Du spiegelst an beliebigen Zentren und bestimmst Zentrum, Original und Bildpunkt sicher.
Voraussetzungen ansehen
Koordinaten, Vorzeichen und Mittelwerte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Zeichne oder rechne zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y eingeben, zum Beispiel −2 | 3. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt; Brüche mit /. Bei Entscheidungen ja oder nein. Achte darauf, ob ein Punkt, eine Änderung oder eine einzelne Zahl gefragt ist.
02 · Verstehen
Was ist eine Punktspiegelung?
Das Zentrum ist die Mitte
P, Z und P′ liegen auf einer Geraden. ZP = ZP′.
Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180° um das Zentrum Z.
Bei einer Punktspiegelung wird jeder Punkt P an einem festen Zentrum Z gespiegelt. Der Bildpunkt P′ liegt auf der Geraden durch P und Z, auf der anderen Seite des Zentrums und im gleichen Abstand.
Das Zentrum Z ist der Mittelpunkt der Strecke PP′. Du kannst die Abbildung auch als halbe Drehung von 180° um Z verstehen. Dabei bleiben alle Seitenlängen und Winkelgrößen erhalten.
Bei der Achsenspiegelung ist die Spiegelachse die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt außerhalb der Achse und seinem Bild; Punkte auf der Achse bleiben fest. Bei der Punktspiegelung ist ein fester Punkt Z der Mittelpunkt zwischen Original und Bild. Das sind unterschiedliche Abbildungen.
Spiegle einen beweglichen Punkt am Ursprung
Festes Beispiel: P(3 | 2) wird am Ursprung Z(0 | 0) gespiegelt. Blau: Original P. Mint: Bildpunkt P′.
Jedes Kästchen entspricht auf beiden Achsen einer Einheit. Dargestellt ist der Ausschnitt von −6 bis 6.
Versuch 1: Ändere x und y. Die Verbindung von P und P′ läuft immer durch Z(0 | 0). Das Zentrum bleibt genau in ihrer Mitte.
Versuch 2: Stelle P auf (0 | 0). Original und Bild fallen zusammen. Das Zentrum ist der einzige Punkt, der bei dieser Punktspiegelung fest bleibt.
Das Beispiel verwendet den Ursprung. Die Konstruktionsregel funktioniert auch für jedes andere Zentrum.
Einen Punkt am Zentrum Z spiegeln
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Bildpunkt am Zentrum konstruieren
Punkt P · Spiegelzentrum Z
Konstruktion und KontrolleErklärung zum Schritt
Falls P = Z: P′ = P
1 Den Sonderfall P = Z prüfen
Das Zentrum bleibt fest. Für diesen Sonderfall brauchst du keine Verbindungsgerade zu konstruieren.
Für P ≠ Z: Gerade durch P und Z
2 Die Hilfsgerade durch P und Z zeichnen
Die beiden verschiedenen Punkte bestimmen die Hilfsgerade.
Abstand ZP übernehmen
3 Den Abstand zum Zentrum übernehmen
Bestimme den Abstand, zum Beispiel mit dem Zirkel. Trage ihn von Z aus auf der anderen Seite derselben Geraden ab.
Bildpunkt P′ markieren
4 Den Bildpunkt auf der Gegenseite markieren
Der Bildpunkt liegt auf der entgegengesetzten Seite im gleichen Abstand vom Zentrum.
ZP = ZP′; Z liegt zwischen P und P′
5 Geradenlage und gleiche Abstände prüfen
Kontrolliere beide Bedingungen. Gleiche Entfernung allein genügt nicht.
Ist P bereits das Zentrum, gilt unmittelbar P′ = P. Bei allen anderen Punkten liegt Z zwischen Original und Bild.
Probier es selbst: P liegt 4 cm von Z entfernt. Wie lang ist PP′?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den Abstand zwischen Original und Bild bestimmen
Abstand ZP = 4 cm
RechnungErklärung zum Schritt
ZP = ZP′ = 4 cm
1 Den gleichen Abstand zum Zentrum nutzen
Die Punktspiegelung erhält den Abstand zum Zentrum.
PP′ = 4 cm + 4 cm = 8 cm
2 Die beiden Teilstrecken addieren
Z liegt zwischen den beiden Punkten und teilt ihre Verbindung in zwei gleich lange Abschnitte.
Am Ursprung spiegeln: beide Vorzeichen wechseln
Bei einer Punktspiegelung am Ursprung Z(0 | 0) wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen:
(x | y) → (−x | −y)
Beispiel · Schritt für Schritt
Einen Punkt am Ursprung spiegeln
P(3 | 2) · Zentrum Z(0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
P(3 | 2), Z(0 | 0)
1 Das Spiegelzentrum beachten
Am Ursprung werden beide Koordinaten durch ihre Gegenzahlen ersetzt.
x′ = −3; y′ = −2
2 Beide Vorzeichen wechseln
Aus drei Einheiten rechts und zwei oben werden drei links und zwei unten.
