Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Du löst Bruchgleichungen, schließt verbotene Nennerwerte aus und unterscheidest keine, einzelne und unendlich viele Lösungen.
Bruchterme und lineare Gleichungen; für Stufe 3 quadratische Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Prüfe die ausgeschlossenen Werte, eine einfache Bruchgleichung und einen verbotenen Kandidaten.
Lösungen als Zahlen oder Brüche eingeben, etwa 1/3 oder −2; 3. Keine Lösung: keine. Unendlich viele: alle außer 1 (mit allen tatsächlichen Ausschlüssen). Bei Ausschlussaufgaben nur die ausgeschlossenen Zahlen angeben. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Erst ausschließen, dann lösen
= 2
x ≠ 1. Multipliziere beide Seiten mit x − 1:
3 = 2(x − 1) → x = 2,5
Die Probe in der ursprünglichen Gleichung bestätigt das Ergebnis.
Bei einer Bruchgleichung steht die gesuchte Variable in mindestens einem Nenner. Du suchst alle erlaubten Werte, für die die linke und rechte Seite denselben Wert haben.
= 2
Eine Gleichung mit einem Zahlenbruch ist nicht automatisch eine Bruchgleichung in diesem Sinne. Bei x geteilt durch 3 steht die Variable nur im Zähler; der Nenner 3 kann nie 0 werden.
Die wichtigste Besonderheit ist die Definitionsmenge: Manche Werte darfst du überhaupt nicht einsetzen. Diese Einschränkungen stehen vor der eigentlichen Lösungsrechnung.
Untersuche sämtliche ursprünglichen Nenner. Setze jeden gleich 0 und notiere die ausgeschlossenen Werte. Wir lösen die Beispiele hier über den reellen Zahlen.
+ = 1
Beispiel · Schritt für Schritt
+ = 1
Der zweite Nenner wird bei 2 gleich 0: Auch dieser Wert ist ausgeschlossen.
Notiere zuerst alle erlaubten Eingaben. Erst danach beginnst du mit den Umformungen.
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten Eingaben. Die Lösungsmenge enthält nur diejenigen erlaubten Werte, die zusätzlich die Gleichung erfüllen. Verwechsle diese beiden Mengen nicht.
Wir lösen das Beispiel aus dem Einstieg. Die Zahl 1 ist ausgeschlossen.
= 2
Beispiel · Schritt für Schritt
= 2
1. Multipliziere beide Seiten mit x − 1. Auf der Definitionsmenge x ≠ 1 ist dieser Faktor nicht 0, die Umformung also umkehrbar.
2. Löse die Klammer auf.
Addiere auf beiden Seiten 2.
Teile durch 2.
3. Prüfe die Zulässigkeit. Der Kandidat ist erlaubt.
Probe in der ursprünglichen Gleichung: Die linke Seite ist 2, genau wie die rechte.
Damit ist die Lösungsmenge bestimmt.
Wir beginnen mit einer Gleichung, bei der nach dem Beseitigen der Nenner eine lineare Gleichung übrig bleibt.
+ = 3
Beispiel · Schritt für Schritt
+ = 3
Definitionsmenge: Weder x noch 2x darf 0 sein.
2x enthält die Faktoren beider Nenner. Ein zusätzlicher Faktor x ist nicht nötig.
Multipliziere jeden Summanden mit 2x. Auch aus der rechten Seite 3 wird 3 · 2x.
Im ersten Produkt kürzt sich x und es bleibt 2. Im zweiten kürzt sich 2x und es bleibt 1.
Fasse die linke Seite zusammen.
Teile durch 6. Der Wert ist erlaubt.
Probe in der ursprünglichen Gleichung: Links steht 2 + 1 = 3.
Die Probe bestätigt die Lösung.
Die ganze Gleichung multiplizieren. Aus der rechten Seite 3 wird 6x. Nur die Brüche zu verändern und die übrigen Terme stehen zu lassen wäre falsch.
