1 · Löse x² = 49.
Lösung und Rechenweg ansehen
L = {−7; 7}. Beide Zahlen ergeben beim Quadrieren 49.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Quadratische Gleichungen: verstehen und üben
Löse quadratische Gleichungen Schritt für Schritt: mit Wurzelziehen, Ausklammern, quadratischer Ergänzung, p-q-Formel und Mitternachtsformel. Finde die passende Methode und prüfe deine Lösungen.
Eine Gleichung – bis zu zwei reelle Lösungen
x² − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 oder x = 3. Beide Zahlen erfüllen die ursprüngliche Gleichung.
Lernschritt 1
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung lässt sich in die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 bringen. Die höchste Potenz der Unbekannten ist dabei x². Gesucht sind alle Zahlen, für die beide Seiten der Gleichung übereinstimmen.
Auf dieser Seite rechnen wir mit reellen Zahlen. Eine quadratische Gleichung kann zwei verschiedene reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung oder keine reelle Lösung haben. Wir notieren die Lösungen als Lösungsmenge L.
| Gleichung | Lösungsmenge |
|---|---|
| x² = 9 | L = {−3; 3} |
| x² = 0 | L = {0} |
| x² = −9 | L = ∅, keine reelle Lösung |
Die Wurzel √9 ist die nichtnegative Zahl 3. Die Gleichung x² = 9 hat trotzdem zwei Lösungen, denn auch (−3)² = 9.
Lernschritt 2
Welche Methode passt zur Gleichung?
| Form nach dem Vereinfachen | Günstiger Einstieg | Beispiel |
|---|---|---|
| x² = r oder (x − d)² = r | Wurzelziehen | (x − 2)² = 9 |
| ax² + bx = 0 | x ausklammern, Nullproduktregel | x² − 5x = 0 |
| Produkt = 0 | Jeden Faktor gleich 0 setzen | (x − 2)(x + 3) = 0 |
| x² + px + q = 0 | p-q-Formel oder quadratische Ergänzung | x² + 6x + 5 = 0 |
| ax² + bx + c = 0 | Mitternachtsformel | 2x² − 3x − 2 = 0 |
Vereinfache zuerst beide Seiten und löse Klammern auf. Für Nullproduktregel und Lösungsformeln muss auf einer Seite 0 stehen. Du brauchst nicht für jede Aufgabe die längste Formel: Suche zuerst nach einer einfachen Struktur.
Lernschritt 3
Durch Wurzelziehen lösen
Beispiel: 2x² − 18 = 0. Addiere 18 und teile durch 2:
2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3
Das Zeichen ± bedeutet hier zwei Möglichkeiten: x = 3 oder x = −3. Also L = {−3; 3}.
Bei einer quadrierten Klammer gehst du genauso vor:
(x − 2)² = 9 → x − 2 = ±3
Daraus folgen x = 5 oder x = −1. Ist die rechte Seite nach dem Freistellen 0, gibt es nur eine Lösung. Ist sie negativ, gibt es keine reelle Lösung.
Probier es selbst: Löse (x + 1)² = 16.
Lösung ansehen
x + 1 = 4 oder x + 1 = −4. Also x = 3 oder x = −5.
Lernschritt 4
Ausklammern und die Nullproduktregel
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. Deshalb wird aus (x − 2)(x + 3) = 0 die Fallunterscheidung x − 2 = 0 oder x + 3 = 0. Die Lösungen sind 2 und −3.
Fehlt das konstante Glied, kannst du häufig x ausklammern:
x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0
Also x = 0 oder x − 5 = 0. Damit ist L = {0; 5}.
Teile diese Gleichung nicht einfach durch x. Damit würdest du x = 0 ausschließen und eine Lösung verlieren. Die Nullproduktregel gilt für ein Produkt gleich 0, nicht für eine Summe wie x + 5 = 0.
Lernschritt 5
Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt
Wir lösen x² + 6x + 5 = 0. Ziel ist eine binomische Formel. Die Hälfte von 6 ist 3; ihr Quadrat ist 9.
- Bringe die Konstante nach rechts: x² + 6x = −5.
- Addiere auf beiden Seiten 9: x² + 6x + 9 = 4.
- Fasse die linke Seite zusammen: (x + 3)² = 4.
- Ziehe die Wurzel mit beiden Vorzeichen: x + 3 = ±2.
- Löse beide Fälle: x = −1 oder x = −5.
Die Ergänzung verändert die Lösung nicht, weil auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert wird. Steht vor x² ein Faktor, teile die Gleichung zuerst durch diesen Faktor.