P′(−3 | −2)
3 Den Bildpunkt angeben
Schreibe x′ zuerst, y′ danach.
Beispiel · Schritt für Schritt
Auch eine negative Koordinate durch ihre Gegenzahl ersetzen
P(−4 | 1) · Zentrum Z(0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
P(−4 | 1), Z(0 | 0)
1 Beide Koordinaten betrachten
Wechsle beide Vorzeichen, auch das bereits negative.
x′ = −(−4) = 4; y′ = −1
2 Die Gegenzahlen bestimmen
Die Gegenzahl von −4 ist +4.
P′(4 | −1)
3 Den Bildpunkt angeben
Der Bildpunkt liegt rechts unterhalb des Ursprungs.
Beispiel · Schritt für Schritt
Einen Punkt auf der y-Achse spiegeln
P(0 | −3) · Zentrum Z(0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
P(0 | −3), Z(0 | 0)
1 Die Lage des Punkts beachten
Der Originalpunkt liegt auf der y-Achse.
x′ = −0 = 0; y′ = −(−3) = 3
2 Beide Gegenzahlen bestimmen
Null bleibt beim Vorzeichenwechsel Null.
P′(0 | 3)
3 Den Bildpunkt angeben
Auch der Bildpunkt liegt auf der y-Achse.
Beispiel · Schritt für Schritt
Das Zentrum als Fixpunkt erkennen
P(0 | 0) = Z
RechnungErklärung zum Schritt
P(0 | 0) = Z
1 Punkt und Zentrum vergleichen
Der Originalpunkt stimmt mit dem Zentrum überein.
x′ = 0; y′ = 0
2 Die Koordinaten spiegeln
Beide Koordinaten bleiben null.
P′ = P = Z
3 Den unveränderten Punkt erkennen
Das Zentrum ist der einzige Fixpunkt der Punktspiegelung.
Von drei Einheiten rechts und zwei oben geht es zu drei links und zwei unten. Eine Koordinate mit dem Wert 0 bleibt beim Vorzeichenwechsel 0.
Beide Vorzeichen einfach zu wechseln funktioniert für die Punktspiegelung am Ursprung. Bei einem anderen Zentrum musst du die Abstände zu diesem Zentrum berücksichtigen.
An einem anderen Zentrum spiegeln
Beispiel · Schritt für Schritt
Vom Zentrum aus in die Gegenrichtung gehen
P(4 | 3) · Zentrum Z(1 | 2)
RechnungErklärung zum Schritt
4 − 1 = 3; 3 − 2 = 1
1 Den Weg vom Zentrum zu P bestimmen
Von Z(1 | 2) nach P(4 | 3) geht es drei Einheiten rechts und eine nach oben.
x′ = 1 − 3 = −2
2 Die waagerechte Richtung umkehren
Gehe vom Zentrum denselben waagerechten Abstand nach links.
y′ = 2 − 1 = 1
3 Die senkrechte Richtung umkehren
Gehe vom Zentrum denselben senkrechten Abstand nach unten.
P′(−2 | 1)
4 Den Bildpunkt angeben
Die Abstände werden von Z aus gemessen, nicht vom Ursprung.
Wenn du mit Formeln arbeiten möchtest, lautet die allgemeine Regel für Z(zₓ | zᵧ):
x′ = 2 · zₓ − x und y′ = 2 · zᵧ − y
Beispiel · Schritt für Schritt
Mit der Koordinatenregel spiegeln und prüfen
P(4 | 3) · Zentrum Z(1 | 2)
RechnungErklärung zum Schritt
x′ = 2 · 1 − 4 = −2
1 Die neue x-Koordinate berechnen
Setze zₓ = 1 und x = 4 in die allgemeine Koordinatenregel ein.
y′ = 2 · 2 − 3 = 1
2 Die neue y-Koordinate berechnen
Setze zᵧ = 2 und y = 3 ein.
Mx = (4 + (−2)) : 2 = 1
3 Den Mittelwert der x-Koordinaten prüfen
Probe: Der Mittelwert der x-Koordinaten ist die x-Koordinate des Zentrums.
My = (3 + 1) : 2 = 2
4 Den Mittelwert der y-Koordinaten prüfen
Auch die y-Koordinaten haben den passenden Mittelwert.
M(1 | 2) = Z
5 Den Mittelpunkt mit Z vergleichen
Die Mitte zwischen Original und Bild ist genau das vorgegebene Zentrum.
Probier es selbst: Spiegle P(5 | 1) an Z(2 | 1).
