1 · Bestimme den Scheitelwinkel zu 42°.
Lösung und Rechenweg ansehen
42°. Gegenüberliegende Winkel beim Schnitt zweier Geraden sind gleich groß.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Winkelbeziehungen und Innenwinkelsumme: verstehen und üben
Berechne fehlende Winkel mit Nebenwinkeln, Scheitelwinkeln und Winkeln an parallelen Geraden. Mit Zeichnungen, Innenwinkelsummen und Aufgaben mit Lösungen.
Die passende Regel finden
Scheitelwinkel: gleich groß.
Nebenwinkel: zusammen 180°.
Dreieck: innen zusammen 180°.
Prüfe zuerst die Lage der Winkel, dann rechne.
Lernschritt 1
Scheitelwinkel und Nebenwinkel unterscheiden
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Die einander gegenüberliegenden Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß: α = γ und β = δ.
Direkt benachbarte Winkel an dieser Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel. Sie haben den Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam. Die beiden anderen Schenkel bilden eine Gerade. Deshalb ergeben sie zusammen 180°.
Nicht alle nebeneinanderliegenden Winkel sind Nebenwinkel. Die äußeren Schenkel müssen eine gerade Linie bilden. Ein gemeinsamer Scheitelpunkt allein genügt nicht.
Lernschritt 2
Eine Geradenkreuzung vollständig berechnen
In der Zeichnung sei α = 68°. Bestimme die übrigen Winkel in drei Schritten:
- Der gegenüberliegende Scheitelwinkel ist γ = 68°.
- Der Nebenwinkel ist β = 180° − 68° = 112°.
- Der Scheitelwinkel zu β ist δ = 112°.
68° + 112° + 68° + 112° = 360°
Die Probe passt: Alle vier Winkel um den Schnittpunkt bilden eine volle Drehung. Du brauchst die Skizze nicht auszumessen, denn die gegebene Winkelgröße und die Beziehungen bestimmen alle Ergebnisse.
Probier es selbst: An einer Geradenkreuzung ist ein Winkel 42°. Welche vier Winkel treten auf?
Lösung ansehen
42°, 138°, 42° und 138° in umlaufender Reihenfolge. Scheitelwinkel sind gleich, benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°.
Lernschritt 3
Stufenwinkel und Wechselwinkel an Parallelen
Zwei parallele Geraden g und h werden von einer dritten Geraden geschnitten. An den beiden Schnittpunkten kannst du Winkel vergleichen.
Stufenwinkel liegen in entsprechender Lage: In unserer Zeichnung liegen α und β jeweils rechts oben am Schnittpunkt. Bei parallelen Geraden gilt α = β.
Innere Wechselwinkel liegen zwischen g und h, aber auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden. Hier sind das γ und β. Bei parallelen Geraden gilt γ = β.
Die Gleichheit setzt Parallelität voraus. Zwei Linien, die in einer Skizze ungefähr parallel aussehen, reichen als Begründung nicht aus. Die Parallelität muss gegeben, markiert oder zuvor begründet sein.
Liegt α bei 73°, ist der zugehörige Stufenwinkel β ebenfalls 73°. Der innere Wechselwinkel γ ist dann auch 73°. Ein Nebenwinkel zu einem dieser Winkel beträgt 180° − 73° = 107°.
Lernschritt 4
Innenwinkelsumme in Dreieck und Viereck
| Figur | Summe der Innenwinkel | Beispiel für einen fehlenden Winkel |
|---|---|---|
| Dreieck | 180° | 180° − 45° − 65° = 70° |
| Einfaches Viereck | 360° | 360° − 90° − 80° − 100° = 90° |
Mit einem einfachen Viereck ist eine geschlossene Figur gemeint, deren Seiten sich nicht überkreuzen. Eine Diagonale im Inneren zerlegt es in zwei Dreiecke. Deren Winkelsummen ergeben zusammen 2 · 180° = 360°.
Im gleichschenkligen Dreieck sind zusätzlich die Basiswinkel gleich groß. Sind beide 50°, bleibt für den Spitzenwinkel 180° − 50° − 50° = 80°.
Probier es selbst: Ein rechtwinkliges Dreieck hat zusätzlich einen Winkel von 28°. Bestimme den dritten.
Lösung ansehen
180° − 90° − 28° = 62°. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich im rechtwinkligen Dreieck zu 90°.
Lernschritt 5
So löst du eine gemischte Winkelaufgabe
- Markiere den gesuchten Winkel und alle gegebenen Werte.
- Prüfe Geraden, Parallelität und die Art der Figur.
- Übertrage zunächst sichere Gleichheiten, zum Beispiel Scheitelwinkel.
- Berechne Ergänzungen zu 180° oder 360°.
- Notiere zu jeder Rechnung die verwendete Regel.
- Prüfe am Ende Winkelart und passende Summe.
Eine gute Lösung enthält nicht nur „x = 112°“, sondern zum Beispiel: „x = 180° − 68° = 112°, weil x und der 68°-Winkel Nebenwinkel sind.“ So lässt sich dein Weg nachvollziehen.
Lernschritt 6
Die häufigsten Fehler vermeiden
- Scheitelwinkel mit Nebenwinkeln verwechselt: Gegenüberliegende Winkel sind gleich; benachbarte an einer Geraden ergeben 180°.
- Parallelität übergangen: Stufen- und Wechselwinkel darfst du hier nur an Parallelen gleichsetzen.
- 180° und 360° vertauscht: Dreieck und gestreckter Winkel ergeben 180°, Viereck und volle Drehung 360°.
- Innen- und Außenwinkel vermischt: Folge den eingezeichneten Winkelbögen.
- Skizze statt Angaben verwendet: Rechne mit gesicherten Eigenschaften, nicht mit dem bloßen Aussehen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme den Nebenwinkel zu 42°.
Lösung und Rechenweg ansehen
180° − 42° = 138°.
Erklärung wiederholen →3 · Dreieck: 45° und 65° sind bekannt. Dritter Winkel?
Lösung und Rechenweg ansehen
180° − 45° − 65° = 70°.
Erklärung wiederholen →4 · Viereck: 90°, 80° und 100° sind bekannt. Vierter Winkel?
Lösung und Rechenweg ansehen
360° − 90° − 80° − 100° = 90°.
Erklärung wiederholen →5 · Ein Stufenwinkel an parallelen Geraden ist 73°. Wie groß ist sein Partner?
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73°, weil entsprechende Stufenwinkel an parallelen Geraden gleich groß sind.
Erklärung wiederholen →6 · Zwei Winkel liegen nebeneinander. Reicht das für die Summe 180°?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Sie müssen Nebenwinkel sein: gemeinsamer Scheitelpunkt und Schenkel, während die äußeren Schenkel eine Gerade bilden.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Sind Scheitelwinkel immer gleich groß?
Ja, wenn damit gegenüberliegende Winkel beim Schnitt zweier Geraden gemeint sind.
Wann sind Wechselwinkel gleich groß?
Bei zwei parallelen Geraden, die von einer dritten geschnitten werden. Prüfe diese Voraussetzung vor dem Übertragen.
Warum haben Dreieck und Viereck verschiedene Innenwinkelsummen?
Ein einfaches Viereck lässt sich durch eine geeignete innere Diagonale in zwei Dreiecke teilen. Daher ergeben sich 2 · 180° = 360°.