Berechne Prismen und Zylinder Schritt für Schritt. Unterscheide Grundfläche, Mantel und Volumen und entscheide bei einer Dose, ob der Deckel mitzählt.
Hilfreiches Vorwissen: Flächenberechnung, Kreisformeln, Einheiten und Gleichungen umstellen.
Prüfe Grundfläche mal Höhe, Radius und die Bestandteile der Oberfläche.
Zahlen mit Komma oder Punkt. π als pi, Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(...). Gib exakte Werte oder die verlangte Rundung auf zwei Nachkommastellen an. Beachte die gefragte Einheit. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Eine Grundfläche – eine feste Höhe
V = G · h
O = 2G + M
G ist der Flächeninhalt einer Grundfläche, M die Mantelfläche. Bei einem geschlossenen Körper kommen zwei Grundflächen hinzu.
Ein Prisma hat zwei zueinander parallele, deckungsgleiche Vielecke als Grund- und Deckfläche. Ein Zylinder hat stattdessen zwei Kreisflächen. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand zwischen diesen Flächen.
Hier betrachten wir gerade Prismen und gerade Kreiszylinder. Bei ihnen stehen die Seitenkanten beziehungsweise die Mantellinien senkrecht auf den Grundflächen. Der Mantel eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken.
Ein Quader ist ein besonderes Prisma mit rechteckiger Grundfläche. Es gibt aber auch Dreiecks-, Trapez- und andere Prismen. Die Formel für das Volumen bleibt gleich; nur die Berechnung der Grundfläche ändert sich.
Vier Größen spielen verschiedene Rollen:
V = G · h; M = u · h; O = 2G + M
Warum gilt V = G · h? Stelle dir den Körper aus gleich dicken Schichten aufgebaut vor. Jeder Schnitt parallel zur Grundfläche hat denselben Flächeninhalt G.
Beispiel – Schritt für Schritt
Grundfläche G = 6 cm²; zehn Schichten mit je 1 cm Höhe
Gesucht: Volumen bei h = 10 cm
Zehn solche Schichten ergeben h = 10 cm. Du vervielfachst die Grundfläche mit der Höhe.
Das gilt auch bei anderen Höhen: Wird die Höhe bei gleicher Grundfläche verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen.
Die Mantelformel u · h gilt hier für gerade Körper. Für schiefe Prismen darfst du sie nicht unverändert verwenden. Die Volumenformel G · h gilt auch dort, wenn h wirklich die senkrechte Höhe ist.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Für den Rauminhalt brauchst du die Grundfläche G.
Für die Mantelfläche brauchst du den Grundumfang u. Eine Fläche und ein Umfang sind verschiedene Größen.
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 3 cm und 4 cm sowie Hypotenuse 5 cm. Das gerade Prisma ist 10 cm hoch. Die Körperhöhe ist eine andere Länge als eine Höhe innerhalb des Dreiecks.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerades Dreiecksprisma; rechtwinklige Grundfläche mit Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm
Körperhöhe h = 10 cm
Die Katheten stehen senkrecht aufeinander und bilden Grundseite und zugehörige Dreieckshöhe.
Addiere die drei Randseiten der Dreiecksgrundfläche.
Verwende die Körperhöhe von zehn Zentimetern, nicht eine Dreieckshöhe.
Das Prisma ist gerade; seine rechteckigen Seitenflächen ergeben zusammen Grundumfang mal Körperhöhe.
Zum Mantel kommen zwei gleich große Dreiecksflächen hinzu.
Das Volumen beschreibt den Rauminhalt. Die Oberfläche beschreibt die gesamte äußere Begrenzungsfläche. Deshalb haben die Ergebnisse verschiedene Einheiten.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Katheten 6 cm und 8 cm bilden die Dreiecksfläche. Die Körperhöhe 5 cm gehört nicht zu diesem Dreieck.
Die Maßzahlen sind hier zufällig gleich. Beachte die unterschiedlichen Einheiten.
Zur geschlossenen Oberfläche gehören zwei Dreiecke und der Mantel.
