Aufgabe 1 · Auf Papier lösen
4(x + 5)
Lösung und Rechenweg ansehen
4x + 20. Beide Klammerteile mit 4 multiplizieren.
Erklärung wiederholen →Mathe · etwa 30–45 Minuten
Ausmultiplizieren und Ausklammern
Du multiplizierst jeden Klammerteil mit dem Faktor und kannst gemeinsame Faktoren wieder ausklammern.
Voraussetzungen ansehen
Du kannst Terme zusammenfassen und kennst die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Löse die ersten beiden Klammern auf. Bei der dritten Aufgabe klammerst du den genannten Faktor aus.
Schreibe nur den Ergebnisterm: zum Beispiel 6x − 4 oder 2(3x − 2). x² und x^2 sind möglich; Malzeichen kannst du als * schreiben.
02 · Verstehen
Eine Klammer gehört als Ganzes zum Faktor
Zwei Richtungen derselben Regel
4(x + 3) = 4x + 12
Nach rechts: jeden Teil in der Klammer mit 4 multiplizieren. Nach links: den gemeinsamen Faktor 4 ausklammern.
Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition. Ein Faktor vor einer Summe wird mit jedem Summanden multipliziert.
Das Distributivgesetz
a(b + c) = ab + ac
Stell dir vier gleiche Pakete vor. In jedem liegen x blaue und drei rote Bausteine. Insgesamt sind es 4x blaue und 12 rote Bausteine: 4(x + 3) = 4x + 12.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Multipliziere 5(x + 2) aus.
Lösung ansehen
5 · x + 5 · 2 = 5x + 10.
Schritt für Schritt ausmultiplizieren
Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere die Klammer aus
3(2x − 5)
Die 3 multipliziert die gesamte Klammer – also sowohl 2x als auch −5.
=3 · 2x + 3 · (−5)
=6x − 15
2 Produkte berechnen
3 · 2x = 6x und 3 · (−5) = −15.
Damit gilt: 3(2x − 5) = 6x − 15.
Kontrolle: Hast du beide Klammerteile mit 3 multipliziert und das Minuszeichen berücksichtigt?
Bei mehreren Teilen bleibt die Regel gleich: 2(x + y + 4) = 2x + 2y + 8. Der Faktor darf auch hinter der Klammer stehen: (x + 3) · 4 = 4x + 12.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Multipliziere 2(3a − 4 + b) aus.
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Multipliziere alle drei Teile aus
2(3a − 4 + b)
Multipliziere die 2 mit jedem der drei Teile.
= 2 · 3a + 2 · (−4) + 2 · b
1 Verteilen
Berücksichtige auch das Minuszeichen vor der 4.
= 6a − 8 + 2b
2 Produkte berechnen
Die drei Summanden lassen sich nicht weiter zusammenfassen.
Passend weiterlernen: Klammern mit Theorie und Übungen festigen →
Negative Faktoren und Minusklammern
Steht ein negativer Faktor vor der Klammer, beachtest du bei jedem Produkt die Vorzeichenregel.
Beispiel · Schritt für Schritt
Löse die Klammer auf
−2(3x − 4)
(−2) · 3x + (−2) · (−4)
1 Mit beiden Teilen multiplizieren
Der Faktor −2 wirkt auf die ganze Klammer.
−6x + 8
2 Vorzeichen beachten
−2 · 3x ergibt −6x. Negativ mal negativ ergibt beim zweiten Produkt +8.
Ein einzelnes Minus vor einer Klammer entspricht dem Faktor −1. Deshalb wechseln beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer.
−(x − 5) = −x + 5
7 − (2x + 3) = 7 − 2x − 3 = 4 − 2x
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Löse 5 − (x − 2) auf und fasse zusammen.
Lösung ansehen
5 − x + 2 = 7 − x.
Gemeinsame Faktoren ausklammern
Beim Ausklammern gehst du rückwärts. Suche einen Faktor, der in jedem Summanden steckt.
12x + 8 = 4(3x + 2)
Beispiel · Schritt für Schritt
Klammere einen gemeinsamen Faktor aus
12x + 8
12x + 8
1 Gemeinsamen Faktor finden
12 und 8 sind durch 4 teilbar. Der gemeinsame Faktor ist 4.
12x : 4 = 3x
8 : 4 = 2
8 : 4 = 2
2 Jeden Summanden durch 4 teilen
Die Ergebnisse 3x und 2 stehen anschließend in der Klammer.
12x + 8 = 4(3x + 2)
3 Ausklammern
Schreibe die Ergebnisse in eine Klammer und setze 4 davor.
4 · 3x + 4 · 2 = 12x + 8
4 Zur Probe ausmultiplizieren
Du erhältst wieder den ursprünglichen Term.
Ausklammern hat oft mehrere richtige Lösungen: 12x + 8 = 2(6x + 4) ist ebenfalls richtig. Mit dem größten gemeinsamen ganzzahligen Faktor 4 ist der Zahlenfaktor hier vollständig ausgeklammert.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Klammere bei 7x + 21 den gemeinsamen Faktor 7 aus.
Lösung ansehen
7(x + 3).
Passend weiterlernen: Ausklammern auf der Lernkarte nachschlagen →
Zusatz: Variablen als gemeinsame Faktoren
Auch eine Variable kann ein gemeinsamer Faktor sein. Schreibe die Summanden als Produkte, um ihn zu erkennen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Klammere den Faktor 3x aus
6x² + 9x
6x² = 3x · 2x
9x = 3x · 3
9x = 3x · 3
1 Gemeinsamen Faktor erkennen
Beide Summanden enthalten 3x.
