Du konstruierst Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lot und prüfst die entscheidenden Eigenschaften.
Voraussetzungen ansehen
Strecken, Winkel und Koordinaten; für Stufe 3 einfache Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y, Zahlen mit Komma oder Punkt und Brüche mit / eingeben. Bei Begriffen die passende Bezeichnung, bei Kongruenzsätzen SSS, SWS, WSW oder SsW. Entscheidungen: ja oder nein. Achte auf die verlangte Einheit.
So wird aus einer Zeichnung ein nachvollziehbarer Konstruktionsweg.
Beim geometrischen Konstruieren erzeugst du eine Figur durch festgelegte Zeichenschritte. Der Zirkel überträgt Abstände und zeichnet Kreise oder Kreisbögen. Das Lineal verbindet Punkte geradlinig. Bei klassischen Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen verwendest du das Lineal dabei ohne seine Messskala.
Ein Geodreieck kann anschließend zur Kontrolle dienen. Einen Mittelpunkt nur mit der Skala auszumessen oder einen Winkel nach Augenmaß zu halbieren, ersetzt aber nicht den verlangten Konstruktionsweg.
Arbeite mit gespitztem Bleistift und dünnen Hilfslinien. Lass die Kreisbögen sichtbar. In den Zeichnungen sind Hilfsbögen mintfarben und Ausgangs- beziehungsweise Ergebnislinien blau. Du kannst alle Schritte auch mit einem einzigen Bleistift ausführen.
Mittelsenkrechte: die Strecke exakt halbieren
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB verläuft durch deren Mittelpunkt und bildet mit ihr einen Winkel von 90°. Jeder Punkt auf dieser Geraden ist von A und B gleich weit entfernt.
Zeichne zuerst eine Strecke AB, zum Beispiel 6 cm lang. Öffne die folgenden Schritte nacheinander und führe sie im Heft aus.
Ausgangsfigur: die Strecke AB.1 · Zwei Bögen um A
Konstruktion · Schritt für Schritt
Die ersten Bögen um A zeichnen
Strecke AB · zum Beispiel 6 cm lang
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
r > AB : 2
1 Einen ausreichend großen Radius wählen
Wähle für die Strecke mit verschiedenen Endpunkten A und B einen Radius größer als die halbe Streckenlänge. Bei AB = 6 cm eignet sich zum Beispiel r = 4 cm.
Bögen mit Zentrum A zeichnen
2 Die Bögen um A zeichnen
Zeichne mit dieser Öffnung einen ausreichend langen Bogen oberhalb und einen unterhalb der Strecke. Beide gehören zum selben Kreis um A.
Die beiden mintfarbenen Bögen haben den Mittelpunkt A und denselben Radius.
2 · Mit derselben Öffnung um B zeichnen
Konstruktion · Schritt für Schritt
Zwei Kreisschnittpunkte erzeugen
Zentren A und B · gleicher Radius r
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
Gleichen Radius r beibehalten
1 Die Zirkelöffnung beibehalten
Die Kreise um A und B müssen gleich groß sein. Verändere die Zirkelöffnung für dieses Bogenpaar nicht.
Bögen um B zeichnen; P und Q markieren
2 Die Bögen um B zeichnen und Schnittpunkte markieren
Zeichne die Bögen so weit, dass sie die Bögen um A oberhalb und unterhalb von AB schneiden. Wegen r > AB : 2 entstehen zwei verschiedene Kreisschnittpunkte.
Die Bögen um A und B schneiden sich in P und Q.
3 · P und Q verbinden
Konstruktion · Schritt für Schritt
Die Mittelsenkrechte fertigstellen
Kreisschnittpunkte P und Q
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
Gerade PQ zeichnen
1 Die Gerade durch P und Q zeichnen
Lege das Lineal durch die beiden markierten Schnittpunkte und zeichne die Gerade.
M = PQ ∩ AB
2 Den Mittelpunkt M markieren
Markiere den Schnittpunkt mit der Ausgangsstrecke als M.
AM = MB PQ ⟂ AB
3 Halbierung und rechten Winkel prüfen
Die Gerade PQ ist die Mittelsenkrechte. Sie halbiert die Strecke und trifft sie unter 90°.
Die Gerade PQ ist die Mittelsenkrechte. Das kleine Quadrat markiert den rechten Winkel.
Begründung · Schritt für Schritt
Warum ist PQ die Mittelsenkrechte?
PA = PB und QA = QB
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
PA = PB = r
1 Die Abstände von P vergleichen
P liegt auf beiden Kreisen mit demselben Radius. Deshalb hat P zu A und B denselben Abstand.
QA = QB = r
2 Die Abstände von Q vergleichen
Dasselbe gilt für den zweiten Schnittpunkt Q.
PQ ist die Mittelsenkrechte von AB
3 Die gemeinsame Gerade begründen
Alle Punkte mit gleichem Abstand zu A und B liegen auf der Mittelsenkrechten. Die zwei verschiedenen Punkte P und Q bestimmen diese Gerade.
