Erkenne, wann der Satz des Thales einen rechten Winkel garantiert. Konstruiere passende Dreiecke und berechne anschließend fehlende Winkel oder Seiten.
Hilfreiches Vorwissen: Kreisbegriffe, Winkelsumme, Pythagoras und Koordinaten.
Bestimme den Thaleswinkel und den Radius und prüfe, welche Kreisbedingung nötig ist.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche mit /. Wurzeln: sqrt(144) oder √144. Punkte: x | y. Beachte die gefragte Einheit. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Durchmesser und Kreislinie prüfen
AB ist ein Durchmesser → ∠ACB = 90°
C muss auf der Kreislinie liegen und von A und B verschieden sein. Dann liegt der rechte Winkel bei C.
Wenn A und B die Endpunkte eines Kreisdurchmessers sind und C ein weiterer Punkt auf der Kreislinie ist, dann ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig.
Du kannst C auf dem oberen oder unteren Halbkreis wählen. Solange C nicht mit A oder B zusammenfällt, bleibt der Winkel ACB genau 90°. Das Dreieck darf dabei sehr unterschiedlich aussehen.
Es reicht nicht, dass alle drei Punkte auf irgendeinem Kreis liegen. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite AB muss ein Durchmesser dieses Kreises sein.
Prüfe zuerst: Liegt der Kreismittelpunkt M auf AB? Sind A und B auf der Kreislinie? Halbiert M die Strecke AB? Dann ist AB ein Durchmesser.
Prüfe danach, ob C ebenfalls auf der Kreislinie liegt. Der rechte Winkel liegt zwischen CA und CB, also am Punkt C. Die Strecke AB ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
Eine nur ungefähr rechtwinklig wirkende Zeichnung ist kein Beweis. Verlasse dich auf gegebene Eigenschaften und die Konstruktion. Ein Punkt im Inneren des Halbkreises erfüllt die Voraussetzung „auf der Kreislinie“ nicht.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Drei Kreispunkte allein reichen nicht aus. Der Mittelpunkt muss auf AB liegen. Eine ungefähr rechtwinklige Zeichnung ersetzt diese Voraussetzung nicht.
Verbinde M mit C. Die Strecken MA, MB und MC sind gleich lang, denn alle drei sind Radien. Dadurch entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke AMC und BMC.
Nenne den Winkel bei A α und den Winkel bei B β. Im ersten gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel ACM ebenfalls α. Im zweiten ist der Winkel MCB gleich β. Der gesamte Winkel bei C ist also α + β.
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
Begründung – Schritt für Schritt
AB ist ein Durchmesser · C liegt auf der Kreislinie
Die Dreiecke AMC und BMC sind gleichschenklig; ihre Basiswinkel stimmen überein.
Addiere die drei Innenwinkel des Dreiecks ABC.
Fasse die gleichen Winkel zusammen.
Teile durch zwei. Der Winkel bei C ist genau α + β.
Damit ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Die Begründung nutzt nur gleiche Radien, Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck und die Winkelsumme.
Ist ein Dreieck ABC bei C rechtwinklig, dann liegt C auf dem Kreis mit Durchmesser AB. Dieser Kreis heißt Thaleskreis über AB.
Beispiel – Schritt für Schritt
AB = 10 cm · rechter Winkel bei C
AB ist die Hypotenuse eines bei C rechtwinkligen Dreiecks.
Nach der Umkehrung ist AB der Durchmesser des Thaleskreises; M ist seine Mitte.
Alle drei Eckpunkte liegen auf diesem Kreis und haben denselben Abstand von M.
Für die Konstruktion bedeutet das: Wenn die Hypotenuse schon feststeht, findest du alle möglichen dritten Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks auf diesem Kreis, abgesehen von A und B selbst.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Nach der Umkehrung liegt C auf dem Thaleskreis über AB. MA, MB und MC sind seine Radien.
Die 14 cm dürfen deshalb nicht direkt als MC übernommen werden.
Gegeben ist die Hypotenuse AB = 8 cm. So konstruierst du ein passendes Dreieck mit Zirkel und Lineal:
Konstruktion – Schritt für Schritt
Hypotenuse AB = 8 cm
Die gegebene Strecke soll die Hypotenuse werden.
Die Mittelsenkrechte schneidet AB in M.
Der Radius ist die Hälfte von AB.
C muss von A und B verschieden sein, damit ein Dreieck entsteht.
Nach Thales ist ∠ACB = 90°.
Die Hypotenuse allein legt noch kein eindeutiges Dreieck fest. Unterschiedliche Punkte C ergeben unterschiedliche Kathetenlängen. Erst weitere Angaben schränken die Auswahl ein.
Gegeben sind AB = 10 cm und AC = 6 cm. Der rechte Winkel soll bei C liegen.
Konstruktion – Schritt für Schritt
AB = 10 cm · AC = 6 cm
Diese Strecke ist die gewünschte Hypotenuse.
Sein Mittelpunkt ist die Mitte von AB.
Jeder Punkt dieses Kreises hat den geforderten Abstand AC = 6 cm.
Beide Bedingungen gelten gleichzeitig an den beiden Kreisschnittpunkten.
Der Thaleskreis garantiert den rechten Winkel bei C; der zweite Kreis die Kathetenlänge.
