1 · Spiegle P(3 | −5) am Ursprung.
Lösung und Rechenweg ansehen
P′(−3 | 5). Beide Koordinaten wechseln das Vorzeichen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Punktspiegelung: verstehen und üben
Spiegle Punkte und Figuren an einem Zentrum. Verstehe die halbe Drehung, gleiche Abstände und die Koordinatenregeln – mit einem interaktiven Beispiel.
Das Zentrum ist die Mitte
P, Z und P′ liegen auf einer Geraden.
ZP = ZP′.
Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180° um das Zentrum Z.
Lernschritt 1
Was ist eine Punktspiegelung?
Bei einer Punktspiegelung wird jeder Punkt P an einem festen Zentrum Z gespiegelt. Der Bildpunkt P′ liegt auf der Geraden durch P und Z, auf der anderen Seite des Zentrums und im gleichen Abstand.
Das Zentrum Z ist der Mittelpunkt der Strecke PP′. Du kannst die Abbildung auch als halbe Drehung von 180° um Z verstehen. Dabei bleiben alle Seitenlängen und Winkelgrößen erhalten.
Bei der Achsenspiegelung ist eine ganze Gerade die Mitte zwischen Original und Bild. Bei der Punktspiegelung gibt es einen einzigen Mittelpunkt Z. Das sind unterschiedliche Abbildungen.
Lernschritt 2
Spiegle einen beweglichen Punkt am Ursprung
Versuch 1: Ändere x und y. Die Verbindung von P und P′ läuft immer durch Z(0 | 0). Das Zentrum bleibt genau in ihrer Mitte.
Versuch 2: Stelle P auf (0 | 0). Original und Bild fallen zusammen. Das Zentrum ist der einzige Punkt, der bei dieser Punktspiegelung fest bleibt.
Das Beispiel verwendet den Ursprung. Die Konstruktionsregel funktioniert auch für jedes andere Zentrum.
Lernschritt 3
Einen Punkt am Zentrum Z spiegeln
- Zeichne die Gerade durch P und Z.
- Bestimme den Abstand ZP, zum Beispiel mit dem Zirkel.
- Übertrage denselben Abstand von Z aus auf die andere Seite.
- Markiere dort P′.
- Prüfe: P, Z und P′ liegen auf einer Geraden, und ZP = ZP′.
Ist P bereits das Zentrum, gilt unmittelbar P′ = P. Bei allen anderen Punkten liegt Z zwischen Original und Bild.
Probier es selbst: P liegt 4 cm von Z entfernt. Wie lang ist PP′?
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8 cm. Das Zentrum teilt die Strecke in zwei gleich lange Abschnitte von je 4 cm.
Lernschritt 4
Am Ursprung spiegeln: beide Vorzeichen wechseln
Bei einer Punktspiegelung am Ursprung Z(0 | 0) wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen:
(x | y) → (−x | −y)
| Original | Bild am Ursprung |
|---|---|
| (3 | 2) | (−3 | −2) |
| (−4 | 1) | (4 | −1) |
| (0 | −3) | (0 | 3) |
| (0 | 0) | (0 | 0) |
Von drei Einheiten rechts und zwei oben geht es zu drei links und zwei unten. Eine Koordinate mit dem Wert 0 bleibt beim Vorzeichenwechsel 0.
Beide Vorzeichen einfach zu wechseln funktioniert für die Punktspiegelung am Ursprung. Bei einem anderen Zentrum musst du die Abstände zu diesem Zentrum berücksichtigen.
Lernschritt 5
An einem anderen Zentrum spiegeln
Betrachte Z(1 | 2) und P(4 | 3). Von Z nach P gehst du drei Einheiten nach rechts und eine nach oben. Für P′ gehst du von Z aus drei nach links und eine nach unten. Also gilt P′(−2 | 1).
