1 · Was bedeutet 1 : 500?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Längeneinheit in der Zeichnung entspricht 500 derselben Einheiten in Wirklichkeit.
Erklärung wiederholen →Mathe · etwa 30–45 Minuten
Maßstab
Du rechnest Längen in beide Richtungen um, bestimmst Maßstäbe und erkennst Folgen veränderter Darstellungsgrößen.
Voraussetzungen ansehen
Multiplikation, Division, Längeneinheiten und einfache Verhältnisse.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Berechne eine wirkliche Länge, bestimme einen Maßstab und prüfe eine veränderte Druckgröße.
Dezimalkomma und Dezimalpunkt sind möglich. Verwende keine Tausenderpunkte. Bei Größen gilt die verlangte Einheit; du kannst sie zusätzlich zur Zahl eingeben. Maßstäbe als vollständig gekürztes Verhältnis eingeben, etwa 1 : 200 oder 5 : 1. Links steht immer die Zeichnung. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Was bedeutet ein Maßstab?
Zeichnung : Wirklichkeit
1 : 100
1 cm in der Zeichnung entspricht 100 cm in Wirklichkeit. Die beiden Vergleichslängen müssen in derselben Einheit stehen.
Ein Maßstab beschreibt das Verhältnis einer Länge in der Darstellung zur entsprechenden Länge in Wirklichkeit. Man schreibt Zeichnung : Wirklichkeit.
Bei 1 : 100 wird eine Länge hundertmal kleiner dargestellt. Bei 1 : 1 ist die Darstellung gleich groß wie das Original. Bei 5 : 1 ist sie fünfmal größer als das Original.
| Maßstab | Bedeutung |
|---|---|
| 1 : 50 | 1 cm in der Zeichnung entspricht 50 cm in Wirklichkeit. |
| 1 : 1 | Zeichnung und Wirklichkeit sind gleich groß. |
| 2 : 1 | 2 cm in der Zeichnung entsprechen 1 cm in Wirklichkeit. |
Ein Maßstab ist ein Verhältnis gleichartiger Längen in derselben Einheit.
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Maßstab mit gleichen Einheiten angeben
1 cm in der Zeichnung entspricht 1 m in Wirklichkeit
RechnungErklärung zum Schritt
1 m = 100 cm
1 cm : 100 cm = 1 : 100
2 Verhältnis bilden
Links steht die Zeichnung, rechts die Wirklichkeit. Die gleichen Einheiten kürzen sich.
Von der Zeichnung zur wirklichen Länge
Bei einem Maßstab 1 : n multiplizierst du die gezeichnete Länge mit n. Die Einheit bleibt zunächst dieselbe.
Wirkliche Länge = Zeichnungslänge · n
Ein Raum ist auf dem Plan 4 cm lang, der Maßstab beträgt 1 : 50.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die wirkliche Raumlänge berechnen
Planlänge 4 cm · Maßstab 1 : 50
RechnungErklärung zum Schritt
Wirkliche Länge = 4 cm · 50 = 200 cm
1 Vom Plan zur Wirklichkeit rechnen
Jeder Zentimeter auf dem Plan entspricht fünfzig Zentimetern in Wirklichkeit.
200 cm = 2 m
2 Gewünschte Einheit angeben
Teile die Zentimeterzahl durch hundert. Die wirkliche Länge ist größer als die gezeichnete.
Auf einer Karte mit 1 : 25 000 misst eine Strecke 3 cm.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die wirkliche Entfernung bestimmen
Kartenstrecke 3 cm · Maßstab 1 : 25 000
RechnungErklärung zum Schritt
Wirkliche Länge = 3 cm · 25 000 = 75 000 cm
1 Maßstabszahl anwenden
Multipliziere zuerst mit 25 000; die Einheit bleibt dabei Zentimeter.
75 000 cm = 750 m
2 In Meter umrechnen
Hundert Zentimeter entsprechen einem Meter.
Probier es selbst: Maßstab 1 : 200, Zeichnungslänge 6 cm: Wie lang ist die Strecke wirklich?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Von der Planlänge zur Wirklichkeit rechnen
Planlänge 6 cm · Maßstab 1 : 200
RechnungErklärung zum Schritt
Wirkliche Länge = 6 cm · 200 = 1 200 cm
1 Verkleinerung rückgängig machen
Beim Maßstab 1 : 200 multiplizierst du die Planlänge mit zweihundert.
