Mathe – Klasse 8–10 – etwa 25–40 Minuten
Quadratwurzeln verstehen, Wurzelterme vereinfachen und typische Fehler erkennen.
Quadratzahlen, Potenzen, Grundrechenarten und einfache Gleichungen.
Berechne den Wurzelwert, vereinfache danach den Wurzelterm und nutze beim dritten Beispiel das Produktgesetz.
Wurzelterme: zum Beispiel 3√2 oder 3*sqrt(2). Zahlen: zum Beispiel 0,9 oder 1/2. Mehrere Gleichungslösungen trennst du mit ;, etwa −5; 5. Bei Entscheidungsfragen: ja oder nein.
Verstehen
Quadrieren rückwärts denken
7² = 49 → √49 = 7.
Die Quadratwurzel ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ergibt.
Die Quadratwurzel √a beantwortet die Frage: Welche nichtnegative Zahl ergibt beim Quadrieren a? Die Zahl a unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand.
Weil 6² = 36 gilt, ist √36 = 6. Ebenso gilt √0 = 0 und √1 = 1. In den reellen Zahlen ist √a nur für a ≥ 0 definiert. Eine reelle Zahl mit dem Quadrat −4 gibt es nicht.
Das Wurzelzeichen √ bezeichnet hier immer die Quadratwurzel. Andere Wurzeln wie die dritte Wurzel sind ein weiterführendes Thema mit teilweise anderen Vorzeichenregeln.
| Quadrat | Wurzel |
|---|---|
| 1² = 1 | √1 = 1 |
| 2² = 4 | √4 = 2 |
| 3² = 9 | √9 = 3 |
| 4² = 16 | √16 = 4 |
| 5² = 25 | √25 = 5 |
| 6² = 36 | √36 = 6 |
| 7² = 49 | √49 = 7 |
| 8² = 64 | √64 = 8 |
| 9² = 81 | √81 = 9 |
| 10² = 100 | √100 = 10 |
Beispiel – Schritt für Schritt
√20
20 liegt zwischen 16 und 25.
Die Wurzel liegt zwischen den zugehörigen nichtnegativen Zahlen 4 und 5.
√20 ist ein exakter Wert. Die Angabe √20 ≈ 4,47 ist gerundet. Schreibe bei einer Näherung das Zeichen ≈ statt =.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Lösung – Schritt für Schritt
√50
49 und 64 sind die benachbarten Quadratzahlen zu 50.
50 liegt zwischen diesen beiden Quadratzahlen.
√50 liegt zwischen 7 und 8.
Die Schreibweise √9 meint eindeutig 3. Die Gleichung x² = 9 fragt dagegen nach allen Zahlen, deren Quadrat 9 ergibt. Das sind 3 und −3.
Ein Wurzelwert:
√9 = 3
Die Lösungen einer Gleichung:
x² = 9 ⇒ x = 3 oder x = −3
Für jede reelle Zahl x gilt √(x²) = |x|. Der Betrag stellt sicher, dass das Ergebnis nicht negativ ist. Beispiel: √((−5)²) = √25 = 5.
Setze kein ± vor den Wert einer einzelnen Quadratwurzel. Das ± gehört beim Lösen von x² = a mit a > 0 zu den beiden Lösungen. Bei x² = 0 gibt es nur x = 0.
| Regel | Voraussetzung | Beispiel |
|---|---|---|
| √(a · b) = √a · √b | a ≥ 0 und b ≥ 0 | √(9 · 4) = 3 · 2 = 6 |
| √(a : b) = √a : √b | a ≥ 0 und b > 0 | √(81 : 9) = 9 : 3 = 3 |
Du darfst die Regeln auch rückwärts verwenden: √2 · √8 = √16 = 4. Oder √18 : √2 = √9 = 3. Beim Quotienten darf der Nenner nicht 0 sein.
Überprüfe die Voraussetzungen, bevor du eine Wurzel aufteilst. √((−2) · (−8)) = √16 ist reell definiert. Die getrennten Quadratwurzeln √(−2) und √(−8) sind es in den reellen Zahlen nicht.
Suche im Radikanden einen möglichst großen Quadratzahlfaktor. Für √72 ist das 36:
Beispiel – Schritt für Schritt
√72
Vereinfache die Wurzel so weit wie möglich.
Zerlege 72 in 36 · 2. Die 36 ist der größte Quadratzahlfaktor.
Beide Faktoren sind nichtnegativ. Deshalb darfst du die Wurzel aufteilen.
