1 · Berechne 4³.
Lösung und Rechenweg ansehen
4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Aus vielen gleichen Faktoren wird eine Potenz.
Verstehe Basis und Exponent, berechne Potenzwerte und wende die Potenzgesetze sicher an. Beginne mit den Grundlagen; Null und negative Exponenten findest du als Zusatzwissen.
Viermal derselbe Faktor
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
3 ist die Basis: der wiederholte Faktor.
4 ist der Exponent: die Anzahl der Faktoren.
Lernschritt 1
Basis, Exponent und Potenzwert
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren. Für einen positiven natürlichen Exponenten gibt dieser an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
Hier ist 2 die Basis, 5 der Exponent und 32 der Potenzwert. 2⁵ liest du als „zwei hoch fünf“. Bei Exponent 2 sagt man auch „zum Quadrat“, bei Exponent 3 „hoch drei“.
| Potenz | Produkt | Wert |
|---|---|---|
| 5² | 5 · 5 | 25 |
| 4³ | 4 · 4 · 4 | 64 |
| 10⁴ | 10 · 10 · 10 · 10 | 10 000 |
| 7¹ | ein Faktor 7 | 7 |
Hoch ist nicht Mal: 3⁴ bedeutet vier Faktoren 3 und ergibt 81. 3 · 4 ergibt dagegen 12.
Probier es selbst: Schreibe 6 · 6 · 6 als Potenz und berechne sie.
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Drei gleiche Faktoren 6 ergeben 6³ = 216. Erst 6 · 6 = 36, dann 36 · 6 = 216.
Passend weiterüben: Basis und Exponent auf einer Lernkarte wiederholen →
Lernschritt 2
Negative Basis: Die Klammer entscheidet
Wenn die Basis negativ ist, schreibe sie in Klammern. Die Klammer zeigt, dass das Minus zur Basis gehört.
(−3)² = (−3) · (−3) = 9
−3² = −(3 · 3) = −9
Bei einer negativen Basis und positivem ganzzahligem Exponenten gilt: Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt Plus, eine ungerade Anzahl ergibt Minus.
(−2)⁴ = 16 und (−2)³ = −8
Probier es selbst: Vergleiche (−5)² und −5².
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(−5)² = 25, weil zwei negative Faktoren miteinander multipliziert werden. −5² = −25, weil zuerst 5² berechnet wird und das Minus davor stehen bleibt.
Lernschritt 3
Potenzen in gemischten Rechnungen
Rechne Klammern zuerst. Danach berechnest du Potenzen, dann Multiplikation und Division und zuletzt Addition und Subtraktion. Bei gleichrangigen Rechenarten gehst du von links nach rechts vor.
5 + 2 · 3² = 5 + 2 · 9 = 23
(5 + 2) · 3² = 7 · 9 = 63
Probier es selbst: Berechne 40 − 2³ · 4.
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2³ = 8; 8 · 4 = 32; 40 − 32 = 8.
Lernschritt 4
Gleiche Basis: multiplizieren und dividieren
Die Regeln in den nächsten Abschnitten gelten zunächst für positive ganzzahlige Exponenten. Wo geteilt wird, muss der Nenner ungleich 0 sein.
Beim Multiplizieren Exponenten addieren
am · an = am+n
Du zählst die gleichen Faktoren zusammen: 2³ · 2² enthält drei und zwei Faktoren 2, also insgesamt fünf.
2³ · 2² = 2⁵ = 32
Beim Dividieren Exponenten subtrahieren
aman = am−n für a ≠ 0
Im Einstieg betrachten wir m > n. Gemeinsame Faktoren lassen sich kürzen: 5⁴ : 5² = 5² = 25. Für m = n oder m < n helfen die Zusatzregeln weiter unten.
Die Basis muss gleich sein. Bei 2³ · 3² darfst du die Exponenten nicht einfach addieren. Rechne die beiden Potenzwerte aus: 8 · 9 = 72.
Probier es selbst: Fasse 7² · 7³ und 6⁵ : 6² jeweils als eine Potenz zusammen.
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7² · 7³ = 7⁵. Bei der Division: 6⁵ : 6² = 6³. Die Basis bleibt jeweils erhalten.
