Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring: verstehen und üben

Lernschritt 1

Bogen, Sektor und Ring unterscheiden

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Seine Länge b wird etwa in cm angegeben. Ein Kreissektor ist das „Tortenstück“ zwischen zwei Radien und dem dazugehörigen Bogen. Seine Fläche A wird in cm² angegeben.

Ein Kreisring entsteht, wenn du aus einem großen Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt entfernst. Er hat einen äußeren und einen inneren Rand.

Für den vollständigen Kreis mit Radius r kennst du bereits den Umfang U = 2πr und die Fläche A = πr². Bogen und Sektor berechnest du als passende Anteile davon.

Lernschritt 2

Den richtigen Winkelanteil wählen

Ein Vollkreis hat 360°. Für einen Mittelpunktswinkel α in Grad ist sein Anteil am Vollkreis:

α360°

90° entsprechen einem Viertel, 180° einem Halbkreis und 60° einem Sechstel. Bei gleichem Radius sind Bogenlänge und Sektorfläche proportional zum Mittelpunktswinkel.

Gemeint ist der Winkel am Mittelpunkt zwischen den beiden Radien. Ein Winkel mit Scheitel auf der Kreislinie darf nicht einfach an seine Stelle gesetzt werden.

Wenn keine andere Angabe gemacht wird, verwenden wir auf dieser Seite Gradmaß und Winkel zwischen 0° und 360°. Achte darauf, ob die Aufgabe den kleineren oder größeren Bogen meint: Bei einem kleineren Winkel von 80° hat der zugehörige größere Sektor 280°.

Lernschritt 3

Eine Kreisbogenlänge berechnen

Nimm den passenden Anteil des vollständigen Kreisumfangs:

b = α360° · 2πr

Ein Kreis hat Radius r = 6 cm. Gesucht ist die Bogenlänge zu α = 60°.

b = 60°360° · 2π · 6 cm = 2π cm ≈ 6,28 cm

Die Einheit ist cm, weil eine Länge gesucht ist. Die gerade Verbindung zwischen den Bogenenden heißt Sehne. Sie ist nicht dasselbe wie der gekrümmte Bogen.

Die volle Kreislinie wäre 12π cm lang. Ein Sechstel davon sind 2π cm – damit kannst du das Ergebnis auch ohne neue Formel überprüfen.

Lernschritt 4

Sektorfläche und Sektorumfang berechnen

Für die Fläche nimmst du denselben Winkelanteil, diesmal von der Kreisfläche:

A = α360° · πr²

Mit r = 6 cm und α = 60° folgt:

A = 60°360° · π · 6² cm² = 6π cm² ≈ 18,85 cm²

Der Umfang des Tortenstücks besteht dagegen aus dem Bogen und den beiden geraden Radien:

U_Sektor = b + 2r = 2π cm + 12 cm ≈ 18,28 cm

Diese Umfangsformel gilt für einen echten Ausschnitt mit 0° < α < 360°. Bei 360° ist der Sektor ein voller Kreis: Die Radien sind dann keine äußeren Randstrecken, und der Umfang ist nur 2πr.

Lernschritt 5

Den Mittelpunktswinkel zurückrechnen

Ein Kreisbogen ist 3π cm lang, der Radius beträgt 9 cm. Welcher Winkel gehört dazu? Teile die Bogenlänge durch den Vollkreisumfang und multipliziere mit 360°:

α = b2πr · 360°

α = 3π cm18π cm · 360° = 60°

Ist stattdessen die Sektorfläche gegeben, verwendest du den Anteil an der Vollkreisfläche:

α = A_Sektorπr² · 360°

Beispiel A = 12π cm² und r = 6 cm: Der Anteil ist ein Drittel von 36π cm². Daher α = 120°. Die Einheiten im Bruch kürzen sich jeweils weg.

Lernschritt 6

Kreisringfläche und beide Randlinien berechnen

Für einen Kreisring bezeichnen wir den Außenradius mit R und den Innenradius mit r. Es gilt R > r > 0. Subtrahiere die innere Kreisfläche von der äußeren:

A_Ring = πR² − πr² = π(R² − r²)

Bei R = 5 cm und r = 2 cm ergibt sich:

A_Ring = π(25 − 4) cm² = 21π cm² ≈ 65,97 cm²

Für die gesamte Randlänge musst du beide Kreisumfänge addieren:

U_Ring = 2πR + 2πr = 14π cm ≈ 43,98 cm

Wenn nur die äußere Kante eingefasst werden soll, brauchst du dagegen ausschließlich 2πR. Entscheidend ist, welche Randlinie in der Aufgabe gemeint ist.

Die Ringbreite ist R − r = 3 cm. Die Formel π(R − r)² wäre hier falsch: Sie berechnet die Fläche eines einzelnen Kreises mit Radius 3 cm, nicht die Differenz der beiden Kreisflächen.

Lernschritt 7

Ein ringförmiger Weg als Sachaufgabe

Ein kreisförmiges Beet hat Radius 3 m. Außen herum soll ein 1 m breiter Weg angelegt werden. Gesucht ist die zu pflasternde Fläche.

Der Innenradius ist r = 3 m. Der Außenradius ergibt sich aus Beet und Wegbreite:

R = 3 m + 1 m = 4 m

A_Weg = π(4² − 3²) m² = 7π m² ≈ 21,99 m²

Die Wegbreite ist weder der Innen- noch der Außenradius. Eine Skizze hilft, die beiden Radien richtig zuzuordnen.

Die berechnete Fläche ist die geometrische Grundfläche. Wenn eine Aufgabe zusätzlichen Verschnitt oder einen Zuschlag nennt, wird dieser anschließend berücksichtigt. Ohne entsprechende Angabe erfindest du keinen Zuschlag.

Lernschritt 8

Gradmaß und Bogenmaß nicht mischen

In weiterführenden Aufgaben wird der Winkel manchmal im Bogenmaß angegeben. Dann nennen wir ihn hier φ. Ein Vollkreis entspricht 2π statt 360°.

b = r · φ; A_Sektor = 12r² · φ

Diese Kurzformeln gelten nur, wenn φ im Bogenmaß vorliegt. Für 60° ist φ = π geteilt durch 3. Mit r = 6 cm entsteht wieder b = 2π cm und A = 6π cm².

Die Zahl 60 direkt in b = r · φ einzusetzen würde ein falsches Ergebnis liefern. Kläre deshalb immer zuerst die Winkeleinheit. Für die übrigen Beispiele auf dieser Seite genügt das Gradmaß.

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Erkenne, ob eine Bogenlänge, Fläche oder Randlänge gesucht ist.
2. Bestimme Radius beziehungsweise Außen- und Innenradius. Halbiere gegebene Durchmesser.
3. Bei Sektoren: Prüfe Mittelpunktswinkel und Winkeleinheit.
4. Setze den Winkelanteil in die passende Umfangs- oder Flächenformel ein.
5. Bei Ringen: Flächen subtrahieren, benötigte Randlängen addieren.
6. Runde erst am Ende und notiere die passende Einheit.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

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Häufige Fragen