Aus 36 wird 6. Der Faktor 2 bleibt unter der Wurzel. 6√2 bedeutet 6 · √2.
Weitere Beispiele: √12 = 2√3 und √45 = 3√5. Manchmal hilft zuerst die Primfaktorzerlegung, um quadratische Faktoren zu finden.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Lösung – Schritt für Schritt
√48
Zerlege 48 in 16 · 3.
Nutze das Produktgesetz für die nichtnegativen Faktoren.
√16 = 4; die 3 bleibt unter der Wurzel.
3√2 + 5√2 = 8√2. Hier werden die Zahlenfaktoren addiert; √2 bleibt unverändert. Dagegen lassen sich √2 + √3 nicht zu einer einzelnen Quadratwurzel nach einer Additionsregel zusammenfassen.
Beispiel – Schritt für Schritt
√8 + √18
Die Wurzelteile sind zunächst verschieden. Vereinfache sie zuerst.
Ziehe die Wurzel aus dem Quadratzahlfaktor 4.
Ziehe die Wurzel aus dem Quadratzahlfaktor 9.
Jetzt haben beide Summanden denselben Wurzelteil √2.
Addiere die Zahlenfaktoren: 2 + 3 = 5. Der Wurzelteil bleibt unverändert.
Für Summen gilt keine Regel √(a + b) = √a + √b. Gegenbeispiel: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Beispiel – Schritt für Schritt
A = 64 cm²
Gesucht ist die Seitenlänge s des Quadrats.
Für ein Quadrat gilt A = s².
Die Seitenlänge ist nichtnegativ. Ziehe die Wurzel aus der Flächenzahl; aus cm² wird cm.
Weil 8² = 64 ist, beträgt die Seitenlänge 8 cm.
Beispiel – Schritt für Schritt
A = 20 cm²
Das Quadrat hat diesmal die Fläche 20 cm².
Eine negative Seitenlänge kommt im Sachzusammenhang nicht infrage.
Zerlege 20 in 4 · 5.
Ziehe die Wurzel aus 4. Gerundet ist s ≈ 4,47 cm; für die Näherung steht ≈ statt =.
Kontrolliere durch Quadrieren: 8 cm · 8 cm = 64 cm². Beachte den Unterschied zwischen Längen- und Flächeneinheiten.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Berechne eine Quadratwurzel mit deinen Zahlen und prüfe das Ergebnis durch Quadrieren.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
11, denn 11² = 121.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
x² = 36
Gesucht sind alle reellen Zahlen, deren Quadrat 36 ergibt.
Die einzelne Quadratwurzel ist nichtnegativ.
6² = 36 und (−6)² = 36. Beide Zahlen lösen die Gleichung.
Lösung – Schritt für Schritt
√75
75 = 25 · 3. Der Faktor 25 ist eine Quadratzahl.
Nutze das Produktgesetz.
√25 = 5. Weiter lässt sich √3 nicht vereinfachen.
Kontrolle: (5√3)² = 25 · 3 = 75. Da 5√3 nichtnegativ ist, ist es der gesuchte Wurzelwert.
Lösung – Schritt für Schritt
√3 · √12
Beide Radikanden sind nichtnegativ.
Fasse die beiden Wurzeln zu einer Wurzel zusammen.
3 · 12 = 36 und √36 = 6.
Lösung – Schritt für Schritt
√12 + √27 − √3
Vereinfache zuerst die einzelnen Wurzeln.
4 ist ein Quadratzahlfaktor von 12.
9 ist ein Quadratzahlfaktor von 27.
Jetzt haben alle Summanden denselben Wurzelteil. Vor dem letzten √3 steht der Faktor 1.
Addiere beziehungsweise subtrahiere die Zahlenfaktoren. Die Zahl unter der Wurzel bleibt unverändert.
Nein. Links steht √13 ≈ 3,61, rechts 5. Wurzeln dürfen nicht über Summen aufgeteilt werden.
Erklärung wiederholen →Dein nächster Schritt
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Material ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Die Quadratwurzel ist per Definition nichtnegativ. −3 ist eine Lösung der Gleichung x² = 9, aber nicht der Wert von √9.
In den reellen Zahlen nicht. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.
Nein. Ein vereinfachter Wurzelterm ist oft die genaue Antwort. Runde nur, wenn eine Näherung verlangt oder im Sachzusammenhang sinnvoll ist.
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Suche die benachbarten Quadratzahlen unterhalb und oberhalb von 20.