1 · Welche Werte sind bei ausgeschlossen?
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 0 und x = 4. Beide machen einen Nennerfaktor 0.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Bruchterme: verstehen und üben
Lerne, Bruchterme zu kürzen, zu erweitern und miteinander zu verrechnen. Erkenne zuerst die ausgeschlossenen Werte und unterscheide Faktoren von Summanden.
Erst zerlegen, dann kürzen
= =
Der gemeinsame Faktor 3 lässt sich kürzen. Die Einschränkung x ≠ 0 bleibt erhalten.
Lernschritt 1
Was ist ein Bruchterm?
Ein Bruchterm ist ein Bruch, dessen Nenner eine Variable enthält. Im Zähler kann ebenfalls eine Variable stehen. Du rechnest damit ähnlich wie mit Zahlenbrüchen – musst aber prüfen, welche Werte du einsetzen darfst.
, ,
Bei einem Term vereinfachst du einen Ausdruck. Bei einer Bruchgleichung suchst du dagegen Werte, für die zwei Ausdrücke gleich sind. Deshalb gibt es beim Vereinfachen eines Terms noch keine Lösungsmenge.
Hilfreiche Vorkenntnisse sind Bruchrechnung, Ausklammern und binomische Formeln. Wenn dir das Zerlegen schwerfällt, wiederhole zuerst diese Grundlagen.
Lernschritt 2
Welche Werte sind ausgeschlossen?
Durch 0 darfst du nicht teilen. Setze deshalb jeden ursprünglichen Nenner gleich 0 und schließe die dabei gefundenen Werte aus. Wir rechnen hier mit reellen Zahlen.
: x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3
Der Wert −2 ist hier erlaubt: Er macht nur den Zähler 0. Ein Bruch mit Zähler 0 und Nenner ungleich 0 hat den Wert 0.
: x ≠ 0 und x ≠ −2
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Deshalb prüfst du beim zweiten Beispiel beide Faktoren einzeln.
Bestimme die Einschränkungen vor dem Kürzen. Ein verbotener Wert bleibt auch dann verboten, wenn der betreffende Faktor später nicht mehr sichtbar ist.
Lernschritt 3
Faktoren kürzen – Summanden nicht
Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch denselben Faktor ungleich 0 teilen. Schreibe Summen dafür zunächst als Produkte.
= =
Hier kürzt du den Zahlenfaktor 3. Die Definitionsmenge bleibt durch x ≠ 0 eingeschränkt. Das x im Nenner lässt sich nicht mit dem x innerhalb der Summe x + 2 kürzen.
ist nicht immer 2
Eine Einsetzprobe zeigt den Fehler: Für x = 2 hat der linke Ausdruck den Wert 2, für x = 4 aber den Wert 1,5. Er kann also nicht allgemein gleich 2 sein.
Merke: Suche einen gemeinsamen Faktor des gesamten Zählers und Nenners. Einzelne Summanden darfst du nicht wegstreichen.
Lernschritt 4
Mit binomischen Formeln zerlegen
Manchmal erkennst du den gemeinsamen Faktor erst mithilfe einer binomischen Formel. Für x² − 9 gilt die Differenz zweier Quadrate:
x² − 9 = (x − 3) · (x + 3)
= = x + 3
Das Ergebnis gilt nur für x ≠ 3. Zwar kannst du in x + 3 auch die Zahl 3 einsetzen; der ursprüngliche Bruchterm ist dort aber nicht definiert. Beim Vereinfachen übernimmst du deshalb immer die ursprüngliche Einschränkung.
Lernschritt 5
Erweitern und den Hauptnenner finden
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck ungleich 0. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich. Das brauchst du vor allem, um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren.
=
Diese Erweiterung gilt für x ≠ 0 und x ≠ −1, weil der Erweiterungsfaktor x + 1 nicht 0 sein darf. Beim Addieren mit einem Bruch, der schon x + 1 im Nenner hat, ist −1 ohnehin ausgeschlossen.
Für die Nenner x und x + 1 ist x(x + 1) ein Hauptnenner. Für die Nenner x² und x reicht x²: Du brauchst jeden unterschiedlichen Faktor nur in der höchsten vorkommenden Potenz.
