Mathe · etwa 25–40 Minuten
Du berechnest Volumen von Quadern und Würfeln, rechnest Kubikeinheiten und Liter um und bestimmst fehlende Höhen.
Multiplizieren, Dividieren, Flächeninhalt und Längeneinheiten.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne das Quadervolumen, rechne anschließend die Einheit um und bestimme zuletzt eine fehlende Höhe.
Gib die Zahl in der verlangten Einheit ein, zum Beispiel 12,5 oder 1/2. Die Einheit darfst du ergänzen (cm² auch als cm^2, cm³ als cm^3). Verwende keine Tausenderpunkte. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Wie viel Raum steckt darin?
V = Länge · Breite · Höhe
Beispiel · Schritt für Schritt
Quader · Kantenlängen: 4 cm, 3 cm und 2 cm
Gesucht: Volumen V
Drei Längeneinheiten ergeben eine Kubikeinheit.
Das Volumen V beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Du kannst ihn dir als Anzahl kleiner Einheitswürfel vorstellen. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³, gesprochen „ein Kubikzentimeter“.
Beispiel · Schritt für Schritt
Quader: 4 cm × 3 cm × 2 cm
Einheitswürfel: jeweils 1 cm³
In einer 1 cm hohen Schicht liegen 12 Einheitswürfel mit je 1 cm³ Volumen.
Bei 2 cm Höhe passen zwei solche Schichten übereinander.
Addiere die Volumina aller 24 Einheitswürfel.
Verwechsle Volumen und Oberfläche nicht: Volumen misst Raum und steht etwa in cm³. Oberfläche misst die äußeren Flächen und steht etwa in cm².
V = a · b · c
Die drei Kantenlängen a, b und c stehen senkrecht zueinander. Welche du Länge, Breite oder Höhe nennst, verändert das Ergebnis nicht: Beim Multiplizieren darfst du die Reihenfolge vertauschen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Quader · a = 4 cm · b = 3 cm · c = 2 cm
Gesucht: Volumen V
Alle Kantenlängen sind in derselben Längeneinheit angegeben.
Länge mal Breite ergibt die rechteckige Grundfläche.
Multipliziere die Grundfläche mit der senkrechten Höhe des Quaders.
Das Ergebnis ist ein Rauminhalt. Eine Addition der Kantenlängen würde dagegen nur eine Länge liefern.
Lösung · Schritt für Schritt
Quader · a = 6 cm · b = 5 cm · c = 2 cm
Beide Kantenlängen sind in Zentimetern angegeben. Berechne die Grundfläche.
Multipliziere mit der senkrechten Höhe. Das Ergebnis steht in Kubikzentimetern.
Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Deshalb setzt du dieselbe Kantenlänge a dreimal ein:
V = a · a · a = a³
Beispiel · Schritt für Schritt
Würfel · Kantenlänge a = 3 cm
Gesucht: Volumen V
Beim Würfel sind alle drei Kantenlängen gleich.
Setze die Kantenlänge dreimal ein. Die Hochzahl bedeutet nicht 3 · a.
Multipliziere Maßzahlen und Einheiten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Würfel zunächst: a = 3 cm und V = 27 cm³
Die Kantenlänge wird auf 6 cm verdoppelt
Verdopple die Kantenlänge des ursprünglichen Würfels.
Berechne das neue Volumen.
Das neue Volumen ist achtmal so groß.
Die Verdopplung wirkt in Länge, Breite und Höhe, also dreimal als Faktor 2.
Lösung · Schritt für Schritt
Würfel · Kantenlänge a = 4 cm
Setze dieselbe Kantenlänge dreimal ein.
4 · 4 · 4 = 64; die Einheit ist kubisch.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: 1 cm³
Gesucht: der Volumenwert in mm³
Rechne zunächst die Kantenlänge des Einheitswürfels um.
Der Längenfaktor wirkt in drei senkrechten Richtungen.
Multipliziere die drei Faktoren. So entsteht der kubische Umrechnungsfaktor.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: 1 dm³
Gesucht: der Volumenwert in cm³
Rechne zunächst die Kantenlänge des Einheitswürfels um.
Der Längenfaktor wirkt in drei senkrechten Richtungen.
Multipliziere die drei Faktoren. So entsteht der kubische Umrechnungsfaktor.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: 1 m³
Gesucht: der Volumenwert in dm³
Rechne zunächst die Kantenlänge des Einheitswürfels um.
Der Längenfaktor wirkt in drei senkrechten Richtungen.
Multipliziere die drei Faktoren. So entsteht der kubische Umrechnungsfaktor.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: 1 m³
Gesucht: der Volumenwert in cm³
Rechne zunächst die Kantenlänge des Einheitswürfels um.
Der Längenfaktor wirkt in drei senkrechten Richtungen.
Multipliziere die drei Faktoren. So entsteht der kubische Umrechnungsfaktor.
Zwischen benachbarten Einheiten mm³, cm³, dm³ und m³ liegt jeweils der Faktor 1.000. In die kleinere Einheit multiplizierst du mit 1.000, in die größere dividierst du durch 1.000.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechne 2,5 dm³ in cm³ und 750 cm³ in dm³ um
Vergleiche außerdem den Schritt von m³ zu cm³
Zur kleineren benachbarten Kubikeinheit wird die Maßzahl mit 1 000 multipliziert.
Das Volumen bleibt gleich; die Maßzahl wird größer.
