Mathe · etwa 25–40 Minuten
Vierecke
Du ordnest Vierecke anhand gesicherter Eigenschaften ein, erkennst ihre Verwandtschaft und berechnest fehlende Innenwinkel.
Voraussetzungen ansehen
Parallele Seiten, rechte Winkel und Grundrechenarten.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Ordne das Viereck möglichst genau ein, prüfe danach die Aussage zur Vierecksfamilie und berechne den fehlenden Winkel.
Vierecksarten: Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez oder Drachenviereck. Winkel: Zahl mit oder ohne °. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein. Gesucht ist bei Einordnungen die genaueste sicher belegte Art.
02 · Verstehen
Was ist ein Viereck?
Eigenschaften statt Augenmaß
Vier gleich lange Seiten
+ vier rechte Winkel
= Quadrat
Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat. Entscheidend sind seine Seiten und Winkel.
Ein Viereck ist eine geschlossene ebene Figur mit vier Seiten und vier Ecken. Hier betrachten wir einfache Vierecke, deren Seiten sich nicht überkreuzen. Die Ecken benennst du der Reihe nach mit A, B, C und D.
Die Seiten AB und BC sind benachbart: Sie treffen sich in B. AB und CD sind gegenüberliegend: Sie haben keine gemeinsame Ecke. Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Im Viereck ABCD sind das AC und BD.
Um ein Viereck zuzuordnen, prüfst du drei Dinge: Welche Seiten sind gleich lang? Welche Seiten sind parallel? Welche Winkel sind rechte Winkel? Die Ausrichtung auf dem Blatt ist kein Zuordnungsmerkmal.
Die wichtigsten Vierecksarten im Überblick
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Trapez
Drachenviereck
Die Zeichnungen zeigen Beispiele. Aus dem Aussehen allein kannst du Eigenschaften nicht sicher beweisen. Verwende Angaben, Markierungen oder Messungen. Gleich lange Seiten werden häufig mit gleichen kleinen Strichen markiert, rechte Winkel mit einem kleinen Quadrat.
Beim Trapez gibt es zwei gebräuchliche Definitionen: „mindestens ein Paar paralleler Seiten“ oder „genau ein Paar“. Wir verwenden hier „mindestens ein Paar“. Falls dein Unterricht die andere Definition nutzt, richtet sich die Einordnung dort danach.
Warum ein Quadrat auch ein Rechteck und eine Raute ist
Vierecksarten schließen sich nicht gegenseitig aus. Ein Quadrat erfüllt gleichzeitig die Merkmale mehrerer Arten:
Beispiel · Schritt für Schritt
Welche weiteren Vierecksarten passen zum Quadrat?
Gegeben: ein Quadrat
Vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Vier rechte Winkel → Rechteck
Vier gleich lange Seiten → Raute
2 Die Rauten-Eigenschaft prüfen
Ein Quadrat erfüllt auch die Definition einer Raute.
Zwei parallele Seitenpaare → Parallelogramm
3 Die Parallelität prüfen
Die gegenüberliegenden Seiten eines Quadrats sind paarweise parallel.
Mindestens ein paralleles Seitenpaar → Trapez
4 Die Trapezdefinition anwenden
Nach der hier gewählten einschließenden Trapezdefinition ist ein Quadrat damit auch ein Trapez.
Gleich lange benachbarte Seitenpaare → Drachenviereck
5 Die Drachen-Eigenschaft prüfen
Auch die hier verwendete Drachenviereck-Definition ist erfüllt. Die Bezeichnungen schließen sich nicht gegenseitig aus.
Beispiel · Schritt für Schritt
Warum ist nicht jedes Rechteck und jede Raute ein Quadrat?
Vergleiche: Rechteck mit Seiten 3 cm und 5 cm
Raute mit einem Winkel ungleich 90°
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Rechteck mit Seiten 3 cm und 5 cm
1 Ein Rechteck als Gegenbeispiel wählen
Dieses Rechteck hat vier rechte Winkel, aber unterschiedliche Längen benachbarter Seiten.