1 200 cm = 12 m
2 Einheit umrechnen
Die Strecke ist in Wirklichkeit zwölf Meter lang.
Von der Wirklichkeit zur Zeichnung
Bei einem Maßstab 1 : n dividierst du die wirkliche Länge durch n. Rechne sie vorher am besten in die Einheit um, in der du zeichnen möchtest.
Zeichnungslänge = wirkliche Länge : n
Eine 8 m lange Wand soll im Maßstab 1 : 100 gezeichnet werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die benötigte Zeichnungslänge berechnen
Wandlänge 8 m · Maßstab 1 : 100
RechnungErklärung zum Schritt
8 m = 800 cm
1 Zeicheneinheit vorbereiten
Rechne die wirkliche Länge in Zentimeter um.
Zeichnungslänge = 800 cm : 100 = 8 cm
2 Durch die Maßstabszahl teilen
Auf dem Plan ist die Wand hundertmal kürzer.
Ein 12 m langer Garten wird im Maßstab 1 : 200 dargestellt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die wirkliche Länge für den Plan verkleinern
Gartenlänge 12 m · Maßstab 1 : 200
RechnungErklärung zum Schritt
12 m = 1 200 cm
1 Einheit umrechnen
Die Zeichnungslänge soll in Zentimetern angegeben werden.
Zeichnungslänge = 1 200 cm : 200 = 6 cm
2 Wirkliche Länge verkleinern
Teile durch zweihundert. Der Garten ist auf dem Plan sechs Zentimeter lang.
Probier es selbst: Ein Tisch ist 180 cm lang. Wie lang wird er im Maßstab 1 : 20 gezeichnet?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den Tisch im passenden Maßstab zeichnen
Tischlänge 180 cm · Maßstab 1 : 20
RechnungErklärung zum Schritt
Zeichnungslänge = wirkliche Länge : 20
1 Rechenrichtung bestimmen
Gesucht ist die verkleinerte Darstellung des Tisches beim Maßstab 1 : 20.
Zeichnungslänge = 180 cm : 20 = 9 cm
2 Länge einsetzen
Die Einheit ist bereits passend; eine Umrechnung ist nicht nötig.
Den Maßstab aus zwei Längen bestimmen
Du kennst eine Länge in der Zeichnung und die entsprechende wirkliche Länge. Rechne beide zuerst in dieselbe Einheit um und kürze dann das Verhältnis.
5 cm auf dem Plan entsprechen 10 m in Wirklichkeit:
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Maßstab aus zwei Längen bestimmen
5 cm auf dem Plan entsprechen 10 m in Wirklichkeit
RechnungErklärung zum Schritt
10 m = 1 000 cm
1 Gleiche Einheiten herstellen
Vergleiche beide Längen in Zentimetern.
Maßstab = 5 cm : 1 000 cm = 5 : 1 000
2 Zeichnung vor Wirklichkeit notieren
Die Planlänge steht links.
5 : 1 000 = 1 : 200
3 Verhältnis kürzen
Teile beide Verhältnisglieder durch fünf.
5 cm · 200 = 1 000 cm = 10 m
4 Probe durchführen
Die Planlänge liefert mit dem gefundenen Maßstab wieder die wirkliche Länge.
Vergleiche immer dieselbe Strecke: zum Beispiel die Länge derselben Wand. Eine Breite auf dem Plan mit einer anderen Länge in Wirklichkeit zu vergleichen liefert keinen sinnvollen Maßstab.
Vergrößerungen richtig berechnen
Bei einem Maßstab 4 : 1 wird das Original viermal so groß gezeichnet.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bei einer Vergrößerung in beide Richtungen rechnen
Maßstab 4 : 1 · Original 3 mm bzw. Zeichnung 20 mm
RechnungErklärung zum Schritt
Zeichnungslänge = 3 mm · 4 = 12 mm
1 Vergrößerung anwenden
Eine drei Millimeter lange Struktur wird mit dem Faktor vier dargestellt.
Wirkliche Länge = 20 mm : 4 = 5 mm
2 Umgekehrte Richtung rechnen
Bei einer zwanzig Millimeter langen Darstellung teilst du durch vier, um die ursprüngliche Länge zu erhalten.
