Du erkennst Körpermerkmale und Würfelnetze und berechnest die Oberfläche geschlossener oder oben offener Körper.
Voraussetzungen ansehen
Rechteck- und Quadratflächen, Längeneinheiten, Quadratzahlen und einfache Quadratwurzeln für Rückwärtsaufgaben.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Berechne zuerst die Oberfläche eines Würfels, danach eines Quaders und schließlich einer Schachtel ohne Deckel.
Gib Zahlen mit Dezimalkomma oder Dezimalpunkt ein, ohne Tausenderpunkte. Die verlangte Einheit darfst du ergänzen (cm² auch als cm^2). Bei Netzfragen: nur die Nummer. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Fläche oder Körper: Was ist der Unterschied?
Die Flächen außen am Körper
Würfel: O = 6 · a²
Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen. Ihre Flächeninhalte ergeben zusammen seine Oberfläche.
Ein Quadrat ist eine ebene Figur. Ein Würfel ist ein räumlicher Körper: Er hat Länge, Breite und Höhe. Ein rechteckiges Blatt kann eine Fläche eines quaderförmigen Kartons darstellen; der ganze Karton ist der Körper.
Die Oberfläche besteht aus den äußeren Begrenzungsflächen. Mit der Oberflächenformel berechnest du ihren gesamten Flächeninhalt. Das Volumen beschreibt dagegen den Rauminhalt.
Gesucht
Anschauliche Frage
Einheit
Oberflächeninhalt
Wie viel Papier bedeckt außen den Körper?
zum Beispiel cm²
Volumen
Wie viel Raum nimmt der Körper ein?
zum Beispiel cm³
In Verpackungsaufgaben werden Klebelaschen, Materialdicke und Überlappungen oft vernachlässigt. Lies die Aufgabe: Die geometrische Oberfläche ist nicht automatisch die gesamte benötigte Materialmenge.
Flächen, Kanten und Ecken erkennen
Würfel im Schrägbild: Verdeckte Kanten sind gestrichelt. Alle zwölf Kanten sind gleich lang; die Perspektive verkürzt einige davon in der Zeichnung.
Eine Kante ist bei Würfel und Quader eine Strecke, an der zwei Flächen zusammentreffen. Eine Ecke ist ein Punkt, an dem mehrere Kanten zusammentreffen. Zähle auch die Teile mit, die im Schrägbild verdeckt sind.
Körper
Flächen
Kanten
Ecken
Würfel
6 Quadrate
12
8
Quader
6 Rechtecke
12
8
Dreiecksprisma
2 Dreiecke und 3 Vierecke
9
6
Pyramide mit quadratischer Grundfläche
1 Quadrat und 4 Dreiecke
8
5
Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Zylinder, Kegel und Kugel besitzen auch gekrümmte Flächen. Die einfachen Rechteckformeln unten gelten deshalb nicht unverändert für sie.
Was ist ein Körpernetz?
Ein mögliches Würfelnetz aus sechs gleich großen Quadraten. Gegenüber liegen später 1 und 3, 2 und 4 sowie 5 und 6.
Ein Netz zeigt die Flächen eines Körpers zusammenhängend in der Ebene. Beim Falten entsteht daraus der Körper. Die Flächen dürfen sich dabei nicht überdecken, und bei einem geschlossenen Körper darf keine Fläche fehlen.
Ein Würfelnetz besteht aus sechs gleich großen Quadraten. Aber nicht jede Anordnung aus sechs Quadraten ist ein Würfelnetz. Zum Beispiel lassen sich sechs Quadrate in einer einzigen geraden Reihe nicht zu einem geschlossenen Würfel falten.
Ein Quadernetz enthält drei Paare gleich großer Rechtecke. Kanten, die beim Falten zusammenkommen, müssen gleich lang sein.
Probier es selbst: Welche Flächen liegen im gezeigten Würfelnetz der Fläche 2 gegenüber? Überlege zuerst durch gedankliches Falten.
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Welche Fläche liegt beim Falten gegenüber?
Würfelnetz oben · Fläche 2
Beobachtung und FolgerungErklärung zum Schritt
1–2–3–4: seitlicher Streifen
1 Den seitlichen Streifen falten
Falte die vier Quadrate um ihre gemeinsamen Kanten zu den vier Seitenflächen des Würfels.
