Berechne Kugeln und Halbkugeln mit dem richtigen Radius. Entscheide, ob bei einer Halbkugel nur die Wölbung oder auch der Boden zählt, und wende das Wissen auf Kapseln an.
Hilfreiches Vorwissen: Kreisformeln, Potenzen, Wurzeln und Volumeneinheiten.
Unterscheide Radius und Durchmesser und prüfe, welche Flächen zum Körper gehören.
Zahlen mit Komma oder Punkt. π als pi, Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(...). Gib exakte Werte oder die verlangte Rundung auf zwei Nachkommastellen an. Beachte die gefragte Einheit. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Fläche oder Rauminhalt?
O = 4πr²
V = πr³
Der Radius r steht bei der Oberfläche im Quadrat, beim Volumen in der dritten Potenz.
Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben denselben Abstand r vom Mittelpunkt M. Diesen Abstand nennt man Radius. Der Durchmesser d führt durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen:
d = 2r; r =
Mit Kugel ist in den Volumenaufgaben der ganze Körper einschließlich seines Inneren gemeint. Die Kugeloberfläche ist nur seine äußere Begrenzung.
Eine Halbkugel entsteht, wenn die Kugel genau durch den Mittelpunkt geteilt wird. Ein Schnitt an einer anderen Stelle erzeugt keine Halbkugel, sondern eine Kugelkappe und einen entsprechend größeren Restkörper.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kugel; Durchmesser d = 12 cm
Gesucht: Radius r für die Kugelformeln
Halbiere den Durchmesser, bevor du Oberfläche oder Volumen berechnest.
1. Oberfläche berechnen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Kugel; d = 12 cm; berechneter Radius r = 6 cm
Gesucht: Oberfläche O
Die Kugeloberfläche ist eine Fläche.
Setze den Radius 6 cm ein, nicht den Durchmesser.
Berechne 4 · 6² = 144 und behalte π zunächst exakt.
Runde erst am Ende auf zwei Nachkommastellen.
2. Volumen berechnen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Kugel; Radius r = 6 cm
Gesucht: Volumen V
Für das Volumen steht der Radius in der dritten Potenz.
Setze den Radius ein.
6³ = 216 und vier Drittel davon ergeben 288.
Runde erst jetzt; die Einheit ist kubisch.
Das Volumen entspricht im Modell etwa 904,78 ml. Für das Fassungsvermögen eines kugelförmigen Gefäßes müsste r dessen Innenradius sein.
Setze nicht den Durchmesser anstelle des Radius ein. Der doppelte Radius macht die Oberfläche viermal so groß und das Volumen achtmal so groß.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Setze den Radius ein, nicht den Durchmesser.
Die Oberfläche ist eine Fläche; der Radius wird quadriert.
Für den Rauminhalt steht der Radius in der dritten Potenz. Runde erst ganz am Ende.
Das Volumen einer Halbkugel ist die Hälfte des Kugelvolumens:
V = πr³
Bei der Oberfläche musst du die Aufgabe genauer lesen. Die gewölbte Fläche ist die Hälfte der Kugeloberfläche:
Agewölbt = 2πr²
Eine geschlossene Halbkugel hat zusätzlich einen ebenen Schnittkreis mit Fläche πr². Ihre gesamte Begrenzungsfläche ist:
O = 2πr² + πr² = 3πr²
Eine idealisierte halbkugelförmige Kuppel ohne Boden benötigt nur die gewölbte Fläche. Soll der flache Boden ebenfalls beschichtet werden, kommt die Kreisfläche dazu. Bei realer Wandstärke können außerdem innere Flächen und Randflächen eine Rolle spielen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Wölbung ist die Hälfte der Kugeloberfläche. Ein Schnittkreis wird hier nicht hinzugefügt.
Lies zuerst, welche Flächen tatsächlich behandelt werden.
Eine geschlossene Halbkugel hat Radius r = 3 cm.
Beispiel – Schritt für Schritt
Halbkugel; Radius r = 3 cm
Gesucht: Volumen V
Eine Halbkugel hat das halbe Kugelvolumen.
Setze r = 3 cm ein.
3³ = 27; zwei Drittel davon sind 18. Runde den π-Wert erst am Ende.
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Halbkugel; r = 3 cm
Gesucht: gewölbte Fläche ohne Boden
Die Wölbung ist die Hälfte der Kugeloberfläche; der Boden zählt hier nicht mit.
Quadriere den Radius.