Lernschritt 6
Bruchterme addieren und subtrahieren
Bei gleichem Nenner verrechnest du nur die Zähler. Der Nenner bleibt unverändert. Bei verschiedenen Nennern erweiterst du zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.
+ = =
Es gilt x ≠ 0 und x ≠ −1. Die Zähler werden zu 2x + 2 + 3x = 5x + 2 zusammengefasst. Im Ergebnis gibt es keinen gemeinsamen Faktor zum Kürzen.
Beim Subtrahieren gehört das Minuszeichen vor den gesamten zweiten Zähler:
− = =
Mit x ≠ 0. Aus −(2x − 1) wird −2x + 1. Eine Klammer schützt dich hier vor einem Vorzeichenfehler.
Lernschritt 7
Multiplizieren: zuerst sinnvoll kürzen
Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Ein gemeinsamer Nenner ist dafür nicht nötig. Zerlege die Faktoren möglichst vor dem Ausmultiplizieren.
· =
Aus den ursprünglichen Nennern folgt x ≠ −1 und x ≠ 0. Unter diesen Bedingungen kürzen sich x und x + 1. Bei den Zahlen bleibt aus 12 geteilt durch 18 der Bruch zwei Drittel.
Das konstante Ergebnis bedeutet nicht, dass nun alle x erlaubt sind. Die ursprünglichen Ausschlüsse gehören weiterhin dazu.
Lernschritt 8
Dividieren: Kehrwert und zusätzliche Einschränkung
Teile durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Dabei muss der Divisor selbst ungleich 0 sein. Prüfe also zusätzlich seinen Zähler.
: = · =
Es gilt x ≠ 0 und x ≠ −2 wegen der ursprünglichen Nenner. Zusätzlich ist x ≠ 1 nötig, weil du sonst durch den Wert 0 teilen würdest. Alle drei Einschränkungen bleiben erhalten.
Lernschritt 9
Dein Rechenplan für Bruchterme
- Notiere alle ausgeschlossenen Werte aus den ursprünglichen Nennern.
- Bei einer Division: Schließe zusätzlich Nullstellen des Divisors aus.
- Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren.
- Wähle die passende Rechenregel. Addieren braucht einen gemeinsamen Nenner, Multiplizieren nicht.
- Kürze nur gemeinsame Faktoren und fasse das Ergebnis zusammen.
- Schreibe die Einschränkungen dazu und kontrolliere mit einem erlaubten Zahlenwert.
Eine Zahlenprobe kann einen Fehler aufdecken. Sie beweist aber nicht allein, dass eine Umformung für alle erlaubten Werte richtig ist.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Vereinfache .
Lösung und Rechenweg ansehen
= , mit x ≠ 0. Kürze den gemeinsamen Faktor 4.
Erklärung wiederholen →3 · Kürze .
Lösung und Rechenweg ansehen
Der Zähler ist (x − 4)(x + 4). Ergebnis: x + 4, weiterhin mit x ≠ 4.
Erklärung wiederholen →4 · Berechne + .
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Hauptnenner: x(x + 2). Ergebnis: , mit x ≠ 0 und x ≠ −2.
Erklärung wiederholen →5 · Vereinfache · .
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Das Ergebnis ist 3. Es gilt weiterhin x ≠ 0 und x ≠ −2.
Erklärung wiederholen →6 · Welche Werte sind bei : ausgeschlossen?
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x = 0 und x = −1 wegen der Nenner; außerdem x = 3, weil der Divisor dann 0 wäre.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Darf ich x aus einer Summe kürzen?
Nur wenn x ein Faktor der gesamten Summe ist und zuerst ausgeklammert wird. Aus x + 2 lässt sich kein gemeinsamer Faktor x ausklammern, der das Kürzen mit x erlaubt, ohne neue Brüche einzuführen.
Bleiben verbotene Werte nach dem Kürzen verboten?
Ja. Der vereinfachte Term beschreibt den ursprünglichen Ausdruck nur auf dessen Definitionsmenge.
Brauche ich immer einen Hauptnenner?
Zum Addieren und Subtrahieren brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Beim Multiplizieren und Dividieren ist das nicht nötig.