Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung

Satz des Pythagoras: verstehen und üben

Berechne fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Erkenne Katheten und Hypotenuse, stelle die Formel richtig um und löse Sachaufgaben mit passenden Einheiten.

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Nur im rechtwinkligen Dreieck

a² + b² = c²

a und b sind die Katheten. c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel.

Lernschritt 1

Katheten und Hypotenuse erkennen

Rechtwinkliges 3–4–5-Dreieck. a und b liegen am rechten Winkel; c liegt ihm gegenüber.

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Die Hypotenuse liegt nicht automatisch unten oder schräg. Drehe die Zeichnung gedanklich: Entscheidend bleibt ihre Lage gegenüber dem 90°-Winkel.

Die Buchstaben können in einer Aufgabe anders heißen. In a² + b² = c² steht c für die Hypotenuse. Bestimme daher zuerst die Seitenrollen, bevor du Werte einsetzt.

Lernschritt 2

Was sagt der Satz des Pythagoras?

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Kathetenlängen gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge:

a² + b² = c²

Zeichnest du auf jeder Seite ein Quadrat, haben diese die Flächen a², b² und c². Die beiden Kathetenquadrate haben zusammen denselben Flächeninhalt wie das Hypotenusenquadrat.

Beim Dreieck mit 3 cm, 4 cm und 5 cm gilt: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Die Seiten selbst werden nicht addiert: 3 + 4 ist nicht 5.

Lernschritt 3

Die Hypotenuse berechnen

Die Katheten sind a = 6 cm und b = 8 cm. Gesucht ist die Hypotenuse c.

Prüfe, dass der eingeschlossene Winkel 90° beträgt.
Setze die Katheten ein: c² = 6² + 8².
Quadriere: c² = 36 + 64 = 100.
Ziehe die positive Wurzel: c = √100 = 10.
Schreibe die Einheit dazu: c = 10 cm.

c = √(a² + b²)

Die Kontrolle passt: 10 cm sind mehr als jede der beiden Kathetenlängen. Eine negative Seitenlänge kommt nicht infrage.

Lernschritt 4

Eine Kathete berechnen

Die Hypotenuse ist c = 13 cm lang, eine Kathete a = 5 cm. Gesucht ist b.

Stelle um: b² = c² − a².
Setze ein: b² = 13² − 5².
Rechne: b² = 169 − 25 = 144.
Ziehe die Wurzel: b = 12 cm.

b = √(c² − a²)

Bei einer gesuchten Kathete subtrahierst du das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat. Ein negativer Wert unter der Wurzel weist hier auf einen Fehler bei Zuordnung, Angaben oder Rechnung hin.

Lernschritt 5

Sachaufgaben: zuerst das rechtwinklige Dreieck finden

Rechteckdiagonale

Ein Rechteck ist 9 cm breit und 12 cm hoch. Die Diagonale teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke. Sie ist jeweils die Hypotenuse: d = √(9² + 12²) = √225 = 15 cm.

Leiter an einer senkrechten Wand

Eine 5 m lange Leiter steht auf waagerechtem Boden. Ihr Fuß ist 1,4 m von der senkrechten Wand entfernt. Im vereinfachten Modell ist die Leiter die Hypotenuse. Die erreichte Höhe beträgt h = √(5² − 1,4²) = √23,04 = 4,8 m.

Zeichne eine Skizze und markiere die gesuchte Strecke. Das mathematische Modell setzt hier einen rechten Winkel zwischen Wand und Boden voraus.

Lernschritt 6

Einheiten und Rundung richtig behandeln

Alle Längen müssen vor dem Einsetzen dieselbe Einheit haben. Bei 1,2 m und 90 cm rechnest du zum Beispiel mit 1,2 m und 0,9 m. Dann ist die Hypotenuse √(1,2² + 0,9²) m = √2,25 m = 1,5 m.

Eine Länge wird quadriert zu einer Fläche: cm · cm = cm². Nach dem Wurzelziehen steht das Ergebnis wieder in cm. Bei nicht glatten Wurzeln rundest du möglichst erst am Ende.

Probier es selbst: Die Katheten sind 2 cm und 3 cm. Wie lang ist c ungefähr?

Lösung ansehen

c = √13 cm ≈ 3,61 cm. √13 cm ist der exakte Wert.

Lernschritt 7

Prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

Die Umkehrung des Satzes hilft beim Prüfen: Sortiere drei positive Seitenlängen und teste, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren gleich dem Quadrat der längsten ist. Die Längen müssen ein Dreieck bilden können.

Für 8, 15 und 17 gilt 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Das Dreieck ist rechtwinklig. Für 4, 5 und 6 gilt dagegen 16 + 25 = 41 ≠ 36. Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Bei gerundeten Messwerten kann eine kleine Abweichung durch Messungenauigkeit entstehen. Eine exakte Gleichheit lässt sich aus groben Messungen nicht sicher folgern.

Lernschritt 8

Die häufigsten Fehler vermeiden

Kein rechter Winkel: Pythagoras darf nicht auf jedes beliebige Dreieck angewendet werden.
Falsche Hypotenuse: Suche die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Wurzel vergessen: c² = 100 bedeutet c = 10, nicht c = 100.
Kathete gesucht und trotzdem addiert: Stelle die Gleichung zuerst um.
Einheiten gemischt: Wandle vor dem Quadrieren um.

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