Mathe · Klasse 8–10 · etwa 30–45 Minuten
Du liest Scheitelpunkte ab, wechselst zwischen Funktionsformen und bestimmst Nullstellen sowie Eigenschaften von Parabeln.
Potenzen, binomische Formeln, Gleichungen und Koordinaten.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Berechne den Funktionswert, lies den Scheitelpunkt ab und bestimme beide Nullstellen.
Punkte: x; y, etwa 2; −3. Terme: x² − 4x + 1 oder (x − 2)^2 − 3. Nullstellen: −1; 3 oder „keine“. Formbeschreibung: „oben; schmaler“, „unten; breiter“ oder entsprechend „gleich breit“. Bei Punktproben: ja oder nein.
02 · Verstehen
Die Normalparabel als Ausgangspunkt
f(x) = x²
Scheitelpunkt S(0 | 0)
Für x = −2 und x = 2 erhältst du denselben Funktionswert 4.
Eine quadratische Funktion lässt sich in der Form f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0 schreiben. Ihr Graph heißt Parabel. Anders als eine Gerade hat sie keine überall gleiche Steigung.
Die einfachste quadratische Funktion ist f(x) = x². Ihr Graph ist die Normalparabel. Sie öffnet sich nach oben und hat ihren tiefsten Punkt im Ursprung. Dieser besondere Punkt heißt Scheitelpunkt.
Wenn a = 0 ist, fällt der quadratische Term weg. Dann ist die Funktion nicht quadratisch. Je nach übrigen Termen entsteht eine lineare oder eine konstante Funktion.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| x | f(x) = x² |
|---|---|
| −3 | 9 |
| −2 | 4 |
| −1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
Beim Einsetzen negativer Zahlen sind Klammern wichtig: (−3)² = 9. Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse.
Die Regel
f(x) = a(x − d)² + e
Der Scheitelpunkt ist S(d | e), die Symmetrieachse lautet x = d. Der Faktor a bestimmt die Öffnungsrichtung und die Breite relativ zur Normalparabel.
| Parameter | Wirkung |
|---|---|
| a > 0 | nach oben geöffnet; der Scheitel ist der tiefste Punkt |
| a < 0 | nach unten geöffnet; der Scheitel ist der höchste Punkt |
| |a| > 1 | schmaler als die Normalparabel |
| 0 < |a| < 1 | breiter als die Normalparabel |
| d | Verschiebung nach rechts bei d > 0, nach links bei d < 0 |
| e | Verschiebung nach oben bei e > 0, nach unten bei e < 0 |
Beispiel: f(x) = 2(x − 3)² − 1 hat den Scheitel S(3 | −1). Dagegen steht in f(x) = (x + 2)² + 4 der Scheitel bei S(−2 | 4), denn x + 2 = x − (−2).
Versuch 1: Lasse d = 0 und e = 0. Vergleiche a = 0,5, a = 1 und a = 2. Der Scheitel bleibt stehen, die Breite ändert sich.
Versuch 2: Stelle a = −1, d = 2 und e = 3 ein. Die Parabel öffnet sich nach unten und hat den Scheitel S(2 | 3).
Versuch 3: Stelle a = 0 ein. Der Graph wird zu einer waagerechten Geraden. Die Parabelregeln gelten für diesen Sonderfall nicht.
Die allgemeine Form f(x) = ax² + bx + c zeigt den y-Achsenabschnitt direkt: f(0) = c. Die Scheitelpunktform zeigt dagegen den Scheitel besonders übersichtlich. Beide Formen beschreiben denselben Graphen.
Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form: Wende zuerst die binomische Formel an und fasse dann zusammen.
Umformen · Schritt für Schritt
f(x) = (x − 2)² − 3
(x − 2)² = x² − 4x + 4. Die −3 außerhalb der Klammer bleibt erhalten.
4 − 3 = 1. Damit ist die allgemeine Form erreicht.
Zurück mit quadratischer Ergänzung: Wir formen f(x) = x² + 6x + 5 um.
Umformen · Schritt für Schritt
f(x) = x² + 6x + 5
Die Zahl vor x ist 6. Ihre Hälfte ist 3; die passende Klammer ist deshalb (x + 3)².
(x + 3)² = x² + 6x + 9. Ergänze 9 und ziehe dieselbe Zahl wieder ab, damit der Term gleich bleibt.
Die ersten drei Terme bilden das Klammerquadrat (x + 3)².
−9 + 5 = −4. Der Scheitel ist S(−3 | −4).
Der Scheitel ist S(−3 | −4). Zur Kontrolle: Bei x = −3 wird die quadrierte Klammer 0. Jeder andere x-Wert liefert einen größeren Funktionswert.
