Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Achsenspiegelung: verstehen und üben

Spiegle Punkte und Figuren an einer Geraden. Lerne den senkrechten Abstand, die Konstruktion und die Koordinatenregeln kennen – mit einem interaktiven Beispiel.

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Die Achse liegt genau dazwischen

Gleicher Abstand zur Achse.
Verbindung senkrecht zur Achse.

Ein Punkt auf der Spiegelachse bleibt an seinem Platz.

Lernschritt 1

Was ist eine Achsenspiegelung?

Bei einer Achsenspiegelung wird eine Figur an einer Geraden gespiegelt. Diese Gerade heißt Spiegelachse. Zu jedem Originalpunkt P gehört ein Bildpunkt P′, gesprochen „P Strich“.

Für einen Punkt außerhalb der Achse gilt: Die Strecke PP′ steht senkrecht auf der Spiegelachse und wird von ihr halbiert. P und P′ haben also denselben senkrechten Abstand zur Achse und liegen auf verschiedenen Seiten.

Die Spiegelachse muss nicht senkrecht auf dem Blatt stehen. Sie kann auch waagerecht oder schräg verlaufen. Entscheidend ist der rechte Winkel zwischen Achse und Verbindungslinie der Punkte.

Lernschritt 2

Verschiebe einen Punkt und beobachte sein Spiegelbild

Versuch 1: Ändere nur x. P und P′ bewegen sich auf derselben Höhe voneinander weg oder aufeinander zu. Ihre Abstände zur y-Achse bleiben gleich.

Versuch 2: Stelle x = 0 ein. Beide Punkte liegen auf der Spiegelachse und fallen zusammen. Verändere dann y: Der Punkt bleibt weiterhin sein eigenes Spiegelbild.

Das Beispiel zeigt gezielt die Spiegelung an der y-Achse. Eine Spiegelung an einer anderen Geraden folgt derselben Abstandsregel, kann aber andere Koordinatenregeln haben.

Lernschritt 3

Einen Punkt an einer beliebigen Achse spiegeln

Zeichne durch P eine Senkrechte zur Spiegelachse g.
Markiere den Schnittpunkt F dieser Senkrechten mit g.
Übertrage die Länge PF auf derselben Senkrechten auf die andere Seite von g.
Markiere dort P′. Es gilt PF = FP′.
Kontrolliere den rechten Winkel bei F.

Den Abstand kannst du mit dem Zirkel übertragen: Steche in F ein, öffne bis P und markiere auf der anderen Seite den Schnittpunkt mit der Senkrechten. Liegt P bereits auf g, brauchst du diese Schritte nicht: P′ = P.

Probier es selbst: P ist 3 cm von der Achse entfernt. Wie weit liegen P und P′ auseinander?

Lösung ansehen

6 cm. Von P zur Achse sind es 3 cm und von der Achse zu P′ weitere 3 cm.

Lernschritt 4

An x-Achse und y-Achse spiegeln

Spiegelachse	Regel	Beispiel
y-Achse	(x \| y) → (−x \| y)	(3 \| 2) → (−3 \| 2)
x-Achse	(x \| y) → (x \| −y)	(3 \| 2) → (3 \| −2)

An der y-Achse wechselt die x-Koordinate ihr Vorzeichen. Die Höhe y bleibt gleich. An der x-Achse bleibt x gleich und y wechselt das Vorzeichen.

Bei negativen Koordinaten bedeutet Vorzeichenwechsel: Aus −4 wird 4. Die Zahl 0 bleibt 0. Deshalb wird P(−4 | 1) an der y-Achse zu P′(4 | 1).

Diese einfachen Regeln gelten für die jeweiligen Koordinatenachsen. Bei einer verschobenen oder schrägen Spiegelachse darfst du nicht einfach dieselben Vorzeichenregeln anwenden.

Lernschritt 5

Ein ganzes Dreieck spiegeln

Spiegle jeden Eckpunkt einzeln und verbinde die Bildpunkte anschließend in derselben Zuordnung. Aus A, B und C werden A′, B′ und C′.

Für A(1 | 1), B(4 | 1) und C(2 | 3) ergibt die Spiegelung an der y-Achse: A′(−1 | 1), B′(−4 | 1), C′(−2 | 3). Verbinde A′ mit B′, B′ mit C′ und C′ mit A′.

Seitenlängen und Winkelgrößen bleiben erhalten. Original und Bild sind kongruent. Die Orientierung wird umgekehrt: Eine im Uhrzeigersinn durchlaufene Eckpunktfolge wird im Spiegelbild gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Lernschritt 6

Spiegelung und Symmetrie unterscheiden

Du kannst jede Figur an einer Achse spiegeln. Achsensymmetrisch zur gewählten Achse ist sie aber nur dann, wenn das Spiegelbild genau auf die ursprüngliche Figur passt.

Abstand schräg statt senkrecht gemessen: Zeichne zuerst das Lot zur Achse.
Bildpunkt auf derselben Seite gesetzt: Außerhalb der Achse liegt P′ auf der anderen Seite.
Beide Vorzeichen geändert: Das ist bei Spiegelung an nur einer Koordinatenachse falsch.
Punkte auf der Achse verschoben: Diese Punkte bleiben fest.
Bildpunkte falsch verbunden: Behalte die Zuordnung der Ecken bei.

Probier es selbst: Was passiert, wenn du zweimal an derselben Achse spiegelst?

Lösung ansehen

Jeder Punkt landet wieder an seiner ursprünglichen Stelle.

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