2 und 4 liegen gegenüber
2 Die gegenüberliegende Fläche zuordnen
Zwischen ihnen liegt im Streifen die Fläche 3. Nach dem Schließen des Streifens sind 2 und 4 keine Nachbarn.
5 und 6: oben und unten
3 Die übrigen Flächenpaare prüfen
Diese beiden Quadrate schließen den Würfel. Auch 1 und 3 sowie 5 und 6 liegen jeweils gegenüber.
Zeichne das Netz auf kariertes Papier, schneide am äußeren Rand aus und falte an den gemeinsamen Kanten. Das ist eine gute Kontrolle deiner räumlichen Vorstellung.
Die Oberfläche eines Würfels berechnen
Jede der sechs Flächen ist ein Quadrat mit Seitenlänge a. Eine Fläche hat deshalb den Flächeninhalt a². Alle sechs zusammen ergeben:
O = 6 · a²
Beispiel · Schritt für Schritt
Die vollständige Oberfläche berechnen
Würfel · a = 3 cm
RechnungErklärung zum Schritt
Aeine Fläche = a²
1 Die Formel für eine Quadratfläche wählen
Jede Würfelfläche ist ein Quadrat.
Aeine Fläche = 3 cm · 3 cm = 9 cm²
2 Eine einzelne Fläche berechnen
Berechne zuerst eine einzelne Quadratfläche.
O = 6 · 9 cm² = 54 cm²
3 Alle sechs Flächen zusammenzählen
Zähle alle sechs Flächen, auch die im Schrägbild verdeckten.
6 · a² bedeutet sechs Quadratflächen. Es bedeutet nicht (6 · a)². Und 12 · a wäre die Summe der zwölf Kantenlängen, nicht die Oberfläche.
Probier es selbst: Ein Würfel hat a = 2 cm. Wie groß ist seine Oberfläche?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Von einer Fläche zur gesamten Oberfläche rechnen
Würfel · a = 2 cm
RechnungErklärung zum Schritt
Aeine Fläche = 2 cm · 2 cm = 4 cm²
1 Eine Quadratfläche berechnen
Eine Seite des Würfels ist ein Quadrat mit Kantenlänge 2 cm.
O = 6 · 4 cm² = 24 cm²
2 Mit sechs multiplizieren
Multipliziere die einzelne Fläche mit der Anzahl sechs.
Die Oberfläche eines Quaders berechnen
Ein Quader hat die Kantenlängen a, b und c. Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß: zweimal a · b, zweimal a · c und zweimal b · c.
O = 2 · (a · b + a · c + b · c)
Beispiel: a = 5 cm, b = 3 cm und c = 2 cm.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Oberfläche aus drei Flächenpaaren berechnen
Quader · a = 5 cm, b = 3 cm, c = 2 cm
RechnungErklärung zum Schritt
a · b = 5 cm · 3 cm = 15 cm²
1 Eine Grundfläche berechnen
Gleiche alle Kantenlängen vor dem Einsetzen an. Die Fläche oben und unten ist jeweils 15 cm² groß.
2 · a · b = 30 cm²
2 Grund- und Deckfläche zusammenzählen
Zähle Grund- und Deckfläche zusammen.
a · c = 5 cm · 2 cm = 10 cm²
3 Eine Vorderfläche berechnen
Berechne eine der beiden Flächen vorne und hinten.
2 · a · c = 20 cm²
4 Vorder- und Rückfläche zusammenzählen
Beide gegenüberliegenden Flächen tragen zusammen 20 cm² bei.
b · c = 3 cm · 2 cm = 6 cm²
5 Eine seitliche Fläche berechnen
Berechne eine der beiden Flächen links und rechts.
2 · b · c = 12 cm²
6 Beide Seitenflächen zusammenzählen
Zähle auch dieses Flächenpaar doppelt.
O = 30 cm² + 20 cm² + 12 cm² = 62 cm²
7 Die drei Flächenpaare addieren
Addiere die Beiträge der drei Flächenpaare. Damit sind alle sechs Flächen genau einmal erfasst.
Geschlossener Körper oder offene Schachtel?