Die Öffnung muss größer als die halbe Streckenlänge sein. Bei genau der Hälfte berühren sich die Kreise nur in einem Punkt. Dann fehlen die zwei Schnittpunkte, die du zum Zeichnen der Geraden brauchst.
Winkelhalbierende: einen Winkel in zwei gleiche Teile teilen
Die innere Winkelhalbierende ist ein Strahl vom Scheitelpunkt aus, der den betrachteten Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Die folgende Konstruktion zeigt einen Winkel kleiner als 180°. Seine genaue Gradzahl musst du nicht kennen.
Ausgangsfigur: ein Winkel bei S.1 · Gleiche Abstände von S markieren
Konstruktion · Schritt für Schritt
Gleich weit entfernte Punkte auf den Schenkeln markieren
Winkel bei S · 0° < α < 180°
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
Kreisbogen um S zeichnen
1 Einen Kreisbogen um S zeichnen
Die folgende Konstruktion gilt für einen Winkel mit 0° < α < 180°. Wähle einen positiven Radius und zeichne den Bogen bis zu beiden Schenkeln.
A und B markieren SA = SB
2 Die Schnittpunkte A und B markieren
Nenne die Schnittpunkte mit den Schenkeln A und B. Beide liegen auf demselben Kreis um S und sind deshalb gleich weit von S entfernt.
A und B liegen auf demselben Kreis um S.
2 · Zwei gleich große Bögen schneiden lassen
Konstruktion · Schritt für Schritt
Den zweiten Schnittpunkt im Winkelinneren finden
Zentren A und B · Zirkelweite SA
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
Zirkelweite SA übernehmen
1 Die Zirkelweite übernehmen
Eine sichere Wahl ist dieselbe Öffnung wie beim ersten Kreis um S. Verwende diese Öffnung für beide neuen Kreise um A und B.
Bögen um A und B zeichnen
2 Gleich große Bögen zeichnen
Zeichne beide Bögen im Winkelinneren weit genug, bis sie sich schneiden. Die gleich großen Kreise haben S als einen Schnittpunkt.
P ≠ S wählen AP = BP
3 Den Schnittpunkt P ungleich S wählen
Markiere den anderen Schnittpunkt im Inneren des Winkels als P. Bei 0° < α < 180° ist dieser Punkt verschieden von S und liefert die innere Winkelhalbierende.
P hat zu A und B denselben Abstand.
3 · Den Strahl von S durch P zeichnen
Konstruktion · Schritt für Schritt
Die Winkelhalbierende zeichnen
Scheitel S · innerer Schnittpunkt P
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
Strahl von S durch P zeichnen
1 Den Strahl von S durch P zeichnen
Der Anfangspunkt ist der Scheitel S. Verlängere die Verbindung in Richtung P innerhalb des betrachteten Winkels.
∠ASP = ∠PSB
2 Die beiden Teilwinkel vergleichen
Der Strahl SP ist die innere Winkelhalbierende und teilt den markierten Winkel in zwei gleich große Teile.
Der Strahl SP ist die innere Winkelhalbierende.
Begründung · Schritt für Schritt
Warum halbiert der Strahl SP den Winkel?
Dreiecke SAP und SBP
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
SA = SB AP = BP
1 Zwei gleiche Seitenpaare erkennen
Der erste Kreis liefert gleiche Abstände von S; das zweite Bogenpaar liefert gleiche Abstände von P.
SP = SP
2 Die gemeinsame Seite beachten
Die Dreiecke SAP und SBP haben dieselbe dritte Seite.
△SAP ≅ △SBP
3 Den Kongruenzsatz SSS anwenden
Drei Seiten sind paarweise gleich. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke deckungsgleich.
∠ASP = ∠PSB
4 Die Gleichheit der Teilwinkel folgern
Die entsprechenden Winkel am Scheitel S sind gleich groß. Damit ist die Halbierung begründet.
Probier es selbst: Ein Winkel von 74° wird halbiert. Wie groß sind die Teilwinkel?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Größe der beiden Teilwinkel bestimmen
α = 74°
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
74° : 2 = 37°
1 Den Winkel durch 2 teilen
Die Winkelhalbierende erzeugt zwei gleich große Teilwinkel. Teile die gegebene Winkelgröße durch 2.
37° + 37° = 74°
2 Die Summe der Teilwinkel prüfen
Beide Teile sind 37° groß. Die Rechnung dient zur Kontrolle; die Konstruktion benötigt keine bekannte Gradzahl.
Ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen
Ein Lot verläuft senkrecht zu einer Geraden. Du möchtest es von einem Punkt T außerhalb der Geraden g aus konstruieren:
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Lot auf die Gerade konstruieren
Punkt T außerhalb der Geraden g
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
Kreis um T zeichnen
1 Einen Kreis mit zwei Schnittpunkten zeichnen
T liegt außerhalb von g. Wähle den Radius so groß, dass der Kreis g in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Vergrößere die Öffnung bei Berührung oder fehlendem Schnitt.
A und B markieren TA = TB
2 Die Schnittpunkte A und B markieren
Beide Schnittpunkte liegen auf demselben Kreis um T und haben deshalb den gleichen Abstand zu T.
