel berechnen
Gleichschenkliges Dreieck · ein Basiswinkel: 55° Gesucht: der Spitzenwinkel
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
α = β = 55°
1 Beide Basiswinkel festhalten
Der gegebene Winkel liegt an der Basis. Deshalb ist auch der zweite Basiswinkel 55°.
γ = 180° − 55° − 55° = 70°
2 Von 180° abziehen
Ziehe beide Basiswinkel von der Innenwinkelsumme ab.
55° + 55° + 70° = 180°
3 Die Summe kontrollieren
Die Probe stimmt; der Spitzenwinkel beträgt 70°.
Können drei Seiten ein Dreieck bilden?
Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste Seite. Sonst können sich die Endpunkte nicht zu einem echten Dreieck schließen. Das ist eine praktische Form der Dreiecksungleichung.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ist mit diesen Seiten ein Dreieck möglich?
Seitenlängen: 3 cm, 4 cm und 5 cm
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
3 cm ≤ 4 cm ≤ 5 cm
1 Die längste Seite bestimmen
Alle Seitenlängen sind positiv und bereits nach Größe geordnet. 5 cm ist die längste Seite.
3 cm + 4 cm = 7 cm > 5 cm
2 Die kürzeren Seiten addieren
Die beiden kürzeren Seiten sind zusammen länger als die längste.
Dreieck möglich
3 Die Möglichkeit beurteilen
Die strenge Dreiecksungleichung ist erfüllt. Bei positiven Seitenlängen genügt diese Prüfung der längsten Seite.
Beispiel · Schritt für Schritt
Reicht Gleichheit bei der Dreiecksungleichung?
Seitenlängen: 2 cm, 3 cm und 5 cm
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
2 cm ≤ 3 cm ≤ 5 cm
1 Die längste Seite bestimmen
Bestimme die längste Seite: 5 cm.
2 cm + 3 cm = 5 cm
2 Die Seitensumme vergleichen
Die kürzeren Seiten sind zusammen nur genauso lang wie die längste.
Kein echtes Dreieck
3 Die gestreckte Lage erkennen
Die Endpunkte liegen nur in gestreckter Lage auf einer Geraden. Gefordert ist strikt größer, nicht gleich.
Beispiel · Schritt für Schritt
Sind die kürzeren Seiten zusammen lang genug?
Seitenlängen: 2 cm, 3 cm und 6 cm
Rechnung und PrüfungErklärung zum Schritt
2 cm ≤ 3 cm ≤ 6 cm
1 Die längste Seite bestimmen
Bestimme die längste Seite: 6 cm.
2 cm + 3 cm = 5 cm < 6 cm
2 Die kürzeren Seiten addieren
Die beiden kürzeren Seiten reichen zusammen nicht bis zum anderen Endpunkt der längsten Seite.
Kein Dreieck möglich
3 Die Möglichkeit beurteilen
Die Dreiecksungleichung ist verletzt.
Allgemein muss die Summe von je zwei Seiten größer als die dritte sein. Bei positiven Seitenlängen genügt es, die beiden kürzeren mit der längsten zu vergleichen.
Typische Fehler bei Dreiecken vermeiden
360° statt 180° verwendet: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180°.
Spitzenwinkel und Basiswinkel verwechselt: Markiere zuerst, welche Winkel gleich groß sind.
Nur einen kleinen Winkel gesehen und „spitzwinklig“ gesagt: Dafür müssen alle drei Winkel kleiner als 90° sein.
Seiten- und Winkelarten vermischt: Gib bei Bedarf beide Einteilungen an.
Der Skizze zu sehr vertraut: Rechne mit den angegebenen Werten. Skizzen müssen nicht maßstabsgetreu sein.
Als nächsten Schritt kannst du Winkel messen und Dreiecke mit Lineal, Geodreieck und Zirkel konstruieren. Das vertiefende Material unten knüpft daran an.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Seitenart und Winkelart beschreiben unterschiedliche Eigenschaften. Die Seite verwendet für gleichschenklig die Definition „mindestens zwei gleich lange Seiten“.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Zwei Winkel sind 50° und 60°. Wie groß ist der dritte?
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Hat jedes Dreieck einen rechten Winkel?
Nein. Nur rechtwinklige Dreiecke haben einen Winkel von 90°. Es gibt auch spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke.
Ist ein gleichseitiges Dreieck auch gleichschenklig?
Mit der hier verwendeten Definition „mindestens zwei gleich lange Seiten“ ja. Es erfüllt diese Bedingung und hat zusätzlich eine gleich lange dritte Seite.
Reichen zwei Winkel, um die Seitenlängen zu kennen?
Nein. Zwei Winkel legen zwar den dritten Winkel fest, aber nicht die Größe des Dreiecks. Ähnliche Dreiecke können dieselben Winkel und unterschiedliche Seitenlängen haben.
Addiere die beiden bekannten Innenwinkel.