1 · Welche Werte sind bei = ausgeschlossen?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 3 und x = −1.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Bruchgleichungen: verstehen und üben
Löse Gleichungen mit Variablen im Nenner Schritt für Schritt: ausgeschlossene Werte bestimmen, mit dem Hauptnenner multiplizieren und die Lösung in der Ausgangsgleichung prüfen.
Erst ausschließen, dann lösen
= 2
x ≠ 1. Multipliziere beide Seiten mit x − 1:
3 = 2(x − 1) → x = 2,5
Die Probe in der ursprünglichen Gleichung bestätigt das Ergebnis.
Lernschritt 1
Was ist eine Bruchgleichung?
Bei einer Bruchgleichung steht die gesuchte Variable in mindestens einem Nenner. Du suchst alle erlaubten Werte, für die die linke und rechte Seite denselben Wert haben.
= 2
Eine Gleichung mit einem Zahlenbruch ist nicht automatisch eine Bruchgleichung in diesem Sinne. Bei x geteilt durch 3 steht die Variable nur im Zähler; der Nenner 3 kann nie 0 werden.
Die wichtigste Besonderheit ist die Definitionsmenge: Manche Werte darfst du überhaupt nicht einsetzen. Diese Einschränkungen stehen vor der eigentlichen Lösungsrechnung.
Lernschritt 2
Die Definitionsmenge zuerst bestimmen
Untersuche sämtliche ursprünglichen Nenner. Setze jeden gleich 0 und notiere die ausgeschlossenen Werte. Wir lösen die Beispiele hier über den reellen Zahlen.
+ = 1
Hier gilt x ≠ 0 und x ≠ 2. Als Definitionsmenge kannst du schreiben: D = ℝ ohne {0; 2}. Erst danach beginnst du mit den Umformungen.
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten Eingaben. Die Lösungsmenge enthält nur diejenigen erlaubten Werte, die zusätzlich die Gleichung erfüllen. Verwechsle diese beiden Mengen nicht.
Lernschritt 3
Ein Nenner: eine Gleichung vollständig lösen
Wir lösen das Beispiel aus dem Einstieg. Die Zahl 1 ist ausgeschlossen.
= 2
1. Beide Seiten mit x − 1 multiplizieren. Für erlaubte Werte ist dieser Faktor ungleich 0, deshalb ist die Umformung umkehrbar.
3 = 2(x − 1)
2. Klammer auflösen und nach x umstellen.
3 = 2x − 2 → 5 = 2x → x =
3. Zulässigkeit und Probe prüfen. Der Wert 2,5 ist erlaubt. In der ursprünglichen Gleichung ergibt die linke Seite:
= = 2
Die rechte Seite ist ebenfalls 2. Damit ist die Lösungsmenge L = {2,5}.
Lernschritt 4
Mehrere Nenner: jeden Summanden mitnehmen
Ein Hauptnenner enthält alle nötigen Nennerfaktoren. Multipliziere die gesamte Gleichung damit, also jeden Summanden auf beiden Seiten.
+ 1 =
Ausgeschlossen sind 0 und 1. Der Hauptnenner ist x(x − 1). Nach der Multiplikation erhältst du:
2(x − 1) + x(x − 1) = 5x
Auch die einzelne 1 wird mit dem Hauptnenner multipliziert. Genau dieser Schritt wird häufig vergessen.
2x − 2 + x² − x = 5x
x² − 4x − 2 = 0
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt:
x₁ = 2 + √6, x₂ = 2 − √6
Beide Werte sind weder 0 noch 1. Zur exakten Kontrolle kann man den Unterschied beider Ausgangsseiten zusammenfassen:
+ 1 − =
Für beide Kandidaten ist der Zähler 0 und der Nenner ungleich 0. Damit erfüllen beide die Ausgangsgleichung. L = {2 − √6; 2 + √6}.
Lernschritt 5
Ein rechnerischer Kandidat kann verboten sein
Betrachte:
=
Es gilt x ≠ 1. Multipliziere mit x − 1:
x + 1 = 2 → x = 1
Der gefundene Wert ist ausgeschlossen. Er kann keine Lösung sein, denn beide ursprünglichen Nenner wären 0. Es gibt keinen anderen Kandidaten. Daher ist L = ∅, die leere Menge.
Schreibe hier nicht einfach x = 1 als Ergebnis. Das Lösen der umgeformten Gleichung reicht ohne Abgleich mit der Definitionsmenge nicht aus.
