Aufgabe 1 · Auf Papier lösen
(x + 2)²
Lösung und Rechenweg ansehen
Erste Formel mit a = x und b = 2:
(x + 2)² = x² + 2 · x · 2 + 2²
= x² + 4x + 4.
Erklärung wiederholen →Mathe · meist Klasse 8–9 · etwa 25–40 Minuten
Binomische Formeln
Du erkennst die passende Formel, multiplizierst Klammern aus und formst passende Terme rückwärts um.
Voraussetzungen ansehen
Terme zusammenfassen und Klammern ausmultiplizieren. Grundlagen wiederholen →
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Multipliziere die drei Klammern ohne Nachschlagen aus. Wenn du noch nicht weißt, wie das geht, kannst du direkt mit der Erklärung starten.
So gibst du Terme ein: x^2 + 4x + 4 oder x² + 4x + 4. Auch 4*x und eine andere Reihenfolge der Summanden sind möglich. Schreibe nur das Ergebnis, ohne Gleichheitszeichen.
02 · Verstehen
Was sind binomische Formeln?
Binomische Formeln sind Abkürzungen für bestimmte Klammerprodukte. Statt jedes Mal alle Teile einzeln auszumultiplizieren, kannst du ein bekanntes Rechenmuster nutzen. Ein Binom ist ein Term aus zwei Teilen, zum Beispiel a + b oder x − 4.
Die Buchstaben a und b sind Platzhalter für Zahlen oder ganze Terme. Dabei bedeutet ab dasselbe wie a · b und 2ab dasselbe wie 2 · a · b.
1. Binomische Formel: Plusklammer zum Quadrat
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Du quadrierst den ersten Teil, addierst das doppelte Produkt beider Teile und addierst das Quadrat des zweiten Teils.
Beispiel: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
2. Binomische Formel: Minusklammer zum Quadrat
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Der Aufbau ist fast gleich. Jetzt subtrahierst du das doppelte Produkt. Vor dem letzten Quadrat steht weiterhin ein Plus.
Beispiel: (x − 3)² = x² − 6x + 9.
3. Binomische Formel: Plusklammer mal Minusklammer
(a + b)(a − b) = a² − b²
In beiden Klammern stehen dieselben Teile. Nur das Zeichen dazwischen wechselt. Du rechnest: erstes Quadrat minus zweites Quadrat.
Beispiel: (x + 3)(x − 3) = x² − 9.
Welche Formel passt?
Eine Klammer hoch 2 mit Plus → erste Formel. Eine Klammer hoch 2 mit Minus → zweite Formel. Zwei Klammern mit denselben Teilen und einmal Plus, einmal Minus → dritte Formel. Bei (x + 2)(x + 3) passt keine der drei Formeln direkt.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Welche Formel passt zu (y − 4)²? Was sind a und b?
Lösung ansehen
Die zweite Formel: Die Minusklammer wird quadriert. Dabei ist a = y und b = 4. Das Minus gehört zum Muster (a − b); setze für b hier also 4 ein, nicht −4.
In den nächsten drei Schritten siehst du, woher diese Formeln kommen. Wenn dir das Multiplizieren von Klammern noch schwerfällt, kannst du das Ausmultiplizieren vorher wiederholen.
Erste Formel: Woher kommt 2ab?
Herleitung · Schritt für Schritt
Leite die erste Formel her
(a + b)²
Wir beginnen mit (a + b)². Die Hochzahl 2 bezieht sich auf die ganze Klammer: Du multiplizierst (a + b) mit sich selbst.
(a + b)² = (a + b) · (a + b)
a · a + a · b = a² + ab
2 Mit dem ersten Teil a ausmultiplizieren
Multipliziere das a aus der ersten Klammer mit beiden Teilen der zweiten Klammer.
b · a + b · b = ab + b²
3 Mit dem zweiten Teil b ausmultiplizieren
Multipliziere auch das b aus der ersten Klammer mit beiden Teilen. Weil b · a = a · b gilt, entsteht noch einmal ab.
a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
= a² + 2ab + b²
4 Alle vier Produkte zusammenfassen
Die beiden gleichen Teile ab + ab ergeben 2ab. Die Quadrate bleiben stehen.
Die erste binomische Formel
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Der mittlere Term 2ab entsteht, weil das Produkt ab zweimal vorkommt.
a²ababb²
Flächenmodell für positive Längen a und b; schematische Darstellung. Die algebraische Formel gilt auch für negative Zahlen.
Das mittlere Glied kommt zweimal vor
(x + 3)² = x² + 6x + 9
Beim Ausmultiplizieren entstehen x², 3x, noch einmal 3x und 9. Die beiden mittleren Teile ergeben zusammen 6x.
