Rechengesetze & Klammerrechnung: Erklärung und Übungen

Mathe · Grundlagen und Wiederholung

In der richtigen Reihenfolge rechnen.

Verstehe Punkt vor Strich, rechne Klammern von innen nach außen und nutze Rechengesetze für geschickte Rechenwege. Mit Beispielen, Fehlerdetektiv und kostenlosen Materialien.

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Die Klammer verändert den Rechenweg

6 + 4 · 3 = 18

Zuerst 4 · 3 = 12, dann 6 + 12.

(6 + 4) · 3 = 30

Zuerst 6 + 4 = 10, dann 10 · 3.

Lernschritt 1

Welche Rechnung kommt zuerst?

Ein Rechenausdruck kann mehrere Rechenarten enthalten. Die Reihenfolge ist festgelegt, damit alle dasselbe Ergebnis erhalten.

Klammern zuerst, bei verschachtelten Klammern von innen nach außen.
Potenzen vor Multiplikation und Division.
Punktrechnung: Multiplikation und Division.
Strichrechnung: Addition und Subtraktion.

Gleichrangig heißt von links nach rechts: Mal und Geteilt sind gleichrangig, ebenso Plus und Minus. Es gibt keine allgemeine Regel „Mal vor Geteilt“ oder „Plus vor Minus“.

24 : 6 · 2 = 4 · 2 = 8

18 − 7 + 3 = 11 + 3 = 14

Probier es selbst: Berechne 7 + 3 · 4.

Lösung und Rechenweg ansehen

Zuerst 3 · 4 = 12. Dann 7 + 12 = 19. Wer zuerst 7 + 3 rechnet, verändert die vorgeschriebene Reihenfolge.

Passend weiterüben: Rechenregeln als Lernkarte nachschlagen →

Lernschritt 2

Klammern von innen nach außen

Klammern halten einen Teilausdruck zusammen. Rechne zuerst die innerste Klammer vollständig aus. Innerhalb jeder Klammer gilt ebenfalls Punkt vor Strich.

Schritt	Rechnung	Warum?
Start	40 − 3 · (7 − (5 − 2))	Innerste Klammer suchen
1	40 − 3 · (7 − 3)	5 − 2 = 3
2	40 − 3 · 4	7 − 3 = 4
3	40 − 12	Punkt vor Strich
4	28	Zum Schluss subtrahieren

Probier es selbst: Berechne 50 − 2 · (3 + 4 · 2).

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In der Klammer zuerst 4 · 2 = 8, dann 3 + 8 = 11.
50 − 2 · 11 = 50 − 22 = 28.

Passend weiterüben: Klammerregeln als kostenlose Übersicht ansehen →

Lernschritt 3

Vertauschen: das Kommutativgesetz

Bei einer Addition darfst du die Summanden vertauschen. Bei einer Multiplikation darfst du die Faktoren vertauschen. Der Wert bleibt gleich.

a + b = b + a

a · b = b · a

Beispiel: 17 + 28 = 28 + 17 = 45. Auch 4 · 25 = 25 · 4 = 100.

Bei Minus und Geteilt gilt das nicht: 8 − 3 = 5, aber 3 − 8 = −5. Ebenso ist 12 : 3 = 4, während 3 : 12 = 0,25 ist. Vertausche deshalb nicht einfach Zahlen quer durch einen gemischten Ausdruck.

Probier es selbst: Darfst du 7 · 13 als 13 · 7 rechnen? Und 7 − 13 als 13 − 7?

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Bei Mal ja: Beide Produkte ergeben 91. Bei Minus nein: 7 − 13 = −6, aber 13 − 7 = 6.

Lernschritt 4

Zusammenfassen: das Assoziativgesetz

Wenn nur addiert wird, darfst du die Klammern anders setzen. Dasselbe gilt bei einer reinen Multiplikation. Dadurch kannst du günstige Zahlen zuerst zusammenfassen.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a · b) · c = a · (b · c)

Geschickt addieren: 38 + 17 + 2 = (38 + 2) + 17 = 57. Hier werden Vertauschungs- und Verbindungsgesetz gemeinsam genutzt.

