1 · Eine Pyramide hat G = 30 cm² und h = 9 cm. Berechne V.
Lösung und Rechenweg ansehen
V = ein Drittel · 30 · 9 cm³ = 90 cm³.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Pyramiden und Kegel: verstehen und üben
Berechne Volumen und Oberfläche von Pyramiden und Kegeln. Unterscheide Körperhöhe, Seitenhöhe und Mantellinie und bestimme fehlende Längen mit dem Satz des Pythagoras.
Die senkrechte Höhe entscheidet
V = · G · h
Bei gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe hat eine Pyramide ein Drittel des Volumens eines Prismas. Für Kegel und Zylinder gilt dasselbe.
Lernschritt 1
Pyramide und Kegel erkennen
Bei einer Pyramide treffen dreieckige Seitenflächen in einer gemeinsamen Spitze zusammen. Ihre Grundfläche ist ein Vieleck. Ein Kegel hat eine Kreisfläche als Grundfläche und einen gekrümmten Mantel, der zur Spitze zusammenläuft.
Für das Volumen beider Körper gilt V = ein Drittel · G · h. Dabei ist h immer der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche, nicht eine schräge Kante.
Für die Oberflächenrechnungen betrachten wir hier eine regelmäßige quadratische Pyramide und einen geraden Kreiskegel. Bei der Pyramide liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats, beim Kegel über dem Kreismittelpunkt.
Lernschritt 2
Körperhöhe und schräge Höhe unterscheiden
Beim geraden Kreiskegel heißt die schräge Strecke von der Spitze zur Kreislinie Mantellinie s. Zusammen mit dem Radius r und der Körperhöhe h bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck:
s² = h² + r²
Bei der regelmäßigen quadratischen Pyramide ist hₛ die Höhe eines Seitendreiecks. Sie endet in der Mitte einer Grundkante. Mit der Grundkante a gilt:
hₛ² = h² + ()²
Die Seitenhöhe hₛ ist nicht die Seitenkante von der Spitze zu einer Ecke. Für die Fläche eines Seitendreiecks brauchst du dessen Höhe, nicht dessen schräge Kante.
Lernschritt 3
Eine quadratische Pyramide vollständig berechnen
Die Grundkante beträgt a = 6 cm, die Körperhöhe h = 4 cm. Die Grundfläche ist ein Quadrat:
G = a² = 36 cm²
1. Volumen berechnen.
V = · 36 cm² · 4 cm = 48 cm³
2. Seitenhöhe bestimmen. Die halbe Grundkante ist 3 cm. Im rechtwinkligen Dreieck gilt hₛ² = 4² + 3² = 25, also hₛ = 5 cm.
3. Mantel aus vier gleichen Dreiecken zusammensetzen.
M = 4 · = 2a · hₛ
M = 2 · 6 cm · 5 cm = 60 cm²
4. Die Grundfläche addieren.
O = G + M = 36 cm² + 60 cm² = 96 cm²
Die Körperhöhe 4 cm gehört in die Volumenformel. In der Mantelformel steht dagegen die Seitenhöhe 5 cm.
Lernschritt 4
Was ändert sich bei anderen Pyramiden?
Die Volumenformel V = ein Drittel · G · h gilt auch bei dreieckigen oder anderen Pyramiden. Berechne G passend zur tatsächlichen Grundfläche.
Für die Oberfläche addierst du die Grundfläche und alle Seitendreiecke einzeln. Sind die Seitendreiecke nicht gleich groß, darfst du nicht einfach die Fläche eines Dreiecks mit ihrer Anzahl multiplizieren.
Die Kurzformel M = 2a · hₛ aus unserem Beispiel gehört zur regelmäßigen quadratischen Pyramide. Bei einer rechteckigen Grundfläche sind die Seitenhöhen im Allgemeinen unterschiedlich.
Lernschritt 5
Einen geraden Kegel vollständig berechnen
Ein Kegel hat Radius r = 3 cm und Körperhöhe h = 4 cm. Bestimme zunächst die Mantellinie:
s² = 3² + 4² = 25 → s = 5 cm
Mit G = πr² ergeben sich:
V = πr²h = 12π cm³ ≈ 37,70 cm³
M = πrs = 15π cm² ≈ 47,12 cm²
O = πr² + πrs = 24π cm² ≈ 75,40 cm²
Auch hier steht h in der Volumenformel und s in der Mantelformel. Vertauschst du die beiden Größen, passen die Ergebnisse trotz gleicher Längeneinheit nicht.
