Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Binomische Formeln: verstehen und üben

Verstehe die drei binomischen Formeln, statt sie nur auswendig zu lernen. Multipliziere Klammern aus, erkenne Quadrate rückwärts und prüfe typische Fehler. Dieses Thema ist im Buch als Zusatzwissen vorgesehen.

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Das mittlere Glied kommt zweimal vor

(x + 3)² = x² + 6x + 9

Beim Ausmultiplizieren entstehen x², 3x, noch einmal 3x und 9. Die beiden mittleren Teile ergeben zusammen 6x.

Lernschritt 1

Die drei Formeln im Überblick

Form	Ergebnis
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a − b)²	a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b)	a² − b²

Die Buchstaben a und b sind Platzhalter für Zahlen oder Terme. In (2x + 3)² steht a für den ganzen Term 2x und b für 3.

Die ersten beiden Formeln beschreiben das Quadrat einer Klammer. Die dritte beschreibt zwei Klammern mit denselben Teilen, aber unterschiedlichen Vorzeichen.

Probier es selbst: Welche Formel passt zu (y − 4)²?

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Die zweite. Setze a = y und b = 4.

Lernschritt 2

Erste Formel: Woher kommt 2ab?

Hoch 2 bedeutet, dass du die ganze Klammer mit sich selbst multiplizierst.

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Produkt	Ergebnis
a · a	a²
a · b	ab
b · a	ab
b · b	b²

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Beispiel: (x + 3)². Quadriere x, bilde zweimal x · 3 und quadriere 3. So erhältst du x² + 6x + 9.

Probier es selbst: Multipliziere (x + 5)² aus.

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x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25.

Passend weiterüben: Mit 17 Aufgaben die binomischen Formeln üben →

Lernschritt 3

Zweite Formel: Das letzte Quadrat bleibt positiv

Auch (a − b)² ist ein Produkt aus zwei gleichen Klammern. Die beiden gemischten Produkte sind negativ, das Produkt (−b) · (−b) ist b².

(a − b)² = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b²

(x − 4)² = x² − 8x + 16

Das Minus steht beim mittleren Term. Der letzte Term ist +b², nicht −b².

Probier es selbst: Multipliziere (y − 7)² aus.

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y² − 14y + 49.

Lernschritt 4

Dritte Formel: Die mittleren Produkte fallen weg

Multipliziere jeden Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten. Dabei entstehen +ab und −ab, die zusammen 0 ergeben.

(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

(x + 6)(x − 6) = x² − 36

Die Reihenfolge der Faktoren darfst du vertauschen. (x − 6)(x + 6) hat denselben Wert.

Probier es selbst: Berechne 103 · 97 mit der dritten Formel.

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(100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9 991.

Lernschritt 5

Auch Zahlenfaktoren werden quadriert

Bei (2x + 3)² ist der erste Teil 2x. Deshalb musst du beim ersten Quadrat auch die 2 quadrieren.

Erstes Quadrat: (2x)² = 4x².
Mittlerer Term: 2 · (2x) · 3 = 12x.
Zweites Quadrat: 3² = 9.

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

Mit zwei Variablen funktioniert es genauso: (3a − 2b)² = 9a² − 12ab + 4b².

Probier es selbst: Multipliziere (5x + 2)(5x − 2) aus.

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(5x)² − 2² = 25x² − 4.

Lernschritt 6

Binomische Formeln rückwärts erkennen

Du kannst eine Summe auch wieder als Klammerquadrat schreiben. Prüfe dazu die beiden Quadrate und den mittleren Term.

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

x² ist das Quadrat von x.
25 ist das Quadrat von 5.
2 · x · 5 ergibt tatsächlich 10x.

x² + 8x + 25 wäre dagegen nicht (x + 5)², denn das mittlere Glied passt nicht.

9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4)

Probier es selbst: Schreibe x² − 12x + 36 als Klammerquadrat.

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(x − 6)². Das mittlere Glied ist −2 · x · 6 = −12x.

Passend weiterüben: Ausmultiplizieren und Rückwärtserkennen intensiv üben →

Lernschritt 7

Fehlerdetektiv: (x + 3)² = x² + 9?

Die gemischten Produkte fehlen. Hoch 2 verteilt sich nicht einfach auf die beiden Summanden.

Richtig: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Eine Probe mit x = 1 zeigt den Fehler: links 4² = 16, beim falschen Term rechts nur 1 + 9 = 10.

Ein Gegenbeispiel widerlegt eine falsche Formel. Ein einzelner passender Wert beweist umgekehrt keine allgemeine Gleichheit. Die Herleitung durch Ausmultiplizieren gilt für alle erlaubten Werte.

Passend weiterüben: Die drei Formeln auf der Lernkarte wiederholen →

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