Mathe · etwa 25–40 Minuten
Du berechnest Umfänge, findest fehlende Seiten und unterscheidest die Randlänge von der benötigten Materialmenge.
Grundrechenarten, Längeneinheiten und Radius/Durchmesser.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne den Rechteckumfang, finde danach eine fehlende Seite und gleiche in der dritten Aufgabe die Einheiten an.
Gib die Zahl in der verlangten Einheit ein, etwa 12,5 oder 1/2. Die Einheit darfst du ergänzen. Keine Tausenderpunkte. Kreisaufgaben: zwei Nachkommastellen oder exakt mit π, etwa 5π oder 5*pi. Entscheidungsfragen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Einmal ganz außen herum
U = Summe der Randlängen
Der Umfang ist eine Länge. Er wird zum Beispiel in Zentimetern oder Metern angegeben.
Der Umfang U ist die Länge des Randes einer ebenen Figur. Stelle dir vor, du gehst einmal vollständig an ihrem Rand entlang und kehrst zum Ausgangspunkt zurück. Die dabei zurückgelegte Strecke ist ihr Umfang.
Für einen Zaun um ein Beet oder ein Band um eine Karte brauchst du den Umfang. Die Menge an Erde beziehungsweise Papier hängt dagegen mit Fläche oder Volumen zusammen.
Umfang und Flächeninhalt beschreiben unterschiedliche Größen: Der Umfang steht in cm oder m, der Flächeninhalt in cm² oder m². Addiere für den Umfang die Randstrecken, nicht die Flächen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechteck · a = 5 cm · b = 3 cm
Gesucht: Umfang U
Alle Längen stehen bereits in Zentimetern.
Der Umfang ist eine Länge, keine Fläche.
Beispiel · Schritt für Schritt
Quadrat · a = 4 cm
Gesucht: Umfang U
Beim Quadrat sind alle Randseiten gleich lang.
Vier Seiten von je vier Zentimetern ergeben sechzehn Zentimeter.
Beispiel · Schritt für Schritt
Dreieck · Seiten: 3 cm, 4 cm und 5 cm
Gesucht: Umfang U
Eine innere Höhe gehört nicht zusätzlich zum Umfang.
Die Summe der drei Seitenlängen ist zwölf Zentimeter.
Beim Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Deshalb kommt jede der beiden Seitenlängen zweimal vor. Gleichwertig kannst du U = 2 · (a + b) schreiben.
Beim Quadrat kommen vier gleich lange Seiten zusammen. Beim Dreieck addierst du alle drei Seiten. Eine Höhe im Inneren gehört nicht zum Rand und wird deshalb nicht zusätzlich mitgezählt.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechteck · Länge: 8 cm · Breite: 2 cm
Beide Seitenlängen kommen je zweimal vor.
Addiere alle vier Randseiten.
Du kannst zuerst Länge und Breite addieren und dann verdoppeln.
Beginne an einer Ecke und fahre den äußeren Rand in einer festen Richtung ab. Notiere jede Strecke genau einmal. Hilfslinien, mit denen die Figur in Rechtecke zerlegt wurde, zählen nicht zum Umfang.
Beispiel · Schritt für Schritt
L-Form wie in der Zeichnung · Gesamtbreite: 8 cm · Gesamthöhe: 6 cm
Oberer Abschnitt: 6 cm · rechter unterer Abschnitt: 4 cm
Die gesamte Breite beträgt acht Zentimeter, der obere waagerechte Abschnitt sechs. Verwende die in der Zeichnung gegebene Ausrichtung.
Die gesamte Höhe beträgt sechs Zentimeter, der rechte untere Abschnitt vier.
Notiere alle sechs Strecken einmal in derselben Umlaufrichtung. Die Einbuchtung gehört zum Rand; innere Hilfslinien zählen nicht.
Die Summe enthält den vollständigen Rand der L-Form.
Fehlende Längen kannst du nur dann durch Differenzen bestimmen, wenn die entsprechende Ausrichtung und die Gesamtmaße gegeben sind. Miss eine nicht maßstabsgetreue Skizze nicht als Ersatz aus.
Ein Kreis hat keine geraden Randseiten. Für die Länge seiner Kreislinie verwendest du die Kreiszahl π:
U = π · d = 2 · π · r
d ist der Durchmesser, r der Radius. Weil d = 2 · r gilt, liefern beide Formeln dasselbe Ergebnis.
Beispiel · Schritt für Schritt
Kreis · Durchmesser d = 10 cm
Gesucht: Umfang U
Gegeben ist d = 10 cm.
Der Durchmesser wird mit π multipliziert, nicht nochmals verdoppelt.
Benutze die π-Taste und runde auf zwei Nachkommastellen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Kreis · Radius r = 3 cm
Gesucht: Umfang U
Gegeben ist r = 3 cm. Der Faktor zwei berücksichtigt den doppelten Radius als Durchmesser.
