Mathe · etwa 25–40 Minuten
Du berechnest Flächen bekannter Figuren, nutzt die senkrechte Höhe und zerlegst zusammengesetzte Flächen.
Grundrechenarten, Längeneinheiten und einfache Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne die Rechteckfläche, danach die Dreiecksfläche und schließlich die Fläche mit Aussparung. Wenn du eine Formel noch nicht kennst, beginne mit der Erklärung.
Gib die Zahl in der verlangten Einheit ein, zum Beispiel 12,5 oder 1/2. Die Einheit darfst du ergänzen (cm² auch als cm^2, cm³ als cm^3). Verwende keine Tausenderpunkte. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Wie viel passt hinein?
4 cm · 3 cm = 12 cm²
Ein Rechteck mit diesen Seitenlängen enthält zwölf Einheitsquadrate mit jeweils 1 cm² Fläche.
Der Flächeninhalt beschreibt die Größe einer ebenen Fläche. Du kannst ihn dir als Anzahl passender Einheitsquadrate vorstellen. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm².
Das Formelzeichen für den Flächeninhalt ist häufig A. Der Umfang U beschreibt dagegen die Länge des Randes. Für einen Bodenbelag brauchst du die Fläche; für eine Leiste entlang des Randes den Umfang.
Flächen stehen in Quadrateinheiten wie mm², cm² oder m². Längen und Umfänge stehen zum Beispiel in mm, cm oder m. Das hochgestellte ² gehört zur Einheit.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechteck · Seiten: 4 cm und 3 cm
Gesucht: Flächeninhalt A
Im Beispiel sind beide Längen in Zentimetern angegeben; cm · cm ergibt cm².
Beispiel · Schritt für Schritt
Quadrat · Seitenlänge a = 5 cm
Gesucht: Flächeninhalt A
Quadrat: Beide Seitenlängen sind gleich.
Multipliziere die Seitenlänge mit sich selbst.
Im Rechteck mit 4 cm und 3 cm Seitenlänge passen vier Einheitsquadrate in jede Reihe und drei Reihen übereinander. Insgesamt sind das 4 · 3 = 12 Quadrate.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechteck zunächst: 4 cm × 3 cm
Beide Seitenlängen werden verdoppelt: 8 cm × 6 cm
Beim Quadrat sind beide Seitenlängen gleich. Deshalb kann das Produkt als Quadrat geschrieben werden.
Betrachte für die Vergrößerung zunächst dieses Rechteck.
Verdopple beide Seitenlängen.
Die Fläche vervierfacht sich, weil beide Längen den Faktor 2 erhalten.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechteck · Länge: 7 cm · Breite: 2 cm
Wähle die Rechteckformel.
Multipliziere die beiden Längen. Ihre Addition würde keine Fläche ergeben.
A = (g · h) : 2
Die Grundseite g ist eine gewählte Seite. Die dazugehörige Höhe h führt vom gegenüberliegenden Eckpunkt senkrecht zur Geraden durch diese Seite. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann sie außerhalb der Figur liegen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Dreieck · Grundseite g = 8 cm · zugehörige senkrechte Höhe h = 3 cm
Gesucht: Flächeninhalt A
Ein Dreieck hat die halbe Fläche eines Parallelogramms mit derselben Grundseite und senkrechter Höhe.
Setze die zusammengehörigen Längen ein.
Halbiere die Fläche.
Grundseite und Höhe müssen zusammengehören. Eine schräge Seitenlänge ist nicht automatisch eine Höhe. Prüfe den rechten Winkel zwischen Höhe und Grundseite beziehungsweise deren Verlängerung.
Parallelogramm: A = g · h
Beispiel · Schritt für Schritt
Parallelogramm · Grundseite g = 6 cm · senkrechte Höhe h = 4 cm
Schneide gedanklich das seitliche Dreieck ab und setze es an der anderen Seite an. Das flächengleiche Rechteck hat die Seitenlängen g und h.
Verwende die senkrechte Höhe, nicht eine beliebige schräge Seitenlänge.
Multipliziere Grundseite und Höhe.
Trapez: A = ((a + c) · h) : 2
Beim Trapez bezeichnen a und c hier die beiden parallelen Seiten. h ist ihr senkrechter Abstand.
Beispiel · Schritt für Schritt
Trapez · parallele Seiten a und c · senkrechter Abstand h
Hilfsfigur: zwei gleiche Trapeze
Zeichne ein zweites gleiches Trapez, drehe es um 180° und füge beide an einer der verbindenden Seiten zusammen. Es entsteht ein Parallelogramm.
Das Parallelogramm hat die Grundseite a + c und dieselbe senkrechte Höhe h.
Es besteht aus zwei gleich großen Trapezen. Ein Trapez hat deshalb die Hälfte seiner Fläche.
Beispiel · Schritt für Schritt
Trapez · parallele Seiten: 8 cm und 4 cm · senkrechte Höhe: 3 cm
Addiere die beiden parallelen Seitenlängen.
Multipliziere mit ihrem senkrechten Abstand.
Halbiere das Ergebnis für ein Trapez.
