1 · Löse x² = 49.
Lösung und Rechenweg ansehen
L = {−7; 7}. Beide Zahlen ergeben beim Quadrieren 49.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Quadratische Gleichungen
Du wählst eine passende Lösungsmethode und bestimmst alle reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung.
Voraussetzungen ansehen
Du kannst Terme umformen, einfache Gleichungen lösen und kennst Quadrate und Wurzeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Bestimme jeweils alle reellen Lösungen. Schreibe zwei Lösungen getrennt durch ein Semikolon, zum Beispiel −3; 3.
Zwei Lösungen: −3; 3. Eine Lösung: 0. Keine reelle Lösung: keine. Brüche: 2/3. Wurzeln: sqrt(5) oder √5. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt; gerundet bitte mindestens vier Nachkommastellen.
02 · Verstehen
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine Gleichung – bis zu zwei reelle Lösungen
x² − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 oder x = 3. Beide Zahlen erfüllen die ursprüngliche Gleichung.
Eine quadratische Gleichung lässt sich in die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 bringen. Die höchste Potenz der Unbekannten ist dabei x². Gesucht sind alle Zahlen, für die beide Seiten der Gleichung übereinstimmen.
Auf dieser Seite rechnen wir mit reellen Zahlen. Eine quadratische Gleichung kann zwei verschiedene reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung oder keine reelle Lösung haben. Wir notieren die Lösungen als Lösungsmenge L.
| Gleichung | Lösungsmenge |
|---|---|
| x² = 9 | L = {−3; 3} |
| x² = 0 | L = {0} |
| x² = −9 | L = ∅, keine reelle Lösung |
Die Wurzel √9 ist die nichtnegative Zahl 3. Die Gleichung x² = 9 hat trotzdem zwei Lösungen, denn auch (−3)² = 9.
Welche Methode passt zur Gleichung?
| Form nach dem Vereinfachen | Günstiger Einstieg | Beispiel |
|---|---|---|
| x² = r oder (x − d)² = r | Wurzelziehen | (x − 2)² = 9 |
| ax² + bx = 0 | x ausklammern, Nullproduktregel | x² − 5x = 0 |
| Produkt = 0 | Jeden Faktor gleich 0 setzen | (x − 2)(x + 3) = 0 |
| x² + px + q = 0 | p-q-Formel oder quadratische Ergänzung | x² + 6x + 5 = 0 |
| ax² + bx + c = 0 | Mitternachtsformel | 2x² − 3x − 2 = 0 |
Vereinfache zuerst beide Seiten und löse Klammern auf. Für Nullproduktregel und Lösungsformeln muss auf einer Seite 0 stehen. Du brauchst nicht für jede Aufgabe die längste Formel: Suche zuerst nach einer einfachen Struktur.
Durch Wurzelziehen lösen
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse durch Wurzelziehen
2x² − 18 = 0
Beispiel: 2x² − 18 = 0. Addiere 18 und teile durch 2:
2x² = 18
1 Auf beiden Seiten +18
Addiere 18 auf beiden Seiten.
x² = 9
2 Auf beiden Seiten : 2
Teile die gesamte Gleichung durch 2.
x = 3 oder x = −3
3 Beide Wurzelfälle
3² und (−3)² ergeben jeweils 9.
Das Zeichen ± bedeutet hier zwei Möglichkeiten: x = 3 oder x = −3. Also L = {−3; 3}.
Bei einer quadrierten Klammer gehst du genauso vor:
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse beide Wurzelfälle
(x − 2)² = 9
Ausgangsgleichung
Die gesamte Klammer wird quadriert.
x − 2 = 3
oder x − 2 = −3
oder x − 2 = −3
1 Zwei Fälle
Beide Vorzeichen sind möglich.
x = 5 oder x = −1
2 Auf beiden Seiten +2
Löse jeden Fall einzeln: 3 + 2 = 5 und −3 + 2 = −1.
Daraus folgen x = 5 oder x = −1. Ist die rechte Seite nach dem Freistellen 0, gibt es nur eine Lösung. Ist sie negativ, gibt es keine reelle Lösung.
