Mathe · Grundlagen und Wiederholung

Terme zusammenfassen: verstehen und üben

Fasse gleichartige Teile eines Terms zusammen, ohne Vorzeichen zu verlieren. Erkenne den Unterschied zwischen x, x² und reinen Zahlen und prüfe deine Umformungen an Beispielen.

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Gleichartige Teile sammeln

4x + 3x − 2 + 5 = 7x + 3

Die x-Teile ergeben 7x. Die reinen Zahlen ergeben 3. Beide Gruppen bleiben im Ergebnis getrennt.

Lernschritt 1

Welche Teile sind gleichartig?

Bei den hier betrachteten Termen aus Summen von Produkten sind Teile gleichartig, wenn ihr Variablenteil übereinstimmt: dieselben Buchstaben mit denselben Hochzahlen. Die Zahlenfaktoren davor dürfen verschieden sein.

Termteile	Zusammenfassen?	Grund
3x und 5x	Ja: 8x	Beide enthalten x.
2x² und 4x²	Ja: 6x²	Beide enthalten x².
3x und 4x²	Nein	Die Hochzahlen unterscheiden sich.
2x und 3y	Nein	Die Variablen unterscheiden sich.
7 und −2	Ja: 5	Beide sind reine Zahlen.

Die Einteilung bezieht sich auf die Form des Terms. Dass x und x² für einen einzelnen Wert zufällig gleich sind, macht sie nicht gleichartig.

Lernschritt 2

Nur die Zahlenfaktoren zusammenrechnen

In 3x + 5x stehen drei x-Anteile und fünf x-Anteile. Zusammen sind es acht x-Anteile.

3x + 5x = (3 + 5)x = 8x

Der Variablenteil x bleibt erhalten. Du rechnest die Koeffizienten, also die Zahlenfaktoren, zusammen.

9a − 4a = (9 − 4)a = 5a

Ein einzelnes x bedeutet 1x, und −x bedeutet −1x. Deshalb gilt x + x = 2x und 3x − x = 2x.

Probier es selbst: Fasse 6y − y + 2y zusammen.

Lösung ansehen

(6 − 1 + 2)y = 7y.

Lernschritt 3

Vorzeichen beim Sortieren mitnehmen

Wir vereinfachen 5x − 3 + 2x − 7. Lies die Rechnung zunächst als Summe vorzeichenbehafteter Teile: 5x + (−3) + 2x + (−7).

x-Teile sammeln: 5x + 2x = 7x.
Zahlen sammeln: −3 − 7 = −10.
Ergebnis zusammensetzen: 7x − 10.

5x − 3 + 2x − 7 = 7x − 10

Beim Umordnen gehört das Vorzeichen zum jeweiligen Teil. Aus −7 darf beim Verschieben nicht +7 werden.

Probier es selbst: Fasse 4a − 9 − 6a + 2 zusammen.

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4a − 6a = −2a und −9 + 2 = −7. Ergebnis: −2a − 7.

Lernschritt 4

Mehrere Variablen und Potenzen

Erstelle für jede Art eine eigene Gruppe. Bei 3x² + 2x − x² + 5 − 4x gibt es x²-Teile, x-Teile und eine reine Zahl.

Gruppe	Rechnung	Ergebnis
x²	3x² − x²	2x²
x	2x − 4x	−2x
Zahlen	5	5

3x² + 2x − x² + 5 − 4x = 2x² − 2x + 5

Auch Produkte mit mehreren Variablen können gleichartig sein. Weil xy = yx gilt, lässt sich 2xy + 3yx zu 5xy zusammenfassen. x²y und xy² sind dagegen verschieden.

Probier es selbst: Fasse 5a + 2b − 3a + b zusammen.

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(5 − 3)a + (2 + 1)b = 2a + 3b.

Lernschritt 5

Addition und Multiplikation unterscheiden

Beim Addieren sammelst du gleichartige Anteile. Beim Multiplizieren wendest du die Produktregeln an.

Addition	Multiplikation
x + x = 2x	x · x = x²
3x + 4x = 7x	3x · 4x = 12x²
2x² + 5x² = 7x²	2x² · 5x² = 10x⁴

Hochzahlen addierst du bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Bei einer Summe wie 3x + 4x² geht das nicht.

Probier es selbst: Fehlerdetektiv: „3x + 4x² = 7x³.“ Korrigiere.

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Die Teile sind nicht gleichartig. Die Summe bleibt 3x + 4x² oder wird als 4x² + 3x geschrieben.

Lernschritt 6

Ergebnisse prüfen und Klammern beachten

Zum Kontrollieren kannst du einen Wert einsetzen. Für x = 2 ergibt 5x − 3 + 2x − 7 den Wert 4. Auch 7x − 10 ergibt 4.

Eine Einsetzprobe kann einen Fehler aufdecken. Ein einzelner passender Wert beweist aber keine allgemeine Gleichheit. Dafür brauchst du gültige Umformungsregeln.

Wenn Klammern vorkommen, löse sie zuerst korrekt auf. Erst danach sammelst du gleichartige Teile.

2(x + 3) + x = 2x + 6 + x = 3x + 6

Manchmal fällt ein Variablenteil ganz weg: 5x − 5x + 3 = 0x + 3 = 3.

Probier es selbst: Fasse 4y − 4y − 6 zusammen.

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Die y-Teile ergeben 0. Übrig bleibt −6.

Passend weiterlernen: Regeln zu Termen und Klammern auf dem Lernposter wiederholen →

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