1 · Rechteck: a = 9 cm, b = 4 cm. Berechne A.
Lösung und Rechenweg ansehen
A = 9 cm · 4 cm = 36 cm².
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Flächeninhalt: verstehen und üben
Berechne die Fläche von Rechteck, Quadrat, Dreieck, Parallelogramm und Trapez. Mit Grundseite und Höhe, passenden Einheiten und Übungen mit Lösungen.
Wie viel passt hinein?
4 cm · 3 cm = 12 cm²
Ein Rechteck mit diesen Seitenlängen enthält zwölf Einheitsquadrate mit jeweils 1 cm² Fläche.
Lernschritt 1
Was ist der Flächeninhalt?
Der Flächeninhalt beschreibt die Größe einer ebenen Fläche. Du kannst ihn dir als Anzahl passender Einheitsquadrate vorstellen. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm².
Das Formelzeichen für den Flächeninhalt ist häufig A. Der Umfang U beschreibt dagegen die Länge des Randes. Für einen Bodenbelag brauchst du die Fläche; für eine Leiste entlang des Randes den Umfang.
Flächen stehen in Quadrateinheiten wie mm², cm² oder m². Längen und Umfänge stehen zum Beispiel in mm, cm oder m. Das hochgestellte ² gehört zur Einheit.
Lernschritt 2
Rechteck und Quadrat berechnen
| Figur | Flächenformel | Beispiel |
|---|---|---|
| Rechteck | A = a · b | 4 cm · 3 cm = 12 cm² |
| Quadrat | A = a² = a · a | 5 cm · 5 cm = 25 cm² |
Im Rechteck mit 4 cm und 3 cm Seitenlänge passen vier Einheitsquadrate in jede Reihe und drei Reihen übereinander. Insgesamt sind das 4 · 3 = 12 Quadrate.
Beim Quadrat sind beide Seitenlängen gleich. Deshalb kannst du a · a als a² schreiben. Verdoppelst du beide Seiten eines Rechtecks, vervierfacht sich seine Fläche: Aus 4 · 3 = 12 wird 8 · 6 = 48.
Probier es selbst: Ein Rechteck ist 7 cm lang und 2 cm breit. Wie groß ist seine Fläche?
Lösung ansehen
A = 7 cm · 2 cm = 14 cm². Die beiden Längen werden multipliziert, nicht addiert.
Lernschritt 3
Dreieck: Grundseite mal Höhe, dann halbieren
A = (g · h) : 2
Die Grundseite g ist eine gewählte Seite. Die dazugehörige Höhe h führt vom gegenüberliegenden Eckpunkt senkrecht zur Geraden durch diese Seite. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann sie außerhalb der Figur liegen.
Ein Dreieck hat die halbe Fläche eines Parallelogramms mit derselben Grundseite und Höhe. Für g = 8 cm und h = 3 cm gilt A = (8 cm · 3 cm) : 2 = 12 cm².
Grundseite und Höhe müssen zusammengehören. Eine schräge Seitenlänge ist nicht automatisch eine Höhe. Prüfe den rechten Winkel zwischen Höhe und Grundseite beziehungsweise deren Verlängerung.
Lernschritt 4
Parallelogramm und Trapez
Parallelogramm: A = g · h
Schneidest du an einem Parallelogramm gedanklich das seitliche Dreieck ab und setzt es an der anderen Seite an, entsteht ein flächengleiches Rechteck. Seine Seitenlängen sind g und h. Für g = 6 cm und h = 4 cm erhältst du 24 cm².
Trapez: A = ((a + c) · h) : 2
Beim Trapez bezeichnen a und c hier die beiden parallelen Seiten. h ist ihr senkrechter Abstand. Für a = 8 cm, c = 4 cm und h = 3 cm gilt A = ((8 + 4) · 3) : 2 cm² = 18 cm².
Prüfe die Beschriftung deiner Aufgabe. Die Buchstaben können anders heißen; entscheidend sind die parallelen Seiten und die zugehörige Höhe.
Lernschritt 5
Vor dem Rechnen die Einheiten angleichen
Alle Längen in einer Flächenformel müssen in passenden gleichen Einheiten stehen. Ist ein Rechteck 2 m lang und 50 cm breit, rechne zuerst 50 cm = 0,5 m. Dann gilt A = 2 m · 0,5 m = 1 m².
| Umrechnung | Warum? |
|---|---|
| 1 cm² = 100 mm² | 10 mm · 10 mm = 100 mm² |
| 1 dm² = 100 cm² | 10 cm · 10 cm = 100 cm² |
| 1 m² = 10.000 cm² | 100 cm · 100 cm = 10.000 cm² |
Der Umrechnungsfaktor wird quadriert, weil eine Fläche zwei Längenrichtungen hat. Von m² direkt zu cm² sind es zwei benachbarte Flächeneinheiten-Schritte, jeweils mit dem Faktor 100.
Probier es selbst: Wie viele cm² sind 0,5 m²?
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0,5 · 10.000 = 5.000 cm². Ein halber Quadratmeter besteht aus 5.000 Quadratzentimetern.
Lernschritt 6
Zusammengesetzte Flächen zerlegen
Teile eine komplizierte Figur in bekannte Teilflächen auf, die sich nicht überlappen. Berechne jede Fläche und addiere anschließend. Alternativ kannst du eine umschließende Fläche berechnen und Aussparungen abziehen.
Beispiel: Aus einem Rechteck von 8 cm × 6 cm wird an einer Ecke ein Rechteck von 3 cm × 2 cm herausgeschnitten. Die verbleibende L-Form hat die Fläche:
A = 8 · 6 − 3 · 2 = 42 cm²
Die große Fläche ist 48 cm², die Aussparung 6 cm². Bezeichne in deiner Skizze klar, welche Fläche hinzugehört und welche entfernt wird. Beim Addieren darf kein Bereich doppelt gezählt werden.
Lernschritt 7
Die passende Formel wählen und das Ergebnis prüfen
- Bestimme die Figur oder zerlege sie in bekannte Formen.
- Markiere die benötigten Längen und bei Bedarf die senkrechte Höhe.
- Gleiche die Einheiten an.
- Schreibe die Formel auf und setze die Werte ein.
- Notiere die Quadrateinheit und prüfe, ob die Größenordnung passt.
- Beim Dreieck nicht halbiert: g · h ist doppelt so groß wie die gesuchte Dreiecksfläche.
- Schräge Seite als Höhe verwendet: Die Höhe muss senkrecht sein.
- Umfang statt Fläche berechnet: Das Addieren der Randlängen liefert nicht den Flächeninhalt.
- Quadrateinheiten wie Längen umgerechnet: Beachte den quadrierten Umrechnungsfaktor.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Quadrat: a = 6 cm. Berechne A.
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A = 6 cm · 6 cm = 36 cm².
Erklärung wiederholen →3 · Dreieck: g = 10 cm, h = 4 cm. Berechne A.
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A = (10 cm · 4 cm) : 2 = 20 cm².
Erklärung wiederholen →4 · Parallelogramm: g = 7 cm, zugehörige Höhe h = 3 cm. Berechne A.
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A = 7 cm · 3 cm = 21 cm².
Erklärung wiederholen →5 · Wie viele cm² sind 2 m²?
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2 · 10.000 = 20.000 cm².
Erklärung wiederholen →6 · Aus 30 cm² werden 8 cm² ausgeschnitten. Wie viel bleibt?
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30 cm² − 8 cm² = 22 cm².
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Flächen, Figuren und Einheiten üben
Das Arbeitsblatt verbindet Rechtecke, zusammengesetzte Figuren und Umrechnungen.
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Was ist der Unterschied zwischen Fläche und Umfang?
Die Fläche beschreibt die Größe des Inneren; der Umfang die Länge des Randes. Fläche steht etwa in cm², Umfang in cm.
Kann die Höhe außerhalb einer Figur liegen?
Ja. Zum Beispiel kann bei einem stumpfwinkligen Dreieck die Höhe auf der Verlängerung der Grundseite liegen.
Haben Figuren mit gleichem Umfang dieselbe Fläche?
Nein. Ein Rechteck mit 2 cm und 6 cm hat Umfang 16 cm und Fläche 12 cm². Ein Quadrat mit Seite 4 cm hat ebenfalls Umfang 16 cm, aber Fläche 16 cm².