Teilbarkeit, Primfaktoren, ggT & kgV einfach erklärt

Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Zahlen zerlegen. Zusammenhänge erkennen.

Finde Teiler und Vielfache, prüfe Teilbarkeitsregeln und zerlege Zahlen in Primfaktoren. Mit Rechenwegen zu ggT und kgV sowie passenden kostenlosen Arbeitsblättern.

Verstehen Arbeitsblätter & PDFs Selbstcheck

Aus einer Zahl werden Primfaktoren

60 = 2 · 30

= 2 · 2 · 15

= 2 · 2 · 3 · 5

Am Ende stehen nur Primzahlen. Multipliziere zur Probe alle Faktoren wieder miteinander.

Lernschritt 1

Teiler und Vielfache unterscheiden

Wir betrachten hier positive natürliche Zahlen. Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn bei der Division kein Rest bleibt. 18 ist durch 3 teilbar, denn 18 : 3 = 6.

Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Suche passende Paare: 1 · 12, 2 · 6 und 3 · 4.

Positive Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, … . Multipliziere 12 mit 1, 2, 3, 4 und so weiter. Bei einer Liste aller nichtnegativen Vielfachen kommt auch 0 dazu.

Merke: Eine positive Zahl hat endlich viele positive Teiler, aber unendlich viele positive Vielfache. Für das kgV suchen wir das kleinste positive gemeinsame Vielfache.

Probier es selbst: Nenne alle positiven Teiler von 18 und die ersten drei positiven Vielfachen.

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Teilerpaare: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6. Also 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Die ersten positiven Vielfachen sind 18, 36, 54.

Lernschritt 2

Die Quersumme berechnen

Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern einer natürlichen Zahl. Der Stellenwert der Ziffer spielt dabei keine Rolle.

Q(4 572) = 4 + 5 + 7 + 2 = 18

Quersumme 18 bedeutet nicht, dass die Zahl 18 ist. Du benutzt die Quersumme unter anderem zum Prüfen der Teilbarkeit durch 3 und 9.

Probier es selbst: Berechne die Quersumme von 6 084.

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6 + 0 + 8 + 4 = 18. Die 0 bleibt eine Ziffer der Zahl, trägt aber nichts zur Summe bei.

Passend weiterüben: Quersummen mit Faltblatt oder Aufgabenblatt mit Lösung üben →

Lernschritt 3

Teilbarkeit schnell prüfen

Für einige Teiler reichen bestimmte Ziffern oder die Quersumme. Die folgenden Regeln gelten für natürliche Zahlen in unserer üblichen Dezimalschreibweise.

Teilbar durch	Regel	Beispiel
2	Letzte Ziffer: 0, 2, 4, 6 oder 8	438 endet auf 8.
3	Quersumme durch 3 teilbar	438: 4 + 3 + 8 = 15.
4	Die letzten zwei Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl	1316: 16 ist durch 4 teilbar.
5	Letzte Ziffer 0 oder 5	735 endet auf 5.
6	Gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar	438 ist gerade; Quersumme 15.
8	Die letzten drei Ziffern bilden eine durch 8 teilbare Zahl	3128: 128 : 8 = 16.
9	Quersumme durch 9 teilbar	4572: Quersumme 18.
10	Letzte Ziffer 0	890 endet auf 0.

Nicht verwechseln: Die Quersumme hilft bei 3 und 9. Bei 4 und 8 prüfst du die letzten zwei beziehungsweise drei Ziffern. Für Zahlen mit weniger Stellen prüfst du die ganze Zahl.

Probier es selbst: Ist 714 durch 2, 3, 6 und 9 teilbar?

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Durch 2: ja, letzte Ziffer 4. Durch 3: ja, Quersumme 7 + 1 + 4 = 12. Durch 6: ja, weil beides gilt. Durch 9: nein, 12 ist nicht durch 9 teilbar.

Passend weiterüben: Teilbarkeitsregeln als Lernkarte nachschlagen →

Lernschritt 4

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern: 1 und sich selbst.

Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Jede größere gerade Zahl hat zusätzlich den Teiler 2.

1 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen positiven Teiler. Auch eine ungerade Zahl muss nicht prim sein: 9 = 3 · 3 und 15 = 3 · 5 sind Gegenbeispiele.

Beispiel 29: Um zu prüfen, ob 29 prim ist, reichen die Primteiler 2, 3 und 5. Ein Teilerpaar einer zusammengesetzten Zahl hätte mindestens einen Faktor höchstens √29, also kleiner als 6. 29 ist durch keinen dieser drei Teiler teilbar und daher prim.

