1 · v₀ verdoppelt sich bei gleicher Höhe. Was passiert mit der Fallzeit?
Lösung ansehen
Sie bleibt gleich; die Wurfweite verdoppelt sich.
Physik verstehen und üben · Mechanik
Physik · Sekundarstufe I und II
Waagerechter Wurf: verstehen und üben
Ein Ball verlässt einen Tisch horizontal. Wie lange fällt er und wie weit fliegt er? Zerlege die Bewegung in eine gleichförmige und eine beschleunigte Komponente.
Gleichzeitig vorwärts und abwärts
Ohne Luftwiderstand bleibt die horizontale Geschwindigkeit konstant. Die senkrechte Bewegung ist freier Fall aus Ruhe.
Zwei Bewegungen zur selben Zeit
Beim waagerechten Wurf besitzt ein Körper zu Beginn eine horizontale Geschwindigkeit v₀, aber keine senkrechte Anfangsgeschwindigkeit. Nach dem Verlassen der Kante wirkt in unserem Modell nur die Gewichtskraft.
Die Bewegung zerfällt in zwei unabhängige Komponenten: Horizontal bewegt sich der Körper gleichförmig; senkrecht fällt er gleichmäßig beschleunigt. Beide Komponenten laufen während derselben Zeit ab.
Wir vernachlässigen Luftwiderstand, Auftrieb und Erdkrümmung und setzen g = 9,81 m·s−2 als konstant an. Der Boden liegt waagerecht. Die Ergebnisse gelten bis zum ersten Bodenkontakt, nicht für Abprallen oder Rollen danach.
Ein Koordinatensystem festlegen
Der Start liegt bei x = 0 und in der Höhe h über dem Boden. Die x-Achse zeigt nach rechts, die y-Achse nach oben. Damit gelten:
x(t) = v₀ · t
y(t) = h − 12 · g · t²
vx = v₀; vy = −g · t
Das Minuszeichen in der senkrechten Geschwindigkeit entsteht, weil die Bewegung nach unten läuft, die positive y-Richtung aber nach oben zeigt. y ist hier die Höhe über dem Boden. Die bereits gefallene Strecke ist h − y.
Man kann auch die positive Richtung nach unten wählen. Dann ändern sich Vorzeichen und Startwert. Entscheidend ist, innerhalb einer Rechnung ein Koordinatensystem beizubehalten.
Zuerst Fallzeit, dann Wurfweite
Beim Auftreffen ist y = 0. Aus der senkrechten Bewegung folgt:
tF = √(2hg)
Die horizontale Anfangsgeschwindigkeit kommt in dieser Formel nicht vor. Deshalb treffen ein waagerecht geworfener und ein gleichzeitig fallengelassener Körper aus derselben Höhe im Modell gleichzeitig auf.
xW = v₀ · tF = v₀ · √(2hg)
Doppelte horizontale Geschwindigkeit verdoppelt die Wurfweite, verändert aber die Fallzeit nicht. Vierfache Höhe verdoppelt Fallzeit und bei gleichem v₀ auch Wurfweite.
Wurf und freien Fall direkt vergleichen
Blau ist der waagerecht geworfene Körper, violett der gleichzeitig fallengelassene Vergleichskörper. Beide starten aus derselben Höhe. Der Zeitregler zeigt einen Anteil der aktuellen gesamten Fallzeit.
h = 5 m, v₀ = 6 m·s⁻¹: Fallzeit etwa 1,010 s; Wurfweite etwa 6,058 m.
Bei 100 % endet die Darstellung am Boden. Ein Wechsel der Starthöhe verändert die gesamte Fallzeit; derselbe Prozentwert entspricht dann einer anderen Zeit in Sekunden. Die Kurve bleibt innerhalb der festen Achsen von 0 bis 16 m und 0 bis 10 m.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Lass h = 5 m und den Zeitregler bei 50 %. Ändere nur v₀. Der blaue Punkt verschiebt sich horizontal, seine Höhe und die vergangene Zeit bleiben gleich. Stelle anschließend 100 % ein: Beide Körper erreichen gleichzeitig den Boden.
Ein Ball fliegt von einer 1,25 m hohen Kante
Gegeben: h = 1,25 m, v₀ = 4,0 m·s−1, g = 9,81 m·s−2. Gesucht: Fallzeit und horizontale Wurfweite.
tF = √(2 · 1,25 m9,81 m·s−2) ≈ 0,505 s
xW = 4,0 m·s−1 · 0,505 s ≈ 2,02 m
Einheit der Zeitformel: Meter geteilt durch Meter pro Quadratsekunde ergibt Quadratsekunden. Nach dem Wurzelziehen bleiben Sekunden. Bei der Wurfweite kürzen sich Sekunden gegen inverse Sekunden.