Probier es selbst: Löse (x + 1)² = 16.
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme alle reellen Lösungen
(x + 1)² = 16
Ausgangsgleichung
Gesucht sind alle reellen Lösungen.
x + 1 = 4
oder x + 1 = −4
oder x + 1 = −4
1 Wurzelfälle bilden
Beide Zahlen ergeben beim Quadrieren 16.
x = 3 oder x = −5
2 Jeweils 1 abziehen
L = {−5; 3}.
Ausklammern und die Nullproduktregel
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb wird aus (x − 2)(x + 3) = 0 die Fallunterscheidung x − 2 = 0 oder x + 3 = 0. Die Lösungen sind 2 und −3.
Fehlt das konstante Glied, kannst du häufig x ausklammern:
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse mit der Nullproduktregel
x² − 5x = 0
Ausgangsgleichung
Beide Summanden enthalten x.
x(x − 5) = 0
1 x ausklammern
Schreibe die linke Seite als Produkt.
x = 0 oder x − 5 = 0
2 Nullproduktregel
Mindestens ein Faktor muss 0 sein.
L = {0; 5}
3 Beide Fälle lösen
Die Lösung 0 bleibt erhalten. Aus x − 5 = 0 folgt x = 5.
Teile diese Gleichung nicht einfach durch x. Damit würdest du x = 0 ausschließen und eine Lösung verlieren. Die Nullproduktregel gilt für ein Produkt gleich 0, nicht für eine Summe wie x + 5 = 0.
Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt
Lösungsweg · Quadratische Ergänzung
Löse mit quadratischer Ergänzung
x² + 6x + 5 = 0
Ausgangsgleichung
Vor x² steht bereits der Faktor 1.
Wir lösen x² + 6x + 5 = 0. Ziel ist eine binomische Formel. Die Hälfte von 6 ist 3; ihr Quadrat ist 9.
x² + 6x = −5
1 Auf beiden Seiten −5
Bringe die Konstante nach rechts.
x² + 6x + 9 = 4
2 Auf beiden Seiten +9
Halbiere 6 und quadriere: (6 : 2)² = 9. Rechts ergibt −5 + 9 den Wert 4.
(x + 3)² = 4
3 Binomische Formel
x² + 6x + 9 ist das Quadrat von x + 3.
x + 3 = 2
oder x + 3 = −2
oder x + 3 = −2
4 Beide Wurzelfälle
Berücksichtige beide Vorzeichen.
x = −1 oder x = −5
5 Jeweils 3 abziehen
L = {−5; −1}.
Die Ergänzung verändert die Lösung nicht, weil auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert wird. Steht vor x² ein Faktor, teile die Gleichung zuerst durch diesen Faktor.
Die p-q-Formel anwenden
Die p-q-Formel gilt für die normierte Form x² + px + q = 0. Vor x² muss also 1 stehen.
Die Regel
x = − ± √(()² − q)
Gleiche Aufgabe · Mit der p-q-Formel
Löse mit der p-q-Formel
x² + 6x + 5 = 0
Für x² + 6x + 5 = 0 sind p = 6 und q = 5:
p = 6; q = 5
1 Koeffizienten ablesen
Die Gleichung steht in der normierten Form x² + px + q = 0.
x = −3 ± √(9 − 5)
2 In die Formel einsetzen
−p/2 = −3 und (p/2)² = 9.
x = −3 ± 2
3 Wurzel berechnen
9 − 5 = 4 und √4 = 2.
x = −1 oder x = −5
4 Fälle ausrechnen
−3 + 2 = −1 und −3 − 2 = −5.
Wieder erhältst du −1 und −5. Bei 2x² − 6x + 4 = 0 musst du zunächst durch 2 teilen: x² − 3x + 2 = 0. Erst danach liest du p = −3 und q = 2 ab.
Übernimm Vorzeichen mit: In x² − 3x + 2 = 0 ist p = −3. Dann ist − = +1,5. Schreibe negative Werte beim Einsetzen in Klammern.
