Mathe · etwa 30–45 Minuten
Du bestimmst Bildpunkte, findest Spiegelachsen und prüfst Abstände und Eigenschaften.
Punkte im Koordinatensystem; negative Zahlen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Zeichne oder rechne zunächst ohne Hilfe.
Punkte als x | y eingeben, zum Beispiel −2 | 3. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt; Brüche mit /. Bei Entscheidungen ja oder nein. Achte darauf, ob ein Punkt, eine Änderung oder eine einzelne Zahl gefragt ist.
02 · Verstehen
Die Achse liegt genau dazwischen
Gleicher Abstand zur Achse.
Verbindung senkrecht zur Achse.
Ein Punkt auf der Spiegelachse bleibt an seinem Platz.
Bei einer Achsenspiegelung wird eine Figur an einer Geraden gespiegelt. Diese Gerade heißt Spiegelachse. Zu jedem Originalpunkt P gehört ein Bildpunkt P′, gesprochen „P Strich“.
Für einen Punkt außerhalb der Achse gilt: Die Strecke PP′ steht senkrecht auf der Spiegelachse und wird von ihr halbiert. P und P′ haben also denselben senkrechten Abstand zur Achse und liegen auf verschiedenen Seiten.
Die Spiegelachse muss nicht senkrecht auf dem Blatt stehen. Sie kann auch waagerecht oder schräg verlaufen. Entscheidend ist der rechte Winkel zwischen Achse und Verbindungslinie der Punkte.
Versuch 1: Ändere nur x. P und P′ bewegen sich auf derselben Höhe voneinander weg oder aufeinander zu. Ihre Abstände zur y-Achse bleiben gleich.
Versuch 2: Stelle x = 0 ein. Beide Punkte liegen auf der Spiegelachse und fallen zusammen. Verändere dann y: Der Punkt bleibt weiterhin sein eigenes Spiegelbild.
Das Beispiel zeigt gezielt die Spiegelung an der y-Achse. Eine Spiegelung an einer anderen Geraden folgt derselben Abstandsregel, kann aber andere Koordinatenregeln haben.
Beispiel · Schritt für Schritt
Punkt P · Spiegelachse g
F liegt auf der Achse und auf der Verbindungslinie von Original- und Bildpunkt.
Steche mit dem Zirkel in F ein und öffne bis P. Markiere auf derselben Senkrechten auf der anderen Seite von g den Punkt P′.
Prüfe den rechten Winkel bei F und gleiche Abstände. Die Achse halbiert die Verbindungsstrecke.
Liegt P bereits auf g, brauchst du diese Schritte nicht: P′ = P.
Lösung · Schritt für Schritt
Senkrechter Abstand von P zur Achse: 3 cm
F ist der Lotfußpunkt auf der Spiegelachse. P und P′ liegen auf verschiedenen Seiten.
Die Achse liegt zwischen den beiden Punkten und halbiert ihre Verbindung.
Beispiel · Schritt für Schritt
P(3 | 2) · Spiegelung an der y-Achse
Die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen; die Höhe y bleibt gleich.
P liegt drei Einheiten rechts von der y-Achse. Sein Bild liegt drei Einheiten links auf derselben Höhe.
Die Verbindung ist waagerecht und damit senkrecht zur y-Achse.
Beispiel · Schritt für Schritt
P(3 | 2) · Spiegelung an der x-Achse
Die x-Koordinate bleibt gleich; die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen.
Der Bildpunkt liegt zwei Einheiten unter statt über der x-Achse.
Die Verbindung ist senkrecht zur x-Achse und beide Abstände sind gleich.
An der y-Achse wechselt die x-Koordinate ihr Vorzeichen. Die Höhe y bleibt gleich. An der x-Achse bleibt x gleich und y wechselt das Vorzeichen.
Beispiel · Schritt für Schritt
P(−4 | 1) · Spiegelung an der y-Achse
Bei Spiegelung an der y-Achse wird aus der negativen x-Koordinate die positive Gegenzahl.
Die y-Koordinate bleibt unverändert. Die Zahl 0 würde beim Vorzeichenwechsel ebenfalls 0 bleiben.
Diese einfachen Regeln gelten für die jeweiligen Koordinatenachsen. Bei einer verschobenen oder schrägen Spiegelachse darfst du nicht einfach dieselben Vorzeichenregeln anwenden.
Spiegle jeden Eckpunkt einzeln und verbinde die Bildpunkte anschließend in derselben Zuordnung. Aus A, B und C werden A′, B′ und C′.
Beispiel · Schritt für Schritt
A(1 | 1), B(4 | 1), C(2 | 3)
Spiegelachse: y-Achse
Die Spiegelachse ist die y-Achse. Wechsle nur das Vorzeichen der x-Koordinate.
B und B′ liegen jeweils vier Einheiten von der y-Achse entfernt.
Auch hier bleibt die Höhe gleich.
Verbinde die Bildpunkte in derselben Zuordnung wie beim Original.
Seitenlängen und Winkelgrößen bleiben erhalten. Original und Bild sind kongruent. Die Orientierung wird umgekehrt: Eine im Uhrzeigersinn durchlaufene Eckpunktfolge wird im Spiegelbild gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.
Du kannst jede Figur an einer Achse spiegeln. Achsensymmetrisch zur gewählten Achse ist sie aber nur dann, wenn das Spiegelbild genau auf die ursprüngliche Figur passt.
Lösung · Schritt für Schritt
Zweimal an derselben Achse spiegeln
Die erste Spiegelung bringt einen Punkt auf die andere Seite mit gleichem senkrechtem Abstand. Die zweite bringt ihn zurück.
Zweimaliger Vorzeichenwechsel ergibt wieder die ursprüngliche Koordinate. Punkte auf der Achse bleiben bei beiden Spiegelungen fest.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Nutze ein kariertes Blatt für deine Zeichnung. Die Skizzen zeigen die Ausgangslage; bestimme den gesuchten Bildpunkt selbst.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
P(4 | −2) · Spiegelung an der y-Achse
Nur x wechselt das Vorzeichen.
Die negative y-Koordinate bleibt unverändert. Beide Punkte liegen gleich weit von der y-Achse entfernt.
Lösung · Schritt für Schritt
Q(−3 | 5) · Spiegelung an der x-Achse
Nur y wechselt das Vorzeichen.
Die x-Koordinate −3 bleibt unverändert.
Lösung · Schritt für Schritt
P liegt auf der Spiegelachse
Der Punkt liegt bereits auf der Spiegelachse.
Der Bildpunkt ist derselbe Punkt. Ein Punkt auf der Achse wird nicht verschoben.
Lösung · Schritt für Schritt
Senkrechter Abstand von P zur Achse: 2,5 cm
F ist der Lotfußpunkt. Die Achse halbiert die senkrechte Verbindungsstrecke.
P und P′ sind fünf Zentimeter voneinander entfernt.
Nein. Original und Spiegelbild sind kongruent.
Erklärung wiederholen →Nein. Dafür muss ihr Spiegelbild genau auf die ursprüngliche Figur passen.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit der Punktspiegelung vergleichen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
P′ bezeichnet den Bildpunkt zu P. Man spricht „P Strich“.
Ja. Auch dann muss PP′ senkrecht zur Achse verlaufen und von ihr halbiert werden.
Die Punkte liegen auf derselben waagerechten Linie. Nur ihr Abstand nach links oder rechts ändert die Seite.
Diese Konstruktion gilt auch für eine schräge Achse. Gemessen wird immer senkrecht zur Achse, nicht schräg.