Unterscheide Bogenlänge, Sektorfläche und Kreisring. Nutze den richtigen Kreisanteil, zähle bei Umfängen alle Randstücke mit und runde erst am Ende.
Hilfreiches Vorwissen: Kreisumfang, Kreisfläche, Brüche, Wurzeln und Gleichungen umstellen.
Bestimme einen Kreisanteil, eine Bogenlänge und eine Ringfläche.
Zahlen mit Komma oder Punkt. π als pi, Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(...). Punkte als x | y. Gib exakte Werte oder die verlangte Rundung auf zwei Nachkommastellen an. Beachte die Einheit. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Seine Länge b wird etwa in cm angegeben. Ein Kreissektor ist das „Tortenstück“ zwischen zwei Radien und dem dazugehörigen Bogen. Seine Fläche A wird in cm² angegeben.
Ein Kreisring entsteht, wenn du aus einem großen Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt entfernst. Er hat einen äußeren und einen inneren Rand.
Für den vollständigen Kreis mit Radius r kennst du bereits den Umfang U = 2πr und die Fläche A = πr². Bogen und Sektor berechnest du als passende Anteile davon.
Der Winkel bestimmt den Anteil
Anteil =
Ein Winkel von 60° gehört zu einem Sechstel des Vollkreises. Derselbe Anteil gilt für die Bogenlänge und die Sektorfläche.
Ein Vollkreis hat 360°. Für einen Mittelpunktswinkel α in Grad ist sein Anteil am Vollkreis:
90° entsprechen einem Viertel, 180° einem Halbkreis und 60° einem Sechstel. Bei gleichem Radius sind Bogenlänge und Sektorfläche proportional zum Mittelpunktswinkel.
Gemeint ist der Winkel am Mittelpunkt zwischen den beiden Radien. Ein Winkel mit Scheitel auf der Kreislinie darf nicht einfach an seine Stelle gesetzt werden.
Wenn keine andere Angabe gemacht wird, verwenden wir auf dieser Seite Gradmaß und Winkel zwischen 0° und 360°. Achte darauf, ob die Aufgabe den kleineren oder größeren Bogen meint.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kleinerer Sektor; Mittelpunktswinkel 80°
Gesucht: Winkel des größeren Sektors
Beide Sektoren ergeben zusammen einen Vollkreis.
Der größere Sektor hat also einen Winkel von 280°.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der erste Kreisausschnitt ist ein Drittel des Vollkreises.
Auch Winkel über 180° können einen Kreissektor beschreiben.
Nimm den passenden Anteil des vollständigen Kreisumfangs:
b = · 2πr
Ein Kreis hat Radius r = 6 cm. Gesucht ist die Bogenlänge zu α = 60°.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreis; r = 6 cm; Mittelpunktswinkel α = 60°
Gesucht: Bogenlänge b
Der Bogen umfasst ein Sechstel des Vollkreises.
Zuerst berechnest du die Länge der gesamten Kreislinie.
Ein Sechstel des vollen Umfangs ist die gesuchte Bogenlänge.
Die Länge wird auf zwei Nachkommastellen in Zentimetern angegeben.
Die Einheit ist cm, weil eine Länge gesucht ist. Die gerade Verbindung zwischen den Bogenenden heißt Sehne. Sie ist nicht dasselbe wie der gekrümmte Bogen.
Die Rechnung über den vollen Umfang und seinen Anteil ist zugleich eine Kontrolle der Bogenformel.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Bogen umfasst ein Viertel der Kreislinie.
Nimm ein Viertel des Umfangs. Eine Bogenlänge hat die Einheit cm, nicht cm².
Für die Fläche nimmst du denselben Winkelanteil, diesmal von der Kreisfläche:
A = · πr²
Mit r = 6 cm und α = 60° folgt:
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreissektor; r = 6 cm; α = 60°
Gesucht: Sektorfläche A
Beim Quadrieren des Radius wird auch die Längeneinheit quadriert.
Für die Fläche gilt derselbe Anteil wie für den Bogen.
Der Sektor umfasst ein Sechstel der Vollkreisfläche.
Erst am Ende auf zwei Nachkommastellen runden.
Der Umfang des Tortenstücks besteht dagegen aus dem Bogen und den beiden geraden Radien:
Beispiel – Schritt für Schritt
Derselbe Sektor; r = 6 cm; α = 60°; Bogenlänge b = 2π cm
Gesucht: vollständiger Sektorumfang
Bei 0° < α < 360° besteht der Rand aus dem Bogen und zwei Radien.
