Mathe · etwa 25–40 Minuten
Du unterscheidest Radius und Durchmesser, ordnest Punkte am Kreis ein und berechnest als Vertiefung Umfang und Kreisfläche.
Längeneinheiten, Grundrechenarten und für Stufe 3 Quadratzahlen sowie einfache Quadratwurzeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Bestimme einen Durchmesser, ordne einen Punkt ein und berechne als Vertiefung einen Kreisumfang. Für die π-Aufgaben darfst du einen Taschenrechner verwenden.
Gib die Zahl in der verlangten Einheit ein, zum Beispiel 12,5 oder 1/2. Die Einheit darfst du ergänzen (cm² auch als cm^2). Verwende keine Tausenderpunkte. Punktlage: innen, auf oder außen. Bei π-Aufgaben: zwei Nachkommastellen oder exakt mit π, etwa 6π oder 6*pi. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Vom Mittelpunkt zum Rand
d = 2 · r
Bei einem Radius von 3 cm ist der Durchmesser 6 cm. Die Zirkelöffnung entspricht dem Radius.
Die Kreislinie besteht aus allen Punkten einer Ebene, die denselben Abstand von einem festen Punkt M haben. M heißt Mittelpunkt. Dieser gemeinsame Abstand heißt Radius.
Die Kreisfläche umfasst zusätzlich das Innere des Kreises. Stell dir einen runden Teller vor: Sein Rand entspricht der Kreislinie, die gesamte runde Oberfläche der Kreisfläche. Der Mittelpunkt liegt im Inneren, nicht auf der Kreislinie.
Jeder Punkt auf derselben Kreislinie ist gleich weit von M entfernt. Ob du nach oben, unten, links oder schräg zum Rand gehst: Die Radiuslänge bleibt gleich.
Eine Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt Radius. Mit r bezeichnet man meist ihre Länge. Ein Durchmesser ist eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft. Seine Länge d ist doppelt so groß wie r.
d = 2 · r und r = d : 2
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: r = 4 cm
Gesucht: der Durchmesser d
Der Durchmesser beträgt acht Zentimeter.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: d = 9 cm
Gesucht: der Radius r
Gegeben ist der Durchmesser; gesucht ist der halb so große Radius.
Der Radius beträgt viereinhalb Zentimeter.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: r = 12 mm
Gesucht: der Durchmesser d
Radius und gesuchter Durchmesser werden in Millimetern angegeben.
Der Durchmesser beträgt vierundzwanzig Millimeter.
Eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie heißt allgemein Sehne. Sie muss nicht durch M gehen. Ein Durchmesser ist also eine besondere Sehne: Er geht durch M und ist die längste Sehne des Kreises.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: d = 7 cm
Gesucht: die Zirkelöffnung
Die Zirkelöffnung entspricht dem Radius, nicht dem Durchmesser.
Öffne den Zirkel auf 3,5 cm.
Du möchtest einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius 2,5 cm zeichnen:
Ist statt des Radius ein Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst:
Beispiel · Schritt für Schritt
Gewünschter Durchmesser: 5 cm
Gesucht: die richtige Zirkelöffnung
Für den gewünschten Durchmesser von fünf Zentimetern brauchst du den halben Wert als Radius.
Öffnest du den Zirkel auf fünf Zentimeter, entsteht ein Kreis mit zehn Zentimetern Durchmesser.
Drücke nur leicht und halte den Zirkel am oberen Griff. Verrutscht die Spitze oder verändert sich die Öffnung, ist die Linie nicht mehr überall gleich weit von M entfernt.
Vergleiche den Abstand des Punktes vom Mittelpunkt mit dem Radius. Bei einem Kreis mit r = 3 cm gilt:
| Abstand zu M | Lage des Punktes |
|---|---|
| 2 cm, also kleiner als r | im Inneren |
| 3 cm, also gleich r | auf der Kreislinie |
| 4 cm, also größer als r | außerhalb |
Im Koordinatensystem zeichnest du zuerst den Mittelpunkt ein. Für M(2 | 1) und Radius 2 Koordinateneinheiten erhältst du diese vier Punkte:
Beispiel · Schritt für Schritt
Mittelpunkt M(2 | 1) · Radius: 2 Koordinateneinheiten
Gesucht: Randpunkte rechts, links, oben und unten
Ändere nur die x-Koordinate um zwei Einheiten.
