Mathe · Klasse 8–10 · etwa 35–50 Minuten
Du bestimmst ausgeschlossene Werte, kürzt gemeinsame Faktoren und verrechnest Bruchterme ohne die Definitionsmenge zu verlieren.
Bruchrechnung, Ausklammern und binomische Formeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Finde einen ausgeschlossenen Wert und vereinfache zwei Bruchterme.
Terme: / für Brüche, * für mal, ^2 oder ² für Quadrate. Ganze Zähler und Nenner in Klammern setzen. Ausgeschlossene Werte mit Semikolon trennen, etwa −2; 0. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Erst zerlegen, dann kürzen
= =
Der gemeinsame Faktor 3 lässt sich kürzen. Die Einschränkung x ≠ 0 bleibt erhalten.
Ein Bruchterm ist ein Bruch, dessen Nenner eine Variable enthält. Im Zähler kann ebenfalls eine Variable stehen. Du rechnest damit ähnlich wie mit Zahlenbrüchen – musst aber prüfen, welche Werte du einsetzen darfst.
, ,
Bei einem Term vereinfachst du einen Ausdruck. Bei einer Bruchgleichung suchst du dagegen Werte, für die zwei Ausdrücke gleich sind. Deshalb gibt es beim Vereinfachen eines Terms noch keine Lösungsmenge.
Hilfreiche Vorkenntnisse sind Bruchrechnung, Ausklammern und binomische Formeln. Wenn dir das Zerlegen schwerfällt, wiederhole zuerst diese Grundlagen.
Durch 0 darfst du nicht teilen. Setze deshalb jeden ursprünglichen Nenner gleich 0 und schließe die dabei gefundenen Werte aus. Wir rechnen hier mit reellen Zahlen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bei x = 3 wäre die Division nicht definiert.
Alle anderen reellen Zahlen sind erlaubt.
Der Wert −2 ist hier erlaubt: Er macht nur den Zähler 0. Ein Bruch mit Zähler 0 und Nenner ungleich 0 hat den Wert 0.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.
Beide Faktoren können den Nenner 0 machen.
Die gefundenen Nennernullstellen dürfen nicht eingesetzt werden.
Bestimme die Einschränkungen vor dem Kürzen. Ein verbotener Wert bleibt auch dann verboten, wenn der betreffende Faktor später nicht mehr sichtbar ist.
Kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch denselben Faktor ungleich 0 teilen. Schreibe Summen dafür zunächst als Produkte.
Beispiel · Schritt für Schritt
Der ursprüngliche Nenner 3x muss ungleich 0 sein.
Schreibe den gesamten Zähler als Produkt.
Teile Zähler und Nenner durch 3. Das x in der Summe x + 2 ist kein Faktor des gesamten Zählers.
Die ursprüngliche Einschränkung bleibt erhalten.
ist nicht immer 2
Eine Einsetzprobe zeigt den Fehler: Für x = 2 hat der linke Ausdruck den Wert 2, für x = 4 aber den Wert 1,5. Er kann also nicht allgemein gleich 2 sein.
Merke: Suche einen gemeinsamen Faktor des gesamten Zählers und Nenners. Einzelne Summanden darfst du nicht wegstreichen.
Manchmal erkennst du den gemeinsamen Faktor erst mithilfe einer binomischen Formel. Für x² − 9 gilt die Differenz zweier Quadrate:
Beispiel · Schritt für Schritt
x − 3 darf nicht 0 sein.
Zerlege die Differenz zweier Quadrate.
Nun ist der gemeinsame Faktor sichtbar.
Der Faktor x − 3 ist auf der ursprünglichen Definitionsmenge ungleich 0.
Das Ergebnis gilt nur für x ≠ 3. Zwar kannst du in x + 3 auch die Zahl 3 einsetzen; der ursprüngliche Bruchterm ist dort aber nicht definiert. Beim Vereinfachen übernimmst du deshalb immer die ursprüngliche Einschränkung.
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck ungleich 0. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich. Das brauchst du vor allem, um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren.
Beispiel · Schritt für Schritt
mit x + 1 erweitern
Der ursprüngliche Nenner x und der Erweiterungsfaktor x + 1 dürfen nicht 0 sein.
Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck x + 1.
Die Gleichheit gilt hier für x ≠ 0 und x ≠ −1. Beim Addieren mit einem Bruch mit Nenner x + 1 ist −1 ohnehin ausgeschlossen.
Für die Nenner x und x + 1 ist x(x + 1) ein Hauptnenner. Für die Nenner x² und x reicht x²: Du brauchst jeden unterschiedlichen Faktor nur in der höchsten vorkommenden Potenz.
