Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Volumen: verstehen und üben

Berechne den Rauminhalt von Würfel und Quader und rechne zwischen cm³, dm³ und Litern um. Mit Zeichnung, Beispielen und Übungen mit Lösungen.

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Wie viel Raum steckt darin?

V = Länge · Breite · Höhe

Ein Quader mit 4 cm, 3 cm und 2 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 24 cm³.

Lernschritt 1

Was ist das Volumen?

Das Volumen V beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Du kannst ihn dir als Anzahl kleiner Einheitswürfel vorstellen. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³, gesprochen „ein Kubikzentimeter“.

Ein Quader mit 4 cm Länge und 3 cm Breite enthält in einer 1 cm hohen Schicht 4 · 3 = 12 solcher Würfel. Ist er 2 cm hoch, passen zwei Schichten übereinander hinein: insgesamt 24 Einheitswürfel.

Verwechsle Volumen und Oberfläche nicht: Volumen misst Raum und steht etwa in cm³. Oberfläche misst die äußeren Flächen und steht etwa in cm².

Lernschritt 2

Das Volumen eines Quaders berechnen

Ein Quader mit drei zueinander senkrechten Kantenlängen. Das Schrägbild ist nicht maßstabsgetreu; gerechnet wird mit den Angaben.

V = a · b · c

Die drei Kantenlängen a, b und c stehen senkrecht zueinander. Welche du Länge, Breite oder Höhe nennst, verändert das Ergebnis nicht: Beim Multiplizieren darfst du die Reihenfolge vertauschen.

Notiere alle drei Kantenlängen.
Rechne sie in dieselbe Längeneinheit um.
Multipliziere die drei Werte.
Schreibe die passende Kubikeinheit zum Ergebnis.

Im Beispiel gilt V = 4 cm · 3 cm · 2 cm = 24 cm³. Addieren würde nur eine Summe von Längen ergeben, keinen Rauminhalt.

Probier es selbst: Ein Quader hat a = 6 cm, b = 5 cm und c = 2 cm. Wie groß ist V?

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V = 6 cm · 5 cm · 2 cm = 60 cm³.

Lernschritt 3

Das Volumen eines Würfels berechnen

Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Deshalb setzt du dieselbe Kantenlänge a dreimal ein:

V = a · a · a = a³

Für a = 3 cm gilt V = 3 cm · 3 cm · 3 cm = 27 cm³. Die Hochzahl 3 bedeutet dreimal dieselbe Länge multiplizieren, nicht mit 3 multiplizieren.

Verdoppelst du die Kantenlänge auf 6 cm, wird das Volumen 6³ cm³ = 216 cm³. Es ist achtmal so groß, weil sich Länge, Breite und Höhe jeweils verdoppeln: 2 · 2 · 2 = 8.

Probier es selbst: Ein Würfel hat a = 4 cm. Berechne sein Volumen.

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V = 4 · 4 · 4 cm³ = 64 cm³.

Lernschritt 4

Volumeneinheiten richtig umrechnen

Umrechnung	Begründung
1 cm³ = 1.000 mm³	10 mm · 10 mm · 10 mm
1 dm³ = 1.000 cm³	10 cm · 10 cm · 10 cm
1 m³ = 1.000 dm³	10 dm · 10 dm · 10 dm
1 m³ = 1.000.000 cm³	100 cm · 100 cm · 100 cm

Zwischen benachbarten Einheiten mm³, cm³, dm³ und m³ liegt jeweils der Faktor 1.000. In die kleinere Einheit multiplizierst du mit 1.000, in die größere dividierst du durch 1.000.

Beispiele: 2,5 dm³ = 2.500 cm³ und 750 cm³ = 0,75 dm³. Von m³ direkt zu cm³ sind es zwei Schritte: 1.000 · 1.000 = 1.000.000.

Bei Längen ist der Schrittfaktor zwischen mm, cm, dm und m jeweils 10, bei Flächen 100 und bei Volumen 1.000. Der Exponent der Einheit entscheidet mit.

Lernschritt 5

Kubikeinheiten mit Litern verbinden

Kubikeinheit	Entsprechende Hohlmaßeinheit
1 cm³	1 ml
1 dm³	1 l
1 m³	1.000 l

Ein Behälter mit 2.500 cm³ Innenvolumen fasst rechnerisch 2.500 ml = 2,5 l. Ein Liter ist nicht dasselbe wie ein Kubikzentimeter: 1 l = 1.000 cm³.

Beispiel Aquarium: Die Innenmaße betragen 40 cm × 25 cm × 30 cm. Bis zum Rand ergibt sich V = 30.000 cm³ = 30 l. Wird nur bis 24 cm Wasserhöhe gefüllt, sind es 40 · 25 · 24 = 24.000 cm³ = 24 l. Gegenstände im Aquarium können die benötigte Wassermenge zusätzlich verringern.

Für ein Fassungsvermögen brauchst du die Innenmaße. Außenmaße enthalten Material wie Glas oder Wandstärke und liefern nicht unmittelbar den nutzbaren Innenraum.

Lernschritt 6

Eine fehlende Höhe berechnen

Kennst du das Volumen eines Quaders und zwei Kantenlängen, kannst du die dritte berechnen. Die Grundfläche ist G = a · b, also gilt V = G · h und damit h = V : G.

Für V = 120 cm³, a = 5 cm und b = 4 cm erhältst du zunächst G = 20 cm². Dann gilt h = 120 cm³ : 20 cm² = 6 cm.

Probier es selbst: Ein Quader hat V = 72 cm³ und G = 12 cm². Wie hoch ist er?

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h = 72 cm³ : 12 cm² = 6 cm. Die gesuchte Höhe ist eine Länge, daher steht cm am Ergebnis.

Lernschritt 7

Typische Volumenfehler vermeiden

Nur zwei Längen multipliziert: Das ergibt eine Fläche. Beim Quader brauchst du drei.
Gemischte Einheiten eingesetzt: Rechne die Längen vor dem Multiplizieren um.
a³ als 3 · a gelesen: Richtig ist a · a · a.
Bei cm³ zu dm³ durch 10 geteilt: Der richtige Faktor ist 1.000.
Innen- und Außenmaße verwechselt: Prüfe, ob das Körpervolumen oder das Fassungsvermögen gesucht ist.

Bei zusammengesetzten Körpern kannst du passende Teilvolumen addieren oder Aussparungen abziehen. Dabei darf sich kein addierter Teilraum mit einem anderen überlappen.

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