1 · Berechne √121.
Lösung und Rechenweg ansehen
11, denn 11² = 121.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Wurzeln und Wurzelgesetze: verstehen und üben
Verstehe Quadratwurzeln, vereinfache Wurzelterme und wende die Rechenregeln sicher an. Mit Beispielen, typischen Fehlern, Selbstcheck und kostenlosen Lernkarten.
Quadrieren rückwärts denken
7² = 49 → √49 = 7.
Die Quadratwurzel ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ergibt.
Lernschritt 1
Was bedeutet eine Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel √a beantwortet die Frage: Welche nichtnegative Zahl ergibt beim Quadrieren a? Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand.
Weil 6² = 36 gilt, ist √36 = 6. Ebenso gilt √0 = 0 und √1 = 1. In den reellen Zahlen ist √a nur für a ≥ 0 definiert. Eine reelle Zahl mit dem Quadrat −4 gibt es nicht.
Das Wurzelzeichen √ bezeichnet hier immer die Quadratwurzel. Andere Wurzeln wie die dritte Wurzel sind ein weiterführendes Thema mit teilweise anderen Vorzeichenregeln.
Lernschritt 2
Quadratzahlen erkennen und Wurzeln abschätzen
| Quadrat | Wurzel |
|---|---|
| 1² = 1 | √1 = 1 |
| 2² = 4 | √4 = 2 |
| 3² = 9 | √9 = 3 |
| 4² = 16 | √16 = 4 |
| 5² = 25 | √25 = 5 |
| 6² = 36 | √36 = 6 |
| 7² = 49 | √49 = 7 |
| 8² = 64 | √64 = 8 |
| 9² = 81 | √81 = 9 |
| 10² = 100 | √100 = 10 |
Liegt der Radikand zwischen zwei Quadratzahlen, liegt seine Wurzel zwischen den zugehörigen nichtnegativen Zahlen. Aus 16 < 20 < 25 folgt 4 < √20 < 5.
√20 ist ein exakter Wert. Die Angabe √20 ≈ 4,47 ist gerundet. Schreibe bei einer Näherung das Zeichen ≈ statt =.
Probier es selbst: Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt √50?
Lösung ansehen
Zwischen 7 und 8, denn 49 < 50 < 64.
Lernschritt 3
√9 ist 3 – die Gleichung x² = 9 hat zwei Lösungen
Die Schreibweise √9 meint eindeutig 3. Die Gleichung x² = 9 fragt dagegen nach allen Zahlen, deren Quadrat 9 ergibt. Das sind 3 und −3.
√9 = 3 · x² = 9 ⇒ x = 3 oder x = −3
Für jede reelle Zahl x gilt √(x²) = |x|. Der Betrag stellt sicher, dass das Ergebnis nicht negativ ist. Beispiel: √((−5)²) = √25 = 5.
Setze kein ± vor den Wert einer einzelnen Quadratwurzel. Das ± gehört beim Lösen von x² = a mit a > 0 zu den beiden Lösungen. Bei x² = 0 gibt es nur x = 0.
Lernschritt 4
Die Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten
| Regel | Voraussetzung | Beispiel |
|---|---|---|
| √(a · b) = √a · √b | a ≥ 0 und b ≥ 0 | √(9 · 4) = 3 · 2 = 6 |
| √(a : b) = √a : √b | a ≥ 0 und b > 0 | √(81 : 9) = 9 : 3 = 3 |
Du darfst die Regeln auch rückwärts verwenden: √2 · √8 = √16 = 4. Oder √18 : √2 = √9 = 3. Beim Quotienten darf der Nenner nicht 0 sein.
Überprüfe die Voraussetzungen, bevor du eine Wurzel aufteilst. √((−2) · (−8)) = √16 ist reell definiert. Die getrennten Quadratwurzeln √(−2) und √(−8) sind es in den reellen Zahlen nicht.
Lernschritt 5
Teilweise Wurzel ziehen
Suche im Radikanden einen möglichst großen Quadratzahlfaktor. Für √72 ist das 36:
√72 = √(36 · 2) = 6√2
Schritt für Schritt: Zerlege 72 in 36 · 2. Ziehe aus 36 die Wurzel 6. Der Faktor 2 bleibt unter der Wurzel. Die Schreibweise 6√2 bedeutet 6 · √2.
Weitere Beispiele: √12 = 2√3 und √45 = 3√5. Manchmal hilft zuerst die Primfaktorzerlegung, um quadratische Faktoren zu finden.
Probier es selbst: Vereinfache √48.
Lösung ansehen
√48 = √(16 · 3) = 4√3.
Lernschritt 6
Wurzelterme addieren: nur gleichartige Teile zusammenfassen
3√2 + 5√2 = 8√2. Hier werden die Zahlenfaktoren addiert; √2 bleibt unverändert. Dagegen lassen sich √2 + √3 nicht zu einer einzelnen Quadratwurzel nach einer Additionsregel zusammenfassen.
Manchmal musst du zuerst vereinfachen: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
Für Summen gilt keine Regel √(a + b) = √a + √b. Gegenbeispiel: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Lernschritt 7
Eine Quadratseite aus der Fläche berechnen
Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 64 cm². Aus A = s² folgt für seine nichtnegative Seitenlänge s = √64 cm = 8 cm.
Bei 20 cm² Fläche beträgt die Seite exakt √20 cm = 2√5 cm, gerundet etwa 4,47 cm. Eine negative Seitenlänge kommt im Sachzusammenhang nicht infrage.
Kontrolliere durch Quadrieren: 8 cm · 8 cm = 64 cm². Beachte den Unterschied zwischen Längen- und Flächeneinheiten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Lösungen hat x² = 36?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 6 und x = −6. Die einzelne Wurzel √36 ist dagegen 6.
Erklärung wiederholen →3 · Vereinfache √75.
Lösung und Rechenweg ansehen
√(25 · 3) = 5√3.
Erklärung wiederholen →4 · Berechne √3 · √12.
Lösung und Rechenweg ansehen
√36 = 6.
Erklärung wiederholen →5 · Vereinfache √8 + √18.
Lösung und Rechenweg ansehen
2√2 + 3√2 = 5√2.
Erklärung wiederholen →6 · Ist √(4 + 9) = 2 + 3?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Links steht √13 ≈ 3,61, rechts 5. Wurzeln dürfen nicht über Summen aufgeteilt werden.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wurzelgesetze griffbereit
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Material ansehen →Häufige Fragen
Warum ist √9 nicht −3?
Die Quadratwurzel ist per Definition nichtnegativ. −3 ist eine Lösung der Gleichung x² = 9, aber nicht der Wert von √9.
Darf ich aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel ziehen?
In den reellen Zahlen nicht. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.
Muss ich Wurzeln immer als Dezimalzahl angeben?
Nein. Ein vereinfachter Wurzelterm ist oft die genaue Antwort. Runde nur, wenn eine Näherung verlangt oder im Sachzusammenhang sinnvoll ist.