Konkretes Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere aus
(x + 3)²
Hier setzt du a = x und b = 3 ein.
(x + 3)²
= x² + 2 · x · 3 + 3²
= x² + 2 · x · 3 + 3²
1 Die Teile in die Formel einsetzen
Nutze a² + 2ab + b² mit a = x und b = 3.
= x² + 6x + 9
2 Ausrechnen und zusammenfassen
2 · x · 3 = 6x und 3² = 9.
Warum das Ergebnis stimmt
Die Rechnung dahinter: x · 3 und 3 · x ergeben zusammen 6x. Deshalb darf dieser mittlere Term nicht fehlen.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Multipliziere (x + 5)² aus.
Lösung ansehen
Erste Formel mit a = x und b = 5:
(x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5²
= x² + 10x + 25.
Passend weiterüben: Mit 17 Aufgaben die binomischen Formeln üben →
Zweite Formel: Warum steht am Ende ein Plus?
Herleitung · Schritt für Schritt
Leite die zweite Formel her
(a − b)²
Bei (a − b)² multiplizierst du ebenfalls zwei gleiche Klammern. Achte jetzt auf die Vorzeichen: Der zweite Teil jeder Klammer ist −b.
(a − b)² = (a − b) · (a − b)
1 Das Quadrat als Produkt schreiben
Beide Klammern enthalten ein Minus.
a · a + a · (−b) = a² − ab
2 Mit dem ersten Teil a ausmultiplizieren
Beim zweiten Produkt bleibt das Minus erhalten.
(−b) · a + (−b) · (−b)
3 Mit dem zweiten Teil −b ausmultiplizieren
Das ergibt −ab + b². Beim letzten Produkt heben sich die beiden Minuszeichen auf: (−b) · (−b) = b².
a² − ab − ab + b²
= a² − 2ab + b²
= a² − 2ab + b²
4 Alle vier Produkte zusammenfassen
Die beiden mittleren Teile ergeben −2ab. Vor b² steht ein Plus.
Die zweite binomische Formel
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Merke dir die Zeichenfolge Plus – Minus – Plus. Das letzte Quadrat b² ist nie negativ; für b = 0 ist es 0.
Konkretes Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere aus
(x − 4)²
Du nutzt die zweite Formel mit a = x und b = 4.
(x − 4)²
= x² − 2 · x · 4 + 4²
= x² − 2 · x · 4 + 4²
1 Die Teile in die Formel einsetzen
Nutze a² − 2ab + b² mit a = x und b = 4.
= x² − 8x + 16
2 Ausrechnen und zusammenfassen
2 · x · 4 = 8x und 4² = 16. Das letzte Quadrat wird addiert.
Warum das Ergebnis stimmt
Warum +16? Beim Ausmultiplizieren rechnest du am Ende (−4) · (−4) = +16.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Multipliziere (y − 7)² aus.
Lösung ansehen
Zweite Formel mit a = y und b = 7:
(y − 7)² = y² − 2 · y · 7 + 7²
= y² − 14y + 49. Das letzte Quadrat wird addiert.
Dritte Formel: Warum fällt der mittlere Term weg?
Herleitung · Schritt für Schritt
Leite die dritte Formel her
(a + b)(a − b)
Jetzt stehen zwei unterschiedliche Klammern nebeneinander: (a + b) und (a − b). Sie enthalten dieselben Teile a und b, aber einmal ein Plus und einmal ein Minus.
(a + b) · (a − b)
1 Das Klammerprodukt ansehen
Hier wird keine einzelne Klammer quadriert. Du multiplizierst eine Plusklammer mit der passenden Minusklammer.
a · a + a · (−b) = a² − ab
2 Mit dem ersten Teil a ausmultiplizieren
Das erste a wird mit beiden Teilen der zweiten Klammer multipliziert.
b · a + b · (−b) = ab − b²
3 Mit dem zweiten Teil b ausmultiplizieren
Das zweite Produkt ergibt diesmal −b²: Nur einer der beiden Faktoren trägt ein zusätzliches Minus.
a² − ab + ab − b²
= a² − b²
= a² − b²
4 Alle vier Produkte zusammenfassen
Die mittleren Teile −ab und +ab ergeben zusammen 0. Übrig bleiben a² und −b².
Die dritte binomische Formel
(a + b)(a − b) = a² − b²
Hier bleibt kein mittlerer Term übrig. Das Ergebnis heißt auch Differenz zweier Quadrate.
Konkretes Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere aus
(x + 6)(x − 6)
In beiden Klammern stehen x und 6. Die Zeichen sind verschieden: Die dritte Formel passt mit a = x und b = 6.