3 cm ≠ 5 cm → kein Quadrat
2 Die Seitenlängen vergleichen
Damit ist gezeigt: Nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
Raute mit einem Winkel ungleich 90°
3 Eine Raute als Gegenbeispiel prüfen
Auch eine Raute muss kein Quadrat sein. Ihre vier Seiten sind zwar gleich lang, ihre Winkel müssen aber nicht recht sein.
| Wenn du weißt … | Dann folgt … |
|---|---|
| Quadrat | auch Rechteck, Raute und Parallelogramm |
| Rechteck | auch Parallelogramm |
| Raute | auch Parallelogramm |
| Parallelogramm | bei unserer Definition auch Trapez |
Beispiel · Schritt für Schritt
Welche Vierecksart ist sicher?
Vier gleich lange Seiten
Zu den Winkeln gibt es keine Angaben
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Vier gleich lange Seiten
1 Die Seitenangabe auswerten
Diese Angabe sichert die Einordnung als Raute.
Keine Winkelangaben
2 Fehlende Winkelangaben beachten
Ob zusätzlich vier rechte Winkel vorliegen, ist nicht bekannt.
Genaueste sichere Art: Raute
3 Die genaueste sichere Art benennen
Nenne die speziellste durch die Angaben belegte Art. Ein Quadrat ist möglich, aber ohne weitere Angaben nicht gesichert.
Welches Viereck passt? Kleine Rätsel zum Aufklappen
Lies alle Angaben und entscheide zuerst selbst. Mehrere passende Namen sind möglich; gesucht ist jeweils die genaueste sichere Bezeichnung.
Probier es selbst: Vier rechte Winkel, Seitenlängen 4 cm und 7 cm. Welche Figur?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Das Viereck anhand seiner Eigenschaften bestimmen
Vier rechte Winkel · Seitenlängen 4 cm und 7 cm
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Vier rechte Winkel → Rechteck
1 Die rechten Winkel auswerten
Die Winkel sichern die Einordnung als Rechteck.
4 cm ≠ 7 cm
2 Die Seitenlängen vergleichen
Nicht alle vier Seiten sind gleich lang, also ist die Figur kein Quadrat.
Genaueste Art: Rechteck
3 Die genaueste Art benennen
Sie ist außerdem ein Parallelogramm und nach unserer Definition auch ein Trapez.
Probier es selbst: Alle vier Seiten sind 5 cm lang. Ein Winkel beträgt 60°. Welche Figur?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Raute oder Quadrat?
Alle vier Seiten: 5 cm · ein Winkel: 60°
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Vier Seiten mit jeweils 5 cm → Raute
1 Die gleichen Seiten erkennen
Alle vier Seiten sind gleich lang.
60° ≠ 90°
2 Den Winkel mit 90° vergleichen
Ein Winkel ist nicht recht; damit ist ein Quadrat ausgeschlossen.
Genaueste Art: Raute
3 Die genaueste Art benennen
Für ein Quadrat müssten alle Winkel 90° betragen.
Probier es selbst: Zwei Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel. Weitere Angaben fehlen. Was weißt du sicher?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die sicher belegte Vierecksart bestimmen
Zwei Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel
Weitere Angaben fehlen
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Zwei parallele gegenüberliegende Seitenpaare
1 Die Parallelität auswerten
Das ist die Definition eines Parallelogramms.
Keine weiteren Angaben
2 Weitere Eigenschaften offenlassen
Rechte Winkel oder vier gleich lange Seiten sind nicht gesichert.
Genaueste sichere Art: Parallelogramm
3 Die genaueste sichere Art benennen
Es könnte zusätzlich ein Rechteck, eine Raute oder ein Quadrat sein. Nach unserer Trapezdefinition ist es jedenfalls auch ein Trapez.
Probier es selbst: Ein Quadrat wird auf eine Ecke gestellt. Wird es dadurch zu einer anderen Figur?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Verändert die Drehung die Vierecksart?
Ein Quadrat wird auf eine Ecke gedreht
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Seitenlängen bleiben gleich
1 Die Seitenlängen vergleichen
Eine Drehung verändert die vier gleich langen Seiten nicht.
Rechte Winkel bleiben erhalten
2 Die Winkel vergleichen
Auch die vier Winkel bleiben 90° groß.
Weiterhin ein Quadrat
3 Die Figur einordnen
Nein, die Art ändert sich nicht. Das Quadrat war schon vor der Drehung auch eine Raute.