Ein geschlossener Zylinder hat Radius r = 3 cm und Höhe h = 8 cm. Seine Grundfläche ist ein Kreis:
Beispiel – Schritt für Schritt
Geschlossener gerader Zylinder; r = 3 cm; h = 8 cm
Gesucht: Grundfläche, Volumen, Mantel und Oberfläche
Quadriere den Radius und die Längeneinheit.
Der Kreisumfang ist eine Länge, keine Fläche.
Multipliziere mit der senkrechten Körperhöhe. Die Näherung ist auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Der Zylinder ist gerade; sein abgewickelter Mantel ist ein Rechteck.
Addiere die zwei Kreisflächen und den Mantel mit ihren exakten π-Ausdrücken.
Lass π möglichst bis zum Ende in der Rechnung stehen und runde erst das Endergebnis. So vermeidest du unnötige Rundungsfehler.
Ist der Durchmesser d gegeben, rechne zuerst r = d geteilt durch 2. Den Durchmesser direkt in πr² einzusetzen macht die Kreisfläche viermal so groß.
Schneidest du den Mantel eines geraden Zylinders entlang einer senkrechten Linie auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck. Seine Höhe ist h. Seine Breite ist der Umfang des Grundkreises, also 2πr.
M = Breite · Höhe = 2πr · h
Zum vollständigen Netz gehören außerdem zwei Kreise. Für ein Etikett um die Dose brauchst du dagegen nur das Mantelrechteck. Klebelaschen oder Überlappungen kommen bei einer praktischen Verpackung zusätzlich hinzu.
Die Grundkreisfläche πr² ist nicht die Breite des Mantelrechtecks. Eine Breite ist eine Länge; eine Kreisfläche ist eine Fläche.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Breite entspricht dem Kreisumfang, nicht dem Durchmesser.
Für das Etikett zählt nur der Mantel. Rechne mit dem exakten Umfang weiter und runde erst am Ende.
Eine idealisierte Dose ist oben offen. Dann zählt für ihre Begrenzungsfläche nur eine Kreisfläche plus Mantel:
A = G + M = πr² + 2πrh
Für r = 3 cm und h = 8 cm aus dem vorherigen Beispiel:
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerade zylindrische Dose ohne Deckel; r = 3 cm; h = 8 cm
Gesucht: Fläche von Boden und Mantel
Für r = 3 cm und h = 8 cm gelten die zuvor berechneten Kreis- und Mantelflächen.
Die idealisierte Dose hat einen Boden und einen Mantel, aber keinen Deckel.
Nutze die π-Taste und runde die gesamte Fläche auf zwei Nachkommastellen.
Für ein offenes Rohr ohne Boden und Deckel zählt in einem Modell ohne Wandstärke nur der Mantel. Reale Wandstärken, Schnittkanten und innere Flächen müssen gesondert berücksichtigt werden, wenn die Aufgabe sie verlangt.
Entscheide deshalb zuerst, welche Flächen gesucht sind. Die Standardformel für einen geschlossenen Körper passt nicht automatisch zu jeder Verpackung.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Boden zählt einmal. Innen- und Außenseite werden im idealisierten Modell nicht doppelt gezählt.
Addiere einen Boden und den Mantel.
Ein Deckel ist eine weitere Kreisfläche mit demselben Radius.
Ein gerades Prisma hat Volumen V = 150 cm³ und Grundfläche G = 25 cm². Stelle V = G · h nach h um:
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerades Prisma; V = 150 cm³; G = 25 cm²
Gesucht: Körperhöhe h
Teile durch die positive Grundfläche G.
Volumen geteilt durch Grundfläche ergibt die Körperhöhe.
Bei einem Zylinder mit Radius 2 cm und Volumen 40π cm³ setzt du die Kreisgrundfläche ein:
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerader Zylinder; r = 2 cm; V = 40π cm³
Gesucht: Körperhöhe h
Der Radius wird quadriert.
Der Faktor π kürzt sich exakt. Eine Dezimalnäherung ist nicht nötig.