Lösung · Schritt für Schritt
+ = 7
Schließe den verbotenen Nennerwert aus.
Multipliziere jeden Summanden auf beiden Seiten mit 3x.
2/x wird zu 6, 1/(3x) zu 1 und 7 zu 21x.
Fasse links zu 7 zusammen und teile durch 21.
Probe in der Ausgangsgleichung: Der erste Summand ergibt 6.
Der zweite Summand ergibt 1. Zusammen sind es 7.
Die Lösung ist erlaubt und erfüllt die Ausgangsgleichung.
Dieses Beispiel setzt voraus, dass du quadratische Gleichungen lösen kannst. Für den Einstieg kannst du direkt mit dem nächsten Lernschritt weitermachen.
Ein Hauptnenner enthält alle nötigen Nennerfaktoren. Multipliziere die gesamte Gleichung damit, also jeden Summanden auf beiden Seiten.
+ 1 =
Lösung · Schritt für Schritt
+ 1 =
Prüfe die ursprünglichen Nenner.
Der Hauptnenner enthält alle nötigen Faktoren.
Multipliziere jeden Summanden. Auch die einzelne 1 wird mit dem Hauptnenner multipliziert; dieser Schritt wird häufig vergessen.
Löse beide Klammern auf.
Fasse zusammen und subtrahiere 5x.
Die quadratische Lösungsformel liefert den ersten Kandidaten.
Der zweite Kandidat entsteht mit dem Minuszeichen. Beide Werte sind weder 0 noch 1.
Exakte Probe: Δ bezeichnet linke minus rechte Seite der Ausgangsgleichung. Durch Zusammenfassen auf den Hauptnenner entsteht dieser Bruch.
Bei beiden Kandidaten ist der Zähler 0 und der Nenner nicht 0. Beide Ausgangsseiten stimmen daher überein.
Beide erlaubten Kandidaten sind Lösungen.
Betrachte:
=
Beispiel · Schritt für Schritt
=
Beide ursprünglichen Nenner schließen 1 aus.
Multipliziere auf der Definitionsmenge mit x − 1.
Subtrahiere auf beiden Seiten 1.
Der einzige Kandidat ist ausgeschlossen: Beide ursprünglichen Nenner wären 0. Deshalb gibt es keine Lösung; ∅ ist die leere Menge.
Schreibe hier nicht einfach x = 1 als Ergebnis. Das Lösen der umgeformten Gleichung reicht ohne Abgleich mit der Definitionsmenge nicht aus.
Manchmal entsteht nach dem Vereinfachen eine Aussage, die immer stimmt:
= x + 1
Beispiel · Schritt für Schritt
= x + 1
Notiere den Ausschluss aus dem ursprünglichen Nenner.
Zerlege den Zähler mit der dritten binomischen Formel.
Kürze den Faktor x − 1 nur für erlaubte x. Die verbleibende Aussage ist immer wahr.
Alle erlaubten Eingaben sind Lösungen. Das Kürzen erlaubt die Zahl 1 nicht nachträglich.
Entsteht stattdessen ein Widerspruch wie 2 = 5, gibt es keine Lösung. Entsteht eine immer wahre Aussage, sind alle Werte der ursprünglichen Definitionsmenge Lösungen.
120 € sollen gleichmäßig auf eine Gruppe verteilt werden. Wenn zwei Personen mehr mitmachen, zahlt jede Person 5 € weniger. Wie viele Personen sind ursprünglich dabei?
Nenne die ursprüngliche Personenzahl x. Der ursprüngliche Anteil ist 120 geteilt durch x, der neue Anteil 120 geteilt durch x + 2. Gesucht ist eine positive ganze Zahl.
− = 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Gesamtkosten: 120 €
2 Personen mehr → je 5 € weniger
Gesucht: ursprüngliche Personenzahl
Algebraisch sind 0 und −2 ausgeschlossen. Im Sachzusammenhang muss x außerdem eine positive ganze Zahl sein.
