Ein Ball verlässt einen Tisch horizontal. Wie lange fällt er und wie weit fliegt er? Zerlege die Bewegung in eine gleichförmige und eine beschleunigte Komponente.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Beim waagerechten Wurf besitzt ein Körper zu Beginn eine horizontale Geschwindigkeit v₀, aber keine senkrechte Anfangsgeschwindigkeit. Nach dem Verlassen der Kante wirkt in unserem Modell nur die Gewichtskraft.
Die Bewegung zerfällt in zwei unabhängige Komponenten: Horizontal bewegt sich der Körper gleichförmig; senkrecht fällt er gleichmäßig beschleunigt. Beide Komponenten laufen während derselben Zeit ab.
Wir vernachlässigen Luftwiderstand, Auftrieb und Erdkrümmung und setzen g = 9,81 m·s−2 als konstant an. Der Boden liegt waagerecht. Die Ergebnisse gelten bis zum ersten Bodenkontakt, nicht für Abprallen oder Rollen danach.
Blau: geworfen. Violett: fallengelassen. Die dünnen Verbindungslinien vergleichen dieselben Zeitpunkte. Beide Körper fallen gleich weit nach unten.
Der Startpfeil zeigt die Anfangsgeschwindigkeit. Er ist kein Kraftpfeil. Nach dem Loslassen ist keine Kraft nach rechts nötig.
Schematische Darstellung ohne Luftwiderstand; die Punkte stehen für gleich große Zeitabstände.
Lernschritt 2
Der Start liegt bei x = 0 und in der Höhe h über dem Boden. Die x-Achse zeigt nach rechts, die y-Achse nach oben. Damit gelten:
x(t) = v₀ · t
y(t) = h − 12 · g · t²
vx = v₀; vy = −g · t
Das Minuszeichen in der senkrechten Geschwindigkeit entsteht, weil die Bewegung nach unten läuft, die positive y-Richtung aber nach oben zeigt. y ist hier die Höhe über dem Boden. Die bereits gefallene Strecke ist h − y.
Man kann auch die positive Richtung nach unten wählen. Dann ändern sich Vorzeichen und Startwert. Entscheidend ist, innerhalb einer Rechnung ein Koordinatensystem beizubehalten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Der Ball startet wie im Hauptbeispiel aus 1,25 m Höhe mit 4,0 m/s. Betrachte t = 0,30 s.
Gegeben: g = 9,81 m/s² · Gesucht: x, y und vy
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| 0,30 s < 0,505 s |
1Prüfen, ob der Ball noch fliegt
Die Zeit liegt vor dem Bodenkontakt. Das Flugmodell ist noch anwendbar. |
| x = 4,0 · 0,30 m = 1,20 m |
2Horizontale Position berechnen
x misst die Entfernung von der Abwurfkante. |
| y = 1,25 m − ½ · 9,81 m/s² · (0,30 s)² y ≈ 0,809 m |
3Die verbleibende Höhe berechnen
Die gefallene Strecke beträgt etwa 0,441 m. Sie ist nicht identisch mit der Höhe über dem Boden. |
| vy = −9,81 · 0,30 m/s ≈ −2,94 m/s |
4Die senkrechte Geschwindigkeit bestimmen
Das Minuszeichen bedeutet Bewegung nach unten, weil die y-Achse nach oben zeigt. |
Lernschritt 3
Beim Auftreffen ist y = 0. Aus der senkrechten Bewegung folgt:
tF = √(2hg)
Die horizontale Anfangsgeschwindigkeit kommt in dieser Formel nicht vor. Deshalb treffen ein waagerecht geworfener und ein gleichzeitig fallengelassener Körper aus derselben Höhe im Modell gleichzeitig auf.
xW = v₀ · tF = v₀ · √(2hg)
Doppelte horizontale Geschwindigkeit verdoppelt die Wurfweite, verändert aber die Fallzeit nicht. Vierfache Höhe verdoppelt Fallzeit und bei gleichem v₀ auch Wurfweite.
Beispiel · Schritt für Schritt
Von einer 1,25 m hohen Kante soll ein Ball waagerecht starten und 3,0 m weit fliegen.
Gegeben: h = 1,25 m, xW = 3,0 m, g = 9,81 m/s² · Gesucht: v₀
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| tF = √(2h/g) ≈ 0,505 s |
1Die durch die Höhe vorgegebene Zeit berechnen
Auch bei dieser umgekehrten Aufgabe kommt die Fallzeit zuerst. |
| v₀ = xWtF |
2Die Weggleichung nach v₀ umstellen
Teile xW = v₀ · tF auf beiden Seiten durch die Fallzeit. |
| v₀ ≈ 3,0 m0,505 s ≈ 5,94 m/s |
3Den benötigten horizontalen Startwert bestimmen
Die Geschwindigkeit gilt am Verlassen der Kante; sie ist nicht die Aufprallgeschwindigkeit. |
Lernschritt 4
Blau ist der waagerecht geworfene Körper, violett der gleichzeitig fallengelassene Vergleichskörper. Beide starten aus derselben Höhe. Der Zeitregler zeigt einen Anteil der aktuellen gesamten Fallzeit.