Die Einheit hilft bei der Kontrolle: Rauminhalt geteilt durch Flächeninhalt ergibt eine Länge.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Teile das Volumen durch die Grundfläche. Aus cm³ : cm² wird cm.
Mit der berechneten Höhe entsteht wieder das angegebene Volumen.
Rechne alle Längen zuerst in dieselbe Einheit um. Für 3 cm Radius und 0,8 dm Höhe gilt:
Beispiel – Schritt für Schritt
Zylinder; r = 3 cm; h = 0,8 dm
Gesucht: beide Längen in derselben Einheit
Radius und Höhe sollen beide in Zentimetern stehen.
Mit diesen Angaben erhältst du Flächen in cm² und das Volumen in cm³.
Beim Fassungsvermögen gilt: 1 cm³ = 1 ml und 1 dm³ = 1 l.
Beispiel – Schritt für Schritt
Innenvolumen V = 72π cm³
Gesucht: Fassungsvermögen in Millilitern und Litern
Jeder Kubikzentimeter entspricht einem Milliliter. Hier werden die Maße als Innenmaße beziehungsweise als Modell ohne Wandstärke verstanden.
Tausend Milliliter ergeben einen Liter.
Die beiden Angaben beschreiben dasselbe Fassungsvermögen mit entsprechender Rundung; rechne bis zum Schluss mit π.
Für das tatsächliche Fassungsvermögen brauchst du die Innenmaße. Außenmaße liefern bei einer Wandstärke ein größeres Volumen als den nutzbaren Innenraum.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Bringe die Innenmaße in dieselbe Längeneinheit.
Nutze den Innenradius und die Innenhöhe.
1.000 cm³ entsprechen 1 Liter. Runde erst am Ende.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
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Mathehelfer
Beim Prisma gibst du die bereits berechnete Grundfläche G und die Körperhöhe ein. Beim Zylinder wählst du Volumen, geschlossene Oberfläche oder Dose ohne Deckel.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
Gerades Prisma; G = 12 cm²; h = 5 cm
Gesucht: Volumen V
Verwende Grundflächeninhalt und senkrechte Körperhöhe.
Die Einheit Fläche mal Länge ergibt eine Volumeneinheit.
Lösung – Schritt für Schritt
Gerades Prisma; Grundumfang u = 18 cm; h = 7 cm
Gesucht: Mantelfläche M
Die Voraussetzung „gerades Prisma“ ist erfüllt.
Grundumfang und Höhe ergeben die gesamte Mantelfläche.
Lösung – Schritt für Schritt
Zylinder; d = 10 cm; h = 4 cm
Gesucht: Volumen V
In der Kreisflächenformel wird der Radius benötigt.
Quadriere den Radius.
Das exakte Ergebnis enthält π. Die Näherung ist auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Lösung – Schritt für Schritt
Gerade zylindrische Dose ohne Deckel
Gesucht: Formel für ihre Begrenzungsfläche
Die idealisierte Dose hat einen Boden und einen Mantel, aber keinen Deckel.
Die Mantelformel gilt für den geraden Kreiszylinder; die Wandstärke wird im Modell vernachlässigt.
Lösung – Schritt für Schritt
Prisma; V = 84 cm³; G = 14 cm²
Gesucht: Körperhöhe h
Die gegebene Grundfläche ist positiv, daher darfst du durch G teilen.
Das Ergebnis ist eine Länge.
Lösung – Schritt für Schritt
Gegeben: 750 cm³
Gesucht: das Volumen in Litern
Ein Kubikzentimeter entspricht einem Milliliter.
Teile die Milliliterzahl durch tausend.
Dein nächster Schritt
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Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Diese Mantelformel gilt für gerade Prismen. Bei einem schiefen Prisma müssen die Seitenflächen passend berechnet werden.
Ein geschlossener Körper hat eine Grundfläche und eine gleich große Deckfläche. Bei einer offenen Dose entfällt eine davon.
Nur wenn die Wandstärke im Modell vernachlässigt wird. Für das tatsächliche Fassungsvermögen brauchst du die Innenmaße.
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Die Grundfläche beträgt sechs Quadratzentimeter und die Schicht ist einen Zentimeter hoch.