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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall

Berechne Geschwindigkeit, Weg und Fallzeit. Verstehe an zwei zusammengehörigen Diagrammen, warum bei konstanter Beschleunigung die Geschwindigkeit linear und der Weg quadratisch wächst.

Unsicher beim Einstieg?3 Aufgaben im freiwilligen Kurzcheck

Finde heraus, was du schon kannst

Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.

Rechne ohne Nachschlagen. Dezimalkomma oder Dezimalpunkt sind möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.

Lösungen mit Erklärungen

6 – v = 2 · 3 = 6 m/s.
15 – Δs = v₀t + ½at² = 2 · 3 + 0,5 · 2 · 3² = 15 m.
20 – h = 0,5 · 10 · 2² = 20 m.

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Lernschritt 1

Was bedeutet gleichmäßig beschleunigt?

Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung bleibt die Beschleunigung a konstant. Die Geschwindigkeit ändert sich deshalb in gleich langen Zeitabschnitten immer um denselben Betrag. „Gleichmäßig“ bezieht sich hier auf die Beschleunigung, nicht auf eine unveränderte Geschwindigkeit.

Wir wählen eine feste positive Bewegungsrichtung und beginnen die Zeitmessung bei t = 0. Die Anfangsgeschwindigkeit heißt v₀. Positive und negative Geschwindigkeiten beschreiben unterschiedliche Richtungen. Die Beschleunigung wird in Metern pro Sekunde zum Quadrat angegeben.

a = für t > 0

Eine Beschleunigung von 2 Metern pro Sekunde zum Quadrat bedeutet: Pro Sekunde nimmt die Geschwindigkeit in positiver Richtung um 2 Meter pro Sekunde zu. Bei a = 0 bleibt die Geschwindigkeit konstant; das ist gleichförmige Bewegung.

Lernschritt 2

Die Bewegungsgleichungen mit Anfangswerten

Beginne mit den Anfangswerten: v₀ ist die Anfangsgeschwindigkeit, s₀ die Startposition. Bei konstanter Beschleunigung gilt:

v(t) = v₀ + a · t

s(t) = s₀ + v₀ · t + ½ · a · t²

Die Ortsänderung ist Δs = s(t) − s₀. Ohne Richtungswechsel und bei Bewegung in positiver Richtung entspricht sie dem zurückgelegten Weg.

Beispiel · Schritt für Schritt

Mit Anfangsgeschwindigkeit rechnen

Ein Wagen fährt anfangs mit 3 m/s und beschleunigt 4 s lang gleichmäßig mit 2 m/s².

Gegeben: v₀ = 3 m/s, a = 2 m/s², t = 4 s · Gesucht: v und Δs

Rechenweg: Mit Anfangsgeschwindigkeit rechnen
Rechnung	Erklärung zum Schritt
v = v₀ + a · t	1Die Geschwindigkeitsformel wählen Der Wagen ist schon am Anfang in Bewegung. v₀ darf nicht weggelassen werden.
v = 3 m/s + 2 m/s² · 4 s = 11 m/s	2Endgeschwindigkeit berechnen Die Beschleunigung erhöht die Geschwindigkeit um 8 m/s.
Δs = v₀ · t + ½ · a · t²	3Die Ortsänderung ansetzen Der erste Term kommt von der Anfangsgeschwindigkeit, der zweite vom Beschleunigen.
Δs = 3 · 4 m + ½ · 2 · 4² m Δs = 12 m + 16 m = 28 m	4Zuerst die Zeit quadrieren 4² = 16. Verwende nicht die Endgeschwindigkeit in s = v · t.
v̄ = (3 + 11) : 2 m/s = 7 m/s 7 m/s · 4 s = 28 m	5Mit der mittleren Geschwindigkeit prüfen Bei konstanter Beschleunigung ist der Mittelwert aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit geeignet.

Ergebnis: Nach 4 s fährt der Wagen 11 m/s schnell und ist 28 m weiter.

Sonderfall: Start aus der Ruhe

Nur wenn v₀ = 0 gilt, vereinfachen sich die Formeln zu v = a · t und Δs = ½ · a · t². Mit s₀ = 0 ist außerdem s(t) = Δs. Bei Richtungswechseln ist die Ortsänderung nicht mehr gleich der insgesamt zurückgelegten Strecke.

