1 · Berechne f(−2) für f(x) = x² + 1.
Lösung und Rechenweg ansehen
(−2)² + 1 = 5.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Quadratische Funktionen: verstehen und üben
Verstehe Parabeln, lies den Scheitelpunkt ab und untersuche den Einfluss der Parameter. Mit interaktiven Reglern, Wertetabellen, Nullstellenbeispielen und kostenlosen Materialien.
Die Normalparabel als Ausgangspunkt
f(x) = x²
Scheitelpunkt S(0 | 0)
Für x = −2 und x = 2 erhältst du denselben Funktionswert 4.
Lernschritt 1
Was ist eine quadratische Funktion?
Eine quadratische Funktion lässt sich in der Form f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0 schreiben. Ihr Graph heißt Parabel. Anders als eine Gerade hat sie keine überall gleiche Steigung.
Die einfachste quadratische Funktion ist f(x) = x². Ihr Graph ist die Normalparabel. Sie öffnet sich nach oben und hat ihren tiefsten Punkt im Ursprung. Dieser besondere Punkt heißt Scheitelpunkt.
Wenn a = 0 ist, fällt der quadratische Term weg. Dann ist die Funktion nicht quadratisch. Je nach übrigen Termen entsteht eine lineare oder eine konstante Funktion.
Lernschritt 2
Eine Wertetabelle erstellen und die Parabel zeichnen
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
- Wähle mehrere x-Werte, auch links und rechts vom Scheitel.
- Setze jeden Wert in die Funktionsgleichung ein.
- Trage die Punkte (x | f(x)) in ein Koordinatensystem ein.
- Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte. Verbinde sie nicht als kantigen Streckenzug.
Beim Einsetzen negativer Zahlen sind Klammern wichtig: (−3)² = 9. Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse.
Lernschritt 3
Die Scheitelpunktform verstehen
f(x) = a(x − d)² + e
Der Scheitelpunkt ist S(d | e), die Symmetrieachse lautet x = d. Der Faktor a bestimmt die Öffnungsrichtung und die Breite relativ zur Normalparabel.
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| a > 0 | nach oben geöffnet; der Scheitel ist der tiefste Punkt |
| a < 0 | nach unten geöffnet; der Scheitel ist der höchste Punkt |
| |a| > 1 | schmaler als die Normalparabel |
| 0 < |a| < 1 | breiter als die Normalparabel |
| d | Verschiebung nach rechts bei d > 0, nach links bei d < 0 |
| e | Verschiebung nach oben bei e > 0, nach unten bei e < 0 |
Beispiel: f(x) = 2(x − 3)² − 1 hat den Scheitel S(3 | −1). Dagegen steht in f(x) = (x + 2)² + 4 der Scheitel bei S(−2 | 4), denn x + 2 = x − (−2).
Lernschritt 4
Verändere die Parabel selbst
Versuch 1: Lasse d = 0 und e = 0. Vergleiche a = 0,5, a = 1 und a = 2. Der Scheitel bleibt stehen, die Breite ändert sich.
Versuch 2: Stelle a = −1, d = 2 und e = 3 ein. Die Parabel öffnet sich nach unten und hat den Scheitel S(2 | 3).
Versuch 3: Stelle a = 0 ein. Der Graph wird zu einer waagerechten Geraden. Die Parabelregeln gelten für diesen Sonderfall nicht.
Lernschritt 5
Zwischen allgemeiner Form und Scheitelpunktform wechseln
Die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c zeigt den y-Achsenabschnitt direkt: f(0) = c. Die Scheitelpunktform zeigt dagegen den Scheitel besonders übersichtlich.
Durch Ausmultiplizieren erhältst du:
(x − 2)² − 3 = x² − 4x + 1
Rückwärts hilft die quadratische Ergänzung:
x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4
Die Hälfte von 6 ist 3. In (x + 3)² steckt neben x² + 6x auch die 9. Deshalb ziehen wir 9 wieder ab. Der Scheitel lautet S(−3 | −4).
Bei einem Vorfaktor a ≠ 1 musst du diesen beim Umformen berücksichtigen. Beispiel: 2x² + 8x + 3 = 2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 5.
Lernschritt 6
Nullstellen bestimmen: Wo ist f(x) = 0?
Nullstellen sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse trifft. Setze die Funktionsgleichung gleich 0.
Beispiel: f(x) = (x − 2)² − 9. Dann gilt:
(x − 2)² = 9
Also x − 2 = 3 oder x − 2 = −3. Daraus folgen x = 5 und x = −1. Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind (5 | 0) und (−1 | 0).
| Funktion | Reelle Nullstellen |
|---|---|
| f(x) = x² − 4 | zwei: −2 und 2 |
| f(x) = x² | eine: 0, eine doppelte Nullstelle |
| f(x) = x² + 4 | keine, weil x² nie negativ ist |
Nicht jede quadratische Gleichung lässt sich so unmittelbar lösen. Für die allgemeine Form helfen quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel. Diese Verfahren kannst du anschließend vertiefen.
Lernschritt 7
Einen Punkt prüfen und typische Fehler vermeiden
Gehört P(3 | 2) zu f(x) = (x − 1)² − 2? Einsetzen ergibt f(3) = (3 − 1)² − 2 = 2. Der Punkt gehört zum Graphen.
- Vorzeichen im Scheitel verwechselt: (x + 3)² bedeutet d = −3.
- Negatives x ohne Klammer quadriert: Setze den ganzen Wert in Klammern.
- Nullstelle mit y-Achsenabschnitt verwechselt: Für Nullstellen setzt du f(x) = 0; für den y-Achsenabschnitt x = 0.
- Nur eine Wurzellösung betrachtet: Aus (x − d)² = r mit r > 0 entstehen zwei Möglichkeiten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Lies den Scheitel von f(x) = (x + 3)² − 2 ab.
Lösung und Rechenweg ansehen
S(−3 | −2). Das Plus in der Klammer entspricht d = −3.
Erklärung wiederholen →3 · Wie öffnet sich f(x) = −2x²?
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Nach unten und schmaler als die Normalparabel, denn a < 0 und |a| > 1.
Erklärung wiederholen →4 · Multipliziere (x − 2)² − 3 aus.
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x² − 4x + 4 − 3 = x² − 4x + 1.
Erklärung wiederholen →5 · Bestimme die Nullstellen von f(x) = (x − 1)² − 4.
Lösung und Rechenweg ansehen
(x − 1)² = 4 → x − 1 = ±2 → x = −1 oder x = 3.
Erklärung wiederholen →6 · Gehört P(2 | 5) zu f(x) = x² + 1?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ja. f(2) = 4 + 1 = 5.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Funktionsformen umwandeln
Kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen zum Wechsel zwischen Scheitelpunktform, allgemeiner Form und Produktform. Die Produktform ist eine weiterführende Ergänzung.
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Kostenlos · Lernposter · PDF
Parabeln auf einen Blick
Kostenloses Lernposter zum Nachschlagen der Grundlagen quadratischer Funktionen.
Material ansehen →Häufige Fragen
Was ist die Normalparabel?
Der Graph von f(x) = x². Ihr Scheitel liegt bei (0 | 0), ihre Symmetrieachse ist die y-Achse.
Hat jede Parabel zwei Nullstellen?
Nein. Eine quadratische Funktion kann zwei, eine doppelte oder keine reellen Nullstellen haben.
Ist c in ax² + bx + c die Scheitelhöhe?
Nicht allgemein. c ist der y-Achsenabschnitt. Die Scheitelhöhe liest du in der Scheitelpunktform als e ab.