1 · Ein gerades Prisma hat G = 12 cm² und h = 5 cm. Wie groß ist V?
Lösung und Rechenweg ansehen
V = G · h = 12 · 5 cm³ = 60 cm³.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Prismen und Zylinder: verstehen und üben
Berechne Volumen, Mantel und Oberfläche von geraden Prismen und Zylindern. Unterscheide Grundfläche, Umfang und Körperhöhe und löse Aufgaben zu offenen Gefäßen und fehlenden Maßen.
Eine Grundfläche – eine feste Höhe
V = G · h
O = 2G + M
G ist der Flächeninhalt einer Grundfläche, M die Mantelfläche. Bei einem geschlossenen Körper kommen zwei Grundflächen hinzu.
Lernschritt 1
Was haben Prisma und Zylinder gemeinsam?
Ein Prisma hat zwei zueinander parallele, deckungsgleiche Vielecke als Grund- und Deckfläche. Ein Zylinder hat stattdessen zwei Kreisflächen. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen diesen Flächen.
Hier betrachten wir gerade Prismen und gerade Kreiszylinder. Bei ihnen stehen die Seitenkanten beziehungsweise die Mantellinien senkrecht auf den Grundflächen. Der Mantel eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken.
Ein Quader ist ein besonderes Prisma mit rechteckiger Grundfläche. Es gibt aber auch Dreiecks-, Trapez- und andere Prismen. Die Formel für das Volumen bleibt gleich; nur die Berechnung der Grundfläche ändert sich.
Lernschritt 2
Grundfläche, Umfang und Mantel auseinanderhalten
Vier Größen spielen verschiedene Rollen:
- G: Flächeninhalt einer Grundfläche, zum Beispiel in cm².
- u: Umfang der Grundfläche, zum Beispiel in cm.
- h: Körperhöhe, zum Beispiel in cm.
- M: Fläche des Mantels, zum Beispiel in cm².
V = G · h; M = u · h; O = 2G + M
Die Mantelformel u · h gilt hier für gerade Körper. Für schiefe Prismen darfst du sie nicht unverändert verwenden. Die Volumenformel G · h gilt auch dort, wenn h wirklich die senkrechte Höhe ist.
Lernschritt 3
Ein Dreiecksprisma vollständig berechnen
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 3 cm und 4 cm sowie Hypotenuse 5 cm. Das gerade Prisma ist 10 cm hoch. Die Körperhöhe ist eine andere Länge als eine Höhe innerhalb des Dreiecks.
1. Grundfläche und Umfang bestimmen.
G = cm² = 6 cm²
u = (3 + 4 + 5) cm = 12 cm
2. Volumen und Mantel berechnen.
V = 6 cm² · 10 cm = 60 cm³
M = 12 cm · 10 cm = 120 cm²
3. Beide Dreiecke zum Mantel addieren.
O = 2 · 6 cm² + 120 cm² = 132 cm²
Das Volumen beschreibt den Rauminhalt. Die Oberfläche beschreibt die gesamte äußere Begrenzungsfläche. Deshalb haben die Ergebnisse verschiedene Einheiten.
Lernschritt 4
Einen Zylinder vollständig berechnen
Ein geschlossener Zylinder hat Radius r = 3 cm und Höhe h = 8 cm. Seine Grundfläche ist ein Kreis:
G = πr² = 9π cm²; u = 2πr = 6π cm
Damit erhältst du:
V = πr²h = 72π cm³ ≈ 226,19 cm³
M = 2πrh = 48π cm² ≈ 150,80 cm²
O = 2πr² + 2πrh = 66π cm² ≈ 207,35 cm²
Lass π möglichst bis zum Ende in der Rechnung stehen und runde erst das Endergebnis. So vermeidest du unnötige Rundungsfehler.
Ist der Durchmesser d gegeben, rechne zuerst r = d geteilt durch 2. Den Durchmesser direkt in πr² einzusetzen macht die Kreisfläche viermal so groß.
Lernschritt 5
Warum ist der Zylindermantel ein Rechteck?
