Formeln umstellen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was bedeutet eine Formel umstellen?

Eine Formel beschreibt einen Zusammenhang zwischen Größen. Beim Umstellen suchst du nicht sofort eine Zahl, sondern eine gleichwertige Schreibweise, in der eine bestimmte Größe allein steht.

Die übrigen Buchstaben behandelst du dabei zunächst als bekannte Größen. Bei U = 2a + 2b kannst du etwa die Rechteckseite a gesucht haben. Ziel ist dann eine Darstellung a = …, mit der du verschiedene Werte von U und b einsetzen kannst.

Eine Zahl oder ein Buchstabe „springt“ nicht einfach mit geändertem Vorzeichen auf die andere Seite. Hinter jedem gültigen Schritt steht eine Rechenoperation, die du auf beiden Seiten ausführst.

Lernschritt 2

Mit Gegenoperationen rückwärts arbeiten

Was mit der gesuchten Größe gemacht wird, machst du in umgekehrter Reihenfolge rückgängig:

• Addition rückgängig machen: denselben Ausdruck subtrahieren.
• Subtraktion rückgängig machen: denselben Ausdruck addieren.
• Multiplikation rückgängig machen: durch den Faktor teilen, sofern er ungleich 0 ist.
• Division rückgängig machen: mit dem Nenner multiplizieren; ursprüngliche Nenner dürfen nicht 0 sein.

Beginne häufig bei der äußersten Rechenoperation. Beispiel:

y = 3(x + 2)

y3 = x + 2

x = y3 − 2

Du teilst zuerst durch 3 und subtrahierst danach 2. Alternativ kannst du erst ausmultiplizieren; beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Lernschritt 3

Eine Formel mit mehreren Summanden umstellen

Gesucht ist a aus U = 2a + 2b. Subtrahiere zuerst 2b auf beiden Seiten:

U − 2b = 2a

Teile anschließend die gesamte linke und rechte Seite durch 2:

a = U − 2b2 = U2 − b

Setze zur Kontrolle U = 30 cm und b = 5 cm ein. Dann ergibt sich a = 15 cm − 5 cm = 10 cm. In der Ausgangsformel: 2 · 10 cm + 2 · 5 cm = 30 cm.

Lernschritt 4

Wenn die gesuchte Größe im Nenner steht

Für eine Bewegung mit positiver Strecke s, positiver Dauer t und positiver Geschwindigkeit v gilt:

v = st

Gesucht ist die Zeit t. Multipliziere beide Seiten mit t:

v · t = s

Teile anschließend durch v. Wegen v > 0 ist das erlaubt:

t = sv

Beispiel: s = 150 km und v = 60 km/h. Dann ist t = 2,5 h. Das entspricht 2 Stunden und 30 Minuten, nicht 2 Stunden und 50 Minuten.

Bei v = 0 darfst du die umgestellte Formel nicht verwenden. Für die hier vorausgesetzte positive Strecke kann eine Geschwindigkeit von 0 keine endliche Fahrzeit liefern.

Lernschritt 5

Eine Formel mit einer Klammer umstellen

Die Trapezfläche lautet A = (a + c) · h geteilt durch 2. Gesucht ist c. Die Höhe h sei positiv.

A = (a + c) · h2

2A = (a + c) · h

2Ah = a + c

c = 2Ah − a

Probe mit A = 24 cm², h = 4 cm und a = 5 cm: c = 12 cm − 5 cm = 7 cm. Rückwärts eingesetzt: (5 + 7) · 4 geteilt durch 2 ergibt 24 cm².

Ein algebraisch errechneter negativer Wert für c wäre als Seitenlänge nicht möglich. Neben dem Umstellen musst du daher auch den Sachzusammenhang prüfen.

Lernschritt 6

Wenn die gesuchte Größe mehrfach vorkommt

In A = ax + bx kommt x zweimal vor. Fasse die beiden Terme durch Ausklammern zusammen:

A = x(a + b)

Falls a + b ≠ 0 gilt, kannst du durch die gesamte Klammer teilen:

x = Aa + b

Beispiel A = 35, a = 2 und b = 5: x = 5. Kontrolle: 2 · 5 + 5 · 5 = 35.

Der Sonderfall a + b = 0 braucht eine eigene Betrachtung. Dann lautet die Ausgangsgleichung A = 0. Ist A ≠ 0, gibt es keine Lösung für x. Ist A = 0, ist jedes im jeweiligen Kontext erlaubte x eine Lösung.

Lernschritt 7

Quadrate und Wurzeln richtig behandeln

Für eine Kreisfläche gilt A = πr². Gesucht ist der Radius r. Teile durch π:

r² = Aπ

Da ein Radius positiv ist, nimmst du die positive Quadratwurzel:

r = √(Aπ)

Für A = 49π cm² folgt r = 7 cm. Der negative Wert −7 cm ist kein Radius.

Ohne eine solche Vorzeichenbedingung musst du genauer sein: Aus x² = q folgen für q > 0 zwei Lösungen x = ±√q. Für q = 0 gibt es x = 0, für q < 0 keine reelle Lösung. Allgemein gilt √(x²) = |x| und nicht automatisch x.

Lernschritt 8

Vor dem Teilen auf Null prüfen

Willst du y = mx + b nach x umstellen, erhältst du zunächst y − b = mx. Nur für m ≠ 0 folgt:

x = y − bm

Für m = 0 lautet die Ausgangsgleichung dagegen y = b. Ist diese Aussage wahr, ist jedes erlaubte x möglich. Ist sie falsch, gibt es kein x, das sie erfüllen kann.

Du musst nicht bei jeder Zahlenaufgabe lange Fallunterscheidungen schreiben. Bei allgemeinen Buchstabenformeln gehört aber die Bedingung dazu, wenn du durch einen möglicherweise verschwindenden Ausdruck teilst.

Lernschritt 9

Mit Einheiten und Rückeinsetzen kontrollieren

Prüfe zuerst, ob die gesuchte Größe wirklich allein steht und auf der anderen Seite nicht nochmals vorkommt. Notiere nötige Bedingungen wie h > 0 oder m ≠ 0.

Kontrolliere dann die Einheiten. Bei t = s geteilt durch v ergeben Kilometer geteilt durch Kilometer pro Stunde die Einheit Stunden. Bei a = U geteilt durch 2 minus b werden zwei Längen subtrahiert – das passt.

Zum Schluss kannst du passende Zahlen einsetzen und das Ergebnis in der ursprünglichen Formel prüfen. Diese Probe hilft, Vorzeichen- und Klammerfehler zu finden. Eine einzelne Zahlenprobe ersetzt allerdings keine korrekt begründete allgemeine Umformung.

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