Geschickt multiplizieren: 25 · 7 · 4 = (25 · 4) · 7 = 700.

Vorsicht bei Division: (24 : 6) : 2 = 2, aber 24 : (6 : 2) = 8. Klammern verändern hier den Wert.

Probier es selbst: Berechne 125 · 9 · 8 geschickt.

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Fasse 125 und 8 zusammen: (125 · 8) · 9 = 1000 · 9 = 9000.

Lernschritt 5

Verteilen: das Distributivgesetz

Eine Zahl vor einer Plus- oder Minusklammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert.

a · (b + c) = a · b + a · c

a · (b − c) = a · b − a · c

Beispiel: 7 · (20 + 3) = 7 · 20 + 7 · 3 = 140 + 21 = 161. So berechnest du 7 · 23 im Kopf.

Die Regel funktioniert auch rückwärts: 6 · 17 + 4 · 17 = (6 + 4) · 17 = 170. Das nennt man Ausklammern.

Probier es selbst: Rechne 8 · 49 mit einer Minusklammer.

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49 = 50 − 1.
8 · (50 − 1) = 8 · 50 − 8 · 1 = 400 − 8 = 392.

Passend weiterüben: Das Distributivgesetz mit Rechentricks üben →

Lernschritt 6

Was macht ein Minus vor der Klammer?

Du kannst die Klammer zuerst ausrechnen. Wenn du sie stattdessen auflösen möchtest, musst du jeden Vorzeichenwechsel beachten:

a − (b + c) = a − b − c

a − (b − c) = a − b + c

Beispiel: 20 − (8 − 3) = 20 − 5 = 15. Ohne Klammer: 20 − 8 + 3 = 15.

Warum wird aus dem zweiten Minus ein Plus? Das Abziehen der gesamten Klammer entspricht dem Multiplizieren jedes Klammerterms mit −1.

Probier es selbst: Löse die Klammer auf und berechne 30 − (12 + 4).

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30 − 12 − 4 = 18 − 4 = 14. Probe mit Klammer: 30 − 16 = 14.

Lernschritt 7

Fehlerdetektiv: Wo beginnt der Fehler?

Ein Schüler rechnet: 24 : 6 · 2 = 24 : 12 = 2.

Probier es selbst: Erkläre den ersten falschen Schritt.

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Er rechnet 6 · 2 zuerst, obwohl Division und Multiplikation gleichrangig sind. Von links nach rechts ergibt sich 24 : 6 · 2 = 4 · 2 = 8. Das Ergebnis 2 würde zum anderen Ausdruck 24 : (6 · 2) passen.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Rechne zuerst selbst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Wenn etwas nicht klappt, führt dich der Link zur passenden Erklärung.

1 · 9 + 4 · 5

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4 · 5 = 20; anschließend 9 + 20 = 29.

Erklärung wiederholen →

2 · 36 : 6 · 3

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Von links: 36 : 6 = 6; 6 · 3 = 18.

Erklärung wiederholen →

3 · 5 · (12 − 2 · 3)

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In der Klammer 2 · 3 = 6; 12 − 6 = 6; 5 · 6 = 30.

Erklärung wiederholen →

4 · 25 · 13 · 4 geschickt

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25 · 4 · 13 = 100 · 13 = 1300.

Erklärung wiederholen →

5 · 6 · 19 geschickt

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6 · (20 − 1) = 120 − 6 = 114.

Erklärung wiederholen →

6 · 18 − (7 − 2)

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18 − 7 + 2 = 13. Mit Klammer ebenfalls 18 − 5 = 13.

Erklärung wiederholen →

Der Selbstcheck hilft dir bei der Orientierung. Er ersetzt keinen vollständigen Lernstandstest. Übe nach einem Fehler eine ähnliche Aufgabe und probiere den Check später erneut.

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