Lernschritt 6
Wenn alle erlaubten Werte Lösungen sind
Manchmal entsteht nach dem Vereinfachen eine Aussage, die immer stimmt:
= x + 1
Wegen des ursprünglichen Nenners ist x ≠ 1. Zerlege x² − 1 in (x − 1)(x + 1) und kürze den Faktor x − 1. Es bleibt:
x + 1 = x + 1
Das ist für alle erlaubten x wahr. Deshalb ist L = D = ℝ ohne {1}. Die Zahl 1 wird durch das Kürzen nicht nachträglich erlaubt.
Entsteht stattdessen ein Widerspruch wie 2 = 5, gibt es keine Lösung. Entsteht eine immer wahre Aussage, sind alle Werte der ursprünglichen Definitionsmenge Lösungen.
Lernschritt 7
Eine Bruchgleichung aus einem Sachtext
120 € sollen gleichmäßig auf eine Gruppe verteilt werden. Wenn zwei Personen mehr mitmachen, zahlt jede Person 5 € weniger. Wie viele Personen sind ursprünglich dabei?
Nenne die ursprüngliche Personenzahl x. Der ursprüngliche Anteil ist 120 geteilt durch x, der neue Anteil 120 geteilt durch x + 2. Gesucht ist eine positive ganze Zahl.
− = 5
Algebraisch sind 0 und −2 ausgeschlossen. Multipliziere mit x(x + 2):
120(x + 2) − 120x = 5x(x + 2)
240 = 5x² + 10x → x² + 2x − 48 = 0
(x + 8)(x − 6) = 0
Die algebraischen Kandidaten sind −8 und 6. Eine negative Personenzahl ist im Sachzusammenhang unmöglich. Also waren es ursprünglich 6 Personen.
Probe im Text: 120 € auf 6 Personen sind 20 € je Person. Bei 8 Personen sind es 15 €. Der Unterschied beträgt tatsächlich 5 €.
Lernschritt 8
Dein sicherer Rechenplan
- Notiere alle verbotenen Nennerwerte und gegebenenfalls Einschränkungen aus dem Sachtext.
- Zerlege die Nenner in Faktoren und bestimme einen Hauptnenner.
- Multipliziere jeden Summanden auf beiden Seiten damit.
- Löse die entstehende Gleichung.
- Streiche Kandidaten außerhalb der Definitionsmenge oder des Sachzusammenhangs.
- Setze die übrigen Kandidaten in die ursprüngliche Gleichung ein.
- Gib die Lösungsmenge oder einen Antwortsatz mit Einheit an.
Die Probe gehört in die Ausgangsgleichung. Eine Kontrolle nur in einer späteren Zeile würde einen bereits vorher entstandenen Umformungsfehler möglicherweise übersehen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Löse = 2.
Lösung und Rechenweg ansehen
x ≠ −1. Multiplizieren ergibt 4 = 2x + 2, also x = 1. Probe: 4 geteilt durch 2 ist 2. L = {1}.
Erklärung wiederholen →3 · Löse + = 3.
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x ≠ 0. Mit 2x multiplizieren: 2 + 1 = 6x. Also x = 0,5. Probe: 2 + 1 = 3. L = {0,5}.
Erklärung wiederholen →4 · Löse = .
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x ≠ 2. Nach der Multiplikation folgt x + 2 = 4, also der verbotene Kandidat x = 2. L = ∅.
Erklärung wiederholen →5 · Welche Lösungsmenge hat = x + 2?
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x ≠ 2. Nach Faktorisieren und Kürzen entsteht x + 2 = x + 2. Deshalb L = ℝ ohne {2}.
Erklärung wiederholen →6 · Löse = .
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x ≠ 0 und x ≠ 1. Mit x(x − 1) multiplizieren: 6(x − 1) = 3x. Daraus x = 2. Probe: links 3, rechts 3. L = {2}.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Darf ich mit einem variablen Nenner multiplizieren?
Ja, auf der zuvor festgelegten Definitionsmenge ist er ungleich 0. Multipliziere dabei die gesamte Gleichung, also jeden Summanden auf beiden Seiten.
Warum muss ich die Ausgangsgleichung für die Probe verwenden?
Nur dort kontrollierst du direkt, ob der Wert erlaubt ist und beide ursprünglichen Seiten übereinstimmen. So erkennst du auch frühere Umformungsfehler.
Kann eine Bruchgleichung mehrere Lösungen haben?
Ja. Sie kann keine, eine, mehrere oder unendlich viele Lösungen haben. Das hängt von der Gleichung ab; ausgeschlossen bleiben immer die verbotenen Nennerwerte.