1 · Welche beiden Eigenschaften hat die Mittelsenkrechte?
Lösung und Rechenweg ansehen
Sie geht durch den Mittelpunkt einer Strecke und steht senkrecht auf ihr.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Geometrische Konstruktionen: verstehen und üben
Konstruiere Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lot mit Zirkel und Lineal. Aufklappbare Zeichnungen zeigen dir jeden Schritt und die wichtigen Hilfsbögen.
Genau zeichnen und begründen
Zirkelweiten übernehmen.
Schnittpunkte markieren.
Hilfsbögen sichtbar lassen.
So wird aus einer Zeichnung ein nachvollziehbarer Konstruktionsweg.
Lernschritt 1
Was bedeutet Konstruieren?
Beim geometrischen Konstruieren erzeugst du eine Figur durch festgelegte Zeichenschritte. Der Zirkel überträgt Abstände und zeichnet Kreise oder Kreisbögen. Das Lineal verbindet Punkte geradlinig. Bei klassischen Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen verwendest du das Lineal dabei ohne seine Messskala.
Ein Geodreieck kann anschließend zur Kontrolle dienen. Einen Mittelpunkt nur mit der Skala auszumessen oder einen Winkel nach Augenmaß zu halbieren, ersetzt aber nicht den verlangten Konstruktionsweg.
Arbeite mit gespitztem Bleistift und dünnen Hilfslinien. Lass die Kreisbögen sichtbar. In den Zeichnungen sind Hilfsbögen mintfarben und Ausgangs- beziehungsweise Ergebnislinien blau. Du kannst alle Schritte auch mit einem einzigen Bleistift ausführen.
Lernschritt 2
Mittelsenkrechte: die Strecke exakt halbieren
Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB verläuft durch deren Mittelpunkt und bildet mit ihr einen Winkel von 90°. Jeder Punkt auf dieser Geraden ist von A und B gleich weit entfernt.
Zeichne zuerst eine Strecke AB, zum Beispiel 6 cm lang. Öffne die folgenden Schritte nacheinander und führe sie im Heft aus.
1 · Zwei Bögen um A
Öffne den Zirkel weiter als die halbe Länge von AB. Zeichne mit Zentrum A einen Bogen oberhalb und einen unterhalb der Strecke.
2 · Mit derselben Öffnung um B zeichnen
Verändere die Zirkelöffnung nicht. Zeichne entsprechende Bögen um B. Markiere die beiden Schnittpunkte P und Q.
3 · P und Q verbinden
Zeichne die Gerade durch P und Q. Sie halbiert AB in M und steht senkrecht auf AB.
Warum funktioniert das? P und Q liegen jeweils auf gleich großen Kreisen um A und B. Daher gilt PA = PB und QA = QB. Beide Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten; ihre Verbindungsgerade ist genau die gesuchte Linie.
Die Öffnung muss größer als die halbe Streckenlänge sein. Bei genau der Hälfte berühren sich die Kreise nur in einem Punkt. Dann fehlen die zwei Schnittpunkte, die du zum Zeichnen der Geraden brauchst.
Lernschritt 3
Winkelhalbierende: einen Winkel in zwei gleiche Teile teilen
Die innere Winkelhalbierende ist ein Strahl vom Scheitelpunkt aus, der den betrachteten Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Die folgende Konstruktion zeigt einen Winkel kleiner als 180°. Seine genaue Gradzahl musst du nicht kennen.
1 · Gleiche Abstände von S markieren
Zeichne einen Kreisbogen um S, der beide Schenkel schneidet. Nenne die Schnittpunkte A und B. Es gilt SA = SB.
2 · Zwei gleich große Bögen schneiden lassen
Zeichne um A und B mit derselben ausreichend großen Öffnung zwei Bögen im Inneren des Winkels. Wähle ihren Schnittpunkt P, der nicht S ist.
3 · Den Strahl von S durch P zeichnen
Verbinde S mit P und verlängere die Linie als Strahl. Sie teilt den markierten Winkel in zwei gleich große Winkel.
Warum funktioniert das? In den Dreiecken SAP und SBP sind drei Seiten paarweise gleich: SA = SB, AP = BP und SP ist die gemeinsame Seite. Die Dreiecke sind deshalb deckungsgleich. Ihre Winkel bei S sind gleich groß.
Probier es selbst: Ein Winkel von 74° wird halbiert. Wie groß sind die Teilwinkel?
Lösung ansehen
Jeder Teilwinkel ist 74° : 2 = 37°. Diese Rechnung hilft bei der Kontrolle; die Konstruktion selbst funktioniert ohne Kenntnis der Gradzahl.