(x + 6)(x − 6)
= x² − 6²
= x² − 6²
1 Die Teile in die Formel einsetzen
Nutze a² − b² mit a = x und b = 6.
= x² − 36
2 Ausrechnen und zusammenfassen
6² = 36. Subtrahiere das zweite Quadrat.
Warum das Ergebnis stimmt
Auch (x − 6)(x + 6) ergibt x² − 36. Du darfst die Reihenfolge der beiden Klammern beim Multiplizieren vertauschen.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Berechne 103 · 97 mit der dritten Formel.
Lösung ansehen
Beide Zahlen liegen gleich weit von 100 entfernt: 103 = 100 + 3 und 97 = 100 − 3.
103 · 97 = (100 + 3)(100 − 3)
= 100² − 3²
= 10 000 − 9 = 9 991.
Auch Zahlenfaktoren werden quadriert
Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere die Klammer aus
(2x + 3)²
Bei (2x + 3)² ist der erste Teil 2x. Deshalb musst du beim ersten Quadrat auch die 2 quadrieren.
(2x)² = 2x · 2x = 4x²
1 Erstes Quadrat
Sowohl die 2 als auch das x werden quadriert.
2 · (2x) · 3 = 12x
2 Doppeltes Produkt
Die erste 2 kommt aus der Formel, die zweite steckt im Term 2x.
3² = 3 · 3 = 9
3 Zweites Quadrat
Quadriere den zweiten Teil.
(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
4 Zusammensetzen
Addiere die beiden Quadrate und das doppelte Produkt.
Konkretes Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere aus
(3a − 2b)²
Die zwei Teile sind jetzt 3a und 2b. Wegen des Minuszeichens nutzt du die zweite Formel.
(3a − 2b)²
= (3a)² − 2 · (3a) · (2b)
+ (2b)²
= (3a)² − 2 · (3a) · (2b)
+ (2b)²
1 Die Teile in die Formel einsetzen
Setze die ganzen Teile 3a und 2b in die zweite Formel ein.
= 9a² − 12ab + 4b²
2 Ausrechnen und zusammenfassen
(3a)² = 9a²; das doppelte Produkt ist 12ab; (2b)² = 4b².
Erst die ganzen Teile erkennen, dann einsetzen.
So vermeidest du zum Beispiel den Fehler (2x)² = 2x². Richtig ist (2x)² = 4x².
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Multipliziere (5x + 2)(5x − 2) aus.
Lösung ansehen
(5x)² − 2² = 25x² − 4.
Binomische Formeln rückwärts erkennen
Vom Term zurück zur Klammer
Binomische Formeln funktionieren auch von rechts nach links: Aus einem passenden ausmultiplizierten Term wird wieder ein Klammerprodukt. Das nennt man Faktorisieren.
Erste und zweite Formel rückwärts
Prüfe die beiden Quadrate und den mittleren Term. Wir betrachten x² + 10x + 25:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
Beispiel · Schritt für Schritt
Schreibe als Klammerquadrat
x² + 10x + 25
x² = x · x
1 Erstes Quadrat erkennen
x² ist das Quadrat von x.
25 = 5²
2 Zweites Quadrat erkennen
25 ist das Quadrat von 5.
2 · x · 5 = 10x
3 Mittleren Term prüfen
Das passt genau zum mittleren Term.
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
4 Vorzeichen wählen
Vor 10x steht ein Plus, deshalb lautet die Klammer (x + 5). Insgesamt ergibt sich (x + 5)².
So erkennst du, wenn es nicht passt
x² + 8x + 25 wäre dagegen nicht (x + 5)², denn das mittlere Glied passt nicht.
Dritte Formel rückwärts
Beispiel · Schritt für Schritt
Schreibe als Klammerprodukt
9x² − 16
Stehen zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen, prüfst du die dritte Formel. Bei 9x² − 16 gilt:
9x² = (3x)²
1 Ersten Teil erkennen
Der erste Teil ist 3x.
16 = 4²
2 Zweiten Teil erkennen
Der zweite Teil ist 4.
9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4)
3 Klammerprodukt bilden
Schreibe eine Plus- und eine Minusklammer mit genau diesen Teilen.
9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4)
Bei 9x² + 16 passt diese Formel nicht: Zwischen den Quadraten muss ein Minus stehen.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Schreibe x² − 12x + 36 als Klammerquadrat.
Lösung ansehen
(x − 6)². Das mittlere Glied ist −2 · x · 6 = −12x.
