1 · Ein Körper startet aus der Ruhe mit a = 3 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Wie schnell ist er nach 4 s?
Lösung und Rechenweg ansehen
v = a · t = 3 · 4 = 12 Meter pro Sekunde.
Erklärung wiederholen →Physik · Mechanik · Mittelstufe
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung und freier Fall: verstehen und üben
Berechne Geschwindigkeit, Weg und Fallzeit. Verstehe an zwei zusammengehörigen Diagrammen, warum bei konstanter Beschleunigung die Geschwindigkeit linear und der Weg quadratisch wächst.
Gleiche Zeit – gleiche Geschwindigkeitsänderung
v = v₀ + a · t
Start aus der Ruhe mit a = 2 Metern pro Sekunde zum Quadrat:
Nach 1 s: 2 Meter pro Sekunde
Nach 2 s: 4 Meter pro Sekunde
Nach 3 s: 6 Meter pro Sekunde
Lernschritt 1
Was bedeutet gleichmäßig beschleunigt?
Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung bleibt die Beschleunigung a konstant. Die Geschwindigkeit ändert sich deshalb in gleich langen Zeitabschnitten immer um denselben Betrag. „Gleichmäßig“ bezieht sich hier auf die Beschleunigung, nicht auf eine unveränderte Geschwindigkeit.
Wir wählen eine feste positive Bewegungsrichtung und beginnen die Zeitmessung bei t = 0. Die Anfangsgeschwindigkeit heißt v₀. Positive und negative Geschwindigkeiten beschreiben unterschiedliche Richtungen. Die Beschleunigung wird in Metern pro Sekunde zum Quadrat angegeben.
a = für t > 0
Eine Beschleunigung von 2 Metern pro Sekunde zum Quadrat bedeutet: Pro Sekunde nimmt die Geschwindigkeit in positiver Richtung um 2 Meter pro Sekunde zu. Bei a = 0 bleibt die Geschwindigkeit konstant; das ist gleichförmige Bewegung.
Lernschritt 2
Die Bewegungsgleichungen mit Anfangswerten
v(t) = v₀ + a · t
s(t) = s₀ + v₀ · t + · a · t²
s₀ ist die Position zum Startzeitpunkt, s(t) die spätere Position auf der gewählten Achse. Die Ortsänderung ist Δs = s(t) − s₀. In vielen Schulaufgaben steht s verkürzt für den Weg ab dem Start. Ohne Richtungswechsel und bei Bewegung in positiver Richtung stimmt dieser Weg mit Δs überein.
Für einen Start aus der Ruhe bei s₀ = 0 vereinfachen sich die Formeln zu v = a · t und s = · a · t². Diese verkürzten Formeln darfst du nicht verwenden, wenn eine Anfangsgeschwindigkeit vorliegt.
Beispiel: Ein Wagen fährt anfangs mit 3 Metern pro Sekunde und beschleunigt 4 Sekunden lang mit 2 Metern pro Sekunde zum Quadrat.
v = 3 + 2 · 4 = 11
Δs = 3 · 4 + · 2 · 4² = 28 m
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt bei dieser konstanten Beschleunigung (3 + 11) geteilt durch 2 = 7 Meter pro Sekunde. Multipliziert mit 4 Sekunden ergibt das ebenfalls 28 Meter.
Lernschritt 3
Geschwindigkeits- und Wegdiagramm zusammen lesen
Die beiden Diagramme gehören zur selben Bewegung: Start bei s₀ = 0 und v₀ = 0; konstante Beschleunigung a = 2 Meter pro Sekunde zum Quadrat.
Im v-t-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung. Die Gerade steigt gleichmäßig. Die Fläche zwischen dem Graphen und der Zeitachse beschreibt die Ortsänderung, mit Vorzeichen. Hier ist alles positiv: Die Dreiecksfläche bis 4 s ergibt · 4 · 8 = 16 m.
Im s-t-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit. Die Kurve wird immer steiler. In den vier einzelnen Sekunden kommen 1 m, 3 m, 5 m und 7 m hinzu. Es sind also nicht in jeder Sekunde gleich viele Meter.
Doppelte Zeit bedeutet beim Start aus der Ruhe und konstanter positiver Beschleunigung doppelte Geschwindigkeit, aber vierfachen Weg. Mit einer Anfangsgeschwindigkeit gelten diese einfachen Verdopplungsregeln nicht allgemein.
Lernschritt 4
Bremsen mit negativer Beschleunigung
Ein Fahrzeug bewegt sich mit v₀ = 20 Metern pro Sekunde in positiver Richtung und bremst mit konstant a = −4 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Bis zum Stillstand gilt:
0 = 20 − 4t → t = 5 s
Δs = 20 · 5 − · 4 · 5² = 50 m
Die Rechnung beschreibt den Bremsweg ab Beginn der Bremsung. Ein Reaktionsweg wäre zusätzlich zu berücksichtigen. Würdest du dieselbe Beschleunigung rechnerisch länger als 5 Sekunden fortsetzen, würde die Geschwindigkeit negativ: Das Modell beschreibt dann eine Rückwärtsbewegung. Eine reale Bremsung endet jedoch beim Stillstand.