Die Mitternachtsformel für die allgemeine Form
Für ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 gilt die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt. Der gesamte Ausdruck −b ± √(b² − 4ac) wird durch 2a geteilt:
Die Regel
x =
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse mit der Mitternachtsformel
2x² − 3x − 2 = 0
Beispiel: 2x² − 3x − 2 = 0. Hier sind a = 2, b = −3 und c = −2. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D.
a = 2; b = −3; c = −2
1 Vorzeichen übernehmen
Lies die Koeffizienten aus 2x² − 3x − 2 = 0 ab.
D = (−3)² − 4 · 2 · (−2)
2 Diskriminante ansetzen
Setze negative Koeffizienten in Klammern ein.
D = 9 + 16 = 25
3 Ausrechnen
Der zweite Term ist positiv: −4 · 2 · (−2) = 16.
x =
4 In die Lösungsformel einsetzen
−b = 3 und 2a = 4. Der gesamte Zähler wird durch 4 geteilt.
x₁ = = 2
x₂ = = −0,5
x₂ = = −0,5
5 Zwei Fälle berechnen
√25 = 5. Verwende einmal +5 und einmal −5.
| Diskriminante | Reelle Lösungen |
|---|---|
| D > 0 | zwei verschiedene Lösungen |
| D = 0 | eine Lösung, auch doppelte Lösung genannt |
| D < 0 | keine reelle Lösung |
Beispiel ohne reelle Lösung: x² + x + 1 = 0 hat D = 1 − 4 = −3. In der p-q-Formel entscheidet entsprechend das Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel.
Lösungen prüfen und Sachaufgaben deuten
Setze jede gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Für 2x² − 3x − 2 = 0 ergibt die Probe mit x = −0,5: 2 · 0,25 + 1,5 − 2 = 0.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie lang und wie breit ist das Rechteck?
A = 40 cm²
Länge = Breite + 3 cm
Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat eine Fläche von 40 cm². Gesucht sind seine Seitenlängen.
x(x + 3) = 40
1 Modell aufstellen
Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat 40 cm² Fläche. x ist die Breite in cm; x + 3 die Länge. Es muss x > 0 gelten.
x² + 3x = 40
2 Ausmultiplizieren
Multipliziere x mit beiden Klammerteilen.
x² + 3x − 40 = 0
3 Auf beiden Seiten −40
Für die Nullproduktregel brauchst du rechts 0.
(x + 8)(x − 5) = 0
4 Faktorisieren
8 + (−5) = 3 und 8 · (−5) = −40.
x = −8 oder x = 5
5 Nullproduktregel
Setze jeden Faktor einzeln gleich 0.
Breite: 5 cm
Länge: 8 cm
Länge: 8 cm
6 Sachzusammenhang beachten
Eine negative Breite ist nicht möglich. Deshalb bleibt x = 5; die Länge ist 5 + 3 = 8.
Die Probe lautet 5 · 8 = 40. Unterscheide also zwischen den Lösungen der Gleichung und den im Sachzusammenhang zulässigen Antworten.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Gesucht sind immer alle reellen Lösungen. Eine doppelte Lösung brauchst du nur einmal einzugeben.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Weitere Aufgaben auf Papier
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Löse x² + 4x = 0.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse durch Ausklammern
x² + 4x = 0
Ausgangsgleichung
Beide Summanden enthalten x.
x(x + 4) = 0
1 Ausklammern
Klammere x aus.
x = 0 oder x + 4 = 0
2 Nullproduktregel
Mindestens ein Faktor ist 0.
L = {−4; 0}
3 Lösungen sammeln
Aus x + 4 = 0 folgt x = −4.
3 · Löse (x − 3)² = 4.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse durch Wurzelziehen
(x − 3)² = 4
Ausgangsgleichung
Die Klammer ist bereits freigestellt.
x − 3 = 2
oder x − 3 = −2
oder x − 3 = −2
1 Beide Vorzeichen
√4 = 2, aber beide Wurzelfälle sind zu berücksichtigen.
x = 5 oder x = 1
2 Jeweils +3
L = {1; 5}.
