1 · AB ist ein Kreisdurchmesser und C liegt auf der Kreislinie. Wo liegt der rechte Winkel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Bei C, also zwischen CA und CB. C darf nicht A oder B sein.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Satz des Thales: verstehen und üben
Erkenne rechte Winkel am Halbkreis, konstruiere Dreiecke mit dem Thaleskreis und berechne fehlende Winkel und Seiten. Mit Begründung, Skizze und Aufgaben zum Selbstcheck.
Durchmesser und Kreislinie prüfen
AB ist ein Durchmesser → ∠ACB = 90°
C muss auf der Kreislinie liegen und von A und B verschieden sein. Dann liegt der rechte Winkel bei C.
Lernschritt 1
Was sagt der Satz des Thales?
Wenn A und B die Endpunkte eines Kreisdurchmessers sind und C ein weiterer Punkt auf der Kreislinie ist, dann ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig.
Du kannst C auf dem oberen oder unteren Halbkreis wählen. Solange C nicht mit A oder B zusammenfällt, bleibt der Winkel ACB genau 90°. Das Dreieck darf dabei sehr unterschiedlich aussehen.
Es reicht nicht, dass alle drei Punkte auf irgendeinem Kreis liegen. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite AB muss ein Durchmesser dieses Kreises sein.
Lernschritt 2
Die Voraussetzungen in einer Zeichnung erkennen
Prüfe zuerst: Liegt der Kreismittelpunkt M auf AB? Sind A und B auf der Kreislinie? Halbiert M die Strecke AB? Dann ist AB ein Durchmesser.
Prüfe danach, ob C ebenfalls auf der Kreislinie liegt. Der rechte Winkel liegt zwischen CA und CB, also am Punkt C. Die Strecke AB ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
Eine nur ungefähr rechtwinklig wirkende Zeichnung ist kein Beweis. Verlasse dich auf gegebene Eigenschaften und die Konstruktion. Ein Punkt im Inneren des Halbkreises erfüllt die Voraussetzung „auf der Kreislinie“ nicht.
Lernschritt 3
Warum entsteht ein rechter Winkel?
Verbinde M mit C. Die Strecken MA, MB und MC sind gleich lang, denn alle drei sind Radien. Dadurch entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke AMC und BMC.
Nenne den Winkel bei A α und den Winkel bei B β. Im ersten gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel ACM ebenfalls α. Im zweiten ist der Winkel MCB gleich β. Der gesamte Winkel bei C ist also α + β.
Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt 180°:
α + β + (α + β) = 180°
2(α + β) = 180° → α + β = 90°
Damit ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Die Begründung nutzt nur gleiche Radien, Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck und die Winkelsumme.
Lernschritt 4
Auch die Umkehrung ist hilfreich
Ist ein Dreieck ABC bei C rechtwinklig, dann liegt C auf dem Kreis mit Durchmesser AB. Dieser Kreis heißt Thaleskreis über AB.
Die Mitte der Hypotenuse ist deshalb von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Bei AB = 10 cm hat der Thaleskreis Radius 5 cm. Es gilt MA = MB = MC = 5 cm.
Für die Konstruktion bedeutet das: Wenn die Hypotenuse schon feststeht, findest du alle möglichen dritten Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks auf diesem Kreis, abgesehen von A und B selbst.
Lernschritt 5
Ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren
Gegeben ist die Hypotenuse AB = 8 cm. So konstruierst du ein passendes Dreieck mit Zirkel und Lineal:
- Zeichne AB mit 8 cm Länge.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von AB. Ihr Schnittpunkt mit AB ist der Mittelpunkt M.
- Zeichne um M einen Kreis mit Radius MA = 4 cm.
- Wähle einen Punkt C auf der Kreislinie, verschieden von A und B.
- Verbinde C mit A und B. Der Winkel bei C ist 90°.
