Berechne Volumen und Oberfläche von Pyramiden und Kegeln. Die Skizzen helfen dir, senkrechte Körperhöhe, Seitenhöhe und Mantellinie richtig zuzuordnen.
Hilfreiches Vorwissen: Flächen, Kreisformeln, Pythagoras und Gleichungen umstellen.
Berechne ein Pyramidenvolumen, eine Mantellinie und das Volumenverhältnis zum Zylinder.
Zahlen mit Komma oder Punkt. π als pi, Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(...). Gib exakte Werte oder die verlangte Rundung auf zwei Nachkommastellen an. Beachte die gefragte Einheit. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Die senkrechte Höhe entscheidet
V = · G · h
Bei gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe hat eine Pyramide ein Drittel des Volumens eines Prismas. Für Kegel und Zylinder gilt dasselbe.
Bei einer Pyramide treffen dreieckige Seitenflächen in einer gemeinsamen Spitze zusammen. Ihre Grundfläche ist ein Vieleck. Ein Kegel hat eine Kreisfläche als Grundfläche und einen gekrümmten Mantel, der zur Spitze zusammenläuft.
Für das Volumen beider Körper gilt V = ein Drittel · G · h. Dabei ist h immer der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche, nicht eine schräge Kante.
Für die Oberflächenrechnungen betrachten wir hier eine regelmäßige quadratische Pyramide und einen geraden Kreiskegel. Bei der Pyramide liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats, beim Kegel über dem Kreismittelpunkt.
Beim geraden Kreiskegel heißt die schräge Strecke von der Spitze zur Kreislinie Mantellinie s. Zusammen mit dem Radius r und der Körperhöhe h bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck:
s² = h² + r²
Bei der regelmäßigen quadratischen Pyramide ist hₛ die Höhe eines Seitendreiecks. Sie endet in der Mitte einer Grundkante. Mit der Grundkante a gilt:
hₛ² = h² + ()²
Die Seitenhöhe hₛ ist nicht die Seitenkante von der Spitze zu einer Ecke. Für die Fläche eines Seitendreiecks brauchst du dessen Höhe, nicht dessen schräge Kante.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Rauminhalt nutzt den senkrechten Abstand von der Spitze zur Grundfläche. Der Mantel verläuft entlang der schrägen Außenseite.
Die Formeln zeigen, warum h und s nicht vertauscht werden dürfen.
Die Grundkante beträgt a = 6 cm, die Körperhöhe h = 4 cm. Die Grundfläche ist ein Quadrat:
Beispiel – Schritt für Schritt
Regelmäßige quadratische Pyramide; a = 6 cm; h = 4 cm
Gesucht: Grundfläche G
Quadriere die Grundkante; die Einheit wird cm².
1. Volumen berechnen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Pyramide; G = 36 cm²; Körperhöhe h = 4 cm
Gesucht: Volumen V
Verwende die senkrechte Körperhöhe h = 4 cm und den Faktor ein Drittel.
Setze Grundfläche und Körperhöhe ein.
Fläche mal Länge ergibt Volumen.
2. Seitenhöhe bestimmen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Pyramide; Grundkante a = 6 cm; Körperhöhe h = 4 cm
Gesucht: Seitenhöhe hₛ
Bei der regelmäßigen quadratischen Pyramide endet die Seitenhöhe in der Mitte einer Grundkante.
Nutze Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck aus Körperhöhe, halber Grundkante und Seitenhöhe.
Quadriere 4 cm und 3 cm und addiere.
Die gesuchte Länge ist die positive Wurzel.
3. Mantel aus vier gleichen Dreiecken zusammensetzen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Pyramide; Grundkante a = 6 cm; Seitenhöhe hₛ = 5 cm
Gesucht: Mantelfläche M
Für jedes Seitendreieck brauchst du die Seitenhöhe, nicht die Seitenkante.
Die vier Seitendreiecke sind hier gleich groß.
Setze Grundkante und Seitenhöhe ein.
4. Die Grundfläche addieren.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Pyramide; G = 36 cm²; M = 60 cm²
Gesucht: gesamte Oberfläche O
Die geschlossene Pyramide besteht aus Grundfläche und Mantel.
Addiere beide Flächen.
Die Körperhöhe 4 cm gehört in die Volumenformel. In der Mantelformel steht dagegen die Seitenhöhe 5 cm.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Seitenhöhe führt zur Mitte einer Grundkante. Im rechtwinkligen Dreieck steht deshalb die halbe Grundkante a : 2 = 3 cm.
Für das Volumen verwendest du die senkrechte Körperhöhe 4 cm.