Die Einheit ist cm², auch wenn die Maßzahl hier zufällig mit der des Volumens übereinstimmt.
Beispiel – Schritt für Schritt
Geschlossene Halbkugel; r = 3 cm; Wölbung: 18π cm²
Gesucht: Oberfläche einschließlich Boden
Eine geschlossene Halbkugel enthält zusätzlich den ebenen Schnittkreis.
Addiere Wölbung und Boden, beide als Flächen.
Das ist die gesamte Begrenzungsfläche einschließlich Boden.
Dass Volumen und gewölbte Fläche hier dieselbe gerundete Zahl haben, ist Zufall dieses Beispiels. Sie beschreiben unterschiedliche Größen und haben unterschiedliche Einheiten.
Wenn nur die Außenwölbung gestrichen wird, rechnest du mit etwa 56,55 cm². Wenn auch die ebene Kreisfläche gestrichen wird, brauchst du etwa 84,82 cm² als geometrische Fläche.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Zur Wölbung kommt genau ein ebener Kreis.
Das Halbvolumen braucht keinen zusätzlichen Kreis. Eine Fläche kann nicht zu einem Volumen addiert werden.
Ist die Kugeloberfläche gegeben, stelle O = 4πr² um. Bei O = 100π cm² gilt:
Beispiel – Schritt für Schritt
Kugel; Oberfläche O = 100π cm²
Gesucht: Radius r
Setze die gegebene Kugeloberfläche in die Formel ein.
Teile durch 4π; π kürzt sich heraus.
Wähle die positive Wurzel, weil der Radius eine positive Länge ist.
Die Probe bestätigt die Oberfläche.
Du wählst die positive Quadratwurzel, weil r eine Länge ist. Beim gegebenen Kugelvolumen brauchst du dagegen eine dritte Wurzel.
r³ =
Für V = 36π cm³ ergibt sich:
Beispiel – Schritt für Schritt
Kugel; Volumen V = 36π cm³
Gesucht: Radius r
Setze das gegebene Volumen in die Kugelformel ein.
Multipliziere mit 3 und teile durch 4π.
Ziehe die dritte Wurzel, nicht die Quadratwurzel.
Die Probe bestätigt den Radius.
Eine Quadratwurzel wäre hier falsch: Gesucht ist die Zahl, deren dritte Potenz 27 ist. Prüfe den gefundenen Radius durch Einsetzen in die ursprüngliche Volumenformel.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Teile die Oberflächenformel durch 4π.
Wähle die positive Quadratwurzel, weil der Radius eine Länge ist.
Die berechnete Oberfläche stimmt mit der Angabe überein.
Wenn alle Längen mit dem Faktor k > 0 vergrößert werden, wachsen Flächen mit k² und Volumina mit k³. Für Kugeln kannst du das direkt an den Potenzen von r ablesen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Der Kugelradius wird verdoppelt; Längenfaktor k = 2
Gesucht: Flächen- und Volumenfaktor
Alle Längen einschließlich des Radius werden verdoppelt.
Die Oberfläche wird viermal, das Volumen achtmal so groß.
Beispiel – Schritt für Schritt
Der Kugelradius wird verdreifacht; Längenfaktor k = 3
Gesucht: Flächen- und Volumenfaktor
Der Radius wird verdreifacht.
Die Oberfläche wird neunmal, das Volumen 27-mal so groß.
Beispiel – Schritt für Schritt
Der Kugelradius wird halbiert; Längenfaktor k = 0,5
Gesucht: Flächen- und Volumenfaktor
Der Radius wird halbiert.
Die Oberfläche wird ein Viertel, das Volumen ein Achtel des ursprünglichen Werts.
Beispiel – Schritt für Schritt
Das Kugelvolumen soll verdoppelt werden · V₂ = 2V₁
Gesucht: Faktor k für den Radius
Gegeben ist der Volumenfaktor 2, nicht der Längenfaktor.
Der Volumenfaktor einer maßstäblich veränderten Kugel ist die dritte Potenz des Längenfaktors.
Ziehe die positive dritte Wurzel. Der Radius wächst nur ungefähr um den Faktor 1,26.
Diese Überlegung hilft auch bei einer Plausibilitätskontrolle: Wenn du den Radius verdoppelst und nur das doppelte Volumen erhältst, stimmt deine Rechnung nicht.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die neue Oberfläche beträgt 225 % der alten, sie wächst also um 125 %.