Die Hypotenuse allein legt noch kein eindeutiges Dreieck fest. Unterschiedliche Punkte C ergeben unterschiedliche Kathetenlängen. Erst weitere Angaben schränken die Auswahl ein.
Lernschritt 6
Mit vorgegebener Hypotenuse und Kathete konstruieren
Gegeben sind AB = 10 cm und AC = 6 cm. Der rechte Winkel soll bei C liegen.
- Zeichne AB und den Thaleskreis über AB mit Radius 5 cm.
- Zeichne einen zweiten Kreis um A mit Radius 6 cm.
- Die beiden Schnittpunkte der Kreise sind mögliche Punkte C.
- Verbinde einen Schnittpunkt mit A und B.
Die beiden Dreiecke sind spiegelbildlich zu AB. Soll C oberhalb von AB liegen, wählst du den oberen Schnittpunkt.
AC muss hier größer als 0 und kleiner als AB sein. Eine Kathete, die mindestens so lang wie die Hypotenuse ist, ergibt kein nicht entartetes rechtwinkliges Dreieck.
Lernschritt 7
Winkel und Seiten berechnen
Ist bei einem Thalesdreieck der Winkel bei A gleich 35°, bleibt für den Winkel bei B:
β = 180° − 90° − 35° = 55°
Für die Seiten kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, nachdem der rechte Winkel begründet ist. Bei AB = 10 cm und AC = 6 cm gilt:
BC² = AB² − AC² = 100 cm² − 36 cm² = 64 cm²
BC = 8 cm
Die Hypotenuse ist AB. Du subtrahierst das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat. Die Länge des Durchmessers und der Kreisradius dürfen dabei nicht verwechselt werden.
Lernschritt 8
Vom Thaleskreis zu Kreistangenten
Der Thaleskreis hilft auch, Tangenten von einem äußeren Punkt P an einen Kreis mit Mittelpunkt M zu konstruieren. Dabei zeichnest du den Thaleskreis über MP.
Seine Schnittpunkte T mit dem ursprünglichen Kreis erfüllen ∠MTP = 90°. Deshalb steht PT senkrecht auf dem Radius MT und ist eine Tangente. Die vollständigen Schritte findest du auf der weiterführenden Seite zu Kreistangenten.
Merke dir für neue Aufgaben: Suche zuerst nach einem Durchmesser oder einer gewünschten Hypotenuse. Damit kannst du einen rechten Winkel begründen oder gezielt konstruieren.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · AB = 12 cm. Welchen Radius hat der Thaleskreis über AB?
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6 cm. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers.
Erklärung wiederholen →3 · Im Thalesdreieck ist α = 28°. Wie groß ist β?
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β = 90° − 28° = 62°.
Erklärung wiederholen →4 · AB = 13 cm ist die Hypotenuse, AC = 5 cm. Bestimme BC.
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BC² = 13² − 5² = 144 cm². Daher BC = 12 cm.
Erklärung wiederholen →5 · Genügt es, wenn A, B und C auf demselben Kreis liegen?
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Nein. AB muss zusätzlich ein Durchmesser sein, damit Thales den rechten Winkel bei C garantiert.
Erklärung wiederholen →6 · Ist ein rechtwinkliges Dreieck durch seine Hypotenuse allein eindeutig festgelegt?
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Nein. C kann an unterschiedlichen Stellen des Thaleskreises liegen.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Gilt Thales nur für den oberen Halbkreis?
Nein. Beide Halbkreise sind geeignet. Der dritte Eckpunkt muss auf der Kreislinie liegen und von den Durchmesserendpunkten verschieden sein.
Ist jedes Dreieck im Halbkreis rechtwinklig?
Nur unter den Voraussetzungen des Satzes: Eine Seite ist der Durchmesser und der dritte Eckpunkt liegt auf der Kreislinie.
Was sagt die Umkehrung?
Der Eckpunkt mit dem rechten Winkel liegt auf dem Kreis über der Hypotenuse als Durchmesser.