Jede der vier gleichen Seitenflächen ist ein Dreieck mit Höhe 5 cm.
Addiere die quadratische Grundfläche.
Die Volumenformel V = ein Drittel · G · h gilt auch bei dreieckigen oder anderen Pyramiden. Berechne G passend zur tatsächlichen Grundfläche.
Für die Oberfläche addierst du die Grundfläche und alle Seitendreiecke einzeln. Sind die Seitendreiecke nicht gleich groß, darfst du nicht einfach die Fläche eines Dreiecks mit ihrer Anzahl multiplizieren.
Die Kurzformel M = 2a · hₛ aus unserem Beispiel gehört zur regelmäßigen quadratischen Pyramide. Bei einer rechteckigen Grundfläche sind die Seitenhöhen im Allgemeinen unterschiedlich.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Für das Volumen reichen Grundflächeninhalt und senkrechte Höhe. Die Grundfläche muss kein Quadrat sein.
Dafür fehlen die Maße der Seitenflächen. Gleicher Rauminhalt bedeutet nicht gleiche Oberfläche.
Ein Kegel hat Radius r = 3 cm und Körperhöhe h = 4 cm. Bestimme zunächst die Mantellinie:
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerader Kreiskegel; r = 3 cm; h = 4 cm
Gesucht: Mantellinie s
Beim geraden Kegel liegt die Spitze über dem Kreismittelpunkt; h und r stehen senkrecht aufeinander.
Nutze Pythagoras.
Wähle die positive Mantellinie.
Beispiel – Schritt für Schritt
Derselbe Kegel; r = 3 cm; Körperhöhe h = 4 cm
Gesucht: Volumen V
Berechne die Kreisfläche mit r = 3 cm.
Für das Volumen brauchst du die Körperhöhe und den Faktor ein Drittel.
Setze ein und behalte π exakt.
Runde erst das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Derselbe Kegel; r = 3 cm; Mantellinie s = 5 cm
Gesucht: Mantelfläche M
Für den Mantel des geraden Kreiskegels brauchst du die Mantellinie s.
Setze Radius und Mantellinie ein.
Runde auf zwei Nachkommastellen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Derselbe Kegel; G = 9π cm²; M = 15π cm²
Gesucht: gesamte Oberfläche O
Zum Mantel kommt genau eine Grundkreisfläche hinzu.
Addiere die exakten Werte, damit kein Rundungsfehler entsteht.
Runde die gesamte Oberfläche am Schluss.
Auch hier steht h in der Volumenformel und s in der Mantelformel. Vertauschst du die beiden Größen, passen die Ergebnisse trotz gleicher Längeneinheit nicht.
Die Mantelformel πrs gilt für den geraden Kreiskegel. Behalte π in den Zwischenschritten und runde erst am Schluss.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Für den Mantel ist die schräge Mantellinie s gegeben.
Die Grundfläche ist ein Kreis.
Die vollständige Oberfläche enthält Mantel und Grundkreis.
In der Seitenansicht wirkt der Kegel dreieckig. Sein abgewickelter Mantel ist aber ein Kreissektor mit Radius s. Die Bogenlänge dieses Sektors entspricht dem Umfang der Grundfläche, also 2πr.
Ein vollständiger Kreis mit Radius s hat Umfang 2πs und Fläche πs². Der benötigte Anteil des Vollkreises ist deshalb r geteilt durch s:
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerader Kreiskegel; Grundkreisradius r; Mantellinie s
Abgewickelter Mantel: Kreissektor mit Radius s
Der Rand des abgewickelten Mantels muss um die Grundfläche passen.
Vergleiche die Bogenlänge mit dem Umfang eines Vollkreises mit Radius s.
Nimm denselben Anteil von der Vollkreisfläche.
Kürze s. Bei einem nicht entarteten geraden Kegel gilt s > r > 0.
Für eine kegelförmige Papiermütze ohne Boden brauchst du nur M. Für einen geschlossenen Kegel kommt die Grundkreisfläche hinzu. Kleberänder sind in den geometrischen Formeln noch nicht enthalten.
Ein gerader Kegel hat Mantellinie s = 13 cm und Radius r = 5 cm. Für das Volumen brauchst du zuerst h.
Beispiel – Schritt für Schritt
Gerader Kegel; Mantellinie s = 13 cm; Radius r = 5 cm
Gesucht: senkrechte Körperhöhe h
Stelle Pythagoras nach dem Quadrat der Körperhöhe um.
Setze Mantellinie und Radius ein.
Subtrahiere die Quadrate der Längen.