Probier es selbst: Welche Zahlen sind prim: 1, 2, 21, 23?

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2 und 23 sind prim. 1 hat nur einen positiven Teiler; 21 = 3 · 7. Bei 23 prüfst du 2 und 3, denn √23 ist kleiner als 5.

Lernschritt 5

Eine Zahl in Primfaktoren zerlegen

Teile die Zahl schrittweise durch passende Primzahlen. Beginne mit der kleinsten möglichen Primzahl. Fahre fort, bis als letzter Quotient 1 entsteht.

Rechnung	Notierter Primfaktor
84 : 2 = 42	2
42 : 2 = 21	2
21 : 3 = 7	3
7 : 7 = 1	7

84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7

Die Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Beginne zum Beispiel mit 84 = 6 · 14 und zerlege beide Faktoren weiter: Du erhältst dieselben Primfaktoren.

Probier es selbst: Zerlege 90 vollständig in Primfaktoren.

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90 : 2 = 45; 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1.
90 = 2 · 3² · 5. Probe: 2 · 9 · 5 = 90.

Passend weiterüben: Primfaktorzerlegung mit Faltblatt oder Aufgabenblatt mit Lösung üben →

Lernschritt 6

Den größten gemeinsamen Teiler finden

Der ggT ist die größte positive Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Du brauchst ihn beispielsweise, um einen Bruch in einem Schritt vollständig zu kürzen.

Beispiel 24 und 36: Gemeinsame Teiler sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Der größte ist 12.

24 = 2³ · 3 und 36 = 2² · 3²

Mit Primfaktoren nimmst du nur die gemeinsamen Primzahlen, jeweils mit dem kleineren Exponenten:

ggT(24, 36) = 2² · 3 = 12

Beim Kürzen ergibt das 2436 = 23, wenn du oben und unten durch 12 teilst.

Probier es selbst: Finde den ggT von 18 und 30.

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18 = 2 · 3² und 30 = 2 · 3 · 5. Gemeinsam sind 2 und einmal 3. ggT(18, 30) = 6.

Lernschritt 7

Das kleinste gemeinsame Vielfache finden

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Es eignet sich als kleinster gemeinsamer Nenner bei Brüchen.

Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, … . Vielfache von 8: 8, 16, 24, … . Also kgV(6, 8) = 24.

Mit Primfaktoren nimmst du alle vorkommenden Primzahlen, jeweils mit dem größeren Exponenten:

24 = 2³ · 3 und 36 = 2² · 3²

kgV(24, 36) = 2³ · 3² = 72

Probier es selbst: Zwei Signale starten gemeinsam. Eines ertönt alle 6 Minuten, das andere alle 8 Minuten. Wann ertönen sie erstmals wieder gemeinsam?

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Gesucht ist ein gemeinsames positives Vielfaches. Nach 24 Minuten ertönen beide wieder gemeinsam. 24 : 6 = 4 und 24 : 8 = 3.

Passend weiterüben: Teilbarkeit, ggT und kgV gemischt üben →

Lernschritt 8

Fehlerdetektiv: ggT oder kgV?

Jemand schreibt: „Der ggT von 12 und 18 ist 36.“

Probier es selbst: Prüfe die Aussage.

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36 kann kein Teiler von 12 sein, weil 12 : 36 nicht ganzzahlig ist. ggT(12, 18) = 6. Die 36 ist das kgV der beiden Zahlen.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Rechne zuerst selbst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Wenn etwas nicht klappt, führt dich der Link zur passenden Erklärung.

1 · Alle positiven Teiler von 20

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Paare 1 · 20, 2 · 10, 4 · 5. Teiler: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Erklärung wiederholen →

2 · Quersumme von 8073

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8 + 0 + 7 + 3 = 18. Daher durch 3 und 9 teilbar.

Erklärung wiederholen →

3 · Ist 1248 durch 4 und 8 teilbar?

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Ja: 48 : 4 = 12 und 248 : 8 = 31.

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4 · Primfaktorzerlegung von 72

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72 = 2 · 36 = 2 · 2 · 18 = 2³ · 3².

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5 · ggT von 36 und 48

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36 = 2² · 3², 48 = 2⁴ · 3. Kleinere Exponenten: 2² · 3 = 12.

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6 · kgV von 12 und 18

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12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². Größere Exponenten: 2² · 3² = 36.

Erklärung wiederholen →

Der Selbstcheck hilft dir bei der Orientierung. Er ersetzt keinen vollständigen Lernstandstest. Übe nach einem Fehler eine ähnliche Aufgabe und probiere den Check später erneut.

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