1 · Eine Gerade hat vom Kreismittelpunkt Abstand 4 cm, der Radius ist 4 cm. Welche Geradenart liegt vor?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Tangente, weil der senkrechte Mittelpunktabstand gleich dem Radius ist.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Kreistangenten: verstehen und üben
Erkenne Tangenten am Kreis, konstruiere sie am Berührpunkt oder von einem äußeren Punkt aus und berechne Tangentenlängen. Mit Thaleskreis, Skizze und vollständigen Rechenwegen.
Radius und Tangente bilden 90°
MT ⟂ Tangente in T
Die Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt T. Der Radius zum Berührpunkt steht senkrecht auf ihr.
Lernschritt 1
Tangente, Sekante und Passante unterscheiden
Eine Gerade kann einen Kreis auf drei Arten treffen. Eine Sekante hat zwei gemeinsame Punkte mit der Kreislinie. Eine Tangente hat genau einen gemeinsamen Punkt, den Berührpunkt T. Eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt.
Eine Tangente ist eine vollständige Gerade. Wenn in einer Rechnung eine „Tangentenlänge“ gesucht ist, meint man meist die endliche Strecke von einem äußeren Punkt P bis zum Berührpunkt T.
Für einen Kreis mit Radius r und eine Gerade mit senkrechtem Abstand δ vom Mittelpunkt gilt:
- δ < r: Sekante.
- δ = r: Tangente.
- δ > r: Passante.
Gemeint ist der kürzeste Abstand, also die Lotstrecke zur Geraden. Eine beliebige schräge Verbindung vom Mittelpunkt zur Geraden eignet sich nicht für diesen Vergleich.
Lernschritt 2
Warum steht die Tangente senkrecht auf dem Radius?
Die Tangente in T ist genau die Gerade durch T, die senkrecht auf MT steht. Für jeden anderen Punkt Q auf dieser Geraden entsteht das rechtwinklige Dreieck MTQ.
MQ² = MT² + TQ² > r²
Weil MT = r und TQ > 0 ist, liegt Q außerhalb des Kreises. Die Gerade hat deshalb nur den einen gemeinsamen Punkt T mit der Kreislinie.
Diese Eigenschaft funktioniert auch umgekehrt: Ist eine Gerade Tangente in T, dann ist MT senkrecht zu ihr. Ohne Berührpunkt oder rechten Winkel darfst du eine beliebige Gerade am Kreis nicht einfach Tangente nennen.
Lernschritt 3
Eine Tangente in einem gegebenen Kreispunkt konstruieren
Gegeben sind der Kreis mit Mittelpunkt M und ein Punkt T auf seiner Kreislinie.
- Zeichne den Radius MT und verlängere ihn zur Geraden.
- Errichte in T eine Senkrechte auf dieser Geraden.
- Diese Senkrechte ist die gesuchte Tangente.
Mit dem Geodreieck kannst du den rechten Winkel direkt zeichnen. Mit Zirkel und Lineal markierst du auf der Radiusgeraden zwei Punkte im gleichen Abstand zu T. Konstruiere ihre Mittelsenkrechte: Sie geht durch T und steht senkrecht auf MT.
Kontrolle: Die Gerade muss durch T gehen und dort den Radius im rechten Winkel treffen. Ein ungefähr passender Strich neben dem Kreis reicht für eine Konstruktion nicht.
Lernschritt 4
Von einem äußeren Punkt gibt es zwei Tangenten
Für einen Punkt P außerhalb des Kreises gibt es zwei Berührpunkte T₁ und T₂. Zeichnest du die Radien zu beiden Punkten, entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke mit derselben Hypotenuse MP und gleich langen Radiusseiten.
Daher sind die Tangentenabschnitte gleich lang:
PT₁ = PT₂
Die Tangenten liegen spiegelbildlich zur Geraden MP. Liegt P auf der Kreislinie, gibt es dort genau eine Tangente. Liegt P innerhalb des Kreises, gibt es keine Tangente durch P.
Lernschritt 5
Tangenten mit dem Thaleskreis konstruieren
Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises. Die Berührpunkte sind zunächst unbekannt.
- Zeichne die Strecke MP.
- Konstruiere ihren Mittelpunkt S.
- Zeichne den Hilfskreis um S mit Radius SM. Er hat MP als Durchmesser.
- Markiere die beiden Schnittpunkte dieses Hilfskreises mit dem ursprünglichen Kreis als T₁ und T₂.