Verwende die positive Wurzel, weil die Körperhöhe positiv ist.
Beispiel – Schritt für Schritt
Derselbe Kegel; r = 5 cm · berechnete Körperhöhe h = 12 cm
Gesucht: Volumen V
Erst mit der senkrechten Körperhöhe kannst du das Volumen berechnen.
Quadriere den Radius und setze h = 12 cm ein.
Behalte π bis zum letzten Schritt und runde auf zwei Nachkommastellen.
Bei einem nicht entarteten geraden Kegel muss s > r gelten. Wenn s kleiner als r angegeben ist, können die Maße keinen solchen Kegel beschreiben.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Mantellinie ist die Hypotenuse. Bestimme zuerst die senkrechte Höhe.
Setze h = 12 cm ein. Die Mantellinie 13 cm gehört nicht in die Volumenformel.
Beispiel – Schritt für Schritt
Zylinder und Kegel mit gleicher Grundfläche G und gleicher senkrechter Höhe h
Gesucht: Verhältnis ihrer Volumina
Beide Körper haben dieselbe Grundfläche G und dieselbe senkrechte Höhe h.
Der Kegel hat ein Drittel des entsprechenden Zylindervolumens.
Der Zylinder fasst deshalb dreimal so viel.
Für die Oberflächen gilt diese Drittel-Regel nicht. Der Mantel des Kegels hängt zusätzlich von der Mantellinie ab, und ein geschlossener Zylinder hat zwei Kreisflächen, ein Kegel nur eine.
Die Drittel-Regel braucht dieselbe Grundfläche und dieselbe senkrechte Höhe. Zwei beliebige Körper haben nicht automatisch dieses Volumenverhältnis.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Bei gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe hat der Kegel ein Drittel des Zylindervolumens.
Die Mantelflächen werden unterschiedlich berechnet. Der Volumenfaktor darf nicht auf Flächen übertragen werden.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
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Mathehelfer
Für das Volumen brauchst du die senkrechte Körperhöhe. Für die Oberfläche trägst du beim Kegel die Mantellinie s ein, bei der regelmäßigen quadratischen Pyramide die Seitenhöhe hₛ.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
Pyramide; G = 30 cm²; h = 9 cm
Gesucht: Volumen V
Verwende die Pyramidenformel mit der senkrechten Körperhöhe.
Setze die gegebenen Größen ein.
Berechne ein Drittel von 270 cm³.
Lösung – Schritt für Schritt
Regelmäßige quadratische Pyramide; a = 8 cm; h = 3 cm
Gesucht: Seitenhöhe hₛ
Halbiere die Grundkante der regelmäßigen quadratischen Pyramide.
Die Seitenhöhe ist die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks.
Quadriere 3 cm und 4 cm und addiere.
Wähle die positive Wurzel.
Lösung – Schritt für Schritt
Regelmäßige quadratische Pyramide; a = 8 cm · hₛ = 5 cm
Gesucht: gesamte Oberfläche O
Berechne zuerst die quadratische Grundfläche.
Der Mantel besteht aus vier gleichen Seitendreiecken.
Verwende die Seitenhöhe hₛ = 5 cm.
Addiere Grundfläche und Mantel.
Lösung – Schritt für Schritt
Gerader Kegel; r = 3 cm; s = 5 cm
Gesucht: Körperhöhe h
Beim geraden Kegel bilden h, r und s ein rechtwinkliges Dreieck.
Subtrahiere das Quadrat des Radius vom Quadrat der Mantellinie.
Ziehe die positive Wurzel.
Lösung – Schritt für Schritt
Gerader Kegel; r = 4 cm; s = 7 cm
Gesucht: Mantelfläche M
Nutze die Mantelformel des geraden Kreiskegels.
Setze Radius und Mantellinie ein; h wird hier nicht benötigt.
Runde erst am Schluss auf zwei Nachkommastellen.
Lösung – Schritt für Schritt
Zylinder; V = 600 cm³
Kegel mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe
Gesucht: Kegelvolumen
Die Drittel-Regel gilt, weil Grundfläche und senkrechte Höhe übereinstimmen.
Teile das Zylindervolumen durch drei.
Dein nächster Schritt
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Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Immer die senkrechte Körperhöhe h. Eine schräge Seitenhöhe oder Mantellinie ist dafür nicht geeignet.
Nein. Beim Abwickeln entsteht ein Kreissektor. Die dreieckige Seitenansicht zeigt nicht die tatsächliche Mantelfläche.
Nein. Die Drittel-Regel gilt nur für das Volumen bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.
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Die Grundfläche ist ein Quadrat.