Passend weiterüben: Potenzgesetze mit Faltblatt oder Aufgabenblatt mit Lösung üben →
Lernschritt 5
Eine Potenz potenzieren
Steht eine ganze Potenz in einer Klammer und wird erneut potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
(am)n = am·n
(2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶ = 64
Warum 3 · 2? Du hast zweimal eine Gruppe aus drei Faktoren 2. Insgesamt sind das sechs Faktoren 2.
Probier es selbst: Vereinfache (5²)³.
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Multipliziere die Exponenten: (5²)³ = 5⁶. Als Produkt: 5² · 5² · 5².
Lernschritt 6
Gleicher Exponent: Basis zusammenfassen
Bei gleichem Exponenten kannst du die Basen in einer Klammer multiplizieren beziehungsweise dividieren.
an · bn = (a · b)n
an : bn = (a : b)n für b ≠ 0
Geschickt rechnen: 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³ = 1000.
Beim Dividieren: 12² : 4² = (12 : 4)² = 3² = 9.
Probier es selbst: Berechne 4² · 25² geschickt.
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Beide Exponenten sind 2. Also (4 · 25)² = 100² = 10 000.
Lernschritt 7
Zusatzwissen: Exponent 0 und negative Exponenten
Bei Exponent 0 und negativen Exponenten erweitern wir die Bedeutung der Potenz. Die einfache Vorstellung „Anzahl der Faktoren“ reicht dann nicht mehr aus.
Exponent 0
a⁰ = 1 für a ≠ 0
Begründung: 5³ : 5³ = 1. Nach dem Quotientengesetz entsteht zugleich 5³⁻³ = 5⁰. Damit die Regel weiterhin passt, gilt 5⁰ = 1.
Negative Exponenten
a−n = 1an für a ≠ 0 und n = 1, 2, 3, …
Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert, kein negatives Ergebnis.
2−3 = 12³ = 18
Die 0 als Basis: 0³ = 0 ist erlaubt. 0 mit negativem Exponenten würde eine Division durch 0 verlangen und ist nicht definiert. Den Ausdruck 0⁰ behandeln wir in diesem Lernweg nicht als definierten Potenzwert.
Probier es selbst: Berechne 8⁰ und 10⁻².
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8⁰ = 1. Außerdem 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01.
Lernschritt 8
Fehlerdetektiv: Darf man das zusammenfassen?
Jemand behauptet: „2³ + 2² = 2⁵.“
Probier es selbst: Erkläre, warum das falsch ist.
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Die Regel zum Addieren der Exponenten gilt beim Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis. Hier werden die Potenzwerte addiert: 8 + 4 = 12. 2⁵ wäre 32.
Passend weiterüben: Potenzgesetze mit 54 Aufgaben und Lösungen vertiefen →
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Rechne zuerst selbst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Wenn etwas nicht klappt, führt dich der Link zur passenden Erklärung.
2 · Berechne (−2)⁴ und −2⁴.
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(−2)⁴ = 16; −2⁴ = −(2⁴) = −16.
Erklärung wiederholen →3 · Vereinfache 3² · 3⁴.
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Gleiche Basis: 3²⁺⁴ = 3⁶.
Erklärung wiederholen →4 · Vereinfache (2³)⁴.
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Exponenten multiplizieren: 2¹².
Erklärung wiederholen →5 · Berechne 6² : 3².
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Gleicher Exponent: (6 : 3)² = 2² = 4.
Erklärung wiederholen →6 · Zusatz: Berechne 5⁻².
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5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir bei der Orientierung. Er ersetzt keinen vollständigen Lernstandstest. Übe nach einem Fehler eine ähnliche Aufgabe und probiere den Check später erneut.
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Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Wann addiere und wann multipliziere ich die Exponenten?
Beim Produkt von Potenzen gleicher Basis addierst du die Exponenten. Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie.
Ist ein negativer Exponent ein negatives Ergebnis?
Nein. Er bedeutet den Kehrwert: 2⁻³ = 1/8. Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt unter anderem von der Basis ab.
Darf ich bei Plus die Potenzgesetze für Produkte verwenden?
Nein. Beispielsweise ist 3² + 3² = 18. Das ist nicht 3⁴ = 81. Gleiche Terme kannst du als 2 · 3² zusammenfassen.