1 · Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat ein Würfel?
Lösung und Rechenweg ansehen
6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Verdeckte Teile zählen mit.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Körper, Netze und Oberfläche: verstehen und üben
Erkenne geometrische Körper, verstehe Würfelnetze und berechne die Oberfläche von Würfel und Quader. Mit Zeichnungen, Aufgaben und passenden Arbeitsblättern.
Die Flächen außen am Körper
Würfel: O = 6 · a²
Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen. Ihre Flächeninhalte ergeben zusammen seine Oberfläche.
Lernschritt 1
Fläche oder Körper: Was ist der Unterschied?
Ein Quadrat ist eine ebene Figur. Ein Würfel ist ein räumlicher Körper: Er hat Länge, Breite und Höhe. Ein rechteckiges Blatt kann eine Fläche eines quaderförmigen Kartons darstellen; der ganze Karton ist der Körper.
Die Oberfläche besteht aus den äußeren Begrenzungsflächen. Mit der Oberflächenformel berechnest du ihren gesamten Flächeninhalt. Das Volumen beschreibt dagegen den Rauminhalt.
| Gesucht | Anschauliche Frage | Einheit |
|---|---|---|
| Oberflächeninhalt | Wie viel Papier bedeckt außen den Körper? | zum Beispiel cm² |
| Volumen | Wie viel Raum nimmt der Körper ein? | zum Beispiel cm³ |
In Verpackungsaufgaben werden Klebelaschen, Materialdicke und Überlappungen oft vernachlässigt. Lies die Aufgabe: Die geometrische Oberfläche ist nicht automatisch die gesamte benötigte Materialmenge.
Lernschritt 2
Flächen, Kanten und Ecken erkennen
Eine Kante ist bei Würfel und Quader eine Strecke, an der zwei Flächen zusammentreffen. Eine Ecke ist ein Punkt, an dem mehrere Kanten zusammentreffen. Zähle auch die Teile mit, die im Schrägbild verdeckt sind.
| Körper | Flächen | Kanten | Ecken |
|---|---|---|---|
| Würfel | 6 Quadrate | 12 | 8 |
| Quader | 6 Rechtecke | 12 | 8 |
| Dreiecksprisma | 2 Dreiecke und 3 Vierecke | 9 | 6 |
| Pyramide mit quadratischer Grundfläche | 1 Quadrat und 4 Dreiecke | 8 | 5 |
Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Zylinder, Kegel und Kugel besitzen auch gekrümmte Flächen. Die einfachen Rechteckformeln unten gelten deshalb nicht unverändert für sie.
Lernschritt 3
Was ist ein Körpernetz?
Ein Netz zeigt die Flächen eines Körpers zusammenhängend in der Ebene. Beim Falten entsteht daraus der Körper. Die Flächen dürfen sich dabei nicht überdecken, und bei einem geschlossenen Körper darf keine Fläche fehlen.
Ein Würfelnetz besteht aus sechs gleich großen Quadraten. Aber nicht jede Anordnung aus sechs Quadraten ist ein Würfelnetz. Zum Beispiel lassen sich sechs Quadrate in einer einzigen geraden Reihe nicht zu einem geschlossenen Würfel falten.
Ein Quadernetz enthält drei Paare gleich großer Rechtecke. Kanten, die beim Falten zusammenkommen, müssen gleich lang sein.
Probier es selbst: Welche Flächen liegen im gezeigten Würfelnetz der Fläche 2 gegenüber? Überlege zuerst durch gedankliches Falten.
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Fläche 4 liegt gegenüber von Fläche 2. Die vier Quadrate 1–2–3–4 bilden den seitlichen Streifen; 5 und 6 schließen ihn oben und unten.
Zeichne das Netz auf kariertes Papier, schneide am äußeren Rand aus und falte an den gemeinsamen Kanten. Das ist eine gute Kontrolle deiner räumlichen Vorstellung.
Lernschritt 4
Die Oberfläche eines Würfels berechnen
Jede der sechs Flächen ist ein Quadrat mit Seitenlänge a. Eine Fläche hat deshalb den Flächeninhalt a². Alle sechs zusammen ergeben:
O = 6 · a²
Für a = 3 cm rechnest du zuerst 3 cm · 3 cm = 9 cm². Dann multiplizierst du mit sechs: O = 6 · 9 cm² = 54 cm².
6 · a² bedeutet sechs Quadratflächen. Es bedeutet nicht (6 · a)². Und 12 · a wäre die Summe der zwölf Kantenlängen, nicht die Oberfläche.