Innenwinkelsumme im Viereck: 360°
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Innenwinkelsumme von 360° begründen
Einfaches Viereck ohne überkreuzende Seiten
Hilfslinie: eine geeignete innere Diagonale
RechnungErklärung zum Schritt
Konvexes Viereck in zwei Dreiecke teilen
1 In zwei Dreiecke zerlegen
Zeichne eine Diagonale im Inneren. Sie zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
2 · 180° = 360°
2 Die Winkelsummen addieren
Addiere die beiden Dreieckswinkelsummen. Die Winkelteile an den Endpunkten der Diagonale ergeben wieder die Viereckswinkel.
Innenwinkelsumme = 360°
3 Den Geltungsbereich beachten
Die Aussage gilt für einfache Vierecke ohne überkreuzende Seiten. Auch ein nicht konvexes einfaches Viereck lässt sich mit einer geeigneten inneren Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen.
Sind drei Winkel 90°, 80° und 100° groß, berechnest du den vierten Winkel so:
Beispiel · Schritt für Schritt
Den fehlenden Winkel berechnen
Einfaches Viereck · bekannte Innenwinkel: 90°, 80° und 100°
Gesucht: der vierte Innenwinkel
RechnungErklärung zum Schritt
90° + 80° + 100° = 270°
1 Die bekannten Winkel addieren
Addiere die drei bekannten Innenwinkel.
x = 360° − 270° = 90°
2 Von 360° abziehen
Ziehe ihre Summe von der Innenwinkelsumme des einfachen Vierecks ab.
90° + 80° + 100° + 90° = 360°
3 Die Summe kontrollieren
Probe: Mit dem vierten Winkel stimmt die Gesamtsumme.
4 · 90° = 360°
4 Mit dem Rechteck vergleichen
Auch beim Rechteck ergeben seine vier rechten Winkel dieselbe Innenwinkelsumme.
Probier es selbst: Drei Innenwinkel sind 70°, 110° und 100°. Wie groß ist der vierte?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den vierten Innenwinkel bestimmen
Einfaches Viereck · bekannte Innenwinkel: 70°, 110° und 100°
RechnungErklärung zum Schritt
70° + 110° + 100° = 280°
1 Die bekannten Winkel addieren
Addiere die bekannten Innenwinkel.
x = 360° − 280° = 80°
2 Von 360° abziehen
Der fehlende vierte Innenwinkel beträgt 80°.
Vierecke sicher prüfen und Fehler vermeiden
- Prüfe, dass du eine geschlossene Figur mit vier Seiten vor dir hast.
- Vergleiche gegenüberliegende und benachbarte Seiten getrennt.
- Prüfe die Parallelität mit dem Geodreieck.
- Kontrolliere rechte Winkel und gleiche Seitenlängen anhand der Angaben oder durch Messen.
- Nenne die passende Art und begründe sie mit ihren Eigenschaften.
- Raute mit „schiefem Quadrat“ gleichgesetzt: Eine Raute braucht vier gleich lange Seiten, aber keine rechten Winkel.
- Rechteck und Quadrat als Gegensätze behandelt: Jedes Quadrat ist ein besonderes Rechteck.
- Nach dem Aussehen geraten: Eine Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein.
- Winkelsumme verwechselt: Im Viereck sind es 360°, im Dreieck 180°.
Wenn du die Formen sicher unterscheidest, kannst du als nächsten Schritt ihren Umfang und Flächeninhalt berechnen. Dafür findest du unten ein zusätzliches Arbeitsblatt.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Hier gilt: Ein Trapez hat mindestens ein Paar paralleler Seiten. Eine Figur kann deshalb mehrere Bezeichnungen gleichzeitig erfüllen.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Welche zwei Eigenschaften kennzeichnen ein Quadrat?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Ein Quadrat sicher erkennen
Gesucht: die zwei entscheidenden Eigenschaften eines Quadrats
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Vier gleich lange Seiten
1 Die Seitenlängen prüfen
Prüfe die Seitenlängen anhand gesicherter Angaben.
Vier rechte Winkel
2 Die rechten Winkel prüfen
Prüfe zusätzlich, dass die Winkel jeweils 90° betragen.
