Wurzelgleichungen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was ist eine Wurzelgleichung?

In einer Wurzelgleichung steht die gesuchte Variable unter mindestens einem Wurzelzeichen. Hier behandeln wir Quadratwurzeln und suchen reelle Lösungen.

√(2x + 1) = 5

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Radikand. Eine reelle Quadratwurzel ist nur für einen Radikanden größer oder gleich 0 definiert. Ihr Wert ist immer nichtnegativ.

Das ist ein wichtiger Unterschied: √9 ist genau 3. Die Gleichung x² = 9 hat dagegen zwei Lösungen, nämlich 3 und −3. Vor eine bereits vorhandene Quadratwurzel setzt du also nicht einfach ein zusätzliches ±.

Lernschritt 2

Erlaubte Werte und Vorzeichen prüfen

Setze jeden Radikanden größer oder gleich 0. Bei √(2x + 1) muss 2x + 1 ≥ 0 gelten, also x ≥ −0,5.

Steht eine Wurzel im Nenner, muss dieser zusätzlich ungleich 0 sein. Für den Ausdruck

1√(x − 2)

ist deshalb x > 2 nötig. x = 2 wäre zwar für die Wurzel selbst erlaubt, würde aber den Nenner 0 machen.

Unterscheide die Definitionsmenge von weiteren notwendigen Bedingungen der Gleichung. Bei √(x + 6) = x ist die Wurzel für x ≥ −6 definiert. Eine Lösung muss zusätzlich x ≥ 0 erfüllen, weil die linke Seite nicht negativ werden kann.

Lernschritt 3

Zuerst die Wurzel allein stellen

Betrachte √(2x + 1) + 3 = 8. Subtrahiere zuerst auf beiden Seiten 3. Erst dann quadrierst du:

√(2x + 1) = 5

2x + 1 = 25 → 2x = 24 → x = 12

Der Wert 12 liegt in der Definitionsmenge x ≥ −0,5. Probe in der ursprünglichen Gleichung:

√(2 · 12 + 1) + 3 = √25 + 3 = 8

Die rechte Seite ist ebenfalls 8. Damit lautet die Lösungsmenge L = {12}.

Durch das vorherige Isolieren bleibt die Rechnung kurz. Wenn du eine Summe mit Wurzel sofort quadrierst, brauchst du die binomische Formel und erhältst zusätzliche Terme.

Lernschritt 4

Warum beim Quadrieren Scheinlösungen entstehen

Gleiche Zahlen haben gleiche Quadrate. Umgekehrt können aber auch verschiedene Zahlen dasselbe Quadrat haben: 3² = (−3)². Quadrieren kann deshalb eine Vorzeicheninformation verlieren.

Wir lösen das Einstiegsbeispiel:

√(x + 6) = x

Die Definitionsmenge ist x ≥ −6. Wegen der nichtnegativen linken Seite kommt nur x ≥ 0 als Lösung infrage. Nach dem Quadrieren:

x + 6 = x² → x² − x − 6 = 0

(x − 3)(x + 2) = 0

Die umgeformte Gleichung liefert x = 3 und x = −2. Jetzt prüfst du beide im Original:

x = 3: √9 = 3 ✓

x = −2: √4 = 2 ≠ −2

−2 ist eine Scheinlösung. Sie ist zwar in der Definitionsmenge, erfüllt aber die ursprüngliche Gleichung nicht. Nur x = 3 bleibt übrig: L = {3}.

Lernschritt 5

Eine Summe auf der anderen Seite richtig quadrieren

Bei √(x + 1) = x − 1 ist der Radikand für x ≥ −1 erlaubt. Zusätzlich muss x − 1 ≥ 0 sein, also x ≥ 1 für jede Lösung.

Beim Quadrieren der rechten Seite brauchst du die binomische Formel:

x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1

0 = x² − 3x = x(x − 3)

Die Kandidaten sind 0 und 3. x = 0 erfüllt die notwendige Bedingung x ≥ 1 nicht: Im Original stünde 1 = −1. Für x = 3 gilt √4 = 2 = 3 − 1. Daher L = {3}.

Der Fehler (x − 1)² = x² − 1 würde eine andere Gleichung erzeugen. Quadriere immer die gesamte Seite einschließlich aller Summanden.

Lernschritt 6

Eine Gleichung mit zwei Wurzeln lösen

Es ist möglich, dass nach einem Quadrieren noch eine Wurzel übrig bleibt. Entscheidend ist, sie anschließend wieder zu isolieren.

√(x + 5) = √x + 1

Beide Wurzeln sind für x ≥ 0 definiert. Quadriere beide Seiten und beachte rechts die binomische Formel:

x + 5 = x + 2√x + 1

4 = 2√x → √x = 2 → x = 4

Probe: √(4 + 5) = 3 und √4 + 1 = 3. Also L = {4}.

Eine Summe von Wurzeln darfst du nicht durch eine einzige Wurzel über der Summe ersetzen. Im Allgemeinen ist √a + √b nicht gleich √(a + b).

Lernschritt 7

Manchmal erkennst du sofort: keine Lösung

Betrachte √(x + 4) = −2. Der Radikand wäre für x ≥ −4 erlaubt. Eine Quadratwurzel kann aber nicht −2 ergeben. Deshalb gibt es keine reelle Lösung: L = ∅.

Blindes Quadrieren würde x + 4 = 4 und damit x = 0 liefern. Die Probe zeigt sofort den Fehler: √4 = 2, nicht −2.

Prüfe deshalb vor jeder längeren Rechnung die Vorzeichen. Eine kurze Überlegung kann die gesamte Rechnung ersparen.

Lernschritt 8

Dein sicherer Rechenplan

1. Notiere die Definitionsmenge aus allen Radikanden und Nennern.
2. Prüfe zusätzliche Vorzeichenbedingungen.
3. Isoliere eine Wurzel.
4. Quadriere beide vollständigen Seiten; beachte Klammern und binomische Formeln.
5. Falls nötig: Isoliere die nächste Wurzel und quadriere erneut.
6. Löse die entstandene Gleichung.
7. Prüfe jeden Kandidaten in der ursprünglichen Gleichung und gib nur echte Lösungen an.

Wenn du sicherstellst, dass beide Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren auf diesem eingeschränkten Bereich umkehrbar. Die Probe bleibt eine hilfreiche Kontrolle gegen Rechenfehler.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

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Häufige Fragen