Lösung · Schritt für Schritt
Trapez · parallele Seiten: 10 cm und 6 cm · senkrechter Abstand: 4 cm
Addiere die parallelen Seitenlängen.
Zwei gleiche Trapeze ergeben ein Parallelogramm mit dieser Grundseite und 4 cm senkrechter Höhe.
Ein Trapez hat die Hälfte der Doppel-Fläche.
Prüfe die Beschriftung deiner Aufgabe. Die Buchstaben können anders heißen; entscheidend sind die parallelen Seiten und die zugehörige Höhe.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechteck · Länge: 2 m · Breite: 50 cm
Gesucht: Fläche in m²
Das Rechteck ist 2 m lang und 50 cm breit. Gleiche die Längeneinheiten vor dem Einsetzen an.
Wähle die Rechteckformel.
Beide Längen stehen nun in Metern; das Produkt wird in Quadratmetern angegeben.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge
Gesucht: sein Flächeninhalt in mm²
Betrachte ein Einheitsquadrat mit 1 cm Seitenlänge.
Beide Seiten werden umgerechnet, daher gilt der Faktor 10² = 100.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Quadrat mit 1 dm Seitenlänge
Gesucht: sein Flächeninhalt in cm²
Betrachte ein Quadrat mit 1 dm Seitenlänge.
Der Längenfaktor wird für die Fläche quadriert.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge
Gesucht: sein Flächeninhalt in cm²
Für Meter zu Zentimeter beträgt der Längenfaktor 100.
Rechne beide Seitenrichtungen um.
Der Flächenfaktor beträgt 100² = 10 000.
Der Umrechnungsfaktor wird quadriert, weil eine Fläche zwei Längenrichtungen hat. Von m² direkt zu cm² sind es zwei benachbarte Flächeneinheiten-Schritte, jeweils mit dem Faktor 100.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: 0,5 m²
Gesucht: der Flächenwert in cm²
Verwende den quadrierten Umrechnungsfaktor.
Multipliziere den Flächenwert mit demselben Faktor.
Ein halber Quadratmeter besteht aus 5 000 Quadratzentimetern.
Teile eine komplizierte Figur in bekannte Teilflächen auf, die sich nicht überlappen. Berechne jede Fläche und addiere anschließend. Alternativ kannst du eine umschließende Fläche berechnen und Aussparungen abziehen.
Beispiel: Aus einem Rechteck von 8 cm × 6 cm wird an einer Ecke ein Rechteck von 3 cm × 2 cm herausgeschnitten. Die verbleibende L-Form hat die Fläche:
Beispiel · Schritt für Schritt
Großes Rechteck: 8 cm × 6 cm
An einer Ecke ausgeschnitten: 3 cm × 2 cm
Gesucht: die verbleibende Fläche
Berechne das umschließende Rechteck.
Berechne das an der Ecke entfernte Rechteck.
Ziehe die Aussparung ab. Kennzeichne in der Skizze, was bleibt und was entfernt wird; beim Addieren von Teilflächen darf kein Bereich doppelt gezählt werden.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Notiere immer die Quadrateinheit. Eine gesuchte Höhe ist dagegen eine Länge.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechteck · a = 9 cm · b = 4 cm
Für ein Rechteck multiplizierst du die beiden Seitenlängen.
Setze die Längen ein und gib eine Quadrateinheit an.
Lösung · Schritt für Schritt
Quadrat · a = 6 cm
Beim Quadrat sind beide Seiten gleich lang.
Multipliziere die Seitenlänge mit sich selbst.
Lösung · Schritt für Schritt
Dreieck · g = 10 cm · zugehörige senkrechte Höhe h = 4 cm
Grundseite und zugehörige senkrechte Höhe bestimmen die Dreiecksfläche.
Berechne zunächst das Produkt.
Halbiere das Produkt.
Lösung · Schritt für Schritt
Parallelogramm · g = 7 cm · zugehörige senkrechte Höhe h = 3 cm
Beim Parallelogramm wird mit der zugehörigen senkrechten Höhe gerechnet.
Hier wird nicht halbiert.
Lösung · Schritt für Schritt
Gegeben: 2 m²
Gesucht: der Flächenwert in cm²
Der Längenfaktor 100 wird quadriert.
Multipliziere die Maßzahl mit dem Flächenfaktor.
Lösung · Schritt für Schritt
Gesamtfläche: 30 cm² · Aussparung: 8 cm²
Die ausgeschnittene Fläche gehört nicht mehr zur Restfläche.
Subtrahiere in derselben Flächeneinheit.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit Volumen weiterlernen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Die Fläche beschreibt die Größe des Inneren; der Umfang die Länge des Randes. Fläche steht etwa in cm², Umfang in cm.
Ja. Zum Beispiel kann bei einem stumpfwinkligen Dreieck die Höhe auf der Verlängerung der Grundseite liegen.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechteck: 2 cm × 6 cm
Quadrat: Seitenlänge 4 cm
Berechne den Umfang des Rechtecks.
Berechne getrennt davon seine Fläche.
Das Quadrat mit Seite 4 cm hat denselben Umfang.
Die Fläche ist dennoch größer. Nein: Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche.
Rechteck: Multipliziere seine beiden Seitenlängen.