Aufgabe 1 · Auf Papier lösen
Wo liegt die Hypotenuse?
Lösung und Rechenweg ansehen
Gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · etwa 30–45 Minuten
Satz des Pythagoras
Du erkennst rechtwinklige Dreiecke, berechnest fehlende Seiten und nutzt den Satz des Pythagoras in Sachaufgaben.
Voraussetzungen ansehen
Quadratzahlen, Quadratwurzeln, Längeneinheiten und einfache Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Berechne zuerst eine Hypotenuse, danach eine Kathete und schließlich eine Rechteckdiagonale. Notiere jeweils die Gleichung, bevor du rechnest.
Gib die Zahl in der verlangten Einheit ein, zum Beispiel 12,5 oder 1/2. Die Einheit darfst du ergänzen (cm² auch als cm^2, cm³ als cm^3). Verwende keine Tausenderpunkte. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein. Bei Aufgaben mit Rundung sind zwei Nachkommastellen oder die exakte Wurzel möglich, etwa √41 oder sqrt(41).
02 · Verstehen
Katheten und Hypotenuse erkennen
Nur im rechtwinkligen Dreieck
a² + b² = c²
a und b sind die Katheten. c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel.
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Hypotenuse liegt nicht automatisch unten oder schräg. Drehe die Zeichnung gedanklich: Entscheidend bleibt ihre Lage gegenüber dem 90°-Winkel.
Merke
Die Buchstaben können in einer Aufgabe anders heißen. In a² + b² = c² steht c für die Hypotenuse. Bestimme daher zuerst die Seitenrollen, bevor du Werte einsetzt.
Was sagt der Satz des Pythagoras?
Die Beziehung zwischen den Seitenquadraten
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Kathetenlängen gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge:
a² + b² = c²
Zeichnest du auf jeder Seite ein Quadrat, haben diese die Flächen a², b² und c². Die beiden Kathetenquadrate haben zusammen denselben Flächeninhalt wie das Hypotenusenquadrat.
Beispiel: das 3–4–5-Dreieck
Beim Dreieck mit 3 cm, 4 cm und 5 cm gilt: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Die Seiten selbst werden nicht addiert: 3 + 4 ist nicht 5.
Die Hypotenuse berechnen
Die passende Formel
c = √(a² + b²)
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Hypotenuse c
a = 6 cm; b = 8 cm
Die Katheten sind a = 6 cm und b = 8 cm. Gesucht ist die Hypotenuse c.
RechnungErklärung zum Schritt
c² = a² + b²
c² = (6 cm)² + (8 cm)²
2 Einsetzen
Setze beide Kathetenlängen mit derselben Einheit ein.
c² = 36 cm² + 64 cm²
3 Quadrieren
Quadriere beide Längen einzeln. Auch die Einheit wird quadriert.
c² = 100 cm²
4 Addieren
Addiere die Kathetenquadrate.
c = √100 cm = 10 cm
5 Positive Wurzel ziehen
Eine Seitenlänge ist positiv. Nach dem Wurzelziehen lautet die Einheit wieder cm.
Ergebnis kontrollieren
Die Kontrolle passt: 10 cm sind mehr als jede der beiden Kathetenlängen. Eine negative Seitenlänge kommt nicht infrage.
Eine Kathete berechnen
Die passende Formel
b = √(c² − a²)
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Kathete b
c = 13 cm; a = 5 cm
Die Hypotenuse ist c = 13 cm lang, eine Kathete a = 5 cm. Gesucht ist b.
RechnungErklärung zum Schritt
b² = c² − a²
1 Umstellen
Subtrahiere a² auf beiden Seiten von a² + b² = c².
b² = (13 cm)² − (5 cm)²
2 Einsetzen
13 cm ist die Hypotenuse, 5 cm die bekannte Kathete.
b² = 169 cm² − 25 cm²
3 Quadrieren
Berechne zuerst die Quadrate.
b² = 144 cm²
4 Subtrahieren
Ziehe das Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat ab.
b = √144 cm = 12 cm
5 Wurzel ziehen
Wähle die positive Wurzel, weil b eine Seitenlänge ist.
Merke
Bei einer gesuchten Kathete subtrahierst du das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat. Ein negativer Wert unter der Wurzel weist hier auf einen Fehler bei Zuordnung, Angaben oder Rechnung hin.
Sachaufgaben: zuerst das rechtwinklige Dreieck finden
Sachaufgabe · Rechteckdiagonale
Wie lang ist die Rechteckdiagonale?
Breite: 9 cm · Höhe: 12 cm
Ein Rechteck ist 9 cm breit und 12 cm hoch. Die Diagonale teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.
RechnungErklärung zum Schritt
d² = (9 cm)² + (12 cm)²
1 Passendes Dreieck finden
Die Diagonale ist jeweils die Hypotenuse; Breite und Höhe sind die Katheten.
d² = 81 cm² + 144 cm²
2 Quadrieren
Berechne die Quadrate der Rechteckseiten.
d² = 225 cm²
3 Addieren
Addiere die beiden Flächenwerte.
d = √225 cm = 15 cm
4 Diagonale angeben
Ziehe die positive Wurzel. Die Diagonale ist 15 cm lang.
