Mathe · etwa 30–45 Minuten
Du nutzt Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel und kombinierst sie mit den Innenwinkelsummen in Dreieck und Viereck.
Winkelarten, Rechnen mit Gradangaben und einfache Dreiecke.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne einen Nebenwinkel, danach einen fehlenden Dreieckswinkel und schließlich einen Innenwinkel mithilfe eines Außenwinkels. Zeichne bei Bedarf eine beschriftete Skizze.
Gib Winkel als Zahl mit oder ohne ° ein, zum Beispiel 72 oder 72°. Dezimalzahlen mit Komma sind möglich. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Die passende Regel finden
Scheitelwinkel: gleich groß.
Nebenwinkel: zusammen 180°.
Dreieck: innen zusammen 180°.
Prüfe zuerst die Lage der Winkel, dann rechne.
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Die einander gegenüberliegenden Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß: α = γ und β = δ.
Direkt benachbarte Winkel an dieser Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel. Sie haben den Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam. Die beiden anderen Schenkel bilden eine Gerade. Deshalb ergeben sie zusammen 180°.
Nicht alle nebeneinanderliegenden Winkel sind Nebenwinkel. Die äußeren Schenkel müssen eine gerade Linie bilden. Ein gemeinsamer Scheitelpunkt allein genügt nicht.
In der Zeichnung sei α = 68°. Bestimme die übrigen Winkel in drei Schritten:
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwei Geraden schneiden sich · α = 68°
Gesucht: β, γ und δ aus der Zeichnung
Gegenüberliegende Winkel an der Kreuzung zweier Geraden sind Scheitelwinkel und gleich groß.
α und β sind Nebenwinkel: Ihre äußeren Schenkel bilden eine Gerade.
δ ist der Scheitelwinkel zu β.
Probe: Die vier Winkel bilden um den Schnittpunkt eine volle Drehung.
Die Probe passt: Alle vier Winkel um den Schnittpunkt bilden eine volle Drehung. Du brauchst die Skizze nicht auszumessen, denn die gegebene Winkelgröße und die Beziehungen bestimmen alle Ergebnisse.
Lösung · Schritt für Schritt
An einer Geradenkreuzung beträgt ein Winkel 42°
Gesucht: alle vier Winkel
Der gegenüberliegende Winkel ist genauso groß wie der gegebene Winkel.
An der Geradenkreuzung ergänzen sich benachbarte Winkel zu 180°.
In umlaufender Reihenfolge wechseln sich beide Größen ab. Auch der zweite Nebenwinkel beträgt 138°.
Zwei parallele Geraden g und h werden von einer dritten Geraden geschnitten. An den beiden Schnittpunkten kannst du Winkel vergleichen.
Stufenwinkel liegen in entsprechender Lage: In unserer Zeichnung liegen α und β jeweils rechts oben am Schnittpunkt. Bei parallelen Geraden gilt α = β.
Innere Wechselwinkel liegen zwischen g und h, aber auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden. Hier sind das γ und β. Bei parallelen Geraden gilt γ = β.
Die Gleichheit setzt Parallelität voraus. Zwei Linien, die in einer Skizze ungefähr parallel aussehen, reichen als Begründung nicht aus. Die Parallelität muss gegeben, markiert oder zuvor begründet sein.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: g ∥ h und α = 73°
Winkellage wie in der Zeichnung
Die Geraden sind parallel und werden von einer dritten Geraden geschnitten. Diese Voraussetzung muss gesichert sein.
Stufenwinkel in entsprechender Lage sind an parallelen Geraden gleich groß.
γ und β sind innere Wechselwinkel an denselben Parallelen.
Ein Nebenwinkel ergänzt einen der 73°-Winkel zu einem gestreckten Winkel.
Warum hat ein Dreieck innen zusammen 180°? Zeichne ein Dreieck ABC mit A und B unten und C darüber. Nenne die Innenwinkel bei A, B und C jeweils α, β und γ.
Beispiel · Schritt für Schritt
Dreieck ABC · Innenwinkel α, β und γ
Hilfslinie: eine Parallele zu AB durch C
Zeichne das Dreieck mit A links unten, B rechts unten und C darüber. Verlängere die Parallele durch C nach links und rechts.
AC schneidet die Parallelen. Unterhalb der oberen Parallelen liegt links neben γ ein Wechselwinkel zum Innenwinkel bei A.
Entsprechend liefert BC rechts neben γ einen Wechselwinkel zum Innenwinkel bei B.
Die drei Winkel füllen den gestreckten Winkel unter der Parallelen. Damit ist die Innenwinkelsumme des Dreiecks begründet.
Du kannst das mit einem Papierdreieck ausprobieren: Reiße die drei Ecken ab und lege ihre Spitzen an einen gemeinsamen Punkt, sodass die Winkel ohne Lücken nebeneinanderliegen. Sie bilden einen gestreckten Winkel. Die Begründung mit den Wechselwinkeln erklärt, warum das für jedes Dreieck gilt.
| Figur | Summe der Innenwinkel | Beispiel für einen fehlenden Winkel |
|---|---|---|
| Dreieck | 180° | 180° − 45° − 65° = 70° |
| Einfaches Viereck | 360° | 360° − 90° − 80° − 100° = 90° |
Beispiel · Schritt für Schritt
Dreieck · α = 45° · β = 65°
Gesucht: der dritte Innenwinkel γ
Im Dreiecksbeispiel sind die Innenwinkel 45° und 65° gegeben.
