Mathe · etwa 25–40 Minuten
Du berechnest Potenzwerte, unterscheidest Vorzeichen und Klammern und wendest die Potenzgesetze passend an.
Multiplikation, Division, negative Zahlen und Klammerregeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne die ersten beiden Potenzwerte. Fasse die dritte Aufgabe als eine Potenz zusammen.
Potenzwerte gibst du als Zahl oder Bruch ein, zum Beispiel −9 oder 1/8. Eine einzelne Potenz schreibst du mit ^, zum Beispiel 2^5 oder a^6. Hochgestellte Ziffern wie 2⁵ funktionieren ebenfalls.
02 · Verstehen
Viermal derselbe Faktor
3 ist die Basis: der wiederholte Faktor.
4 ist der Exponent: die Anzahl der Faktoren.
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren. Für einen positiven natürlichen Exponenten gibt dieser an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
Hier ist 2 die Basis, 5 der Exponent und 32 der Potenzwert. 2⁵ liest du als „zwei hoch fünf“. Bei Exponent 2 sagt man auch „zum Quadrat“, bei Exponent 3 „hoch drei“.
| Potenz | Produkt | Wert |
|---|---|---|
| 5² | 5 · 5 | 25 |
| 4³ | 4 · 4 · 4 | 64 |
| 10⁴ | 10 · 10 · 10 · 10 | 10 000 |
| 7¹ | ein Faktor 7 | 7 |
Hoch ist nicht Mal: 3⁴ bedeutet vier Faktoren 3 und ergibt 81. 3 · 4 ergibt dagegen 12.
Lösung · Schritt für Schritt
6 · 6 · 6
Multipliziere zunächst die ersten beiden Faktoren: 6 · 6 = 36.
Multipliziere 36 mit dem dritten Faktor 6.
Passend weiterüben: Basis und Exponent auf einer Lernkarte wiederholen →
Wenn die Basis negativ ist, schreibe sie in Klammern. Die Klammer zeigt, dass das Minus zur Basis gehört.
Bei einer negativen Basis und positivem ganzzahligem Exponenten gilt: Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt Plus, eine ungerade Anzahl ergibt Minus.
Lösung · Schritt für Schritt
(−5)² und −5²
Mit Klammer gehört das Minus zur Basis.
Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt.
Ohne Klammer berechnest du zuerst 5². Das Minus bleibt davor stehen.
Setze vor den Potenzwert 25 das Minuszeichen.
Rechne Klammern zuerst. Danach berechnest du Potenzen, dann Multiplikation und Division und zuletzt Addition und Subtraktion. Bei gleichrangigen Rechenarten gehst du von links nach rechts vor.
Beispiel · Schritt für Schritt
5 + 2 · 3²
Ausgangsterm ohne Klammern.
Berechne zuerst die Potenz: 3² = 9.
Multipliziere vor dem Addieren: 2 · 9 = 18.
Addiere zum Schluss 5 und 18.
Beispiel · Schritt für Schritt
(5 + 2) · 3²
Ausgangsterm mit Klammer.
Berechne zuerst die Klammer: 5 + 2 = 7.
Berechne danach die Potenz: 3² = 9.
Multipliziere zuletzt 7 und 9.
Lösung · Schritt für Schritt
40 − 2³ · 4
Berechne zuerst die Potenz: 2³ = 8.
Multipliziere danach: 8 · 4 = 32.
Subtrahiere zuletzt 32 von 40.
Die Regeln in den nächsten Abschnitten gelten zunächst für positive ganzzahlige Exponenten. Wo geteilt wird, muss der Nenner ungleich 0 sein.
Die Regel
Du zählst die gleichen Faktoren zusammen: 2³ · 2² enthält drei und zwei Faktoren 2, also insgesamt fünf.
Beispiel · Schritt für Schritt
2³ · 2²
Gleiche Basis: Zähle die drei und die zwei Faktoren zusammen.
Addiere die Exponenten; die Basis 2 bleibt erhalten.
Berechne den Wert der fünften Potenz von 2.
Die Regel
Beispiel · Schritt für Schritt
5⁴ : 5²
Im Einstieg betrachten wir m > n. Gemeinsame Faktoren lassen sich kürzen; deshalb subtrahierst du die Exponenten.
Die Basis bleibt erhalten; 4 − 2 = 2.
Berechne die verbleibende Potenz. Für m = n oder m < n helfen die Zusatzregeln weiter unten.
Die Basis muss gleich sein. Bei 2³ · 3² darfst du die Exponenten nicht einfach addieren. Rechne die beiden Potenzwerte aus: 8 · 9 = 72.
Lösung · Schritt für Schritt
7² · 7³
6⁵ : 6²
Beim Multiplizieren mit gleicher Basis addierst du die Exponenten.
Die Basis 7 bleibt erhalten.
Beim Dividieren mit gleicher Basis subtrahierst du die Exponenten.
Die Basis 6 bleibt erhalten.
Passend weiterüben: Potenzgesetze mit Faltblatt oder Aufgabenblatt mit Lösung üben →
Steht eine ganze Potenz in einer Klammer und wird erneut potenziert, werden die Exponenten multipliziert.
Die Regel
Beispiel · Schritt für Schritt
(2³)²
Der äußere Exponent 2 bedeutet: zweimal eine Gruppe aus drei Faktoren 2.