Setze den Radius nicht anstelle des Durchmessers in U = π · d ein.
Rechne mit der π-Taste und runde erst das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Lösung · Schritt für Schritt
Kreis · Durchmesser d = 6 cm
Gesucht: exakter Umfang mit π
Die sechs Zentimeter sind bereits der Durchmesser.
Du musst den Durchmesser nicht noch einmal verdoppeln.
Rechne alle Längen zuerst in dieselbe Einheit um. Ein rechteckiges Beet ist 2 m lang und 80 cm breit:
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechteckiges Beet · Länge: 2 m · Breite: 80 cm
Gesucht: Umfang in Metern
Hundert Zentimeter entsprechen einem Meter.
Länge und Breite stehen nun beide in Metern.
Die gesamte Randlänge des Beets beträgt 5,6 Meter.
Beispiel · Schritt für Schritt
Umfang des Beets: 5,6 m · Öffnung ohne Zaun: 0,9 m
Gesucht: benötigte Zaunlänge
An einer Seite sollen 0,9 Meter des Randes ohne Zaun bleiben.
Nur die benötigte Zaunlänge wird kleiner. Der geometrische Rand des Beets bleibt unverändert.
Eine zusätzliche Reserve gehört nur dann in die Rechnung, wenn sie verlangt wird oder bei der praktischen Planung begründet ist. Trenne deshalb die mathematisch berechnete Randlänge von der tatsächlich zu bestellenden Menge.
Beispiel · Schritt für Schritt
Quadrat · Umfang U = 28 cm
Gesucht: Seitenlänge a
Teile den Umfang durch die Anzahl der vier gleich langen Seiten.
Bei U = 28 cm beträgt jede Seite sieben Zentimeter.
Gesucht ist die fehlende Seite eines Rechtecks mit U = 22 cm und a = 7 cm:
Beispiel · Schritt für Schritt
Rechteck · Umfang U = 22 cm · Seite a = 7 cm
Gesucht: Seite b
Der halbe Umfang ist die Summe zweier benachbarter Seiten.
Zusammen sind Länge und Breite elf Zentimeter lang.
Die fehlende Seite hat die Länge vier Zentimeter.
Die berechnete Seite liefert wieder den gegebenen Umfang.
Lösung · Schritt für Schritt
Quadrat · Umfang U = 36 cm
Gesucht: Seitenlänge a
Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.
Die vier Seiten ergeben den gegebenen Umfang.
Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche:
Beispiel · Schritt für Schritt
Quadrat: a = 4 cm
Rechteck: Seiten 2 cm und 6 cm
Die Seitenlänge beträgt vier Zentimeter. Umfang und Fläche haben unterschiedliche Einheiten.
Der Umfang ist genauso groß wie beim Quadrat, die Fläche mit zwölf statt sechzehn Quadratzentimetern jedoch kleiner.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Folge immer dem vollständigen Rand. Öffnungen und Zuschläge ändern eine Materialmenge, aber nicht den geometrischen Umfang der ursprünglichen Figur.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechteck · a = 6 cm · b = 4 cm
Beide Seitenlängen werden zweimal gezählt.
Der Umfang beträgt zwanzig Zentimeter.
Lösung · Schritt für Schritt
Dreieck · Seiten: 5 cm, 5 cm und 6 cm
Das Dreieck hat drei Randseiten.
Beide gleich langen Seiten werden einzeln gezählt.
Nein. Sie gehören nicht zum Rand der betrachteten Figur.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
Kreis · Radius r = 4 cm
Gesucht: exakter Umfang mit π
Die gegebenen vier Zentimeter sind der Radius.
Der Umfang wird hier mit π verlangt; Runden ist nicht nötig.
Lösung · Schritt für Schritt
Quadrat · Umfang U = 32 cm
Gesucht: Seitenlänge a
Die vier Quadratseiten sind gleich lang.
Die Probe 4 · 8 cm = 32 cm bestätigt das Ergebnis.
Lösung · Schritt für Schritt
Rechteck · Länge: 1 m · Breite: 50 cm
Gesucht: Umfang in Metern
Beide Längen müssen in derselben Einheit stehen.
Jede der beiden Rechteckseitenlängen kommt zweimal vor.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Flächeninhalt gezielt unterscheiden →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Der Umfang ist die Länge des Randes, die Fläche die Größe des Inneren.
Eine Längeneinheit, zum Beispiel mm, cm, m oder km.
Nur wenn die betreffende Strecke zugleich am Rand liegt. Eine eingezeichnete innere Höhe wird nicht zusätzlich gezählt.
Beim Rechteck kommt jede der beiden Seitenlängen zweimal am Rand vor.