Ziehe beide bekannten Winkel von der Innenwinkelsumme ab.
Der fehlende Innenwinkel ist 70°. Kontrolle: Alle drei sind positiv und summieren sich zu 180°.
Beispiel · Schritt für Schritt
Einfaches Viereck · bekannt: 90°, 80° und 100°
Gesucht: der vierte Innenwinkel δ
Im einfachen Viereck sind 90°, 80° und 100° gegeben. Die Seiten dürfen sich nicht überkreuzen.
Ziehe die drei bekannten Innenwinkel ab.
Der vierte Innenwinkel beträgt 90°.
Beispiel · Schritt für Schritt
Einfaches Viereck ohne überkreuzende Seiten
Hilfslinie: eine geeignete innere Diagonale
Gemeint ist eine geschlossene Figur, deren Seiten sich nicht überkreuzen.
Eine im Inneren verlaufende Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.
Addiere deren Innenwinkelsummen. So ergibt sich die Innenwinkelsumme des Vierecks.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gleichschenkliges Dreieck · beide Basiswinkel sind 50°
Gesucht: der Spitzenwinkel γ
Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Hier betragen beide 50°.
Ziehe beide Basiswinkel von der Innenwinkelsumme ab.
Der Spitzenwinkel beträgt 80°.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechtwinkliges Dreieck · bekannt: 90° und 28°
Gesucht: der dritte Innenwinkel
Das Dreieck hat einen rechten Winkel und einen weiteren Winkel von 28°.
Die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergänzen sich zu 90°.
Eine gute Lösung enthält nicht nur „x = 112°“, sondern zum Beispiel: „x = 180° − 68° = 112°, weil x und der 68°-Winkel Nebenwinkel sind.“ So lässt sich dein Weg nachvollziehen.
Lösung · Schritt für Schritt
Dreieck ABC · Innenwinkel bei A: 48°
AB wird über B bis D verlängert · Außenwinkel CBD: 125°
Gesucht: die Innenwinkel bei B und C
BA und BD liegen auf derselben Geraden und zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Innen- und Außenwinkel bei B sind deshalb Nebenwinkel.
Berechne zuerst den Innenwinkel bei B.
Verwende nun nur die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
Der Innenwinkel bei C beträgt 77°.
Probe der Dreieckssumme.
Probe des Nebenwinkelpaars. Die 125° dürfen nicht als Innenwinkel in die Dreieckssumme eingesetzt werden.
Die 125° sind ein Außenwinkel. Du darfst sie nicht als Innenwinkel in die Dreieckssumme einsetzen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Notiere neben jede Rechnung die verwendete Winkelregel. Setze Stufen- oder Wechselwinkel nur bei gesicherter Parallelität gleich.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: 42° an einer Geradenkreuzung
Gesucht: der gegenüberliegende Winkel
Der gesuchte Winkel liegt dem gegebenen Winkel an einer Geradenkreuzung gegenüber.
Gegenüberliegende Winkel beim Schnitt zweier Geraden sind gleich groß.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: 42°
Gesucht: sein Nebenwinkel
Nebenwinkel haben gemeinsame Spitze und einen gemeinsamen Schenkel; die äußeren Schenkel bilden eine Gerade.
Ziehe den bekannten Winkel von 180° ab.
Lösung · Schritt für Schritt
Dreieck · bekannt: 45° und 65°
Addiere die beiden bekannten Innenwinkel des Dreiecks.
Ziehe diese Summe von 180° ab.
Lösung · Schritt für Schritt
Einfaches Viereck · bekannt: 90°, 80° und 100°
Addiere die drei bekannten Innenwinkel des einfachen Vierecks.
Bei einem Viereck ohne überkreuzende Seiten beträgt die Innenwinkelsumme 360°.
Lösung · Schritt für Schritt
Parallele Geraden · ein Stufenwinkel beträgt 73°
Gesucht: sein Partnerwinkel
Die Parallelität ist in der Aufgabe gegeben.
Entsprechende Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß.
Lösung · Schritt für Schritt
Zwei Winkel liegen nebeneinander
Frage: Genügt das für eine Summe von 180°?
Ein gemeinsamer Scheitelpunkt allein garantiert keine Summe von 180°.
Die Winkel müssen einen Schenkel gemeinsam haben und ihre äußeren Schenkel müssen entgegengesetzte Strahlen auf einer Geraden sein.
Erst mit diesen Voraussetzungen darfst du die Nebenwinkelregel verwenden.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit rechtwinkligen Dreiecken weiterlernen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Ja, wenn damit gegenüberliegende Winkel beim Schnitt zweier Geraden gemeint sind.
Bei zwei parallelen Geraden, die von einer dritten geschnitten werden. Prüfe diese Voraussetzung vor dem Übertragen.
Ein einfaches Viereck lässt sich durch eine geeignete innere Diagonale in zwei Dreiecke teilen. Daher ergeben sich 2 · 180° = 360°.
Die Winkelgröße ist gegeben; rechne mit der Angabe, nicht mit dem Aussehen der Skizze.