Die Bogenlänge ist bereits bekannt.
Der vollständige Umfang ist größer als die Bogenlänge allein.
Diese Umfangsformel gilt für einen echten Ausschnitt mit 0° < α < 360°. Bei 360° ist der Sektor ein voller Kreis: Die Radien sind dann keine äußeren Randstrecken, und der Umfang ist nur 2πr.
Bogenlänge ist nicht Sektorumfang. Wenn du das Tortenstück komplett umranden möchtest, musst du bei einem echten Ausschnitt beide Radien mitrechnen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Für die Fläche verwendest du den Anteil der vollständigen Kreisfläche.
Die gekrümmte Randlinie ist ein Viertel des Kreisumfangs.
Zum Sektorumfang gehören der Kreisbogen und beide geraden Radien.
Ein Kreisbogen ist 3π cm lang, der Radius beträgt 9 cm. Welcher Winkel gehört dazu? Teile die Bogenlänge durch den Vollkreisumfang und multipliziere mit 360°:
α = · 360°
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreisbogen; b = 3π cm; r = 9 cm
Gesucht: Mittelpunktswinkel α
Vergleiche die gegebene Bogenlänge mit der gesamten Kreislinie.
π und die Längeneinheit kürzen sich; der Anteil ist einheitenlos.
Ein Sechstel des Vollwinkels ist der gesuchte Mittelpunktswinkel.
Ist stattdessen die Sektorfläche gegeben, verwendest du den Anteil an der Vollkreisfläche:
α = · 360°
Beispiel: A = 12π cm² und r = 6 cm.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreissektor; A = 12π cm²; r = 6 cm
Gesucht: Mittelpunktswinkel α
Die Sektorfläche wird mit der gesamten Kreisfläche verglichen.
π und cm² kürzen sich. Es bleibt ein Drittel.
Der Flächenanteil ist zugleich der Anteil am Vollwinkel.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Vergleiche die Sektorfläche mit der vollständigen Kreisfläche.
Übertrage den Flächenanteil auf die volle Drehung.
Für einen Kreisring bezeichnen wir den Außenradius mit R und den Innenradius mit r. Es gilt R > r > 0. Subtrahiere die innere Kreisfläche von der äußeren:
ARing = πR² − πr² = π(R² − r²)
Bei R = 5 cm und r = 2 cm ergibt sich:
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreisring; Außenradius R = 5 cm; Innenradius r = 2 cm
Gesucht: Ringfläche
Die innere Kreisfläche wird von der äußeren abgezogen.
Erst die Radien quadrieren, dann die Quadrate subtrahieren.
Die Ringfläche wird in Quadratzentimetern angegeben.
Für die gesamte Randlänge musst du beide Kreisumfänge addieren:
Beispiel – Schritt für Schritt
Derselbe Kreisring; R = 5 cm; r = 2 cm
Gesucht: gesamte Länge beider Randlinien
Auch die innere Kreislinie begrenzt den Ring.
Die beiden Kreisumfänge werden addiert.
Eine Randlänge hat die Einheit Zentimeter.
Wenn nur die äußere Kante eingefasst werden soll, brauchst du dagegen ausschließlich 2πR. Entscheidend ist, welche Randlinie in der Aufgabe gemeint ist.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreisring; R = 5 cm; r = 2 cm
Prüfe den Ansatz π · (R − r)²
Die Differenz der Radien ist eine Länge.
Dieser Ausdruck berechnet einen einzelnen Kreis mit Radius 3 cm.
Das Quadrat der Differenz liefert nicht die Differenz der Kreisflächen. Für den Ring gilt π(R² − r²).
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Quadriere beide Radien einzeln. (5 − 3)² wäre falsch.
Die Randlängen werden addiert. Die gleiche Maßzahl bei Fläche und Randlänge ist hier Zufall; die Einheiten unterscheiden sich.
Ein kreisförmiges Beet hat Radius 3 m. Außen herum soll ein 1 m breiter Weg angelegt werden. Gesucht ist die zu pflasternde Fläche.
Der Innenradius ist r = 3 m. Der Außenradius ergibt sich aus Beet und Wegbreite:
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreisförmiges Beet; Radius 3 m
Weg außen um das Beet; Breite 1 m
Gesucht: zu pflasternde Wegfläche
Der Weg liegt außen am Beet. Deshalb addierst du seine Breite zum Innenradius.
Die Beetfläche gehört nicht zur zu pflasternden Fläche.