Der Abstand zum Mittelpunkt beträgt ebenfalls zwei Einheiten.
Ändere nur die y-Koordinate um zwei Einheiten.
Alle vier Punkte liegen genau zwei Koordinateneinheiten von M entfernt und deshalb auf der Kreislinie.
Wenn du einen Kreis im Koordinatensystem zeichnest, verwende auf beiden Achsen denselben Maßstab. Sonst wirkt die Kreislinie auf dem Papier verzerrt. Zwei Koordinateneinheiten müssen nicht zwei Zentimeter sein.
Wenn Radius und Durchmesser sicher sitzen, kannst du damit weiterrechnen. Der Umfang U ist die Länge einmal um den Rand. Der Flächeninhalt A misst die Größe der Kreisfläche.
U = 2 · π · r = π · d
A = π · r²
Die Kreiszahl π ist ungefähr 3,14. Rechne am Taschenrechner mit der π-Taste und runde erst das Ergebnis. Für r = 3 cm erhältst du:
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: r = 3 cm
Gesucht: der Umfang U
Der Umfang ist die Länge der Kreislinie.
Multipliziere den Radius mit zwei und mit π.
Mit der π-Taste berechnet und auf zwei Nachkommastellen gerundet. Die Einheit bleibt eine Längeneinheit.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: r = 3 cm
Gesucht: der Flächeninhalt A
Der Flächeninhalt misst die Größe der gesamten Kreisfläche.
Quadrieren bedeutet den Radius mit sich selbst multiplizieren; dabei wird auch die Einheit quadriert.
Multipliziere mit π und runde mit der π-Taste auf zwei Nachkommastellen.
Beim Umfang steht eine Längeneinheit wie cm, beim Flächeninhalt eine Flächeneinheit wie cm². Das Quadrat in r² bedeutet r · r und nicht 2 · r.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: r = 2 cm
Gesucht: Durchmesser und exakter Umfang mit π
Verdopple den Radius. Dafür brauchst du π nicht.
Multipliziere den Durchmesser mit π. Die Darstellung mit π ist exakt.
Übe zunächst das Zeichnen mit vorgegebenem Radius und Durchmesser. Danach kannst du Kreismuster gestalten und kontrollieren, ob jeder Kreis seinen eigenen festen Mittelpunkt und Radius hat.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Stufe 3 vertieft die optionalen Kreisformeln. Verwende die π-Taste und runde erst am Ende. Das Zeichnen übst du zusätzlich mit dem vorhandenen Arbeitsblatt.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: r = 6 cm
Gesucht: d
Der Durchmesser besteht aus zwei Radien.
Der Durchmesser beträgt zwölf Zentimeter.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: d = 15 mm
Gesucht: r
Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser.
Die Einheit bleibt Millimeter.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: d = 8 cm
Gesucht: die Zirkelöffnung
Die Zirkelöffnung entspricht der Hälfte des Durchmessers.
Miss den Abstand von der Zirkelspitze bis zur Bleistiftmine am Lineal.
Lösung · Schritt für Schritt
Radius: 5 cm · Abstand von P zu M: 4 cm
Gesucht: die Lage von P
Beide Angaben stehen in Zentimetern.
P liegt im Inneren. Punkte auf der Kreislinie hätten genau fünf Zentimeter Abstand zum Mittelpunkt.
Nein. Sie ist eine Sehne. Nur wenn sie zusätzlich durch M verläuft, ist sie ein Durchmesser.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
Mittelpunkt M(1 | 2) · Radius: 3 Koordinateneinheiten
Gesucht: der rechte Randpunkt
Vom Mittelpunkt M(1 | 2) gehst du drei Koordinateneinheiten nach rechts.
Bei einer waagerechten Bewegung bleibt die y-Koordinate unverändert. Der Punkt liegt genau einen Radius rechts von M.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Weitere Flächenformen üben →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Unendlich viele Radiusstrecken: Zu jedem Punkt der Kreislinie führt eine vom Mittelpunkt aus. Alle haben dieselbe Länge.
Ja. Er muss durch den Mittelpunkt gehen und an beiden Enden auf der Kreislinie liegen. Seine Richtung spielt keine Rolle.
Nicht, wenn der Durchmesser gegeben ist. Dann gilt einfach r = d : 2. π brauchst du beispielsweise, wenn du mit Umfang oder Flächeninhalt rechnest.
Gegeben ist der Radius; gesucht ist der doppelt so große Durchmesser.