Lernschritt 4
Ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen
Ein Lot verläuft senkrecht zu einer Geraden. Du möchtest es von einem Punkt T außerhalb der Geraden g aus konstruieren:
- Zeichne einen Kreis oder ausreichend großen Bogen um T, der g in zwei verschiedenen Punkten A und B schneidet.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke AB nach der Anleitung oben.
- Diese Mittelsenkrechte geht durch T, weil TA = TB gilt.
- Markiere ihren Schnittpunkt F mit g. F heißt Lotfußpunkt.
Die Strecke TF steht senkrecht auf g. Ihre Länge ist der kürzeste Abstand von T zur Geraden. Falls der erste Kreis g nur berührt oder gar nicht erreicht, musst du seine Öffnung vergrößern.
Lernschritt 5
Die fertige Konstruktion prüfen
| Konstruktion | Was muss stimmen? |
|---|---|
| Mittelsenkrechte | AM = MB und rechter Winkel zwischen AB und PQ |
| Winkelhalbierende | gleicher Scheitelpunkt und zwei gleich große Teilwinkel |
| Lot von T auf g | Die Linie geht durch T und trifft g bei 90°. |
Kontrolliere bei Bedarf mit Lineal und Geodreieck. Kleine Abweichungen können durch Linienbreite und ungenaues Einstechen entstehen. Ist die Abweichung deutlich, prüfe zuerst die Zirkelweiten und die markierten Schnittpunkte.
Probier es selbst: Bei AB = 8 cm wählst du für die Mittelsenkrechte eine Öffnung von 4 cm. Reicht das?
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Nein. Die Öffnung muss größer als 4 cm sein. Mit genau 4 cm entsteht nur ein Berührpunkt. Geeignet sind zum Beispiel 5 cm.
Lernschritt 6
Typische Fehler beim Konstruieren
- Öffnung zwischen zusammengehörigen Bögen verändert: Übernimm dieselbe Zirkelweite für das jeweilige Bogenpaar.
- Zu kleine Öffnung: Es entstehen keine zwei brauchbaren Schnittpunkte.
- Falsche Schnittpunkte verbunden: Beschrifte P und Q beziehungsweise S und P vor dem Zeichnen.
- Bei der Winkelhalbierenden S erneut als Schnittpunkt gewählt: Verwende den anderen passenden Punkt im Inneren des Winkels.
- Hilfsbögen ausradiert: Sie zeigen und begründen deinen Weg.
Wiederhole beide Grundkonstruktionen mit einer anderen Streckenlänge beziehungsweise einem anders geöffneten Winkel. So übst du den Ablauf unabhängig von einer bestimmten Beispielzeichnung.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · AB ist 6 cm lang. Reicht eine Zirkelöffnung von 3 cm für zwei Schnittpunkte?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Die Öffnung muss größer als 3 cm sein, zum Beispiel 4 cm.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Punkte verbindest du am Ende der Mittelsenkrechten-Konstruktion?
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Die beiden Schnittpunkte P und Q der gleich großen Kreisbögen um A und B.
Erklärung wiederholen →4 · Ein Winkel von 86° wird halbiert. Wie groß sind die Teile?
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86° : 2 = 43°. Beide Teilwinkel sind 43° groß.
Erklärung wiederholen →5 · Welchen Winkel bildet ein Lot mit der Ausgangsgeraden?
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90°. Das Lot steht senkrecht auf der Geraden.
Erklärung wiederholen →6 · Warum ist P auf der Mittelsenkrechten von A und B gleich weit entfernt?
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P liegt auf zwei gleich großen Kreisen mit den Mittelpunkten A und B. Die Abstände PA und PB sind ihre gleichen Radien.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Zirkeltechnik mit Kreismustern üben
Vorbereitendes Material zu Zirkeltechnik, Schnittpunkten und Kreismustern. Die Anleitungen für Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende findest du direkt auf dieser Seite.
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Danach: Dreiecke und Kongruenz
Vertiefe später, wie gleiche Seiten und Winkel Dreiecke festlegen und Konstruktionen begründen.
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Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Muss die Zirkelöffnung immer gleich bleiben?
Innerhalb eines zusammengehörigen Bogenpaars ja. Bei einem neuen Konstruktionsschritt kann eine andere Öffnung sinnvoll sein. Entscheidend sind die im Schritt verlangten gleichen Abstände.
Darf ich die Mitte einfach ausmessen?
Zum Kontrollieren ja. Wenn eine Zirkel-und-Lineal-Konstruktion verlangt wird, musst du die Mitte durch die passenden Kreisbögen und die Mittelsenkrechte bestimmen.
Was mache ich, wenn sich die Bögen nicht schneiden?
Prüfe Zentren und Zirkelweite. Häufig ist die Öffnung zu klein oder der gezeichnete Bogen zu kurz. Bei der Mittelsenkrechten muss sie größer als die halbe Streckenlänge sein.