Lernschritt 3

Geschwindigkeits- und Wegdiagramm zusammen lesen

Beide Diagramme zeigen dieselbe Bewegung: Start bei s₀ = 0 und v₀ = 0 mit konstanter Beschleunigung a = 2 m/s².

Geschwindigkeit–Zeit: Die Gerade steigt gleichmäßig. Ihre Steigung ist die Beschleunigung; die grüne Dreiecksfläche entspricht hier dem Weg.

Weg–Zeit: Die Kurve wird steiler. Nach 1, 2, 3 und 4 s sind 1, 4, 9 und 16 m erreicht. Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit.

Beispiel · Schritt für Schritt

Beschleunigung und Weg aus dem v-t-Diagramm bestimmen

Im linken Diagramm wächst v in 4 s von 0 auf 8 m/s.

Abgelesen: Δv = 8 m/s, Δt = 4 s · Gesucht: a und Δs

Rechenweg: Beschleunigung und Weg aus dem v-t-Diagramm bestimmen
Rechnung	Erklärung zum Schritt
a = Δv : Δt = 8 m/s : 4 s = 2 m/s²	1Die Steigung berechnen Steigung im v-t-Diagramm bedeutet Geschwindigkeitsänderung pro Zeit.
Δs = ½ · Grundseite · Höhe	2Die Fläche unter dem Graphen wählen Hier ist die Fläche ein Dreieck: Der Startwert der Geschwindigkeit ist null.
Δs = ½ · 4 s · 8 m/s = 16 m	3Flächeninhalt ausrechnen Sekunden mal Meter pro Sekunde ergibt Meter.
½ · 2 m/s² · (4 s)² = 16 m	4Mit der Bewegungsgleichung prüfen Beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern.

Ergebnis: a = 2 m/s² und Δs = 16 m.

Unterschied merken: Im v-t-Diagramm liefert die Fläche die Ortsänderung; im s-t-Diagramm liefert die Steigung die Geschwindigkeit.

Vorzeichen und Verdopplungsregeln

Liegt ein Teil des v-t-Graphen unter der Zeitachse, zählt seine Fläche negativ zur Ortsänderung. Beim Start aus der Ruhe und konstanter positiver Beschleunigung bedeutet doppelte Zeit doppelte Geschwindigkeit, aber vierfachen Weg. Mit Anfangsgeschwindigkeit gelten diese Verdopplungsregeln nicht allgemein. In den vier Sekunden des Beispiels kommen nacheinander 1, 3, 5 und 7 m hinzu.

Lernschritt 4

Bremsen mit negativer Beschleunigung

Beim Bremsen zeigt die Beschleunigung entgegen der Bewegungsrichtung. Wir legen die anfängliche Fahrtrichtung als positiv fest. Die Rechnung gilt hier nur bis zum Stillstand.

Beispiel · Schritt für Schritt

Bremszeit und Bremsweg berechnen

Ein Fahrzeug fährt mit 20 m/s und bremst konstant mit a = −4 m/s².

Gegeben: v₀ = 20 m/s, a = −4 m/s², v = 0 · Gesucht: t und Bremsweg

Rechenweg: Bremszeit und Bremsweg berechnen
Rechnung	Erklärung zum Schritt
0 = v₀ + a · t	1Die Endgeschwindigkeit null setzen Stillstand ist erreicht, wenn v = 0 gilt.
t = 0 − 20 m/s−4 m/s² = 5 s	2Nach der Zeit umstellen Zwei negative Vorzeichen ergeben eine positive Dauer.
Δs = 20 · 5 m + ½ · (−4) · 5² m Δs = 100 m − 50 m = 50 m	3Mit derselben Zeit den Weg berechnen Die negative Beschleunigung verringert den Weg gegenüber einer Fahrt mit konstant 20 m/s.
v̄ = (20 + 0) : 2 m/s = 10 m/s 10 m/s · 5 s = 50 m	4Mit dem Mittelwert prüfen Die mittlere Geschwindigkeit beträgt bei dieser gleichmäßigen Bremsung 10 m/s.

Ergebnis: Die Bremsung dauert 5 s; der Bremsweg beträgt 50 m.