Die Mantelformel πrs gilt für den geraden Kreiskegel. Behalte π in den Zwischenschritten und runde erst am Schluss.
Lernschritt 6
Warum ist der Kegelmantel kein Dreieck?
In der Seitenansicht wirkt der Kegel dreieckig. Sein abgewickelter Mantel ist aber ein Kreissektor mit Radius s. Die Bogenlänge dieses Sektors entspricht dem Umfang der Grundfläche, also 2πr.
Ein vollständiger Kreis mit Radius s hat Umfang 2πs und Fläche πs². Der benötigte Anteil des Vollkreises ist deshalb r geteilt durch s:
M = · πs² = πrs
Für eine kegelförmige Papiermütze ohne Boden brauchst du nur M. Für einen geschlossenen Kegel kommt die Grundkreisfläche hinzu. Kleberänder sind in den geometrischen Formeln noch nicht enthalten.
Lernschritt 7
Wenn die Mantellinie gegeben ist
Ein gerader Kegel hat Mantellinie s = 13 cm und Radius r = 5 cm. Für das Volumen brauchst du zuerst h.
h² = s² − r² = 169 − 25 = 144
h = 12 cm
Verwende die positive Wurzel, weil eine Körperhöhe eine positive Länge ist. Danach:
V = · π · 5² · 12 cm³ = 100π cm³ ≈ 314,16 cm³
Bei einem nicht entarteten geraden Kegel muss s > r gelten. Wenn s kleiner als r angegeben ist, können die Maße keinen solchen Kegel beschreiben.
Lernschritt 8
Körper mit gleicher Grundfläche vergleichen
Ein Zylinder und ein Kegel mit derselben Grundfläche G und derselben Höhe h haben die Volumina G · h und ein Drittel · G · h. Der Zylinder fasst daher dreimal so viel.
Für die Oberflächen gilt diese Drittel-Regel nicht. Der Mantel des Kegels hängt zusätzlich von der Mantellinie ab, und ein geschlossener Zylinder hat zwei Kreisflächen, ein Kegel nur eine.
Die Drittel-Regel braucht dieselbe Grundfläche und dieselbe senkrechte Höhe. Zwei beliebige Körper haben nicht automatisch dieses Volumenverhältnis.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Eine regelmäßige quadratische Pyramide hat a = 8 cm und h = 3 cm. Bestimme hₛ.
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Die halbe Grundkante ist 4 cm. hₛ² = 3² + 4² = 25, daher hₛ = 5 cm.
Erklärung wiederholen →3 · Berechne die Oberfläche dieser Pyramide mit a = 8 cm und hₛ = 5 cm.
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G = 64 cm². M = 2 · 8 · 5 cm² = 80 cm². O = 144 cm².
Erklärung wiederholen →4 · Ein Kegel hat r = 3 cm und s = 5 cm. Wie groß ist h?
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h² = 5² − 3² = 16. h = 4 cm.
Erklärung wiederholen →5 · Berechne den Mantel eines geraden Kegels mit r = 4 cm und s = 7 cm.
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M = πrs = 28π cm² ≈ 87,96 cm².
Erklärung wiederholen →6 · Ein Zylinder fasst 600 cm³. Wie viel fasst ein Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe?
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Ein Drittel davon: 200 cm³.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Welche Höhe gehört in die Volumenformel?
Immer die senkrechte Körperhöhe h. Eine schräge Seitenhöhe oder Mantellinie ist dafür nicht geeignet.
Ist der Kegelmantel ein Dreieck?
Nein. Beim Abwickeln entsteht ein Kreissektor. Die dreieckige Seitenansicht zeigt nicht die tatsächliche Mantelfläche.
Ist auch die Oberfläche eines Kegels ein Drittel der Zylinderoberfläche?
Nein. Die Drittel-Regel gilt nur für das Volumen bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.