1 · r = 6 cm: Wie groß ist d?
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d = 2 · 6 cm = 12 cm. Der Durchmesser besteht aus zwei Radien.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Kreis: verstehen und üben
Verstehe Mittelpunkt, Radius und Durchmesser und zeichne Kreise sicher mit dem Zirkel. Mit beschrifteter Zeichnung, Rechenbeispielen und kostenlosen Arbeitsblättern.
Vom Mittelpunkt zum Rand
d = 2 · r
Bei einem Radius von 3 cm ist der Durchmesser 6 cm. Die Zirkelöffnung entspricht dem Radius.
Lernschritt 1
Mittelpunkt, Kreislinie und Kreisfläche
Die Kreislinie besteht aus allen Punkten einer Ebene, die denselben Abstand von einem festen Punkt M haben. M heißt Mittelpunkt. Dieser gemeinsame Abstand heißt Radius.
Die Kreisfläche umfasst zusätzlich das Innere des Kreises. Stell dir einen runden Teller vor: Sein Rand entspricht der Kreislinie, die gesamte runde Oberfläche der Kreisfläche. Der Mittelpunkt liegt im Inneren, nicht auf der Kreislinie.
Jeder Punkt auf derselben Kreislinie ist gleich weit von M entfernt. Ob du nach oben, unten, links oder schräg zum Rand gehst: Die Radiuslänge bleibt gleich.
Lernschritt 2
Radius und Durchmesser unterscheiden
Eine Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt Radius. Mit r bezeichnet man meist ihre Länge. Ein Durchmesser ist eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft. Seine Länge d ist doppelt so groß wie r.
d = 2 · r und r = d : 2
| Gegeben | Gesucht | Rechnung |
|---|---|---|
| r = 4 cm | Durchmesser d | d = 2 · 4 cm = 8 cm |
| d = 9 cm | Radius r | r = 9 cm : 2 = 4,5 cm |
| r = 12 mm | Durchmesser d | d = 2 · 12 mm = 24 mm |
Eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie heißt allgemein Sehne. Sie muss nicht durch M gehen. Ein Durchmesser ist also eine besondere Sehne: Er geht durch M und ist die längste Sehne des Kreises.
Probier es selbst: Ein Kreis hat den Durchmesser 7 cm. Wie weit öffnest du den Zirkel?
Lösung ansehen
Auf 3,5 cm. Die Zirkelöffnung ist der Radius: 7 cm : 2 = 3,5 cm.
Lernschritt 3
Einen Kreis mit dem Zirkel zeichnen
Du möchtest einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius 2,5 cm zeichnen:
- Markiere M mit einem kleinen Kreuz.
- Stelle die Zirkelöffnung am Lineal auf 2,5 cm ein. Miss von der Spitze bis zur Bleistiftmine.
- Setze die Zirkelspitze genau in M.
- Drehe den Zirkel einmal vollständig um M. Die Öffnung bleibt dabei unverändert.
- Beschrifte M und zeichne bei Bedarf eine Radiusstrecke ein.
Ist statt des Radius ein Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst. Für d = 5 cm brauchst du r = 2,5 cm. Öffnest du den Zirkel auf 5 cm, entsteht dagegen ein Kreis mit 10 cm Durchmesser.
Drücke nur leicht und halte den Zirkel am oberen Griff. Verrutscht die Spitze oder verändert sich die Öffnung, ist die Linie nicht mehr überall gleich weit von M entfernt.
Lernschritt 4
Liegt ein Punkt innen, auf der Kreislinie oder außen?
Vergleiche den Abstand des Punktes vom Mittelpunkt mit dem Radius. Bei einem Kreis mit r = 3 cm gilt:
| Abstand zu M | Lage des Punktes |
|---|---|
| 2 cm, also kleiner als r | im Inneren |
| 3 cm, also gleich r | auf der Kreislinie |
| 4 cm, also größer als r | außerhalb |
Im Koordinatensystem zeichnest du zuerst den Mittelpunkt ein. Bei M(2 | 1) und Radius 2 Koordinateneinheiten liegen zum Beispiel (4 | 1), (0 | 1), (2 | 3) und (2 | −1) auf der Kreislinie. Sie liegen jeweils zwei Einheiten rechts, links, oberhalb oder unterhalb von M.