Wenn derselbe Ball doppelt so schnell startet, fliegt er ungefähr 4,04 m weit. Die Fallzeit bleibt etwa 0,505 s. Luftwiderstand kann diese einfachen Aussagen im echten Versuch verändern.
Warum ist die Flugbahn eine Parabel?
Für v₀ > 0 lässt sich aus x = v₀t die Zeit t = x geteilt durch v₀ bestimmen. Setze das in die Höhenfunktion ein:
y(x) = h − g2v₀² · x²
Die Höhe hängt quadratisch von x ab: Die Bahn ist in diesem Modell eine Parabel. Bei v₀ = 0 ist diese Formel nicht verwendbar, weil man nicht durch null teilen darf. Dann liegt reiner senkrechter Fall vor.
Die Form der Parabel erklärt nicht allein die Bewegungsgeschwindigkeit. Zur Beschreibung eines bestimmten Zeitpunkts brauchst du zusätzlich x(t) und y(t).
Wie schnell ist der Körper beim Auftreffen?
Die horizontale Geschwindigkeit ist weiterhin v₀. Die senkrechte Geschwindigkeit hat beim Auftreffen den Betrag g·tF. Weil beide Komponenten senkrecht aufeinander stehen, folgt für den Betrag der Gesamtgeschwindigkeit:
v = √(v₀² + (g · t)²)
vAufprall = √(v₀² + 2gh)
Im Beispiel ergibt das √(16 + 24,525) m·s−1 ≈ 6,37 m·s−1. Die Beträge der beiden Geschwindigkeitskomponenten werden nicht einfach addiert.
Die Beschleunigung zeigt während des Flugs konstant nach unten. Die Geschwindigkeit zeigt dagegen entlang der Flugbahn und ändert ihre Richtung. Eine nach rechts gerichtete Kraft ist zum Beibehalten der horizontalen Geschwindigkeit nicht nötig.
Typische Fehler vermeiden
Erst vorwärts, dann fallen: Beide Bewegungen beginnen gleichzeitig.
v₀ für die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit einsetzen: Beim waagerechten Wurf ist die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit null.
Mehr Masse bedeutet kürzere Fallzeit: Im betrachteten Modell kürzt sich die Masse heraus.
Die gefallene Strecke als Höhe zeichnen: Hier ist y die verbleibende Höhe über dem Boden.
Geschwindigkeitsbeträge einfach addieren: Verwende die senkrechten Komponenten und den Satz des Pythagoras.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Die Höhe wird vervierfacht. Was passiert mit der Fallzeit?
Lösung ansehen
Sie verdoppelt sich.
3 · h = 4,905 m, v₀ = 3 m·s⁻¹: Bestimme Fallzeit und Wurfweite.
Lösung ansehen
tF = 1,00 s und xW = 3,00 m.
4 · Wie groß ist vy nach 0,20 s bei nach oben positiver y-Achse?
Lösung ansehen
−1,962 m·s⁻¹, gerundet −1,96 m·s⁻¹.
5 · Was geschieht bei v₀ = 0?
Lösung ansehen
Der Körper fällt senkrecht nach unten. Die zeitabhängigen Gleichungen gelten weiter.
6 · vx = 3 m·s⁻¹ und vy = −4 m·s⁻¹: Wie groß ist der Geschwindigkeitsbetrag?
Lösung ansehen
5 m·s⁻¹, denn √(3² + 4²) = 5.
Passendes kostenloses Arbeitsblatt
Kostenlos · PDF
Waagerechter Wurf und Bewegungszerlegung – kostenloses Physik-Arbeitsblatt mit Lösungen (PDF)
Aufgaben mit Lösungen: Fallzeit, Wurfweite und Zerlegung der Bewegung in zwei Richtungen.
Material und Details ansehen →Mit einem Physikbuch weiterlernen
Kaufbares Physikbuch
STARK Physik 12. Klasse - Abitur-Training FOS/BOS - Mechanik, Elektrodynamik
Mechanik und Elektrodynamik für die 12. Klasse FOS/BOS. Als Vertiefung geeignet, wenn diese Schulform und der Themenumfang zu dir passen; Details und Preis auf der Produktseite.
Material und Details ansehen →Grundlagen wiederholen
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall · Energie und Energieerhaltung
Fachlicher Abgleich der Grundgleichung: OpenStax · University Physics 3. Texte, Zahlenbeispiele und Schaubilder sind eigenständig erstellt.