Allgemein bei einem Maßstab a : b mit a > 0 und b > 0 gilt: Zeichnungslänge = wirkliche Länge · a : b. Für die umgekehrte Richtung rechnest du: wirkliche Länge = Zeichnungslänge · b : a. Der Längenfaktor a : b ist bei einer Verkleinerung kleiner als 1 und bei einer Vergrößerung größer als 1.
Probier es selbst: Maßstab 5 : 1, Zeichnungslänge 30 mm. Wie lang ist das Original?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Von der Vergrößerung zum Original zurückrechnen
Zeichnungslänge 30 mm · Maßstab 5 : 1
RechnungErklärung zum Schritt
Wirkliche Länge = Zeichnungslänge : 5
1 Richtung bei der Vergrößerung prüfen
Beim Maßstab 5 : 1 ist die Darstellung fünfmal so lang wie das Original.
Wirkliche Länge = 30 mm : 5 = 6 mm
2 Zurückrechnen
Das Original ist kleiner als die Zeichnung, wie es bei einer Vergrößerung sein muss.
Karten, Pläne und veränderte Ausdrucke
Eine direkte Verbindung auf der Karte gibt die Luftlinienentfernung wieder. Eine Straße oder ein Wanderweg kann deutlich länger sein. Für die Weglänge musst du den tatsächlichen Verlauf berücksichtigen.
Ein Zahlenmaßstab gilt nur für die vorgesehene Darstellungsgröße. Wird ein Plan beim Drucken in beiden Richtungen gleichmäßig auf 50 % der Längen verkleinert, halbiert sich jede Papierstrecke:
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Maßstab eines verkleinerten Ausdrucks bestimmen
Maßstab 1 : 100 · Druck auf 50 % der Längen
RechnungErklärung zum Schritt
1 cm · 0,5 = 0,5 cm
1 Drucklänge halbieren
Eine vorher einen Zentimeter lange Planstrecke steht beim alten Maßstab 1 : 100 für hundert Zentimeter in Wirklichkeit.
Neues Verhältnis = 0,5 cm : 100 cm
2 Wirklichkeit unverändert lassen
Nur die Papierlänge wird kleiner; die dargestellte Strecke in Wirklichkeit bleibt dieselbe.
0,5 : 100 = 1 : 200
3 Verhältnis umformen
Multipliziere beide Verhältnisglieder mit zwei. Der neue Zahlenmaßstab lautet 1 : 200.
Ein mit dem Plan gemeinsam vergrößerter oder verkleinerter Maßstabsbalken kann weiterhin zum Vergleichen benutzt werden, wenn die gesamte Darstellung gleichmäßig skaliert wurde. Eine gestreckte oder verzerrte Abbildung ist dagegen keine verlässliche maßstäbliche Zeichnung.
Die Richtung und die Einheit prüfen
- Mal und Geteilt verwechselt: Bei 1 : n wird die Wirklichkeit größer als die Zeichnung. Dein Ergebnis muss dazu passen.
- Meter und Zentimeter direkt verglichen: Gleiche die Einheiten zuerst an.
- 1 : 100 als Vergrößerung gelesen: Die Zeichnung steht links und ist hier kleiner.
- Den Zahlenmaßstab nach einem veränderten Ausdruck ungeprüft genutzt: Kontrolliere die Druckgröße.
- Längenfaktor auf Flächen angewendet: Der Maßstab beschreibt zunächst Längen. Flächen ändern sich mit dem Quadrat des Längenfaktors.
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Maßstab auf eine Fläche anwenden
Planquadrat 1 cm × 1 cm · Maßstab 1 : 100
RechnungErklärung zum Schritt
Planquadrat: 1 cm · 1 cm = 1 cm²
1 Eine Fläche durch Seiten beschreiben
Betrachte beim Maßstab 1 : 100 ein Quadrat mit einem Zentimeter Seitenlänge auf dem Plan.
Wirkliche Seitenlänge = 1 cm · 100 = 100 cm
2 Jede Richtung skalieren
Sowohl die Länge als auch die Breite wird mit hundert multipliziert.
Wirkliche Fläche = 100 cm · 100 cm = 10 000 cm² = 1 m²
3 Fläche berechnen
Der Flächenfaktor beträgt 100² = 10 000, nicht nur 100.