Die vollständige Quaderformel zählt sechs Flächen. Bei einer offenen Schachtel ohne Deckel fehlt eine davon. Du musst genau die fehlende Deckelfläche abziehen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Fläche einer Schachtel ohne Deckel berechnen
Grundfläche 5 cm × 3 cm · Höhe 2 cm
RechnungErklärung zum Schritt
ADeckel = 5 cm · 3 cm = 15 cm²
1 Die fehlende Deckelfläche berechnen
Die Schachtel hat eine Grundfläche von 5 cm × 3 cm und eine Höhe von 2 cm. Der Deckel hätte dieselbe Fläche wie der Boden.
Ogeschlossen = 62 cm²
2 Die geschlossene Oberfläche verwenden
Die vollständige Quaderoberfläche zählt sechs Flächen.
Aohne Deckel = 62 cm² − 15 cm² = 47 cm²
3 Genau eine Deckelfläche abziehen
Ziehe genau eine Deckelfläche ab. Boden und vier Seiten bleiben erhalten. Materialdicke, Laschen und Überlappungen werden hier nicht mitgerechnet.
Probier es selbst: Ein oben offener Würfelbehälter hat Kantenlänge 4 cm. Wie viel Fläche haben seine fünf Seiten zusammen, ohne Materialdicke?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die fünf verbleibenden Flächen zusammenzählen
Würfelbehälter ohne Deckel · a = 4 cm
RechnungErklärung zum Schritt
Aeine Fläche = 4 cm · 4 cm = 16 cm²
1 Eine Quadratfläche berechnen
Berechne eine Quadratfläche des Würfelbehälters.
Anzahl der Flächen: 6 − 1 = 5
2 Die verbleibenden Flächen zählen
Ohne Deckel bleiben der Boden und die vier Seitenflächen.
Aoffen = 5 · 16 cm² = 80 cm²
3 Die offene Fläche berechnen
Addiere die fünf Flächen. Die Materialdicke wird wie verlangt vernachlässigt.
Oberflächen sicher prüfen
Nur sichtbare Flächen gezählt: Beim geschlossenen Würfel und Quader gehören alle sechs Flächen dazu.
Kantenlängen statt Flächen addiert: Berechne zuerst den Flächeninhalt jeder Teilfläche.
Gegenüberliegende Flächen vergessen: Beim Quader kommt jede der drei Flächengrößen zweimal vor.
Offene Schachtel wie geschlossenen Quader gerechnet: Prüfe, ob ein Deckel fehlt.
cm³ statt cm² verwendet: Oberfläche ist eine Flächengröße.
Am Netz kannst du deine Rechnung überprüfen: Jede Fläche muss genau einmal vorkommen. Nummeriere die Flächen wie im Würfelnetz und hake sie beim Rechnen ab.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Nutze die beschrifteten Netzskizzen zum gedanklichen Falten. Zur Kontrolle kannst du das Netz zusätzlich zeichnen, ausschneiden und falten.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat ein Würfel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Flächen, Kanten und Ecken zählen
Ein Quader einschließlich verdeckter Teile
RechnungErklärung zum Schritt
Flächen: 2 + 4 = 6
1 Die sechs Flächen zählen
Zähle oben und unten sowie vier Seitenflächen.
Kanten: 4 + 4 + 4 = 12
2 Die zwölf Kanten zählen
Zähle vier Kanten oben, vier unten und vier verbindende Kanten.
Ecken: 4 + 4 = 8
3 Die acht Ecken zählen
Vier Ecken liegen oben, vier unten. Verdeckte Teile zählen mit.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist Oberfläche dasselbe wie Volumen?
Nein. Oberfläche beschreibt die äußeren Flächen, Volumen den Rauminhalt. Daher stehen sie in unterschiedlichen Einheiten.
Warum hat die Quaderformel den Faktor 2?
Jede der drei Flächengrößen tritt zweimal auf: jeweils an gegenüberliegenden Seiten.
Kann ein Würfel mehrere verschiedene Netze haben?
Ja. Die sechs Quadrate können auf verschiedene geeignete Arten zusammenhängen. Entscheidend ist, dass sie sich ohne Überdeckung zu einem Würfel falten lassen.
Falte die vier Quadrate um ihre gemeinsamen Kanten zu den vier Seitenflächen des Würfels.