In Gegenrichtung zur größeren Einheit dividierst du die Maßzahl durch 1 000.
Schreibe die passende Zieleinheit dazu.
Von m³ direkt zu cm³ sind es zwei solche Schritte. Deshalb lautet der Gesamtfaktor 1 000 000.
Bei Längen ist der Schrittfaktor zwischen mm, cm, dm und m jeweils 10, bei Flächen 100 und bei Volumen 1.000. Der Exponent der Einheit entscheidet mit.
| Kubikeinheit | Entsprechende Hohlmaßeinheit |
|---|---|
| 1 cm³ | 1 ml |
| 1 dm³ | 1 l |
| 1 m³ | 1.000 l |
Beispiel · Schritt für Schritt
Gegeben: 2 500 cm³
Gesucht: das entsprechende Fassungsvermögen in Litern
Ein Kubikzentimeter entspricht genau einem Milliliter.
Ein Liter enthält 1 000 Milliliter. Teile die Maßzahl deshalb durch 1 000.
Das Innenvolumen entspricht einem Fassungsvermögen von 2,5 Litern.
Ein Liter ist nicht ein Kubikzentimeter; der Umrechnungsfaktor ist 1 000.
Beispiel · Schritt für Schritt
Aquarium · Innenmaße: 40 cm × 25 cm × 30 cm
Vergleiche: bis zum Rand gefüllt und Wasserhöhe 24 cm
Die Innenmaße des quaderförmigen Aquariums betragen 40 cm × 25 cm × 30 cm. Berechne die innere Grundfläche.
Verwende die ganze Innenhöhe für das Fassungsvermögen bis zum Rand.
Teile die Maßzahl durch 1 000, um Liter zu erhalten.
Bei einer Wasserhöhe von 24 cm ersetzt diese Füllhöhe die gesamte Innenhöhe.
Ohne verdrängende Gegenstände sind das 24 Liter Wasser. Gegenstände im Aquarium können die benötigte Wassermenge zusätzlich verringern.
Für ein Fassungsvermögen brauchst du die Innenmaße. Außenmaße enthalten Material wie Glas oder Wandstärke und liefern nicht unmittelbar den nutzbaren Innenraum.
Kennst du das Volumen eines Quaders und zwei Kantenlängen, kannst du die dritte berechnen. Die Grundfläche ist G = a · b, also gilt V = G · h und damit h = V : G.
Beispiel · Schritt für Schritt
Quader · V = 120 cm³ · Grundseiten: 5 cm und 4 cm
Gesucht: Höhe h
Berechne zuerst die rechteckige Grundfläche des Quaders.
Aus V = G · h folgt bei positiver Grundfläche die Division durch G.
Kubikeinheit geteilt durch Flächeneinheit ergibt eine Längeneinheit.
Die Probe bestätigt das gegebene Volumen.
Lösung · Schritt für Schritt
Quader · V = 72 cm³ · Grundfläche G = 12 cm²
Gesucht: Höhe h
Beim Quader gilt V = G · h. Die Grundfläche 12 cm² ist positiv, daher darfst du durch sie teilen.
Die gesuchte Höhe ist eine Länge.
Multipliziere zur Probe Grundfläche und Höhe.
Bei zusammengesetzten Körpern kannst du passende Teilvolumen addieren oder Aussparungen abziehen. Dabei darf sich kein addierter Teilraum mit einem anderen überlappen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Für ein Fassungsvermögen brauchst du Innenmaße. Volumen steht in Kubikeinheiten, eine Höhe in Längeneinheiten.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Quader · Kantenlängen: 8 cm, 3 cm und 2 cm
Berechne die rechteckige Grundfläche.
Multipliziere mit der senkrechten Höhe.
Lösung · Schritt für Schritt
Würfel · Kantenlänge a = 5 cm
Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang.
Berechne das Produkt und verwende die Kubikeinheit.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: 3 dm³
Gesucht: der Volumenwert in cm³
Der benachbarte Kubikeinheitenschritt hat den Faktor 1 000.
Multipliziere die Maßzahl mit 1 000. Die Einheit steht auf beiden Seiten passend dabei.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: 4 500 cm³
Gesucht: das Volumen in Litern
Ein Kubikzentimeter entspricht einem Milliliter.
Teile die Milliliterzahl durch 1 000.
Das Volumen beträgt 4,5 Liter.
Lösung · Schritt für Schritt
Quader · V = 150 cm³ · Grundfläche G = 30 cm²
Gesucht: Höhe h
Für den Quader gilt V = G · h. Die Grundfläche 30 cm² ist positiv.
Dividiere Volumen durch Grundfläche; die Einheit der Höhe ist cm.
Die Probe bestätigt das Volumen.
Lösung · Schritt für Schritt
Würfel · jede Kantenlänge wird verdoppelt
Gesucht: die Veränderung des Volumens
Die ursprüngliche positive Kantenlänge a wird verdoppelt.
Jede der drei räumlichen Richtungen erhält den Faktor 2.
Das Volumen wird achtmal so groß. V₁ = a³ bezeichnet das ursprüngliche Volumen.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Volumen von Prismen und Zylindern berechnen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
1 l = 1 dm³ = 1.000 cm³.
Ja. 1 ml entspricht genau 1 cm³.
Ein Quader erstreckt sich in drei Richtungen. Länge mal Breite liefert die Grundfläche; mal Höhe ergibt den Rauminhalt.
Multipliziere die drei zueinander senkrechten Kantenlängen des Quaders.