1 · 3x + 8x
Lösung und Rechenweg ansehen
11x, denn 3 + 8 = 11.
Erklärung wiederholen →Mathe · etwa 25–40 Minuten
Terme zusammenfassen
Du erkennst gleichartige Teile, rechnest ihre Zahlenfaktoren zusammen und behältst die Vorzeichen im Blick.
Voraussetzungen ansehen
Du kennst die Bedeutung von Variablen und kannst mit positiven und negativen Zahlen rechnen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Fasse die drei Terme möglichst ohne Hilfe zusammen. Wenn du noch nicht weiterweißt, starte mit der Erklärung.
Schreibe nur den Ergebnisterm, zum Beispiel 5x − 2. x² und x^2 sind beide möglich; ebenso 5*x und eine andere Reihenfolge der Summanden.
02 · Verstehen
Welche Teile sind gleichartig?
Gleichartige Teile sammeln
4x + 3x − 2 + 5 = 7x + 3
Die x-Teile ergeben 7x. Die reinen Zahlen ergeben 3. Beide Gruppen bleiben im Ergebnis getrennt.
Bei den hier betrachteten Termen aus Summen von Produkten sind Teile gleichartig, wenn ihr Variablenteil übereinstimmt: dieselben Buchstaben mit denselben Hochzahlen. Die Zahlenfaktoren davor dürfen verschieden sein.
| Termteile | Zusammenfassen? | Grund |
|---|---|---|
| 3x und 5x | Ja: 8x | Beide enthalten x. |
| 2x² und 4x² | Ja: 6x² | Beide enthalten x². |
| 3x und 4x² | Nein | Die Hochzahlen unterscheiden sich. |
| 2x und 3y | Nein | Die Variablen unterscheiden sich. |
| 7 und −2 | Ja: 5 | Beide sind reine Zahlen. |
Die Einteilung bezieht sich auf die Form des Terms. Dass x und x² für einen einzelnen Wert zufällig gleich sind, macht sie nicht gleichartig.
Nur die Zahlenfaktoren zusammenrechnen
In 3x + 5x stehen drei x-Anteile und fünf x-Anteile. Zusammen sind es acht x-Anteile.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Zahlenfaktoren addieren
3x + 5x
3x + 5x
=(3 + 5)x
2 Zahlenfaktoren sammeln
Der Variablenteil bleibt erhalten.
=8x
3 Zusammenrechnen
3 + 5 = 8.
Der Variablenteil x bleibt erhalten. Du rechnest die Koeffizienten, also die Zahlenfaktoren, zusammen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Zahlenfaktoren subtrahieren
9a − 4a
9a − 4a
1 Ausgangsterm
Beide Teile enthalten a.
=(9 − 4)a
2 Koeffizienten verrechnen
Nimm das Minuszeichen mit.
=5a
3 Ergebnis
9 − 4 = 5.
Ein einzelnes x bedeutet 1x, und −x bedeutet −1x. Deshalb gilt x + x = 2x und 3x − x = 2x.
Probier es selbst: Fasse 6y − y + 2y zusammen.
Lösung ansehen
(6 − 1 + 2)y = 7y.
Vorzeichen beim Sortieren mitnehmen
Wir vereinfachen 5x − 3 + 2x − 7. Lies die Rechnung zunächst als Summe vorzeichenbehafteter Teile: 5x + (−3) + 2x + (−7).
Beispiel · Schritt für Schritt
Gleichartige Teile mit ihren Vorzeichen sammeln
5x − 3 + 2x − 7
5x − 3 + 2x − 7
1 Ausgangsterm
Unterscheide x-Teile und reine Zahlen.
=5x + 2x − 3 − 7
2 Sortieren
Nimm jedes Vorzeichen mit seinem Termteil mit.
=7x − 3 − 7
3 x-Teile zusammenfassen
5x + 2x = 7x.
=7x − 10
4 Zahlen zusammenfassen
−3 − 7 = −10.
Beim Umordnen gehört das Vorzeichen zum jeweiligen Teil. Aus −7 darf beim Verschieben nicht +7 werden.
Probier es selbst: Fasse 4a − 9 − 6a + 2 zusammen.
Lösung ansehen
4a − 6a = −2a und −9 + 2 = −7. Ergebnis: −2a − 7.
Mehrere Variablen und Potenzen
Erstelle für jede Art eine eigene Gruppe. Bei 3x² + 2x − x² + 5 − 4x gibt es x²-Teile, x-Teile und eine reine Zahl.
| Gruppe | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| x² | 3x² − x² | 2x² |
| x | 2x − 4x | −2x |
| Zahlen | 5 | 5 |
Beispiel · Schritt für Schritt
Quadratterme, lineare Terme und Zahlen trennen
3x² + 2x − x² + 5 − 4x
3x² + 2x − x² + 5 − 4x
1 Ausgangsterm
x², x und reine Zahlen bilden getrennte Gruppen.
=(3 − 1)x² + (2 − 4)x + 5
2 Gruppen bilden
Vor −x² steht der Koeffizient −1.
=2x² − 2x + 5
3 Zusammenfassen
3 − 1 = 2 und 2 − 4 = −2. Die Zahl 5 bleibt stehen.