Reaktionsweg, Rückwärtsbewegung und Vorzeichen

Ein Reaktionsweg kommt vor Beginn der Bremsung zusätzlich hinzu. Setzt du a = −4 m/s² länger als 5 s fort, beschreibt die Formel eine Rückwärtsbewegung. Eine reale Bremsung endet dagegen beim Stillstand.

Negatives a bedeutet nicht allgemein langsamer werden. Bei negativer Geschwindigkeit und negativem a wächst das Tempo in negativer Richtung.

Lernschritt 5

Freier Fall als beschleunigte Bewegung

Beim freien Fall wirkt idealisiert nur die Schwerkraft. Wir vernachlässigen den Luftwiderstand und betrachten Höhen nahe der Erdoberfläche, sodass g näherungsweise konstant ist. Für die folgenden Rechnungen gilt ausdrücklich g = 10 Meter pro Sekunde zum Quadrat; genauer verwendet man häufig 9,81.

Wähle für einen aus der Ruhe losgelassenen Körper die Fallrichtung als positiv. h bezeichnet hier die bereits gefallene Strecke, nicht die noch verbleibende Höhe über dem Boden.

v = g · t und h = · g · t²

Im Modell ist die Fallbeschleunigung unabhängig von der Masse. Dass eine Feder in Luft langsamer fällt als eine Metallkugel, liegt wesentlich am Luftwiderstand. Beim Werfen nach oben oder unten musst du eine Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen.

Beispiel · Schritt für Schritt

Fallstrecke nach zwei Sekunden

Ein Körper wird aus der Ruhe losgelassen. Er fällt ohne Luftwiderstand; g = 10 m/s². Betrachte die ersten 2 s.

Gegeben: v₀ = 0, t = 2 s, g = 10 m/s² · Gesucht: v und h

Rechenweg: Fallstrecke nach zwei Sekunden
Rechnung	Erklärung zum Schritt
v = g · t = 10 m/s² · 2 s = 20 m/s	1Die Geschwindigkeit berechnen Die Fallrichtung ist positiv. Pro Sekunde kommen 10 m/s hinzu.
h = ½ · g · t² h = ½ · 10 · 2² m = 20 m	2Die gefallene Strecke berechnen Hier bedeutet h die Fallstrecke, nicht die noch verbleibende Höhe über dem Boden.
h(1 s) = 5 m 20 m − 5 m = 15 m	3Die zweite Sekunde betrachten In der zweiten Sekunde fällt der Körper 15 m, also mehr als in der ersten.

Ergebnis: Nach 2 s: 20 m Fallstrecke und 20 m/s Tempo. Vorausgesetzt, der Boden ist bis dahin noch nicht erreicht.

Lernschritt 6

Fallzeit aus einer Höhe berechnen

Beispiel · Schritt für Schritt

Aus der Höhe die Fallzeit bestimmen

Ein Körper wird 45 m über dem Boden aus der Ruhe losgelassen. Luftwiderstand wird vernachlässigt; g = 10 m/s².

Gegeben: h = 45 m, g = 10 m/s², v₀ = 0 · Gesucht: t und v vor dem Aufprall

Rechenweg: Aus der Höhe die Fallzeit bestimmen
Rechnung	Erklärung zum Schritt
h = ½ · g · t²	1Die Gleichung mit der bekannten Höhe wählen Die Höhe über dem Boden ist hier gleich der gesamten Fallstrecke bis zum Boden.
t² = 2hg = 2 · 45 m10 m/s² = 9 s²	2Zuerst nach t² umstellen Multipliziere mit 2 und teile durch g.
t = √(9 s²) = 3 s	3Die positive Wurzel wählen Eine Fallzeit ist eine positive Dauer.
v = g · t = 30 m/s	4Das Tempo vor dem Auftreffen bestimmen Zur Kontrolle: v² = 2gh = 900 m²/s².

Ergebnis: Fallzeit: 3 s. Tempo unmittelbar vor dem Aufprall: 30 m/s.

Welcher Zeitraum ist gemessen? Eine Zeit bis zu einem hörbaren Aufprall kann zusätzlich die Schalllaufzeit enthalten. Die Fallformeln beschreiben außerdem nicht das Abbremsen beim Aufprall.