Für den Einstieg genügt es, Längen sicher in beide Richtungen umzurechnen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Vergleiche immer dieselbe Strecke und gleiche die Einheiten an. Die dritte Stufe enthält zusätzlich eine Flächenaufgabe; dafür zählt das Quadrat des Längenfaktors.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Plan 1 : 100: Eine Strecke misst 7 cm. Wie lang ist sie wirklich?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die wirkliche Länge berechnen
Planlänge 7 cm · Maßstab 1 : 100
RechnungErklärung zum Schritt
Wirkliche Länge = 7 cm · 100 = 700 cm
1 Planlänge vergrößern
Beim Maßstab 1 : 100 wird die Zeichnungslänge mit hundert multipliziert.
700 cm = 7 m
2 In Meter umrechnen
Die wirkliche Strecke ist sieben Meter lang.
3 · Eine 6 m lange Wand wird in 1 : 50 gezeichnet. Welche Zeichnungslänge brauchst du?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Zeichnungslänge bestimmen
Wandlänge 6 m · Maßstab 1 : 50
RechnungErklärung zum Schritt
6 m = 600 cm
1 Einheit angleichen
Du möchtest die Wand in Zentimetern zeichnen.
Zeichnungslänge = 600 cm : 50 = 12 cm
2 Maßstab anwenden
Die Darstellung ist fünfzigmal kürzer als die wirkliche Wand.
4 · 4 cm im Plan entsprechen 20 m. Bestimme den Maßstab.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den Maßstab finden
4 cm auf dem Plan entsprechen 20 m in Wirklichkeit
RechnungErklärung zum Schritt
20 m = 2 000 cm
1 Beide Längen in Zentimeter bringen
Erst nach dem Umrechnen sind die Verhältnisglieder direkt vergleichbar.
Maßstab = 4 cm : 2 000 cm = 4 : 2 000
2 Zeichnung vor Wirklichkeit schreiben
Die vier Zentimeter sind die Planlänge.
4 : 2 000 = 1 : 500
3 Vollständig kürzen
Teile beide Verhältnisglieder durch vier.
5 · Maßstab 3 : 1, Original 8 mm. Wie lang ist die Zeichnung?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Länge der Vergrößerung berechnen
Originallänge 8 mm · Maßstab 3 : 1
RechnungErklärung zum Schritt
Zeichnungslänge = wirkliche Länge · 3
1 Vergrößerung erkennen
3 : 1 bedeutet: Die Zeichnung ist dreimal so lang wie das Original.
Zeichnungslänge = 8 mm · 3 = 24 mm
2 Länge berechnen
Die Darstellung misst vierundzwanzig Millimeter.
6 · Ein Plan 1 : 100 wird auf 50 % verkleinert. Welcher Maßstab gilt nun?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den neuen Maßstab des Ausdrucks bestimmen
Maßstab 1 : 100 · Druck auf die halben Längen
RechnungErklärung zum Schritt
Alte Planstrecke: 1 cm
Neue Planstrecke: 1 cm · 0,5 = 0,5 cm
Neue Planstrecke: 1 cm · 0,5 = 0,5 cm
1 Darstellungslänge halbieren
Die entsprechende wirkliche Länge bleibt hundert Zentimeter.
Neuer Maßstab = 0,5 : 100 = 1 : 200
2 Verhältnis anpassen
Bei gleichmäßiger Verkleinerung auf die halben Längen entspricht derselben Papierlänge nun die doppelte wirkliche Länge.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Welche Zahl steht beim Maßstab zuerst?
Zuerst steht die Zeichnung, danach die Wirklichkeit. Beide Längen werden in derselben Einheit verglichen.
Ist 1 : 10 oder 1 : 100 die größere Darstellung?
Bei gleicher wirklicher Länge ist die Darstellung in 1 : 10 größer. Sie ist weniger stark verkleinert.
Kann ich den Maßstab am Bildschirm mit einem Lineal verwenden?
Nur wenn die Anzeigegröße genau zur vorgesehenen Größe passt. Zoom und Bildschirmgröße verändern die Darstellung. Nutze gegebenenfalls einen mit dargestellten Maßstabsbalken oder die angegebenen Maße.
Für „1 cm in der Zeichnung zu 1 m in Wirklichkeit“ müssen zuerst beide Längen in Zentimetern stehen.