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Einen Punkt auf gleicher Höhe zum Zentrum spiegeln
P(5 | 1) · Zentrum Z(2 | 1)
RechnungErklärung zum Schritt
5 − 2 = 3; 1 − 1 = 0
1 Den Weg vom Zentrum zu P bestimmen
Von Z(2 | 1) nach P(5 | 1) geht es drei Einheiten nach rechts und nicht nach oben oder unten.
x′ = 2 − 3 = −1
2 Die waagerechte Richtung umkehren
Gehe vom Zentrum drei Einheiten in die Gegenrichtung.
y′ = 1
3 Die gemeinsame Höhe beibehalten
Die Höhe bleibt hier gleich, weil P und Z dieselbe y-Koordinate haben.
P′(−1 | 1)
4 Den Bildpunkt angeben
Original und Bild liegen gleich weit auf gegenüberliegenden Seiten von Z.
Eine ganze Figur punktspiegeln
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein ganzes Dreieck punktspiegeln
A(1 | 1), B(4 | 1), C(2 | 3) Zentrum: Z(0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
A(1 | 1) → A′(−1 | −1)
1 Den Eckpunkt A spiegeln
Spiegle den ersten Eckpunkt am Ursprung: Beide Vorzeichen wechseln.
B(4 | 1) → B′(−4 | −1)
2 Den Eckpunkt B spiegeln
Wende dieselbe Regel auf den zweiten Eckpunkt an.
C(2 | 3) → C′(−2 | −3)
3 Den Eckpunkt C spiegeln
Spiegle auch den dritten Eckpunkt.
A′–B′–C′–A′ verbinden
4 Die Bildpunkte in derselben Reihenfolge verbinden
Verbinde die Bildpunkte in derselben umlaufenden Reihenfolge wie die Originalpunkte.
Die Bildfigur ist eine um 180° gedrehte, kongruente Kopie. Anders als bei einer Achsenspiegelung bleibt die Orientierung einer umlaufenden Eckpunktfolge erhalten.
Eine Figur heißt punktsymmetrisch zu Z, wenn die Punktspiegelung an Z die Figur genau auf sich selbst abbildet. Ein Rechteck ist beispielsweise punktsymmetrisch zum Schnittpunkt seiner Diagonalen.
Diese Verwechslungen vermeidest du
Nur ein Vorzeichen geändert: Am Ursprung müssen beide wechseln.
Am falschen Zentrum gespiegelt: Markiere Z vor dem Einzeichnen.
Gleiche Entfernung, aber falsche Richtung: P, Z und P′ müssen zusätzlich auf einer Geraden liegen.
90° statt 180° gedreht: Punktspiegelung bedeutet eine halbe Drehung.
Punktspiegelung und Punktsymmetrie gleichgesetzt: Die Spiegelung kannst du auf jede Figur anwenden; Symmetrie verlangt die Deckung mit der Originalfigur.
Probier es selbst: Was passiert nach zwei Punktspiegelungen am selben Zentrum?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Warum entsteht wieder die ursprüngliche Figur?
Zweimal am selben Zentrum spiegeln
RechnungErklärung zum Schritt
180° + 180° = 360°
1 Die beiden halben Drehungen addieren
Zwei Punktspiegelungen am selben Zentrum sind zwei halbe Drehungen um denselben Punkt.
P → P′ → P
2 Die Rückkehr zum Original erkennen
Eine volle Drehung führt jeden Punkt zurück. Du erhältst die ursprüngliche Figur.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Nutze ein kariertes Blatt für deine Zeichnung. Die Skizzen zeigen die Ausgangslage; bestimme den gesuchten Bildpunkt selbst.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Spiegle P(3 | −5) am Ursprung.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Die Bildkoordinaten am Ursprung bestimmen
P(3 | −5) · Zentrum Z(0 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
x′ = −3
1 Die Gegenzahl von x bestimmen
Die Gegenzahl der ersten Koordinate 3 ist −3.
y′ = −(−5) = 5
2 Die Gegenzahl von y bestimmen
Auch die zweite Koordinate wechselt das Vorzeichen.
P′(−3 | 5)
3 Den Bildpunkt angeben
Diese einfache Vorzeichenregel gilt, weil am Ursprung gespiegelt wird.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist Punktspiegelung dasselbe wie eine Drehung?
Sie entspricht genau einer Drehung um 180° um das Spiegelzentrum.
Darf ich immer beide Vorzeichen wechseln?
Nur wenn das Zentrum der Ursprung ist. Bei einem anderen Zentrum arbeitest du mit den Abständen zu Z oder der allgemeinen Koordinatenformel.
Was unterscheidet Achsen- und Punktspiegelung?
Die Achsenspiegelung bezieht sich auf eine Gerade, die Punktspiegelung auf einen Punkt. Am Ursprung wechselt die Punktspiegelung beide Vorzeichen; die Spiegelung an einer Koordinatenachse nur eines.
Das Zentrum bleibt fest. Für diesen Sonderfall brauchst du keine Verbindungsgerade zu konstruieren.