Sachaufgabe · Leiter an einer senkrechten Wand
Welche Höhe h erreicht die Leiter?
Leiter: 5 m · Abstand: 1,4 m
Eine 5 m lange Leiter steht auf waagerechtem Boden. Ihr Fuß ist 1,4 m von der senkrechten Wand entfernt.
RechnungErklärung zum Schritt
h² + (1,4 m)² = (5 m)²
1 Modell aufstellen
Die Leiter ist die Hypotenuse. Höhe und Abstand zur Wand sind die Katheten.
h² = (5 m)² − (1,4 m)²
2 Nach der Höhe umstellen
Subtrahiere das Quadrat des Abstands auf beiden Seiten.
h² = 25 m² − 1,96 m²
3 Quadrieren
Berechne die Quadrate, bevor du subtrahierst.
h² = 23,04 m²
4 Subtrahieren
Das ist das Quadrat der gesuchten Höhe.
h = √23,04 m = 4,8 m
5 Ergebnis im Modell
Die Leiter erreicht in diesem vereinfachten Modell eine Höhe von 4,8 m.
Vom Bild zum mathematischen Modell
Zeichne eine Skizze und markiere die gesuchte Strecke. Das mathematische Modell setzt hier einen rechten Winkel zwischen Wand und Boden voraus.
Einheiten und Rundung richtig behandeln
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Hypotenuse c
a = 1,2 m; b = 90 cm
Alle Längen müssen vor dem Einsetzen dieselbe Einheit haben. Das Beispiel verwendet die Katheten 1,2 m und 90 cm.
RechnungErklärung zum Schritt
90 cm = 0,9 m
1 Einheit umrechnen
Rechne beide Kathetenlängen in Metern.
c² = (1,2 m)² + (0,9 m)²
2 Einsetzen
Die Katheten sind 1,2 m und 0,9 m lang.
c² = 1,44 m² + 0,81 m²
3 Quadrieren
Quadriere beide Längen getrennt.
c² = 2,25 m²
4 Addieren
Die Summe ist das Hypotenusenquadrat.
c = √2,25 m = 1,5 m
5 Wurzel ziehen
Die Hypotenuse ist 1,5 m lang.
Einheiten mitrechnen und erst am Ende runden
Eine Länge wird quadriert zu einer Fläche: cm · cm = cm². Nach dem Wurzelziehen steht das Ergebnis wieder in cm. Bei nicht glatten Wurzeln rundest du möglichst erst am Ende.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Die Katheten sind 2 cm und 3 cm. Wie lang ist c ungefähr?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Wie lang ist die Hypotenuse ungefähr?
a = 2 cm; b = 3 cm
Rechtwinkliges Dreieck · Runde auf zwei Nachkommastellen.
RechnungErklärung zum Schritt
c² = (2 cm)² + (3 cm)²
1 Einsetzen
Addiere die Quadrate der beiden Kathetenlängen.
c² = 4 cm² + 9 cm² = 13 cm²
2 Berechnen
Erst quadrieren, dann addieren.
c = √13 cm
3 Exaktes Ergebnis
Die positive Quadratwurzel gibt die Hypotenusenlänge an.
c ≈ 3,61 cm
4 Am Ende runden
Runde auf zwei Nachkommastellen. √13 cm bleibt der exakte Wert.
Prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist
So funktioniert die Umkehrung
Die Umkehrung des Satzes hilft beim Prüfen: Sortiere drei positive Seitenlängen und teste, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren gleich dem Quadrat der längsten ist. Die Längen müssen ein Dreieck bilden können.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ist das Dreieck rechtwinklig?
Seitenlängen: 8, 15 und 17
Beispiel mit den Seitenlängen 8, 15 und 17 in derselben Einheit:
RechnungErklärung zum Schritt
8 + 15 > 17
1 Dreieck prüfen
Die zwei kürzeren Seiten sind zusammen länger als die längste. Die positiven Längen können ein Dreieck bilden.
8² + 15² = 64 + 225 = 289
2 Kürzere Seiten quadrieren
Addiere die Quadrate der beiden kürzeren Seiten.
17² = 289
3 Längste Seite quadrieren
17 ist die mögliche Hypotenusenlänge.
8² + 15² = 17²
4 Vergleichen
Beide Werte stimmen überein: Das Dreieck ist rechtwinklig.
Gegenbeispiel: 4, 5 und 6
Zum Vergleich: Bei 4, 5 und 6 gilt 4² + 5² = 16 + 25 = 41, aber 6² = 36. Weil 41 ≠ 36 ist, ist dieses Dreieck nicht rechtwinklig.
Bei Messwerten beachten
Bei gerundeten Messwerten kann eine kleine Abweichung durch Messungenauigkeit entstehen. Eine exakte Gleichheit lässt sich aus groben Messungen nicht sicher folgern.