Multipliziere die Exponenten. Insgesamt sind das sechs Faktoren 2.
Berechne den neuen Exponenten: 3 · 2 = 6.
Berechne den Potenzwert.
Lösung · Schritt für Schritt
(5²)³
Der äußere Exponent 3 bedeutet drei gleiche Faktoren 5².
Multipliziere die Exponenten.
Die Basis bleibt erhalten; 2 · 3 = 6.
Bei gleichem Exponenten kannst du die Basen in einer Klammer multiplizieren beziehungsweise dividieren.
Die Regel
Die Regel
Beispiel · Schritt für Schritt
2³ · 5³
Geschickt rechnen: Bei gleichem Exponenten darfst du die Basen multiplizieren.
Berechne die neue Basis: 2 · 5 = 10.
Berechne die dritte Potenz von 10.
Beispiel · Schritt für Schritt
12² : 4²
Beim Dividieren mit gleichem Exponenten darfst du die Basen dividieren.
Berechne die neue Basis: 12 : 4 = 3.
Quadriere die neue Basis.
Lösung · Schritt für Schritt
4² · 25²
Beide Exponenten sind 2. Fasse die Basen als Produkt zusammen.
Berechne zuerst 4 · 25 = 100.
Quadriere 100.
Bei Exponent 0 und negativen Exponenten erweitern wir die Bedeutung der Potenz. Die einfache Vorstellung „Anzahl der Faktoren“ reicht dann nicht mehr aus.
Die Regel
Beispiel · Schritt für Schritt
5³ : 5³
Eine von 0 verschiedene Zahl geteilt durch sich selbst ergibt 1.
Nach dem Quotientengesetz subtrahierst du die Exponenten.
Die Differenz der Exponenten ist 0.
Damit die Regel weiterhin passt, muss die nullte Potenz hier 1 sein.
Die Regel
Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert, kein negatives Ergebnis.
Die Regel
Die 0 als Basis: 0³ = 0 ist erlaubt. 0 mit negativem Exponenten würde eine Division durch 0 verlangen und ist nicht definiert. Den Ausdruck 0⁰ behandeln wir in diesem Lernweg nicht als definierten Potenzwert.
Lösung · Schritt für Schritt
8⁰ und 10⁻²
Jede von 0 verschiedene Basis ergibt mit Exponent 0 den Wert 1.
Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert.
Berechne die Potenz im Nenner: 10² = 100.
Schreibe den Bruch als Dezimalzahl.
Jemand behauptet: „2³ + 2² = 2⁵.“
Lösung · Schritt für Schritt
2³ + 2² = 2⁵ ?
Die Regel zum Addieren der Exponenten gilt beim Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis. Berechne hier zuerst die beiden Potenzwerte.
Hier werden die Potenzwerte addiert. 2⁵ wäre dagegen 32; die behauptete Gleichheit ist also falsch.
Passend weiterüben: Potenzgesetze mit 54 Aufgaben und Lösungen vertiefen →
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Stufe 3 und die jeweils letzte Abschlussaufgabe enthalten das Zusatzwissen zu Null und negativen Exponenten.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Rechne zuerst selbst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Wenn etwas nicht klappt, führt dich der Link zur passenden Erklärung.
Lösung · Schritt für Schritt
4³
Schreibe die Potenz als Produkt aus drei gleichen Faktoren.
Multipliziere die ersten beiden Faktoren.
Multipliziere mit dem dritten Faktor.
Lösung · Schritt für Schritt
(−2)⁴ und −2⁴
Mit Klammer ist die Basis negativ. Vier negative Faktoren ergeben ein positives Produkt.
Ohne Klammer berechnest du zuerst die Potenz; das Minus bleibt davor.
Der Potenzwert ist 16, mit vorangestelltem Minus ergibt sich −16.
Lösung · Schritt für Schritt
3² · 3⁴
Gleiche Basis: Addiere beim Multiplizieren die Exponenten.
Die Basis bleibt erhalten; 2 + 4 = 6.
Lösung · Schritt für Schritt
(2³)⁴
Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten.
Die Basis bleibt erhalten; 3 · 4 = 12.
Lösung · Schritt für Schritt
6² : 3²
Gleicher Exponent: Dividiere die Basen.
Berechne die neue Basis: 6 : 3 = 2.
Quadriere die neue Basis.
Lösung · Schritt für Schritt
5⁻²
Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert.
Berechne die Potenz im Nenner: 5² = 25.
Schreibe den Bruch als Dezimalzahl.
Der Selbstcheck hilft dir bei der Orientierung. Er ersetzt keinen vollständigen Lernstandstest. Übe nach einem Fehler eine ähnliche Aufgabe und probiere den Check später erneut.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit Wurzeln das Quadrieren umkehren →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Beim Produkt von Potenzen gleicher Basis addierst du die Exponenten. Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du sie.
Nein. Er bedeutet den Kehrwert: 2⁻³ = 1/8. Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt unter anderem von der Basis ab.
Nein. Beispielsweise ist 3² + 3² = 18. Das ist nicht 3⁴ = 81. Gleiche Terme kannst du als 2 · 3² zusammenfassen.
Drei gleiche Faktoren 6 schreibst du als dritte Potenz.