Bei gleichem Nenner verrechnest du nur die Zähler. Der Nenner bleibt unverändert. Bei verschiedenen Nennern erweiterst du zuerst auf einen gemeinsamen Nenner.
Beispiel: + . Zuerst ausschließen: x ≠ 0 und x ≠ −1.
Beispiel · Schritt für Schritt
+
Im ersten Nenner fehlt x + 1, im zweiten x. Es gilt x ≠ 0 und x ≠ −1.
Multipliziere den ganzen Zähler und Nenner mit x + 1.
Multipliziere den ganzen Zähler und Nenner mit x.
Der gemeinsame Nenner bleibt stehen.
2x + 2 + 3x = 5x + 2. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor zum Kürzen. x ≠ 0 und x ≠ −1 bleiben erhalten.
Beim Subtrahieren gehört das Minuszeichen vor den gesamten zweiten Zähler:
Beispiel · Schritt für Schritt
−
Beide ursprünglichen Brüche haben den Nenner x.
Setze den zweiten Zähler in Klammern, damit das Minus jeden seiner Summanden betrifft.
Aus −(2x − 1) wird −2x + 1.
Das Ergebnis gilt weiterhin für x ≠ 0.
Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Ein gemeinsamer Nenner ist dafür nicht nötig. Zerlege die Faktoren möglichst vor dem Ausmultiplizieren.
Beispiel · Schritt für Schritt
·
2(x + 1) und 9x dürfen nicht 0 sein.
Ein gemeinsamer Nenner ist beim Multiplizieren nicht nötig.
Lass die Faktoren stehen, damit gemeinsame Faktoren erkennbar bleiben.
Beide Faktoren sind auf der festgelegten Definitionsmenge ungleich 0.
Das Ergebnis ist 2/3 für x ≠ −1 und x ≠ 0.
Das konstante Ergebnis bedeutet nicht, dass nun alle x erlaubt sind. Die ursprünglichen Ausschlüsse gehören weiterhin dazu.
Teile durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Dabei muss der Divisor selbst ungleich 0 sein. Prüfe also zusätzlich seinen Zähler.
Beispiel · Schritt für Schritt
:
Die ursprünglichen Nenner x und x + 2 dürfen nicht 0 sein.
Der Bruch (x − 1)/(x + 2) darf selbst nicht 0 sein. Sein Zähler schließt x = 1 aus.
Kehre nur den zweiten Bruch um.
Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Alle drei ursprünglichen Einschränkungen x ≠ 0, x ≠ −2 und x ≠ 1 bleiben erhalten.
Eine Zahlenprobe kann einen Fehler aufdecken. Sie beweist aber nicht allein, dass eine Umformung für alle erlaubten Werte richtig ist.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Alle Aufgaben beziehen sich auf reelle Zahlen. Bei Termaufgaben gelten die angegebenen Ausschlüsse auch nach dem Kürzen weiter.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Der Zähler ist für die Ausschlüsse nicht entscheidend.
Prüfe die beiden Faktoren.
Beide gefundenen Werte sind ausgeschlossen.
Lösung · Schritt für Schritt
4x darf nicht 0 sein.
Schreibe den Zähler als Produkt.
Die Einschränkung x ≠ 0 bleibt erhalten.
Lösung · Schritt für Schritt
x − 4 darf nicht 0 sein.
Nutze die Differenz zweier Quadrate.
Das Ergebnis gilt weiterhin nur für x ≠ 4.
Lösung · Schritt für Schritt
+
Beide ursprünglichen Nenner müssen ungleich 0 sein.
Nutze x(x + 2) als Hauptnenner.
Die Einschränkungen x ≠ 0 und x ≠ −2 bleiben bestehen.
Lösung · Schritt für Schritt
·
x und x + 2 dürfen nicht 0 sein.
Gemeinsame Faktoren stehen im gesamten Zähler und Nenner.
Kürze x und x + 2. Das Ergebnis 3 gilt nur für x ≠ 0 und x ≠ −2.
Lösung · Schritt für Schritt
:
x und x + 1 dürfen nicht 0 sein.
Auch der zweite Bruch selbst darf nicht 0 sein.
Die drei Einschränkungen gehören zur ursprünglichen Division.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Bruchgleichungen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nur wenn x ein Faktor der gesamten Summe ist und zuerst ausgeklammert wird. Aus x + 2 lässt sich kein gemeinsamer Faktor x ausklammern, der das Kürzen mit x erlaubt, ohne neue Brüche einzuführen.
Ja. Der vereinfachte Term beschreibt den ursprünglichen Ausdruck nur auf dessen Definitionsmenge.
Zum Addieren und Subtrahieren brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Beim Multiplizieren und Dividieren ist das nicht nötig.
Aus dem Zähler entstehen keine Ausschlüsse.