Multipliziere jeden Summanden mit dem Hauptnenner x(x + 2).
Löse die Klammern auf und fasse zusammen.
Teile durch 5 und bringe alles auf eine Seite.
Faktorisiere den quadratischen Term.
Nutze den Satz vom Nullprodukt. Eine negative Personenzahl ist unmöglich; es waren ursprünglich 6 Personen.
Probe im Text: Bei 6 Personen beträgt der Anteil 20 € pro Person.
Bei zwei weiteren Personen beträgt der Anteil 15 € pro Person.
Die Differenz passt zur Aufgabe.
Die Probe gehört in die Ausgangsgleichung. Eine Kontrolle nur in einer späteren Zeile würde einen bereits vorher entstandenen Umformungsfehler möglicherweise übersehen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Notiere die Definitionsmenge auf Papier. Die Probe gehört immer in die ursprüngliche Gleichung. Bei der Personenaufgabe muss das Ergebnis zusätzlich eine positive ganze Zahl sein.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
=
Prüfe den ersten ursprünglichen Nenner.
Prüfe den zweiten Nenner. Ausgeschlossen sind 3 und −1.
Lösung · Schritt für Schritt
= 2
Bestimme den ausgeschlossenen Nennerwert.
Multipliziere beide Seiten mit x + 1.
Löse die Klammer auf.
Subtrahiere 2 und teile durch 2.
Probe in der Ausgangsgleichung: 4 geteilt durch 2 ist 2. Der Kandidat ist erlaubt.
Die Lösungsmenge enthält 1.
Lösung · Schritt für Schritt
+ = 3
Prüfe die Nenner.
Multipliziere jeden Summanden mit dem Hauptnenner 2x.
Fasse zu 3 zusammen und teile durch 6.
Probe: Die linke Ausgangsseite ist 2 + 1 = 3. Der Wert ist erlaubt.
Die Probe bestätigt die Lösung.
Lösung · Schritt für Schritt
=
Beide Nenner schließen 2 aus.
Multipliziere beide Seiten mit x − 2.
Subtrahiere 2. Der Kandidat ist verboten.
Beim Einsetzen würden die ursprünglichen Nenner 0. Es gibt keine Lösung.
Lösung · Schritt für Schritt
= x + 2
Notiere den Ausschluss vor dem Kürzen.
Faktorisiere den Zähler.
Kürze den Faktor x − 2 auf der Definitionsmenge.
Die Aussage ist für alle erlaubten Eingaben wahr. Der Ausschluss bleibt erhalten.
Lösung · Schritt für Schritt
=
Prüfe beide ursprünglichen Nenner.
Multipliziere beide Seiten mit x(x − 1).
Löse die Klammer auf.
Subtrahiere 3x, addiere 6 und teile durch 3.
Probe in der Ausgangsgleichung: Beide Seiten sind 3. Der Kandidat ist erlaubt.
Die Lösungsmenge enthält 2.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Passende Materialien zum Thema „Bruchgleichungen“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
8. Klasse · 9. Klasse · 7. Klasse
Produkt genauer ansehen →Die kompakte Lernhilfe und ein passender Buchband ergänzen sich beim Wiederholen und Vertiefen. Beachte die jeweilige Klassenstufe.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
5. Klasse · 6. Klasse · 7. Klasse · 8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Quadratische Gleichungen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Ja, auf der zuvor festgelegten Definitionsmenge ist er ungleich 0. Multipliziere dabei die gesamte Gleichung, also jeden Summanden auf beiden Seiten.
Nur dort kontrollierst du direkt, ob der Wert erlaubt ist und beide ursprünglichen Seiten übereinstimmen. So erkennst du auch frühere Umformungsfehler.
Ja. Sie kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen haben. Das hängt von der Gleichung ab; ausgeschlossen bleiben immer die verbotenen Nennerwerte.
Der erste Nenner x wird bei 0 gleich 0: Dieser Wert ist ausgeschlossen.