Probier es selbst: Ein Würfel hat a = 2 cm. Wie groß ist seine Oberfläche?
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Eine Fläche ist 2 cm · 2 cm = 4 cm² groß. Sechs Flächen ergeben O = 24 cm².
Lernschritt 5
Die Oberfläche eines Quaders berechnen
Ein Quader hat die Kantenlängen a, b und c. Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß: zweimal a · b, zweimal a · c und zweimal b · c.
O = 2 · (a · b + a · c + b · c)
Beispiel: a = 5 cm, b = 3 cm und c = 2 cm.
| Flächenpaar | Rechnung | Beitrag |
|---|---|---|
| Oben und unten | 2 · 5 cm · 3 cm | 30 cm² |
| Vorne und hinten | 2 · 5 cm · 2 cm | 20 cm² |
| Links und rechts | 2 · 3 cm · 2 cm | 12 cm² |
Zusammen ergibt das O = 30 cm² + 20 cm² + 12 cm² = 62 cm². Rechne alle Kantenlängen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um.
Lernschritt 6
Geschlossener Körper oder offene Schachtel?
Die vollständige Quaderformel zählt sechs Flächen. Bei einer offenen Schachtel ohne Deckel fehlt eine davon. Du musst genau die fehlende Deckelfläche abziehen.
Die Schachtel aus dem Beispiel hat eine Grundfläche von 5 cm × 3 cm und ist 2 cm hoch. Der fehlende Deckel wäre 15 cm² groß. Ohne Deckel bleiben 62 cm² − 15 cm² = 47 cm² Fläche.
Probier es selbst: Ein oben offener Würfelbehälter hat Kantenlänge 4 cm. Wie viel Fläche haben seine fünf Seiten zusammen, ohne Materialdicke?
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Eine Quadratfläche hat 16 cm². Fünf Flächen ergeben 5 · 16 cm² = 80 cm².
Lernschritt 7
Oberflächen sicher prüfen
- Nur sichtbare Flächen gezählt: Beim geschlossenen Würfel und Quader gehören alle sechs Flächen dazu.
- Kantenlängen statt Flächen addiert: Berechne zuerst den Flächeninhalt jeder Teilfläche.
- Gegenüberliegende Flächen vergessen: Beim Quader kommt jede der drei Flächengrößen zweimal vor.
- Offene Schachtel wie geschlossenen Quader gerechnet: Prüfe, ob ein Deckel fehlt.
- cm³ statt cm² verwendet: Oberfläche ist eine Flächengröße.
Am Netz kannst du deine Rechnung überprüfen: Jede Fläche muss genau einmal vorkommen. Nummeriere die Flächen wie im Würfelnetz und hake sie beim Rechnen ab.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Ist jede Anordnung aus sechs Quadraten ein Würfelnetz?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Beim Falten müssen sechs verschiedene Würfelflächen entstehen, ohne Überlappung und ohne Lücke.
Erklärung wiederholen →3 · Würfel: a = 5 cm. Berechne O.
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O = 6 · 5 cm · 5 cm = 150 cm².
Erklärung wiederholen →4 · Quader: a = 4 cm, b = 3 cm, c = 2 cm. Berechne O.
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O = 2 · (12 + 8 + 6) cm² = 52 cm².
Erklärung wiederholen →5 · Welche Einheit passt zur Oberfläche: cm, cm² oder cm³?
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cm². Die Oberfläche ist die Summe von Flächeninhalten.
Erklärung wiederholen →6 · Eine Schachtel hat geschlossen O = 80 cm². Der Deckel ist 12 cm² groß. Wie viel Fläche bleibt ohne Deckel?
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80 cm² − 12 cm² = 68 cm².
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
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Körper, Netze und Oberfläche üben
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Danach: Körperberechnung vertiefen
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Ist Oberfläche dasselbe wie Volumen?
Nein. Oberfläche beschreibt die äußeren Flächen, Volumen den Rauminhalt. Daher stehen sie in unterschiedlichen Einheiten.
Warum hat die Quaderformel den Faktor 2?
Jede der drei Flächengrößen tritt zweimal auf: jeweils an gegenüberliegenden Seiten.
Kann ein Würfel mehrere verschiedene Netze haben?
Ja. Die sechs Quadrate können auf verschiedene geeignete Arten zusammenhängen. Entscheidend ist, dass sie sich ohne Überdeckung zu einem Würfel falten lassen.