- Zeichne die Geraden PT₁ und PT₂.
Begründung: Weil T auf dem Thaleskreis über MP liegt, ist ∠MTP = 90°. Die Gerade PT steht also senkrecht auf dem Radius MT und ist eine Tangente.
Der Mittelpunkt des Hilfskreises ist S, die Mitte von MP. Er ist im Allgemeinen nicht identisch mit dem ursprünglichen Kreismittelpunkt M.
Lernschritt 6
Eine Tangentenlänge mit Pythagoras berechnen
Der Abstand vom Kreismittelpunkt M zum äußeren Punkt P beträgt d = 13 cm. Der Kreisradius ist r = 5 cm. Gesucht ist die Tangentenstrecke t = PT.
Im rechtwinkligen Dreieck MTP ist MP die Hypotenuse. Deshalb:
d² = r² + t²
t = √(d² − r²)
t = √(169 cm² − 25 cm²) = 12 cm
Beide Tangentenabschnitte von P bis zu den Berührpunkten sind somit 12 cm lang. Es gilt d > r, weil P außerhalb liegt.
Die Rechnung d − r = 8 cm würde den kürzesten Abstand von P zur Kreislinie liefern, nicht die schräge Tangentenstrecke. Das sind verschiedene Längen.
Lernschritt 7
Winkel zwischen Radius und Tangenten nutzen
Im Dreieck MTP ist der Winkel bei T gleich 90°. Beträgt der Winkel zwischen MP und MT am Mittelpunkt 50°, dann ist der Winkel zwischen PM und PT bei P:
180° − 90° − 50° = 40°
Bei den beiden Tangenten liegt PM zwischen den Strahlen PT₁ und PT₂ und halbiert deren Winkel. Der durch PM geteilte Winkel T₁PT₂ ist in diesem Beispiel also 80°.
Achte bei Winkelaufgaben auf die markierten Strahlen. Zwei sich schneidende Geraden bilden mehrere Winkel; eine ungenaue Bezeichnung kann zum falschen Ergebnis führen.
Lernschritt 8
Fehlenden Radius oder Mittelpunktabstand berechnen
Die Pythagoras-Beziehung lässt sich auch rückwärts nutzen. Sind t = 8 cm und r = 6 cm gegeben, ist:
d = √(r² + t²) = √(100 cm²) = 10 cm
Genauer mit Einheiten unter der Wurzel: √(36 cm² + 64 cm²) = 10 cm. Der äußere Punkt liegt also 10 cm vom Kreismittelpunkt entfernt.
Sind stattdessen d = 10 cm und t = 8 cm gegeben, folgt r = √(100 cm² − 64 cm²) = 6 cm.
Prüfe zum Schluss, ob d größer als r ist und ob du die gesuchte Strecke korrekt benannt hast. Die Tangentengerade selbst besitzt keine endliche Gesamtlänge.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wo liegt bei einer Kreistangente der rechte Winkel?
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Am Berührpunkt T zwischen Radius MT und Tangente.
Erklärung wiederholen →3 · Wie viele Tangenten durch einen äußeren Punkt P gibt es?
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Zwei. Die Abschnitte von P zu beiden Berührpunkten sind gleich lang.
Erklärung wiederholen →4 · Berechne t bei d = 10 cm und r = 6 cm.
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t = √(100 cm² − 36 cm²) = 8 cm.
Erklärung wiederholen →5 · Wo liegt der Mittelpunkt des Hilfskreises zur Tangentenkonstruktion?
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In der Mitte S der Strecke MP. Sein Radius ist SM, also die Hälfte von MP.
Erklärung wiederholen →6 · Der Winkel bei M im Dreieck MTP beträgt 65°. Wie groß ist der Winkel bei P?
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180° − 90° − 65° = 25°.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Warum gibt es von außen zwei Tangenten?
Der Thaleskreis über MP schneidet den ursprünglichen Kreis in zwei Berührpunkten. Beide liefern eine Senkrechte zum jeweiligen Radius.
Ist die Tangentenlänge d − r?
Nein. Für den Abschnitt vom äußeren Punkt zum Berührpunkt gilt t = √(d² − r²). d − r beschreibt den kürzesten Abstand zur Kreislinie.
Geht eine Tangente durch einen Punkt innerhalb des Kreises?
Nein. Jede Gerade durch einen inneren Punkt schneidet die Kreislinie in zwei Punkten und ist eine Sekante.