1 · 4(x + 5)
Lösung und Rechenweg ansehen
4x + 20. Beide Klammerteile mit 4 multiplizieren.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Ausmultiplizieren und Ausklammern: verstehen und üben
Löse Klammern richtig auf oder fasse gemeinsame Faktoren vor einer Klammer zusammen. Lerne beide Richtungen des Distributivgesetzes mit Beispielen, Vorzeichenhilfen und Übungen.
Zwei Richtungen derselben Regel
4(x + 3) = 4x + 12
Nach rechts: jeden Teil in der Klammer mit 4 multiplizieren. Nach links: den gemeinsamen Faktor 4 ausklammern.
Lernschritt 1
Eine Klammer gehört als Ganzes zum Faktor
Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition. Ein Faktor vor einer Summe wird mit jedem Summanden multipliziert.
a(b + c) = ab + ac
Stell dir vier gleiche Pakete vor. In jedem liegen x blaue und drei rote Bausteine. Insgesamt sind es 4x blaue und 12 rote Bausteine: 4(x + 3) = 4x + 12.
Probier es selbst: Multipliziere 5(x + 2) aus.
Lösung ansehen
5 · x + 5 · 2 = 5x + 10.
Lernschritt 2
Schritt für Schritt ausmultiplizieren
Wir öffnen 3(2x − 5). Die 3 wird sowohl mit 2x als auch mit −5 multipliziert.
- Alle Produkte aufschreiben: 3 · 2x + 3 · (−5).
- Produkte berechnen: 6x − 15.
- Prüfen: Wurde jeder Teil der Klammer berücksichtigt?
3(2x − 5) = 6x − 15
Bei mehreren Teilen bleibt die Regel gleich: 2(x + y + 4) = 2x + 2y + 8. Der Faktor darf auch hinter der Klammer stehen: (x + 3) · 4 = 4x + 12.
Probier es selbst: Multipliziere 2(3a − 4 + b) aus.
Lösung ansehen
6a − 8 + 2b.
Passend weiterlernen: Klammern mit Theorie und Übungen festigen →
Lernschritt 3
Negative Faktoren und Minusklammern
Steht ein negativer Faktor vor der Klammer, beachtest du bei jedem Produkt die Vorzeichenregel.
−2(3x − 4) = −6x + 8
−2 · 3x ergibt −6x. Das zweite Produkt ist (−2) · (−4) und ergibt +8.
Ein einzelnes Minus vor einer Klammer entspricht dem Faktor −1. Deshalb wechseln beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer.
−(x − 5) = −x + 5
7 − (2x + 3) = 7 − 2x − 3 = 4 − 2x
Probier es selbst: Löse 5 − (x − 2) auf und fasse zusammen.
Lösung ansehen
5 − x + 2 = 7 − x.
Lernschritt 4
Gemeinsame Faktoren ausklammern
Beim Ausklammern gehst du rückwärts. Suche einen Faktor, der in jedem Summanden steckt.
12x + 8 = 4(3x + 2)
- Gemeinsamen Faktor finden: 12 und 8 sind durch 4 teilbar.
- Jeden Summanden durch 4 teilen: 12x : 4 = 3x und 8 : 4 = 2.
- Die Ergebnisse in eine Klammer schreiben und 4 davor setzen.
- Zur Probe ausmultiplizieren: 4 · 3x + 4 · 2 = 12x + 8.
Ausklammern hat oft mehrere richtige Lösungen: 12x + 8 = 2(6x + 4) ist ebenfalls richtig. Mit dem größten gemeinsamen ganzzahligen Faktor 4 ist der Zahlenfaktor hier vollständig ausgeklammert.
Probier es selbst: Klammere bei 7x + 21 den gemeinsamen Faktor 7 aus.
Lösung ansehen
7(x + 3).
Passend weiterlernen: Ausklammern auf der Lernkarte nachschlagen →
Lernschritt 5
Zusatz: Variablen als gemeinsame Faktoren
Auch eine Variable kann ein gemeinsamer Faktor sein. Schreibe die Summanden als Produkte, um ihn zu erkennen.
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
Denn 6x² = 3x · 2x und 9x = 3x · 3. Die Gleichheit gilt auch für x = 0; beim Nachweisen durch Ausmultiplizieren muss man nicht durch x teilen.
5x + 5 = 5(x + 1)
Die 1 in der Klammer darf nicht verschwinden: 5 : 5 = 1. Beim Ausmultiplizieren wird daraus wieder der Summand 5.
Probier es selbst: Klammere bei 4ab + 8a den Faktor 4a aus.
Lösung ansehen
4a(b + 2).
Lernschritt 6
Zusatz: Zwei Klammern multiplizieren
Bei zwei Summen muss jeder Teil der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten multipliziert werden.
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
| Produkt | Ergebnis |
|---|---|
| x · x | x² |
| x · 3 | 3x |
| 2 · x | 2x |
| 2 · 3 | 6 |
Erst nach dem Bilden aller vier Produkte fasst du gleichartige Teile zusammen. Nur den ersten und den letzten Teil zu multiplizieren wäre unvollständig.
Probier es selbst: Multipliziere (x + 1)(x + 4) aus.
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x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
Lernschritt 7
Fehlerdetektiv und Probe
Die Rechnung 4(x + 3) = 4x + 3 enthält einen Fehler: Der zweite Summand wurde nicht mit 4 multipliziert.
Richtig: 4(x + 3) = 4x + 12
Eine Einsetzprobe mit x = 2 macht den Fehler sichtbar: links 4 · 5 = 20, in der falschen rechten Seite nur 8 + 3 = 11.
Ausklammern prüfst du besonders gut durch erneutes Ausmultiplizieren. Eine einzelne passende Einsetzprobe ist hilfreich, ersetzt aber keinen Nachweis für alle Werte.
Probier es selbst: Prüfe 8x − 12 = 4(2x − 3).
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Ausmultiplizieren ergibt 4 · 2x − 4 · 3 = 8x − 12. Die Umformung stimmt.
Passend weiterlernen: Die Schritte des Ausmultiplizierens wiederholen →
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · −3(2x − 1)
Lösung und Rechenweg ansehen
−6x + 3. Negativ mal negativ ergibt beim zweiten Produkt positiv.
Erklärung wiederholen →3 · 6 − (a + 2)
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6 − a − 2 = 4 − a.
Erklärung wiederholen →4 · Klammere den größten gemeinsamen ganzzahligen Faktor aus: 15x + 10.
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5(3x + 2).
Erklärung wiederholen →5 · Zusatz: Klammere bei 8x² − 12x den Faktor 4x aus.
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4x(2x − 3). Probe: 8x² − 12x.
Erklärung wiederholen →6 · Zusatz: (x + 2)(x − 1)
Lösung und Rechenweg ansehen
x² − x + 2x − 2 = x² + x − 2.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
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Erklären und Üben verbinden
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Ausklammern nachschlagen
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Produkt und aktuellen Preis ansehen →Häufige Fragen
Muss ich beim Ausmultiplizieren auch die Zahl in der Klammer multiplizieren?
Ja. Der Faktor gehört zu jedem Summanden, also auch zu einer reinen Zahl.
Darf ich beim Ausklammern einen kleineren gemeinsamen Faktor nehmen?
Ja, sofern die Aufgabe nichts anderes verlangt. Soll möglichst weit ausgeklammert werden, suchst du den größten gemeinsamen Zahlenfaktor und gegebenenfalls gemeinsame Variablenfaktoren.