Auch Produkte mit mehreren Variablen können gleichartig sein. Weil xy = yx gilt, lässt sich 2xy + 3yx zu 5xy zusammenfassen. x²y und xy² sind dagegen verschieden.
Probier es selbst: Fasse 5a + 2b − 3a + b zusammen.
Lösung ansehen
(5 − 3)a + (2 + 1)b = 2a + 3b.
Addition und Multiplikation unterscheiden
Beim Addieren sammelst du gleichartige Anteile. Beim Multiplizieren wendest du die Produktregeln an.
| Addition | Multiplikation |
|---|---|
| x + x = 2x | x · x = x² |
| 3x + 4x = 7x | 3x · 4x = 12x² |
| 2x² + 5x² = 7x² | 2x² · 5x² = 10x⁴ |
Hochzahlen addierst du bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis. Bei einer Summe wie 3x + 4x² geht das nicht.
Probier es selbst: Fehlerdetektiv: „3x + 4x² = 7x³.“ Korrigiere.
Lösung ansehen
Die Teile sind nicht gleichartig. Die Summe bleibt 3x + 4x² oder wird als 4x² + 3x geschrieben.
Ergebnisse prüfen und Klammern beachten
Zum Kontrollieren kannst du einen Wert einsetzen. Für x = 2 ergibt 5x − 3 + 2x − 7 den Wert 4. Auch 7x − 10 ergibt 4.
Eine Einsetzprobe kann einen Fehler aufdecken. Ein einzelner passender Wert beweist aber keine allgemeine Gleichheit. Dafür brauchst du gültige Umformungsregeln.
Wenn Klammern vorkommen, löse sie zuerst korrekt auf. Erst danach sammelst du gleichartige Teile.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zuerst die Klammer auflösen, dann zusammenfassen
2(x + 3) + x
2(x + 3) + x
1 Ausgangsterm
Löse zuerst die Klammer auf.
=2x + 6 + x
2 Ausmultiplizieren
Multipliziere beide Klammerteile mit 2.
=3x + 6
3 Zusammenfassen
2x + x = 3x. Die 6 bleibt getrennt.
Manchmal fällt ein Variablenteil ganz weg: 5x − 5x + 3 = 0x + 3 = 3.
Probier es selbst: Fasse 4y − 4y − 6 zusammen.
Lösung ansehen
Die y-Teile ergeben 0. Übrig bleibt −6.
Passend weiterlernen: Regeln zu Termen und Klammern auf dem Lernposter wiederholen →
Erkläre und prüfe: Mia sagt: „3x + 2 = 5x.“ Bei x = 1 stimmen beide Seiten. Ist die Umformung deshalb richtig? Finde einen weiteren Wert und begründe deine Antwort.
Lösung und Begründung ansehen
Setze zum Beispiel x = 2 ein: 3 · 2 + 2 = 8, aber 5 · 2 = 10. Die Umformung ist also falsch.
3x und 2 sind nicht gleichartig. Ein einzelner passender Wert kann eine falsche Regel zufällig bestätigen; zum Widerlegen reicht ein Gegenbeispiel.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Im Trainer rechnest du mit x und x². Bei anderen Buchstaben gelten dieselben Regeln.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Weitere Aufgaben auf Papier
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · 7a − 9a
Lösung und Rechenweg ansehen
−2a, denn 7 − 9 = −2.
Erklärung wiederholen →3 · 4x + 6 − x − 8
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Variablenteile und Zahlen zusammenfassen
4x + 6 − x − 8
4x + 6 − x − 8
1 Ausgangsterm
x bedeutet 1x.
=(4 − 1)x + 6 − 8
2 x-Teile sammeln
4x − x = 3x.
=3x − 2
3 Zahlen zusammenfassen
6 − 8 = −2. x-Teile und Zahlen bleiben getrennt.
4 · 5y² + 2y − 3y²
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Nur gleichartige Quadratterme zusammenfassen
5y² + 2y − 3y²
5y² + 2y − 3y²
1 Ausgangsterm
Unterscheide y²-Teile und y-Teile.
=(5 − 3)y² + 2y
2 Quadratterme sammeln
Der Term 2y bleibt stehen, weil y und y² verschieden sind.
=2y² + 2y
3 Ergebnis
Nur die gleichartigen Quadratterme werden zusammengefasst.
5 · 2ab + 3ba − ab
Lösung und Rechenweg ansehen
4ab. ab und ba sind gleich; 2 + 3 − 1 = 4.
Erklärung wiederholen →6 · Fehlerdetektiv: x + x = x²
Lösung und Rechenweg ansehen
Richtig ist x + x = 2x. x² entsteht bei x · x.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Schon sicher?
Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Ausmultiplizieren und Ausklammern →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Darf ich 3x + 2 zu 5x zusammenfassen?
Nein. 3x enthält die Variable, die Zahl 2 nicht. Der Ausdruck bleibt 3x + 2.
Was bedeutet eine unsichtbare Zahl vor x?
x bedeutet 1x und −x bedeutet −1x. Diese Faktoren zählen beim Zusammenfassen mit.
Beide Summanden haben den Variablenteil x.