4 · Löse 2x² − 8x + 6 = 0 mit der p-q-Formel.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse mit der p-q-Formel
2x² − 8x + 6 = 0
Ausgangsgleichung
Vor x² steht noch der Faktor 2.
x² − 4x + 3 = 0
1 Normieren: beide Seiten : 2
Teile jeden Summanden durch 2. Jetzt gilt p = −4 und q = 3.
x = 2 ± √(4 − 3)
2 p-q-Formel
−p/2 = 2 und (p/2)² = (−2)² = 4.
x = 2 ± 1
3 Wurzel berechnen
√1 = 1.
L = {1; 3}
4 Fälle lösen und prüfen
2 − 1 = 1 und 2 + 1 = 3. Probe in der ursprünglichen Gleichung: 2 − 8 + 6 = 0 und 18 − 24 + 6 = 0.
5 · Löse 3x² + x − 2 = 0 mit der Mitternachtsformel.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse mit der Mitternachtsformel und prüfe
3x² + x − 2 = 0
a = 3; b = 1; c = −2
1 Koeffizienten ablesen
Die Gleichung lautet 3x² + x − 2 = 0.
D = 1² − 4 · 3 · (−2) = 25
2 Diskriminante
D ist positiv: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.
x =
3 Mitternachtsformel
Der Nenner ist 2a = 6.
x₁ = =
x₂ = = −1
x₂ = = −1
4 Beide Fälle berechnen
√25 = 5. Kürze im Plusfall 4/6 zu 2/3.
3 − 1 − 2 = 0
+ − 2 = 0
+ − 2 = 0
5 Beide Lösungen prüfen
Setze zuerst −1 und dann 2/3 in die ursprüngliche Gleichung ein. Beide Proben stimmen.
6 · Wie viele reelle Lösungen haben (x − 2)² = 0 und (x − 2)² = −1? Begründe ohne Lösungsformel.
Lösung und Rechenweg ansehen
Erste Gleichung: Ein Quadrat ist genau dann 0, wenn seine Basis 0 ist. Also x − 2 = 0 und L = {2}. Das ist eine doppelte Lösung, aber nur eine Zahl in der Lösungsmenge.
Zweite Gleichung: Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ. Daher ist L = ∅.
Hier ist die Quadratstruktur bereits sichtbar. Wurzelziehen beziehungsweise die Überlegung zum Vorzeichen führt direkt zum Ergebnis.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Wie möchtest du weiterlernen?
Passende Materialien zum Thema „Quadratische Gleichungen“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Kostenlos · Materialien & Erklärung
Kostenlos weiterüben
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
Arbeitsblatt Quadratische Ergänzung – PDF gratis mit Lösungen
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
Mitternachtsformel – Quadratische Gleichungen lösen – Lernkarte (kostenloses PDF)
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
Mitternachtsformel Arbeitsblatt – PDF kostenlos mit Lösungen
8. Klasse · 7. Klasse · 9. Klasse
Produkt genauer ansehen →
Quadratische Ergänzung – Quadratische Gleichungen lösen – Lernkarte (kostenloses PDF)
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
Optional ergänzen
Bei Bedarf vertiefen
Optionale Ergänzungen zum Üben und Nachschlagen. Klassenstufe und Umfang findest du beim jeweiligen Produkt.
Wähle aus, was dir hilft0,00 € EUR
Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
Dranbleiben
Dein nächster Lernschritt
Noch unsicher?
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Schon sicher?
Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Parabeln und Nullstellen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Sind p-q-Formel und Mitternachtsformel gleichwertig?
Ja. Die p-q-Formel ist auf die normierte Form zugeschnitten. Die Mitternachtsformel berücksichtigt auch einen Vorfaktor a ≠ 1 direkt.
Warum bekomme ich manchmal zwei Lösungen?
Beim Quadrieren können zwei verschiedene Zahlen denselben Wert ergeben. Ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt, hängt von der Gleichung ab.
Muss ich immer eine Formel verwenden?
Nein. Bei einfachen Formen sind Wurzelziehen, Ausklammern oder Faktorisieren oft kürzer. Prüfe anschließend alle Lösungen.
Stelle zuerst x² frei.