Bei 100 % endet die Darstellung am Boden. Ein Wechsel der Starthöhe verändert die gesamte Fallzeit; derselbe Prozentwert entspricht dann einer anderen Zeit in Sekunden. Die Kurve bleibt innerhalb der festen Achsen von 0 bis 16 m und 0 bis 10 m.
Lass h = 5 m und den Zeitregler bei 50 %. Ändere nur v₀. Der blaue Punkt verschiebt sich horizontal, seine Höhe und die vergangene Zeit bleiben gleich. Stelle anschließend 100 % ein: Beide Körper erreichen gleichzeitig den Boden.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Ball verlässt eine 1,25 m hohe Kante waagerecht mit 4,0 m/s. Luftwiderstand wird vernachlässigt.
Gegeben: h = 1,25 m, v₀ = 4,0 m/s, g = 9,81 m/s² · Gesucht: tF und xW
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| 0 = h − ½g · tF² |
1Den Bodenkontakt als Bedingung einsetzen
Die Höhe y ist beim Auftreffen null. Die horizontale Geschwindigkeit brauchst du für diesen Schritt noch nicht. |
| tF = √(2h/g) |
2Nach der Zeit auflösen
Zuerst umstellen zu tF² = 2h/g. Nimm die positive Wurzel, weil die gesuchte Zeit nach dem Abwurf liegt. |
| tF = √(2 · 1,25 / 9,81) s tF ≈ 0,505 s |
3Fallzeit berechnen
Die Einheit unter der Wurzel ist m : (m/s²) = s². Nach dem Wurzelziehen bleiben Sekunden. |
| xW = v₀ · tF xW ≈ 4,0 · 0,505 m ≈ 2,02 m |
4Dieselbe Zeit für die horizontale Bewegung verwenden
Rechne intern mit der ungerundeten Fallzeit weiter. |
Lernschritt 6
Für v₀ > 0 lässt sich aus x = v₀t die Zeit t = x geteilt durch v₀ bestimmen. Setze das in die Höhenfunktion ein:
y(x) = h − g2v₀² · x²
Die Höhe hängt quadratisch von x ab: Die Bahn ist in diesem Modell eine Parabel. Bei v₀ = 0 ist diese Formel nicht verwendbar, weil man nicht durch null teilen darf. Dann liegt reiner senkrechter Fall vor.
Die Form der Parabel erklärt nicht allein die Bewegungsgeschwindigkeit. Zur Beschreibung eines bestimmten Zeitpunkts brauchst du zusätzlich x(t) und y(t).
Lernschritt 7
Beim Auftreffen ist vx weiterhin v₀. Die senkrechte Geschwindigkeit hat den Betrag g · tF. Die beiden Komponenten stehen senkrecht aufeinander:
Beispiel · Schritt für Schritt
Der Ball aus dem Hauptbeispiel startet mit 4,0 m/s aus 1,25 m Höhe.
Gegeben: tF ≈ 0,505 s, g = 9,81 m/s² · Gesucht: Geschwindigkeitsbetrag unmittelbar vor Bodenkontakt
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| vx = 4,0 m/s vy = −g · tF ≈ −4,95 m/s |
1Die Komponenten getrennt bestimmen
Die horizontale Komponente bleibt konstant, die vertikale ist nach unten gerichtet. |
| v = √((4,0 m/s)² + (−4,95 m/s)²) |
2Pythagoras anwenden
Beim Quadrieren wird auch die negative Komponente positiv. Die Beträge werden nicht einfach addiert. |
| v ≈ 6,37 m/s |
3Die Größenordnung kontrollieren
Der Gesamtbetrag ist größer als jede einzelne Komponente. |
Die Beschleunigung zeigt während des gesamten Flugs nach unten. Die Geschwindigkeit zeigt entlang der Flugbahn und ändert ihre Richtung.
Lernschritt 8
Erst vorwärts, dann fallen: Beide Bewegungen beginnen gleichzeitig.
v₀ für die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit einsetzen: Beim waagerechten Wurf ist die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit null.
Mehr Masse bedeutet kürzere Fallzeit: Im betrachteten Modell kürzt sich die Masse heraus.
Die gefallene Strecke als Höhe zeichnen: Hier ist y die verbleibende Höhe über dem Boden.
Geschwindigkeitsbeträge einfach addieren: Verwende die senkrechten Komponenten und den Satz des Pythagoras.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
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Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne die Wurfweite beim waagerechten Abwurf ohne Luftwiderstand – oder stelle nach Höhe und Anfangsgeschwindigkeit um. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
Sie bleibt gleich; die Wurfweite verdoppelt sich.
Sie verdoppelt sich.
tF = 1,00 s und xW = 3,00 m.
−1,962 m·s⁻¹, gerundet −1,96 m·s⁻¹.
Der Körper fällt senkrecht nach unten. Die zeitabhängigen Gleichungen gelten weiter.
5 m·s⁻¹, denn √(3² + 4²) = 5.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichung: OpenStax · University Physics 3. Texte, Zahlenbeispiele und Schaubilder sind eigenständig erstellt.
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