Umformen · Schritt für Schritt
f(x) = 2x² + 8x + 3
Vor x² steht der Faktor 2.
Klammere 2 aus 2x² + 8x aus. Die +3 bleibt außerhalb.
Die Hälfte von 4 ist 2, ihr Quadrat ist 4. Ergänze 4 und ziehe 4 wieder ab.
x² + 4x + 4 = (x + 2)². Die −4 bleibt ebenfalls in der äußeren Klammer.
Multipliziere auch die −4 mit 2: Aus −4 werden −8.
−8 + 3 = −5. Damit lautet der Scheitel S(−2 | −5).
Damit lautet der Scheitel S(−2 | −5). Probe durch Ausmultiplizieren: 2(x² + 4x + 4) − 5 = 2x² + 8x + 3.
Bei einem Vorfaktor wirkt die Korrektur in der Klammer ebenfalls mit diesem Faktor. Hier werden aus −4 in der Klammer −8 außerhalb.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse trifft. Setze die Funktionsgleichung gleich 0.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = (x − 2)² − 9
Beispiel: Bestimme die Nullstellen von f(x) = (x − 2)² − 9.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse ist f(x) = 0.
Addiere auf beiden Seiten 9, damit das Quadrat allein steht.
Sowohl 3² als auch (−3)² ergeben 9.
Addiere in beiden Fällen 2. Die Schnittpunkte sind (5 | 0) und (−1 | 0).
| Funktion | Reelle Nullstellen |
|---|---|
| f(x) = x² − 4 | zwei: −2 und 2 |
| f(x) = x² | eine: 0, eine doppelte Nullstelle |
| f(x) = x² + 4 | keine, weil x² nie negativ ist |
Nicht jede quadratische Gleichung lässt sich so unmittelbar lösen. Für die allgemeine Form helfen quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel. Diese Verfahren kannst du anschließend vertiefen.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = (x − 1)² − 2
P(3 | 2)
Gehört P(3 | 2) zu f(x) = (x − 1)² − 2?
Setze x = 3 in die Funktionsgleichung ein.
Rechne zuerst die Klammer, dann das Quadrat und zuletzt −2. Das Ergebnis stimmt mit der y-Koordinate 2 überein: Der Punkt gehört zum Graphen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Nutze bei Bedarf den Parabel-Regler in der Erklärung. Beim Abschlusscheck rechnest du anschließend ohne Hilfen.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = x² + 1; x = −2
Setze den negativen Wert −2 in Klammern ein.
(−2)² = 4. Addiere anschließend 1.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = (x + 3)² − 2
Das Plus in der Klammer entspricht d = −3 in der Form a(x − d)² + e.
d = −3 und e = −2 ergeben die Koordinaten des Scheitels.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = −2x²
Der Faktor ist negativ: Die Parabel öffnet sich nach unten.
Der Betrag des Faktors ist größer als 1: Die Parabel ist schmaler als die Normalparabel.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = x² − 4x + 1
Die Hälfte von −4 ist −2; das Quadrat davon ist 4.
Ergänze 4 und ziehe 4 wieder ab. So bleibt der Funktionswert gleich.
x² − 4x + 4 = (x − 2)² und −4 + 1 = −3. Der Scheitel ist S(2 | −3).
Kontrolle durch Ausmultiplizieren: x² − 4x + 4 − 3 = x² − 4x + 1.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = (x − 1)² − 4
Gesucht sind die x-Werte mit f(x) = 0.
Addiere auf beiden Seiten 4.
Die Zahlen 2 und −2 ergeben beim Quadrieren jeweils 4.
Addiere in beiden Fällen 1. Das sind die beiden Nullstellen.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = x² + 1
P(2 | 5)
Setze die x-Koordinate 2 in f(x) = x² + 1 ein.
Ja: Der Funktionswert 5 stimmt mit der y-Koordinate von P(2 | 5) überein.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Passende Materialien zum Thema „Quadratische Funktionen“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Optionale Ergänzungen zum Üben und Nachschlagen. Klassenstufe und Umfang findest du beim jeweiligen Produkt.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Quadratische Gleichungen vertiefen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Der Graph von f(x) = x². Ihr Scheitel liegt bei (0 | 0), ihre Symmetrieachse ist die y-Achse.
Nein. Eine quadratische Funktion kann zwei, eine doppelte oder keine reellen Nullstellen haben.
Nicht allgemein. c ist der y-Achsenabschnitt. Die Scheitelhöhe liest du in der Scheitelpunktform als e ab.
Der Scheitel liegt bei S(2 | −3). Wir suchen die allgemeine Form.