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
2 Restliche Faktoren in die Klammer schreiben
Beim Ausmultiplizieren erhältst du wieder beide Summanden.
Denn 6x² = 3x · 2x und 9x = 3x · 3. Die Gleichheit gilt auch für x = 0; beim Nachweisen durch Ausmultiplizieren muss man nicht durch x teilen.
5x + 5 = 5(x + 1)
Die 1 in der Klammer darf nicht verschwinden: 5 : 5 = 1. Beim Ausmultiplizieren wird daraus wieder der Summand 5.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Klammere bei 4ab + 8a den Faktor 4a aus.
Lösung ansehen
4a(b + 2).
Zusatz: Zwei Klammern multiplizieren
Bei zwei Summen muss jeder Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten multipliziert werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Multipliziere aus und fasse zusammen
(x + 2)(x + 3)
Beispielaufgabe: Multipliziere die beiden Klammern aus und fasse anschließend zusammen.
x · (x + 3)
= x · x + x · 3 = x² + 3x
= x · x + x · 3 = x² + 3x
1 Das x mit beiden Teilen der zweiten Klammer multiplizieren.
2 · (x + 3)
= 2 · x + 2 · 3 = 2x + 6
= 2 · x + 2 · 3 = 2x + 6
2 Auch die 2 mit beiden Teilen multiplizieren.
(x + 2)(x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 3x + 2x + 6
3 Alle vier Produkte aufschreiben.
(x + 2) · (x + 3)
= x² + 5x + 6
= x² + 5x + 6
4 Gleichartige Teile zusammenfassen.
Die beiden x-Terme 3x und 2x ergeben 5x. Das Quadrat x² und die Zahl 6 bleiben stehen. Prüfe vor dem Zusammenfassen: Zwei Teile mal zwei Teile ergeben vier Einzelprodukte.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Multipliziere (x + 1)(x + 4) aus.
Lösung ansehen
x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
Fehlerdetektiv und Probe
Die Rechnung 4(x + 3) = 4x + 3 enthält einen Fehler: Der zweite Summand wurde nicht mit 4 multipliziert.
Richtig: 4(x + 3) = 4x + 12
Eine Einsetzprobe mit x = 2 macht den Fehler sichtbar: links 4 · 5 = 20, in der falschen rechten Seite nur 8 + 3 = 11.
Ausklammern prüfst du besonders gut durch erneutes Ausmultiplizieren. Eine einzelne passende Einsetzprobe ist hilfreich, ersetzt aber keinen Nachweis für alle Werte.
Jetzt du · Erst selbst versuchen
Prüfe 8x − 12 = 4(2x − 3).
Lösung ansehen
Ausmultiplizieren ergibt 4 · 2x − 4 · 3 = 8x − 12. Die Umformung stimmt.
Passend weiterlernen: Die Schritte des Ausmultiplizierens wiederholen →
Erkläre und prüfe: Sind 12x + 8 = 4(3x + 2) und 12x + 8 = 2(6x + 4) beide richtig? Erkläre, welche Form vollständig ausgeklammert ist.
Lösung und Begründung ansehen
Beide sind richtig: Beim Ausmultiplizieren entsteht jeweils 12x + 8.
Bei 2(6x + 4) steckt in beiden Klammerteilen noch der Faktor 2. Mit dem größten gemeinsamen ganzzahligen Faktor 4 erhältst du die vollständig ausgeklammerte Form 4(3x + 2).
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Beim Ausklammern nennt die Aufgabe den gesuchten Faktor. So ist klar, welche Form geübt wird.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Weitere Aufgaben auf Papier
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Aufgabe 2 · Auf Papier lösen
−3(2x − 1)
Lösung und Rechenweg ansehen
−6x + 3. Negativ mal negativ ergibt beim zweiten Produkt positiv.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 3 · Auf Papier lösen
6 − (a + 2)
Lösung und Rechenweg ansehen
6 − a − 2 = 4 − a.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 4 · Auf Papier lösen
Klammere den größten gemeinsamen ganzzahligen Faktor aus: 15x + 10.
Lösung und Rechenweg ansehen
Der größte gemeinsame Teiler von 15 und 10 ist 5.
15x : 5 = 3x und 10 : 5 = 2.
15x + 10 = 5(3x + 2).
Probe: 5 · 3x + 5 · 2 = 15x + 10.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 5 · Auf Papier lösen
Zusatz: Klammere bei 8x² − 12x den Faktor 4x aus.
Lösung und Rechenweg ansehen
4x(2x − 3). Probe: 8x² − 12x.
Erklärung wiederholen →Aufgabe 6 · Auf Papier lösen
Zusatz: (x + 2)(x − 1)
Lösung und Rechenweg ansehen
Multipliziere jeden Teil der ersten mit jedem Teil der zweiten Klammer:
x · x + x · (−1) + 2 · x + 2 · (−1)
= x² − x + 2x − 2
= x² + x − 2. Denn −x + 2x = x.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Binomische Formeln →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Muss ich beim Ausmultiplizieren auch die Zahl in der Klammer multiplizieren?
Ja. Der Faktor gehört zu jedem Summanden, also auch zu einer reinen Zahl.
Darf ich beim Ausklammern einen kleineren gemeinsamen Faktor nehmen?
Ja, sofern die Aufgabe nichts anderes verlangt. Soll möglichst weit ausgeklammert werden, suchst du den größten gemeinsamen Zahlenfaktor und gegebenenfalls gemeinsame Variablenfaktoren.
Multipliziere die 3 mit jedem Teil der Klammer. Das Minuszeichen gehört zur 5.