Passend weiterüben: Ausmultiplizieren und Rückwärtserkennen intensiv üben →
Fehlerdetektiv: (x + 3)² = x² + 9?
Fehler finden und mit einer Zahl prüfen
Die gemischten Produkte fehlen. Hoch 2 verteilt sich nicht einfach auf die beiden Summanden.
Richtig: (x + 3)² = x² + 6x + 9
Eine Probe mit x = 1 zeigt den Fehler: links 4² = 16, beim falschen Term rechts nur 1 + 9 = 10.
Merke
Ein Gegenbeispiel widerlegt eine falsche Formel. Ein einzelner passender Wert beweist umgekehrt keine allgemeine Gleichheit. Die Herleitung durch Ausmultiplizieren gilt für alle erlaubten Werte.
Passend weiterüben: Die drei Formeln auf der Lernkarte wiederholen →
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs weitere Aufgaben auf Papier
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Aufgabe 2 · Auf Papier lösen
(y − 3)²
Lösung und Rechenweg ansehen
Zweite Formel mit a = y und b = 3:
(y − 3)² = y² − 2 · y · 3 + 3²
= y² − 6y + 9.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 3 · Auf Papier lösen
(a + 8)(a − 8)
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Klammern enthalten dieselben Teile und unterschiedliche Zeichen. Daher passt die dritte Formel:
(a + 8)(a − 8) = a² − 8²
= a² − 64.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 4 · Auf Papier lösen
(2x − 5)²
Lösung und Rechenweg ansehen
Zweite Formel mit den Teilen 2x und 5:
(2x − 5)² = (2x)² − 2 · (2x) · 5 + 5²
= 4x² − 20x + 25.
Auch der Zahlenfaktor 2 wird im ersten Term quadriert.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 5 · Auf Papier lösen
Ergänze: (x + 7)² = x² + □x + 49.
Lösung und Rechenweg ansehen
14, denn 2 · x · 7 = 14x.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 6 · Auf Papier lösen
Schreibe 4x² + 12x + 9 als Klammerquadrat.
Lösung und Rechenweg ansehen
4x² = (2x)² und 9 = 3². Die beiden Teile der gesuchten Klammer sind also 2x und 3.
Kontrolle: 2 · (2x) · 3 = 12x. Auch der mittlere Term passt. Wegen des Pluszeichens gilt:
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)².
Erklärung wiederholen →Merke
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Noch unsicher?
Wähle im Trainer die passende Stufe. Rechne nach einem Hinweis eine weitere Aufgabe, ohne den Rechenweg zu öffnen.
Eine Übungsstufe wählen →Schon sicher?
Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Nachschlagen. Danach kannst du untersuchen, wie binomische Formeln beim Lösen quadratischer Gleichungen helfen.
Quadratische Gleichungen entdecken →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lass dir an (x + 3)² erklären, woher 6x kommt. Dein Kind rechnet dann (x − 4)² und (2x + 1)² selbst. Fragt bei einem Fehler: „Welcher der drei Teile stimmt noch nicht?“ Nutzt den passenden Erklärungsschritt und rechnet anschließend eine ähnliche Aufgabe. Die Lösung sollte dein Kind selbst formulieren.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Ziel: Die drei Formeln unterscheiden, mit Faktoren anwenden und passende Terme faktorisieren. Einsetzbar nach der Einführung, je nach Lernstand und Lehrplan.
- 5 Minuten: Einstiegscheck und kurze Einordnung.
- 10 Minuten: Fehler besprechen; Ausmultiplizieren oder Flächenmodell zur Begründung nutzen.
- 15 Minuten: Differenziert im Trainer arbeiten: Muster, Zahlenfaktoren oder Rückwärtsaufgaben.
- 10 Minuten: Abschlusscheck ohne Hilfen und Rückmeldung.
- 5 Minuten: Einen typischen Fehler erklären lassen und den nächsten Übungsschritt wählen.
Ohne Einzelgeräte: Gemeinsam erklären und mit dem kompakten Arbeitsblatt oder den Papieraufgaben weiterarbeiten. Lösungen erst nach dem eigenen Versuch öffnen.
Vertiefung: Warum ist x² + 8x + 25 nicht (x + 5)²? Begründe mit dem mittleren Term.
Häufige Fragen
Warum fehlt bei der dritten Formel der mittlere Term?
Die beiden gemischten Produkte sind gleich groß und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Deshalb heben sie sich auf.
Ist (a − b)² dasselbe wie a² − b²?
Nein. Beim Klammerquadrat entsteht zusätzlich −2ab und das letzte Quadrat ist positiv. a² − b² gehört zur dritten Formel.
Nun stehen zwei gleiche Klammern nebeneinander.