Die Fläche bleibt zunächst exakt als Vielfaches von π.
Das ist die geometrische Fläche des Weges auf zwei Nachkommastellen.
Die Wegbreite ist weder der Innen- noch der Außenradius. Eine Skizze hilft, die beiden Radien richtig zuzuordnen.
Die berechnete Fläche ist die geometrische Grundfläche. Wenn eine Aufgabe zusätzlichen Verschnitt oder einen Zuschlag nennt, wird dieser anschließend berücksichtigt. Ohne entsprechende Angabe erfindest du keinen Zuschlag.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Halbiere zuerst den Durchmesser. Die Wegbreite kommt zum Innenradius hinzu.
Subtrahiere die Beetfläche von der Fläche einschließlich Weg.
In weiterführenden Aufgaben wird der Winkel manchmal im Bogenmaß angegeben. Dann nennen wir ihn hier φ. Ein Vollkreis entspricht 2π statt 360°.
b = r · φ; ASektor = r² · φ
Diese Kurzformeln gelten nur, wenn φ im Bogenmaß vorliegt. Beispiel: α = 60° und r = 6 cm.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kreis; r = 6 cm; Mittelpunktswinkel α = 60°
Gesucht: Bogenlänge und Sektorfläche über das Bogenmaß
Der Anteil am Vollwinkel bleibt gleich; im Bogenmaß hat ein Vollkreis den Wert 2π.
Setze den Winkel im Bogenmaß in b = r · φ ein.
Die Ergebnisse stimmen mit der Rechnung im Gradmaß überein.
Die Zahl 60 direkt in b = r · φ einzusetzen würde ein falsches Ergebnis liefern. Kläre deshalb immer zuerst die Winkeleinheit. Für die übrigen Beispiele auf dieser Seite genügt das Gradmaß.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Für Bogen und Sektor gibst du den Radius und den Mittelpunktswinkel in Grad ein. Beim Ring brauchst du Außen- und Innenradius. Die Bogenlänge allein ist noch nicht der Sektorumfang.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
Mittelpunktswinkel α = 45°
Gesucht: Anteil am Vollkreis
Teile den Mittelpunktswinkel durch den Vollwinkel.
Zähler und Nenner durch 45 teilen: Der Winkel gehört zu einem Achtel des Vollkreises.
Lösung – Schritt für Schritt
Kreis; r = 4 cm; α = 90°
Gesucht: Bogenlänge b
90° sind ein Viertel des Vollwinkels.
Multipliziere den Kreisumfang mit einem Viertel.
Erst das Endergebnis auf zwei Nachkommastellen runden.
Lösung – Schritt für Schritt
Kreissektor; r = 4 cm; α = 90°
Gesucht: Sektorfläche A
Die Sektorfläche ist ein Viertel der Kreisfläche.
Für eine Fläche wird der Radius quadriert.
Die Einheit lautet cm².
Lösung – Schritt für Schritt
Kreissektor; r = 4 cm; α = 90°
Gesucht: vollständiger Umfang
Zunächst benötigst du die Länge des gekrümmten Randes.
Zum Viertelkreisbogen gehören noch zwei Radien.
Die gesamte Randlänge wird in Zentimetern angegeben.
Lösung – Schritt für Schritt
Kreisring; Außenradius R = 6 cm; Innenradius r = 4 cm
Gesucht: Ringfläche
Prüfe die Zuordnung: R = 6 cm ist der größere Radius.
Die innere Kreisfläche fehlt im Ring.
Die Fläche wird auf zwei Nachkommastellen angegeben.
Lösung – Schritt für Schritt
Kreisbogen; b = π cm; r = 3 cm
Gesucht: Mittelpunktswinkel α
Der gesamte Kreisumfang ist der Vergleichswert.
Teile die Bogenlänge durch den Umfang und multipliziere mit 360°.
π und die Längeneinheiten kürzen sich.
Dein nächster Schritt
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Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Bei einem echten Kreisausschnitt kommen für den Sektorumfang zum Bogen noch zwei Radien hinzu.
Die innere Fläche fehlt im Ring. Seine innere Randlinie gehört jedoch weiterhin zur Begrenzung und wird bei der gesamten Randlänge mitgezählt.
Wenn der Winkel φ im Bogenmaß gegeben ist. Für einen Winkel in Grad verwendest du den Anteil α geteilt durch 360° am Vollkreisumfang.
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Der kleinere Sektor ist durch den Mittelpunktswinkel 80° festgelegt.