Wenn du mit Formeln arbeiten möchtest, lautet die allgemeine Regel für Z(zₓ | zᵧ):
x′ = 2 · zₓ − x und y′ = 2 · zᵧ − y
Im Beispiel: x′ = 2 · 1 − 4 = −2 und y′ = 2 · 2 − 3 = 1. Zur Probe liegt die Mitte zwischen (4 | 3) und (−2 | 1) bei (1 | 2).
Probier es selbst: Spiegle P(5 | 1) an Z(2 | 1).
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P liegt drei Einheiten rechts von Z. P′ liegt drei Einheiten links: P′(−1 | 1).
Lernschritt 6
Eine ganze Figur punktspiegeln
Spiegle alle Eckpunkte einzeln und verbinde die zugehörigen Bildpunkte. Für A(1 | 1), B(4 | 1) und C(2 | 3) erhältst du am Ursprung A′(−1 | −1), B′(−4 | −1) und C′(−2 | −3).
Die Bildfigur ist eine um 180° gedrehte, kongruente Kopie. Anders als bei einer Achsenspiegelung bleibt die Orientierung einer umlaufenden Eckpunktfolge erhalten.
Eine Figur heißt punktsymmetrisch zu Z, wenn die Punktspiegelung an Z die Figur genau auf sich selbst abbildet. Ein Rechteck ist beispielsweise punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen.
Lernschritt 7
Diese Verwechslungen vermeidest du
- Nur ein Vorzeichen geändert: Am Ursprung müssen beide wechseln.
- Am falschen Zentrum gespiegelt: Markiere Z vor dem Einzeichnen.
- Gleiche Entfernung, aber falsche Richtung: P, Z und P′ müssen zusätzlich auf einer Geraden liegen.
- 90° statt 180° gedreht: Punktspiegelung bedeutet eine halbe Drehung.
- Punktspiegelung und Punktsymmetrie gleichgesetzt: Die Spiegelung kannst du auf jede Figur anwenden; Symmetrie verlangt die Deckung mit der Originalfigur.
Probier es selbst: Was passiert nach zwei Punktspiegelungen am selben Zentrum?
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Du erhältst die ursprüngliche Figur zurück: Zwei halbe Drehungen ergeben eine volle Drehung.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Rolle hat Z in der Strecke PP′?
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Z ist ihr Mittelpunkt. P, Z und P′ liegen auf einer Geraden und ZP = ZP′.
Erklärung wiederholen →3 · Welcher Drehwinkel entspricht einer Punktspiegelung?
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180°, also eine halbe Drehung um das Zentrum.
Erklärung wiederholen →4 · Spiegle P(4 | 2) an Z(1 | 2).
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P′(−2 | 2). Von Z aus liegen beide Punkte drei Einheiten entfernt auf entgegengesetzten Seiten.
Erklärung wiederholen →5 · Welcher Punkt bleibt bei einer Punktspiegelung fest?
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Nur das Spiegelzentrum Z selbst.
Erklärung wiederholen →6 · Ist ein Rechteck punktsymmetrisch?
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Ja, zum Schnittpunkt seiner Diagonalen. Eine Drehung um 180° um diesen Punkt bringt es auf sich selbst.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Spiegelungen vergleichen und üben
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Danach: Symmetrie an Figuren entdecken
Vertiefe, wann eine ganze Figur nach einer Spiegelung wieder auf sich selbst passt.
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Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Ist Punktspiegelung dasselbe wie eine Drehung?
Sie entspricht genau einer Drehung um 180° um das Spiegelzentrum.
Darf ich immer beide Vorzeichen wechseln?
Nur wenn das Zentrum der Ursprung ist. Bei einem anderen Zentrum arbeitest du mit den Abständen zu Z oder der allgemeinen Koordinatenformel.
Was unterscheidet Achsen- und Punktspiegelung?
Die Achsenspiegelung bezieht sich auf eine Gerade, die Punktspiegelung auf einen Punkt. Am Ursprung wechselt die Punktspiegelung beide Vorzeichen; die Spiegelung an einer Koordinatenachse nur eines.