Schneidest du den Mantel eines geraden Zylinders entlang einer senkrechten Linie auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck. Seine Höhe ist h. Seine Breite ist der Umfang des Grundkreises, also 2πr.
M = Breite · Höhe = 2πr · h
Zum vollständigen Netz gehören außerdem zwei Kreise. Für ein Etikett um die Dose brauchst du dagegen nur das Mantelrechteck. Klebelaschen oder Überlappungen kommen bei einer praktischen Verpackung zusätzlich hinzu.
Die Grundkreisfläche πr² ist nicht die Breite des Mantelrechtecks. Eine Breite ist eine Länge; eine Kreisfläche ist eine Fläche.
Lernschritt 6
Eine Dose ohne Deckel berechnen
Eine idealisierte Dose ist oben offen. Dann zählt für ihre Begrenzungsfläche nur eine Kreisfläche plus Mantel:
A = G + M = πr² + 2πrh
Für r = 3 cm und h = 8 cm aus dem vorherigen Beispiel:
A = 9π cm² + 48π cm² = 57π cm² ≈ 179,07 cm²
Für ein offenes Rohr ohne Boden und Deckel zählt in einem Modell ohne Wandstärke nur der Mantel. Reale Wandstärken, Schnittkanten und innere Flächen müssen gesondert berücksichtigt werden, wenn die Aufgabe sie verlangt.
Entscheide deshalb zuerst, welche Flächen gesucht sind. Die Standardformel für einen geschlossenen Körper passt nicht automatisch zu jeder Verpackung.
Lernschritt 7
Eine fehlende Höhe bestimmen
Ein gerades Prisma hat Volumen V = 150 cm³ und Grundfläche G = 25 cm². Stelle V = G · h nach h um:
h = = = 6 cm
Bei einem Zylinder setzt du G = πr² ein. Hat er Radius 2 cm und Volumen 40π cm³, dann gilt:
h = = 10 cm
Die Einheit hilft bei der Kontrolle: Rauminhalt geteilt durch Flächeninhalt ergibt eine Länge.
Lernschritt 8
Einheiten und Fassungsvermögen prüfen
Rechne alle Längen zuerst in dieselbe Einheit um. Für 3 cm Radius und 0,8 dm Höhe verwendest du beispielsweise h = 8 cm.
Beim Fassungsvermögen gilt: 1 cm³ = 1 ml und 1 dm³ = 1 l. Der Beispielzylinder mit etwa 226,19 cm³ fasst im Modell also etwa 226,19 ml beziehungsweise 0,22619 l.
Für das tatsächliche Fassungsvermögen brauchst du die Innenmaße. Außenmaße liefern bei einer Wandstärke ein größeres Volumen als den nutzbaren Innenraum.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Der Grundumfang eines geraden Prismas ist 18 cm, die Höhe 7 cm. Berechne M.
Lösung und Rechenweg ansehen
M = u · h = 18 · 7 cm² = 126 cm².
Erklärung wiederholen →3 · Ein Zylinder hat d = 10 cm und h = 4 cm. Berechne V.
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r = 5 cm. V = π · 5² · 4 cm³ = 100π cm³ ≈ 314,16 cm³.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Formel passt zur Dose ohne Deckel?
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A = G + M = πr² + 2πrh. Es gibt nur einen Boden, keinen Deckel.
Erklärung wiederholen →5 · Ein Prisma hat V = 84 cm³ und G = 14 cm². Bestimme h.
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h = V geteilt durch G = 6 cm.
Erklärung wiederholen →6 · Wie viele Liter sind 750 cm³?
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750 cm³ = 750 ml = 0,75 l.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Gilt M = u · h für jedes Prisma?
Diese Mantelformel gilt für gerade Prismen. Bei einem schiefen Prisma müssen die Seitenflächen passend berechnet werden.
Warum enthält die Oberfläche zweimal G?
Ein geschlossener Körper hat eine Grundfläche und eine gleich große Deckfläche. Bei einer offenen Dose entfällt eine davon.
Kann ich mit Außenmaßen das Fassungsvermögen berechnen?
Nur wenn die Wandstärke im Modell vernachlässigt wird. Für das tatsächliche Fassungsvermögen brauchst du die Innenmaße.