Die häufigsten Fehler vermeiden
- Kein rechter Winkel: Pythagoras darf nicht auf jedes beliebige Dreieck angewendet werden.
- Falsche Hypotenuse: Suche die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
- Wurzel vergessen: c² = 100 bedeutet c = 10, nicht c = 100.
- Kathete gesucht und trotzdem addiert: Stelle die Gleichung zuerst um.
- Einheiten gemischt: Wandle vor dem Quadrieren um.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Verwende bei nicht glatten Wurzeln einen Taschenrechner und runde erst am Ende. Die Aufgabe nennt die gewünschte Genauigkeit.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Aufgabe 2 · Auf Papier lösen
Berechne c für die Katheten 9 cm und 12 cm.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Hypotenuse c
a = 9 cm; b = 12 cm
RechnungErklärung zum Schritt
c² = (9 cm)² + (12 cm)²
1 Einsetzen
c ist die Hypotenuse. Addiere die Kathetenquadrate.
c² = 81 cm² + 144 cm²
2 Quadrieren
Berechne beide Quadrate.
c² = 225 cm²
3 Addieren
Das Ergebnis ist noch eine Fläche.
c = √225 cm = 15 cm
4 Wurzel ziehen
Die gesuchte Länge ist 15 cm.
Aufgabe 3 · Auf Papier lösen
c = 10 cm, a = 6 cm: Wie lang ist b?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Kathete b
c = 10 cm; a = 6 cm
RechnungErklärung zum Schritt
b² = c² − a²
1 Umstellen
Gesucht ist eine Kathete: Subtrahiere das bekannte Kathetenquadrat.
b² = (10 cm)² − (6 cm)²
2 Einsetzen
10 cm ist die Hypotenuse.
b² = 100 cm² − 36 cm²
3 Quadrieren
Berechne die Quadrate getrennt.
b² = 64 cm²
4 Subtrahieren
Das ist das Quadrat der gesuchten Kathetenlänge.
b = √64 cm = 8 cm
5 Wurzel ziehen
Die Kathete ist 8 cm lang.
Aufgabe 4 · Auf Papier lösen
Sind die Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
5 cm, 12 cm und 13 cm
RechnungErklärung zum Schritt
5 cm + 12 cm > 13 cm
1 Dreieck prüfen
Die positiven Längen können ein Dreieck bilden.
(5 cm)² + (12 cm)²
= 25 cm² + 144 cm²
= 169 cm²
= 25 cm² + 144 cm²
= 169 cm²
2 Kürzere Seiten prüfen
Addiere ihre Quadrate.
(13 cm)² = 169 cm²
3 Längste Seite prüfen
Das Quadrat der längsten Seite ist genauso groß.
5² + 12² = 13²
4 Entscheidung
Ja: Nach der Umkehrung des Satzes ist das Dreieck rechtwinklig. Alle Seitenangaben stehen in cm.
Aufgabe 5 · Auf Papier lösen
Katheten 30 cm und 0,4 m: Wie lang ist die Hypotenuse?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Hypotenuse
a = 30 cm; b = 0,4 m
RechnungErklärung zum Schritt
0,4 m = 40 cm
1 Einheiten angleichen
Rechne beide Kathetenlängen in cm.
c² = (30 cm)² + (40 cm)²
2 Einsetzen
Addiere die Kathetenquadrate.
c² = 900 cm² + 1600 cm²
3 Quadrieren
Berechne die Quadrate.
c² = 2500 cm²
4 Addieren
Das ist das Hypotenusenquadrat.
c = √2500 cm = 50 cm
5 Wurzel ziehen
Die Hypotenuse ist 50 cm beziehungsweise 0,5 m lang.
Aufgabe 6 · Auf Papier lösen
Ein Schüler findet c² = 49 cm² und schreibt c = 49 cm. Was fehlt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Finde und korrigiere den Fehler
c² = 49 cm²
Ein Schüler schreibt c = 49 cm. Was fehlt?
RechnungErklärung zum Schritt
c² = 49 cm²
1 Ausgangslage
49 cm² ist das Quadrat der Länge, noch nicht die Länge selbst.
c = √49 cm = 7 cm
2 Fehlenden Schritt ergänzen
Ziehe die positive Wurzel. Richtig ist c = 7 cm, nicht 49 cm.
Merke
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Gilt der Satz in jedem Dreieck?
Nein. In dieser Form gilt er genau für rechtwinklige Dreiecke.
Warum ziehe ich nur die positive Wurzel?
Gesucht ist eine Seitenlänge. Bei einem echten Dreieck ist diese positiv.
Muss die Hypotenuse immer c heißen?
Nein. Die Buchstaben der Aufgabe können anders sein. In der üblichen Formel a² + b² = c² bezeichnet c die Hypotenuse.
Der eingeschlossene Winkel zwischen a und b muss 90° betragen. c ist die Hypotenuse.