Ein negatives a bedeutet nicht immer langsamer werden. Bei negativer Geschwindigkeit und negativer Beschleunigung wächst das Tempo in negativer Richtung. Entscheidend sind die Richtungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Lernschritt 5
Freier Fall als beschleunigte Bewegung
Beim freien Fall wirkt idealisiert nur die Schwerkraft. Wir vernachlässigen den Luftwiderstand und betrachten Höhen nahe der Erdoberfläche, sodass g näherungsweise konstant ist. Für die folgenden Rechnungen gilt ausdrücklich g = 10 Meter pro Sekunde zum Quadrat; genauer verwendet man häufig 9,81.
Wähle für einen aus der Ruhe losgelassenen Körper die Fallrichtung als positiv. h bezeichnet hier die bereits gefallene Strecke, nicht die noch verbleibende Höhe über dem Boden.
v = g · t und h = · g · t²
Nach 2 Sekunden beträgt die Geschwindigkeit 20 Meter pro Sekunde und die Fallstrecke 20 m. Nach 1 Sekunde waren es erst 5 m. In der zweiten Sekunde legt der Körper also weitere 15 m zurück.
Im Modell ist die Fallbeschleunigung unabhängig von der Masse. Dass eine Feder in Luft langsamer fällt als eine Metallkugel, liegt wesentlich am Luftwiderstand. Beim Werfen nach oben oder unten musst du eine Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen.
Lernschritt 6
Fallzeit aus einer Höhe berechnen
Ein Körper wird 45 m über dem Boden aus der Ruhe losgelassen. Ohne Luftwiderstand und mit g = 10 ergibt sich aus der Fallstrecke:
t = √() = √() s = 3 s
v = g · t = 30
Das ist die Geschwindigkeit unmittelbar vor dem Auftreffen. Die Formeln beschreiben nicht das Abbremsen beim Aufprall. Als Kontrolle kannst du v² = 2gh verwenden: 30² = 2 · 10 · 45 = 900.
Eine gemessene Zeit bis zu einem hörbaren Aufprall kann zusätzlich eine Schalllaufzeit enthalten. Prüfe deshalb, welcher Zeitabschnitt in einer Aufgabe tatsächlich gemeint ist.
Lernschritt 7
Ein Rechenplan für Bewegungsaufgaben
- Lege positive Richtung, Zeitbeginn und Startposition fest.
- Notiere Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung mit Vorzeichen.
- Prüfe, ob die Beschleunigung im betrachteten Zeitraum konstant ist.
- Rechne Einheiten passend um, insbesondere Kilometer pro Stunde in Meter pro Sekunde.
- Wähle die Gleichung zur gesuchten Größe und setze erst dann Zahlen ein.
- Kontrolliere, ob das Ergebnis zum gültigen Zeitabschnitt passt.
Beispiel für einen typischen Fehler: v · t mit der Endgeschwindigkeit liefert bei einer Beschleunigung aus der Ruhe einen zu großen Weg. Verwende die Wegformel oder die passende mittlere Geschwindigkeit.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welchen Weg legt derselbe Körper in 4 s zurück?
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s = · 3 · 4² = 24 m.
Erklärung wiederholen →3 · v₀ = 5 Meter pro Sekunde, a = 2 Meter pro Sekunde zum Quadrat, t = 3 s: Ortsänderung?
Lösung und Rechenweg ansehen
Δs = 5 · 3 + · 2 · 3² = 24 m. Der Anfangsterm darf nicht fehlen.
Erklärung wiederholen →4 · Was bedeutet die Steigung im v-t-Diagramm?
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Sie beschreibt die Beschleunigung. Die Fläche zum Zeitintervall beschreibt die Ortsänderung.
Erklärung wiederholen →5 · Ein Fahrzeug fährt mit 12 Metern pro Sekunde und bremst mit a = −3 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Wann steht es?
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0 = 12 − 3t ergibt t = 4 s. Das Bremsmodell wird nur bis zum Stillstand verwendet.
Erklärung wiederholen →6 · Freier Fall aus der Ruhe: Welche Strecke nach 3 s mit g = 10 Metern pro Sekunde zum Quadrat?
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h = · 10 · 3² = 45 m, sofern bis dahin noch kein Hindernis erreicht wurde.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist gleichmäßig beschleunigt dasselbe wie gleichförmig?
Nein. Gleichförmig bedeutet konstante Geschwindigkeit. Gleichmäßig beschleunigt bedeutet konstante Beschleunigung und damit eine gleichmäßige Geschwindigkeitsänderung.
Fallen schwere Körper schneller?
Ohne Luftwiderstand fallen Körper im selben Schwerefeld mit derselben Beschleunigung. In Luft beeinflussen Form, Größe und Luftwiderstand die Bewegung.
Wann gilt s = ½at²?
Für konstante Beschleunigung, Anfangsgeschwindigkeit null und den passend gewählten Nullpunkt. Allgemein brauchst du zusätzlich Anfangsposition und Anfangsgeschwindigkeit.