Die beiden Dreiecke sind spiegelbildlich zu AB. Soll C oberhalb von AB liegen, wählst du den oberen Schnittpunkt.
AC muss hier größer als 0 und kleiner als AB sein. Eine Kathete, die mindestens so lang wie die Hypotenuse ist, ergibt kein nicht entartetes rechtwinkliges Dreieck.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Kreis um A mit Radius 5 cm schneidet den Thaleskreis in zwei Punkten. Ohne Vorgabe „oberhalb“ oder „unterhalb“ gibt es zwei spiegelbildliche Lagen.
Eine Kathete muss kürzer als die Hypotenuse sein. Auch AC = 8 cm würde nur einen entarteten Fall ergeben.
Ist bei einem Thalesdreieck der Winkel bei A gleich 35°, bleibt für den Winkel bei B:
Beispiel – Schritt für Schritt
Thalesdreieck · Winkel bei A: 35°
AB ist ein Durchmesser und C ein weiterer Kreispunkt: Thales ist anwendbar.
Ziehe die beiden bekannten Winkel von der Winkelsumme ab.
Der zweite spitze Winkel ergänzt 35° zu 90°.
Für die Seiten kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, nachdem der rechte Winkel begründet ist. Bei AB = 10 cm und AC = 6 cm gilt:
Beispiel – Schritt für Schritt
AB = 10 cm · AC = 6 cm · rechter Winkel bei C
Thales begründet den rechten Winkel bei C, also gilt Pythagoras.
Stelle nach dem Quadrat der gesuchten Kathete um.
Quadriere die gegebenen Längen 10 cm und 6 cm.
Eine Seitenlänge ist positiv, deshalb wählst du die positive Wurzel.
Die Hypotenuse ist AB. Du subtrahierst das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat. Die Länge des Durchmessers und der Kreisradius dürfen dabei nicht verwechselt werden.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
AB liegt dem Winkel bei C gegenüber und ist der Durchmesser.
Du musst beide bekannten Winkel abziehen. 180° − 27° = 153° wäre nur die gemeinsame Summe der Winkel bei B und C.
Der Thaleskreis hilft auch, Tangenten von einem äußeren Punkt P an einen Kreis mit Mittelpunkt M zu konstruieren. Dabei zeichnest du den Thaleskreis über MP.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreis um M · äußerer Punkt P · Thaleskreis über MP
T ist ein Schnittpunkt des ursprünglichen Kreises mit dem Thaleskreis über MP. P liegt außerhalb des ursprünglichen Kreises.
MP ist der Durchmesser des Hilfskreises; verwende den Satz des Thales.
Die Gerade PT steht am Kreispunkt T senkrecht auf dem Radius MT.
Die vollständigen Konstruktionsschritte findest du auf der weiterführenden Seite zu Kreistangenten.
Merke dir für neue Aufgaben: Suche zuerst nach einem Durchmesser oder einer gewünschten Hypotenuse. Damit kannst du einen rechten Winkel begründen oder gezielt konstruieren.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Begründe zuerst den rechten Winkel mit dem Satz des Thales. Danach hilft dir der Mathehelfer beim zweiten spitzen Winkel oder bei einer fehlenden Kathete. Die Kreis-Konstruktion führst du mit Zirkel und Lineal aus.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
AB ist ein Durchmesser · C ist ein weiterer Kreispunkt
Prüfe diese Voraussetzung, bevor du Thales verwendest.
C darf weder A noch B sein.
Der rechte Winkel liegt bei C zwischen CA und CB.
Lösung – Schritt für Schritt
AB = 12 cm
Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers AB.
Halbiere die gegebene Länge.
Lösung – Schritt für Schritt
Thalesdreieck; α = 28°
Nach Thales ist der dritte Winkel 90°; die beiden anderen ergänzen sich zu 90°.
Ziehe den bekannten Winkel α ab.
Lösung – Schritt für Schritt
Hypotenuse AB = 13 cm · Kathete AC = 5 cm
AB ist die Hypotenuse: Stelle Pythagoras nach der unbekannten Kathete um.
Quadriere 13 cm und 5 cm und subtrahiere.
Ziehe die positive Wurzel.
Lösung – Schritt für Schritt
A, B und C liegen auf demselben Kreis
Diese Information allein garantiert keinen rechten Winkel bei C.
Erst damit ist der Satz des Thales anwendbar, sofern C von A und B verschieden ist.
Lösung – Schritt für Schritt
Nur die Hypotenuse AB ist vorgegeben
Mitte und Radius des Kreises sind durch AB festgelegt.
Außer A und B kommen beliebig viele Kreispunkte infrage; die Kathetenlängen können verschieden sein.
Eine weitere geeignete Angabe schränkt die Auswahl ein.
Dein nächster Schritt
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Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
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Spickzettel ansehen – Preis und Details →Nein. Beide Halbkreise sind geeignet. Der dritte Eckpunkt muss auf der Kreislinie liegen und von den Durchmesserendpunkten verschieden sein.
Nur unter den Voraussetzungen des Satzes: Eine Seite ist der Durchmesser und der dritte Eckpunkt liegt auf der Kreislinie.
Der Eckpunkt mit dem rechten Winkel liegt auf dem Kreis über der Hypotenuse als Durchmesser.
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Alle drei Strecken sind Radien desselben Kreises.