Beides zusammen → Quadrat
3 Beide Eigenschaften verbinden
Erst beide Eigenschaften gemeinsam sichern diese Einordnung.
2 · Ist jedes Rechteck ein Quadrat?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Behauptung mit einem Gegenbeispiel prüfen
Behauptung: Jedes Rechteck ist ein Quadrat
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Rechteck: vier rechte Winkel
1 Die Rechteckdefinition festhalten
Für ein Rechteck sind gleiche Längen aller vier Seiten nicht vorgeschrieben.
Beispiel: 3 cm und 5 cm
2 Ein Gegenbeispiel wählen
Ein solches Rechteck hat zwei verschiedene Seitenlängen.
Nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat
3 Die Behauptung beurteilen
Das Beispiel erfüllt die Quadratbedingung „vier gleich lange Seiten“ nicht.
3 · Wie heißen die Diagonalen im Viereck ABCD?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Nicht benachbarte Ecken verbinden
Viereck ABCD · Ecken der Reihe nach benannt
Gesucht: die beiden Diagonalen
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
A und C sind nicht benachbart
1 Die erste Verbindung bestimmen
Die Verbindung AC ist eine Diagonale.
B und D sind nicht benachbart
2 Die zweite Verbindung bestimmen
Die Verbindung BD ist die zweite Diagonale.
Diagonalen: AC und BD
3 Beide Diagonalen angeben
Die Ecken A, B, C und D werden der Reihe nach entlang des Vierecks benannt.
4 · Vier gleich lange Seiten, keine Winkelangabe: Was ist sicher?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die genaueste sichere Vierecksart nennen
Vier gleich lange Seiten · keine Winkelangabe
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Vier gleich lange Seiten → Raute
1 Die Seitenangabe zuordnen
Die Seitenangaben erfüllen sicher die Rautendefinition.
Keine Winkelangaben
2 Die Winkel offenlassen
Vier rechte Winkel sind weder belegt noch ausgeschlossen.
Quadrat möglich, aber nicht gesichert
3 Die sichere Aussage formulieren
Die genaueste sichere Bezeichnung ist Raute.
5 · Innenwinkel 90°, 95° und 85°: Berechne den vierten.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den fehlenden Innenwinkel berechnen
Einfaches Viereck · bekannte Innenwinkel: 90°, 95° und 85°
RechnungErklärung zum Schritt
90° + 95° + 85° = 270°
1 Die bekannten Winkel addieren
Addiere die bekannten Innenwinkel des einfachen Vierecks.
x = 360° − 270° = 90°
2 Von 360° abziehen
Ziehe die Summe von 360° ab.
90° + 95° + 85° + 90° = 360°
3 Die Summe kontrollieren
Kontrolliere die Innenwinkelsumme.
6 · Wird ein Quadrat durch Drehen zu einem Nicht-Quadrat?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bleibt ein gedrehtes Quadrat ein Quadrat?
Ein Quadrat wird gedreht
Eigenschaft und FolgerungErklärung zum Schritt
Seitenlängen unverändert
1 Die Seitenlängen prüfen
Eine Drehung erhält die vier gleich langen Seiten.
Winkel unverändert
2 Die Winkel prüfen
Auch die vier rechten Winkel bleiben erhalten.
Es bleibt ein Quadrat
3 Die Figur einordnen
Nein, die Lage auf dem Blatt verändert die Vierecksart nicht.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist jedes Quadrat eine Raute?
Ja. Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Ein Quadrat erfüllt diese Bedingung und hat zusätzlich vier rechte Winkel.
Ist ein Parallelogramm auch ein Trapez?
Bei der hier verwendeten Definition „mindestens ein Paar paralleler Seiten“ ja. Bei der Definition „genau ein Paar“ nein. Prüfe die Festlegung in deinem Unterricht.
Wie unterscheide ich Raute und Drachenviereck?
Bei einer Raute sind alle vier Seiten gleich lang. Ein Drachenviereck hat zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten; die beiden Paare müssen untereinander nicht gleich lang sein. Mit dieser Definition ist eine Raute ein besonderer Drachen.
Ein Quadrat erfüllt die Definition eines Rechtecks.