Lernschritt 6
Die p-q-Formel anwenden
Die p-q-Formel gilt für die normierte Form x² + px + q = 0. Vor x² muss also 1 stehen.
x = − ± √(()² − q)
Für x² + 6x + 5 = 0 sind p = 6 und q = 5:
x = −3 ± √(9 − 5) = −3 ± 2
Wieder erhältst du −1 und −5. Bei 2x² − 6x + 4 = 0 musst du zunächst durch 2 teilen: x² − 3x + 2 = 0. Erst danach liest du p = −3 und q = 2 ab.
Übernimm Vorzeichen mit: In x² − 3x + 2 = 0 ist p = −3. Dann ist − = +1,5. Schreibe negative Werte beim Einsetzen in Klammern.
Lernschritt 7
Die Mitternachtsformel für die allgemeine Form
Für ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 gilt die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt. Der gesamte Ausdruck −b ± √(b² − 4ac) wird durch 2a geteilt:
x =
Beispiel: 2x² − 3x − 2 = 0. Hier sind a = 2, b = −3 und c = −2. Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D.
D = (−3)² − 4 · 2 · (−2) = 25
x =
Also x = 2 oder x = −0,5.
| Diskriminante | Reelle Lösungen |
|---|---|
| D > 0 | zwei verschiedene Lösungen |
| D = 0 | eine Lösung, auch doppelte Lösung genannt |
| D < 0 | keine reelle Lösung |
Beispiel ohne reelle Lösung: x² + x + 1 = 0 hat D = 1 − 4 = −3. In der p-q-Formel entscheidet entsprechend das Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel.
Lernschritt 8
Lösungen prüfen und Sachaufgaben deuten
Setze jede gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Für 2x² − 3x − 2 = 0 ergibt die Probe mit x = −0,5: 2 · 0,25 + 1,5 − 2 = 0.
Sachaufgabe: Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit und hat 40 cm² Fläche. Für die Breite x in cm gilt x(x + 3) = 40, also x² + 3x − 40 = 0. Faktorisiere: (x + 8)(x − 5) = 0. Rechnerisch entstehen −8 und 5. Eine Breite muss positiv sein: Das Rechteck ist 5 cm breit und 8 cm lang.
Die Probe lautet 5 · 8 = 40. Unterscheide also zwischen den Lösungen der Gleichung und den im Sachzusammenhang zulässigen Antworten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Löse x² + 4x = 0.
Lösung und Rechenweg ansehen
x(x + 4) = 0. Also L = {−4; 0}.
Erklärung wiederholen →3 · Löse (x − 3)² = 4.
Lösung und Rechenweg ansehen
x − 3 = ±2. Also L = {1; 5}.
Erklärung wiederholen →4 · Bestimme p und q für 2x² − 8x + 6 = 0.
Lösung und Rechenweg ansehen
Zuerst durch 2 teilen: x² − 4x + 3 = 0. Damit p = −4 und q = 3.
Erklärung wiederholen →5 · Löse x² + 2x − 3 = 0 mit der p-q-Formel.
Lösung und Rechenweg ansehen
x = −1 ± √(1 + 3) = −1 ± 2. Also L = {−3; 1}.
Erklärung wiederholen →6 · Wie viele reelle Lösungen hat x² − 4x + 4 = 0?
Lösung und Rechenweg ansehen
D = 16 − 16 = 0. Genau eine reelle Lösung: x = 2. Alternativ (x − 2)² = 0.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Quadratische Ergänzung üben
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zum schrittweisen Umformen.
Material ansehen →
Kostenlos · Lernkarte · PDF
Mitternachtsformel nachschlagen
Kostenlose Lernkarte zur Formel und ihrem Einsatz bei quadratischen Gleichungen.
Material ansehen →Häufige Fragen
Sind p-q-Formel und Mitternachtsformel gleichwertig?
Ja. Die p-q-Formel ist auf die normierte Form zugeschnitten. Die Mitternachtsformel berücksichtigt auch einen Vorfaktor a ≠ 1 direkt.
Warum bekomme ich manchmal zwei Lösungen?
Beim Quadrieren können zwei verschiedene Zahlen denselben Wert ergeben. Ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt, hängt von der Gleichung ab.
Muss ich immer eine Formel verwenden?
Nein. Bei einfachen Formen sind Wurzelziehen, Ausklammern oder Faktorisieren oft kürzer. Prüfe anschließend alle Lösungen.