Wenn du einen Kreis im Koordinatensystem zeichnest, verwende auf beiden Achsen denselben Maßstab. Sonst wirkt die Kreislinie auf dem Papier verzerrt. Zwei Koordinateneinheiten müssen nicht zwei Zentimeter sein.
Lernschritt 5
Optional: Umfang und Flächeninhalt unterscheiden
Wenn Radius und Durchmesser sicher sitzen, kannst du damit weiterrechnen. Der Umfang U ist die Länge einmal um den Rand. Der Flächeninhalt A misst die Größe der Kreisfläche.
U = 2 · π · r = π · d
A = π · r²
Die Kreiszahl π ist ungefähr 3,14. Für r = 3 cm ergibt sich U = 6π cm ≈ 18,85 cm und A = 9π cm² ≈ 28,27 cm². Diese Näherungswerte sind mit der π-Taste berechnet und auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Beim Umfang steht eine Längeneinheit wie cm, beim Flächeninhalt eine Flächeneinheit wie cm². Das Quadrat in r² bedeutet r · r und nicht 2 · r.
Probier es selbst: Welchen Durchmesser hat ein Kreis mit r = 2 cm, und wie lautet sein Umfang mit π?
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d = 4 cm. Damit ist U = π · d = 4π cm. Für den Durchmesser brauchst du π nicht.
Lernschritt 6
Typische Fehler beim Kreis vermeiden
- Radius und Durchmesser verwechselt: Der Radius geht nur von M bis zum Rand. Der Durchmesser durchquert den Kreis durch M.
- Jede Sehne Durchmesser genannt: Prüfe, ob die Strecke durch den Mittelpunkt geht.
- Zirkel auf den Durchmesser eingestellt: Halbiere die Angabe zuerst.
- Kreislinie und Kreisfläche verwechselt: Die Linie ist nur der Rand, die Fläche umfasst auch das Innere.
- Bei Formeln die Einheit vergessen: Eine Länge steht zum Beispiel in cm, eine Fläche in cm².
Übe zunächst das Zeichnen mit vorgegebenem Radius und Durchmesser. Danach kannst du Kreismuster gestalten und kontrollieren, ob jeder Kreis seinen eigenen festen Mittelpunkt und Radius hat.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · d = 15 mm: Wie groß ist r?
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r = 15 mm : 2 = 7,5 mm.
Erklärung wiederholen →3 · Für d = 8 cm: Welche Zirkelöffnung brauchst du?
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4 cm. Die Öffnung entspricht dem Radius, also der Hälfte des Durchmessers.
Erklärung wiederholen →4 · r = 5 cm, Abstand von P zu M = 4 cm: Wo liegt P?
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P liegt im Inneren, denn sein Abstand zum Mittelpunkt ist kleiner als der Radius.
Erklärung wiederholen →5 · Ist jede Verbindung zweier Punkte der Kreislinie ein Durchmesser?
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Nein. Sie ist eine Sehne. Nur wenn sie zusätzlich durch M verläuft, ist sie ein Durchmesser.
Erklärung wiederholen →6 · M(1 | 2), r = 3 Einheiten: Nenne den rechten Randpunkt.
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P(4 | 2). Du gehst von M drei Einheiten nach rechts; die y-Koordinate bleibt 2.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Radius, Durchmesser und Zirkel
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Danach: Kreismuster konstruieren
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Wie viele Radien hat ein Kreis?
Unendlich viele Radiusstrecken: Zu jedem Punkt der Kreislinie führt eine vom Mittelpunkt aus. Alle haben dieselbe Länge.
Kann ein Durchmesser schräg verlaufen?
Ja. Er muss durch den Mittelpunkt gehen und an beiden Enden auf der Kreislinie liegen. Seine Richtung spielt keine Rolle.
Brauche ich π, um den Radius zu berechnen?
Nicht, wenn der Durchmesser gegeben ist. Dann gilt einfach r = d : 2. π brauchst du beispielsweise, wenn du mit Umfang oder Flächeninhalt rechnest.