Lernschritt 7

Ein Rechenplan für Bewegungsaufgaben

Lege positive Richtung, Zeitbeginn und Startposition fest.
Notiere Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung mit Vorzeichen.
Prüfe, ob die Beschleunigung im betrachteten Zeitraum konstant ist.
Rechne Einheiten passend um, insbesondere Kilometer pro Stunde in Meter pro Sekunde.
Wähle die Gleichung zur gesuchten Größe und setze erst dann Zahlen ein.
Kontrolliere, ob das Ergebnis zum gültigen Zeitabschnitt passt.

Beispiel für einen typischen Fehler: v · t mit der Endgeschwindigkeit liefert bei einer Beschleunigung aus der Ruhe einen zu großen Weg. Verwende die Wegformel oder die passende mittlere Geschwindigkeit.

Selbst ausprobieren

Üben & prüfen

Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.

Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.

Wie sicher bist du jetzt?

Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.

Rechne ohne Nachschlagen. Dezimalkomma oder Dezimalpunkt sind möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.

Lösungen mit Erklärungen

18 – v = 6 · 3 = 18 m/s.
39 – Δs = v₀t + ½at² = 10 · 3 + 0,5 · 2 · 3² = 39 m.
180 – h = 0,5 · 10 · 6² = 180 m.

Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.

Eigene Werte einsetzenMit dem Physikhelfer

Physikhelfer

Eigene Werte einsetzen

Öffne „Geschwindigkeitsänderung“, wähle die gesuchte Größe und gib deine Werte mit Einheiten ein. Der Physikhelfer zeigt dir den Rechenweg. Für konstante Beschleunigung in einer Richtung. Der Helfer rechnet mit Beträgen; Δv ist die Änderung, nicht automatisch die Endgeschwindigkeit.

Passende Aufgabe öffnen →

Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.

Lieber auf Papier? 6 Aufgaben mit aufklappbaren Lösungen

Dein Wissen anwenden

Auf Papier üben

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

1 · Ein Körper startet aus der Ruhe mit a = 3 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Wie schnell ist er nach 4 s?

Lösung und Rechenweg ansehen

v = a · t = 3 · 4 = 12 Meter pro Sekunde.

Erklärung wiederholen →

2 · Welchen Weg legt derselbe Körper in 4 s zurück?

Lösung und Rechenweg ansehen

s = · 3 · 4² = 24 m.

Erklärung wiederholen →

3 · v₀ = 5 Meter pro Sekunde, a = 2 Meter pro Sekunde zum Quadrat, t = 3 s: Ortsänderung?

Lösung und Rechenweg ansehen

Δs = 5 · 3 + · 2 · 3² = 24 m. Der Anfangsterm darf nicht fehlen.

Erklärung wiederholen →

4 · Was bedeutet die Steigung im v-t-Diagramm?

Lösung und Rechenweg ansehen

Sie beschreibt die Beschleunigung. Die Fläche zum Zeitintervall beschreibt die Ortsänderung.

Erklärung wiederholen →

5 · Ein Fahrzeug fährt mit 12 Metern pro Sekunde und bremst mit a = −3 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Wann steht es?

Lösung und Rechenweg ansehen

0 = 12 − 3t ergibt t = 4 s. Das Bremsmodell wird nur bis zum Stillstand verwendet.

Erklärung wiederholen →

6 · Freier Fall aus der Ruhe: Welche Strecke nach 3 s mit g = 10 Metern pro Sekunde zum Quadrat?

Lösung und Rechenweg ansehen

h = · 10 · 3² = 45 m, sofern bis dahin noch kein Hindernis erreicht wurde.

Erklärung wiederholen →

Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.

Häufige Fragen

Ist gleichmäßig beschleunigt dasselbe wie gleichförmig?

Nein. Gleichförmig bedeutet konstante Geschwindigkeit. Gleichmäßig beschleunigt bedeutet konstante Beschleunigung und damit eine gleichmäßige Geschwindigkeitsänderung.

Fallen schwere Körper schneller?

Ohne Luftwiderstand fallen Körper im selben Schwerefeld mit derselben Beschleunigung. In Luft beeinflussen Form, Größe und Luftwiderstand die Bewegung.

Wann gilt s = ½at²?

Für konstante Beschleunigung, Anfangsgeschwindigkeit null und den passend gewählten Nullpunkt. Allgemein brauchst du zusätzlich Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit.