Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Umfang: verstehen und üben

Berechne den Umfang von Rechteck, Quadrat, Dreieck, Kreis und zusammengesetzten Figuren. Mit markiertem Rand, Beispielen und Übungen mit Lösungen.

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Einmal ganz außen herum

U = Summe der Randlängen

Der Umfang ist eine Länge. Er wird zum Beispiel in Zentimetern oder Metern angegeben.

Lernschritt 1

Was ist der Umfang?

Der Umfang U ist die Länge des Randes einer ebenen Figur. Stelle dir vor, du gehst einmal vollständig an ihrem Rand entlang und kehrst zum Ausgangspunkt zurück. Die dabei zurückgelegte Strecke ist ihr Umfang.

Für einen Zaun um ein Beet oder ein Band um eine Karte brauchst du den Umfang. Die Menge an Erde beziehungsweise Papier hängt dagegen mit Fläche oder Volumen zusammen.

Umfang und Flächeninhalt beschreiben unterschiedliche Größen: Der Umfang steht in cm oder m, der Flächeninhalt in cm² oder m². Addiere für den Umfang die Randstrecken, nicht die Flächen.

Lernschritt 2

Rechteck, Quadrat und Dreieck

Figur	Umfangsformel	Beispiel
Rechteck	U = 2 · a + 2 · b	a = 5 cm, b = 3 cm: U = 16 cm
Quadrat	U = 4 · a	a = 4 cm: U = 16 cm
Dreieck	U = a + b + c	3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm

Beim Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Deshalb kommt jede der beiden Seitenlängen zweimal vor. Gleichwertig kannst du U = 2 · (a + b) schreiben.

Beim Quadrat kommen vier gleich lange Seiten zusammen. Beim Dreieck addierst du alle drei Seiten. Eine Höhe im Inneren gehört nicht zum Rand und wird deshalb nicht zusätzlich mitgezählt.

Probier es selbst: Ein Rechteck ist 8 cm lang und 2 cm breit. Wie groß ist U?

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U = 2 · 8 cm + 2 · 2 cm = 20 cm. Oder: 2 · (8 cm + 2 cm) = 20 cm.

Lernschritt 3

Zusammengesetzte Figuren: den Rand verfolgen

Der Rand der L-Form besteht aus sechs Strecken. Die fehlenden Längen ergeben sich aus 8 − 6 = 2 und 6 − 4 = 2.

Beginne an einer Ecke und fahre den äußeren Rand in einer festen Richtung ab. Notiere jede Strecke genau einmal. Hilfslinien, mit denen die Figur in Rechtecke zerlegt wurde, zählen nicht zum Umfang.

In der Zeichnung beträgt die gesamte Breite 8 cm. Oben sind bereits 6 cm vorhanden, also ist die kurze waagerechte Strecke 8 cm − 6 cm = 2 cm. Die gesamte Höhe ist 6 cm; rechts unten sind 4 cm bekannt. Die kurze senkrechte Strecke ist daher 2 cm.

U = 6 + 2 + 2 + 4 + 8 + 6 = 28 cm

Die Rechnung enthält alle sechs Randstrecken. Die Einbuchtung gehört zum Rand und darf nicht übersprungen werden.

Fehlende Längen kannst du nur dann durch Differenzen bestimmen, wenn die entsprechende Ausrichtung und die Gesamtmaße gegeben sind. Miss eine nicht maßstabsgetreue Skizze nicht als Ersatz aus.

Lernschritt 4

Den Kreisumfang berechnen

Ein Kreis hat keine geraden Randseiten. Für die Länge seiner Kreislinie verwendest du die Kreiszahl π:

U = π · d = 2 · π · r

d ist der Durchmesser, r der Radius. Weil d = 2 · r gilt, liefern beide Formeln dasselbe Ergebnis. Für d = 10 cm erhältst du U = 10π cm ≈ 31,42 cm. Der Näherungswert ist mit der π-Taste berechnet und auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Ist r = 3 cm gegeben, lautet die Rechnung U = 2 · π · 3 cm = 6π cm ≈ 18,85 cm. Setze den Radius nicht versehentlich anstelle des Durchmessers in U = π · d ein.

Probier es selbst: Ein Kreis hat d = 6 cm. Wie lautet sein Umfang mit π?

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U = π · 6 cm = 6π cm. Du musst den Durchmesser hier nicht noch einmal verdoppeln.

Lernschritt 5

Einheiten und Sachaufgaben sicher handhaben

Rechne alle Längen zuerst in dieselbe Einheit um. Ein rechteckiges Beet ist 2 m lang und 80 cm breit. Mit 80 cm = 0,8 m ergibt sich U = 2 · 2 m + 2 · 0,8 m = 5,6 m.

Soll an einer Seite eine 0,9 m breite Öffnung frei bleiben, brauchst du rechnerisch 5,6 m − 0,9 m = 4,7 m Zaun. Der geometrische Umfang des Beets bleibt 5,6 m; nur die benötigte Zaunlänge ist kleiner.

Eine zusätzliche Reserve gehört nur dann in die Rechnung, wenn sie verlangt wird oder bei der praktischen Planung begründet ist. Trenne deshalb die mathematisch berechnete Randlänge von der tatsächlich zu bestellenden Menge.

Lernschritt 6

Aus dem Umfang eine Seitenlänge bestimmen

Beim Quadrat kannst du den Umfang durch vier teilen. Ist U = 28 cm, dann gilt a = 28 cm : 4 = 7 cm.

Bei einem Rechteck mit U = 22 cm und a = 7 cm rechnest du zunächst U : 2 = 11 cm. Das ist die Summe a + b. Also ist b = 11 cm − 7 cm = 4 cm.

Probier es selbst: Ein Quadrat hat U = 36 cm. Wie lang ist eine Seite?

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a = 36 cm : 4 = 9 cm. Die Probe lautet 4 · 9 cm = 36 cm.

Lernschritt 7

Diese Fehler kannst du vermeiden

Nur zwei Rechteckseiten addiert: Jede Seitenlänge kommt zweimal vor.
Hilfslinien mitgezählt: Nur der Rand der betrachteten Figur gehört zum Umfang.
Einbuchtungen übersprungen: Folge dem Rand vollständig.
Unterschiedliche Einheiten vermischt: Rechne sie vor dem Addieren um.
cm² statt cm geschrieben: Der Umfang ist eine Länge.

Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche: Ein Quadrat mit Seite 4 cm und ein Rechteck mit Seiten 2 cm und 6 cm haben beide U = 16 cm, aber Flächen von 16 cm² beziehungsweise 12 cm².

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