Mittelsenkrechte m von AB konstruieren
3 Die Mittelsenkrechte von AB konstruieren
Zeichne gleich große Kreisbögen um A und B mit Radius größer als AB : 2. Verbinde deren zwei Schnittpunkte zu m.
T liegt auf m m ⟂ g
4 Die Lage von T und den rechten Winkel prüfen
Wegen TA = TB liegt T auf der Mittelsenkrechten. Die Strecke AB liegt auf g, daher steht m auch senkrecht auf g.
F = m ∩ g
5 Den Lotfußpunkt F markieren
Markiere den Schnittpunkt als Lotfußpunkt. Die Strecke TF ist das Lot von T auf g.
Die Strecke TF steht senkrecht auf g. Ihre Länge ist der kürzeste Abstand von T zur Geraden. Falls der erste Kreis g nur berührt oder gar nicht erreicht, musst du seine Öffnung vergrößern.
Die fertige Konstruktion prüfen
Konstruktion
Was muss stimmen?
Mittelsenkrechte
AM = MB und rechter Winkel zwischen AB und PQ
Winkelhalbierende
gleicher Scheitelpunkt und zwei gleich große Teilwinkel
Lot von T auf g
Die Linie geht durch T und trifft g bei 90°.
Kontrolliere bei Bedarf mit Lineal und Geodreieck. Kleine Abweichungen können durch Linienbreite und ungenaues Einstechen entstehen. Ist die Abweichung deutlich, prüfe zuerst die Zirkelweiten und die markierten Schnittpunkte.
Probier es selbst: Bei AB = 8 cm wählst du für die Mittelsenkrechte eine Öffnung von 4 cm. Reicht das?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Reicht diese Zirkelöffnung aus?
AB = 8 cm · gewählter Radius r = 4 cm
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
8 cm : 2 = 4 cm
1 Die halbe Streckenlänge berechnen
Berechne die halbe Streckenlänge für die Prüfung der gewählten Öffnung.
r = 4 cm: nur ein Berührpunkt
2 Den bloßen Berührpunkt erkennen
Bei genau der halben Länge berühren sich die beiden Kreise. Zwei Punkte zum Zeichnen der Mittelsenkrechten fehlen.
r > 4 cm, zum Beispiel 5 cm
3 Einen größeren Radius wählen
Wähle eine größere Öffnung und verwende sie unverändert für die Bögen um beide Endpunkte.
Typische Fehler beim Konstruieren
Öffnung zwischen zusammengehörigen Bögen verändert: Übernimm dieselbe Zirkelweite für das jeweilige Bogenpaar.
Zu kleine Öffnung: Es entstehen keine zwei brauchbaren Schnittpunkte.
Falsche Schnittpunkte verbunden: Beschrifte P und Q beziehungsweise S und P vor dem Zeichnen.
Bei der Winkelhalbierenden S erneut als Schnittpunkt gewählt: Verwende den anderen passenden Punkt im Inneren des Winkels.
Hilfsbögen ausradiert: Sie zeigen und begründen deinen Weg.
Wiederhole beide Grundkonstruktionen mit einer anderen Streckenlänge beziehungsweise einem anders geöffneten Winkel. So übst du den Ablauf unabhängig von einer bestimmten Beispielzeichnung.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Führe die Zeichenaufträge mit Zirkel und Lineal auf Papier aus und lass Hilfsbögen stehen. Hier prüfst du die Kontrollwerte und Eigenschaften; deine Zeichnung wird nicht automatisch bewertet.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Welche beiden Eigenschaften hat die Mittelsenkrechte?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die zwei kennzeichnenden Eigenschaften nennen
Mittelsenkrechte m der Strecke AB
Konstruktionsschritt / PrüfungBegründung
AM = MB
1 Den Mittelpunkt beachten
Die Mittelsenkrechte verläuft durch den Mittelpunkt M der Strecke AB.
m ⟂ AB
2 Den rechten Winkel ergänzen
Zusätzlich steht die Mittelsenkrechte m unter 90° auf der Strecke. Beide Eigenschaften gehören zur Definition.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Muss die Zirkelöffnung immer gleich bleiben?
Innerhalb eines zusammengehörigen Bogenpaars ja. Bei einem neuen Konstruktionsschritt kann eine andere Öffnung sinnvoll sein. Entscheidend sind die im Schritt verlangten gleichen Abstände.
Darf ich die Mitte einfach ausmessen?
Zum Kontrollieren ja. Wenn eine Zirkel-und-Lineal-Konstruktion verlangt wird, musst du die Mitte durch die passenden Kreisbögen und die Mittelsenkrechte bestimmen.
Was mache ich, wenn sich die Bögen nicht schneiden?
Prüfe Zentren und Zirkelweite. Häufig ist die Öffnung zu klein oder der gezeichnete Bogen zu kurz. Bei der Mittelsenkrechten muss sie größer als die halbe Streckenlänge sein.
Wähle für die Strecke mit verschiedenen Endpunkten A und B einen Radius größer als die halbe Streckenlänge. Bei AB = 6 cm eignet sich zum Beispiel r = 4 cm.