Das neue Volumen beträgt 337,5 % des alten, es wächst also um 237,5 %.
Eine Kapsel besteht aus einem geraden Zylinder und zwei passenden Halbkugeln. Alle Teile haben Radius r = 2 cm. Die Länge des zylindrischen Mittelstücks beträgt h = 5 cm. Die Gesamtlänge ist damit 5 + 2 · 2 = 9 cm.
Beispiel – Schritt für Schritt
Kapsel aus Zylinder und zwei Halbkugeln; r = 2 cm
Länge des zylindrischen Mittelstücks h = 5 cm
Gesucht: Gesamtlänge L
Jede der zwei Halbkugeln verlängert das zylindrische Mittelstück um einen Radius.
Die Höhe h = 5 cm gehört nur zum Zylinder, nicht zur gesamten Kapsel.
Volumen: Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel. Addiere Zylindervolumen und Kugelvolumen:
V = πr²h + πr³
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Kapsel; r = 2 cm · Zylinderhöhe h = 5 cm
Gesucht: gesamtes Volumen V
Berechne das Volumen des Mittelstücks mit seiner eigenen Länge.
Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine vollständige Kugel.
Die Teilkörper überlappen sich nicht im Inneren. Addiere ihre Volumina.
Fasse die exakten Werte zusammen und runde erst zuletzt.
Oberfläche: Außen sichtbar sind der Zylindermantel und die beiden gewölbten Halbkugelflächen. Die Verbindungsflächen liegen innen und zählen nicht mit:
O = 2πrh + 4πr²
Beispiel – Schritt für Schritt
Dieselbe Kapsel; r = 2 cm · Zylinderhöhe h = 5 cm
Gesucht: äußere Oberfläche O
Außen sichtbar ist nur der Zylindermantel; seine beiden Kreisflächen liegen innen.
Die beiden gewölbten Halbkugelflächen ergeben die Kugeloberfläche.
Addiere ausschließlich die äußeren Begrenzungsflächen.
Die inneren Verbindungskreise werden nicht mitgezählt.
Ist stattdessen die Gesamtlänge L angegeben, musst du für das Mittelstück zuerst h = L − 2r berechnen. Die gesamte Kapsellänge als Zylinderhöhe einzusetzen würde das Volumen zu groß machen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Gesamtlänge enthält an beiden Enden je einen Radius.
Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine Kugel.
Außen zählen Zylindermantel und beide Wölbungen. Die Verbindungskreise bleiben innen.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
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Mathehelfer
Gib den Radius ein; einen gegebenen Durchmesser halbierst du zuerst. Bei der Halbkugel kannst du zwischen Volumen, Wölbung ohne Boden und Oberfläche mit Boden wählen.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
Kugel; Durchmesser d = 8 cm
Gesucht: Radius r
Der Durchmesser besteht aus zwei Radien.
Diesen Radius setzt du in die Kugelformeln ein.
Lösung – Schritt für Schritt
Kugel; Radius r = 2 cm
Gesucht: Oberfläche O
Nutze die Formel für die vollständige Kugeloberfläche.
Quadriere den Radius und multipliziere mit 4π.
Runde auf zwei Nachkommastellen.
Lösung – Schritt für Schritt
Halbkugel; Radius r = 3 cm
Gesucht: Volumen V
Eine Halbkugel hat die Hälfte des Volumens einer ganzen Kugel.
Berechne die dritte Potenz des Radius.
Runde den exakten π-Ausdruck erst am Ende.
Lösung – Schritt für Schritt
Geschlossene Halbkugel; Radius r = 2 cm
Gesucht: Oberfläche einschließlich Boden
Berechne zunächst nur die Wölbung.
Die geschlossene Halbkugel besitzt zusätzlich den ebenen Kreis.
Addiere beide Flächen.
Runde auf zwei Nachkommastellen; der Boden ist enthalten.
Lösung – Schritt für Schritt
Der Kugelradius wird verdreifacht
Gesucht: Veränderung des Volumens
Der Radius erhält den Faktor 3.
Der Volumenfaktor ist die dritte Potenz des Längenfaktors. Das Volumen wird 27-mal so groß.
Lösung – Schritt für Schritt
Kapsel · Gesamtlänge L = 14 cm; Radius r = 3 cm
Gesucht: Länge h des zylindrischen Mittelstücks
Beide Halbkugeln tragen zusammen die Länge 2r zur gesamten Kapsel bei.
Stelle nach der Länge des zylindrischen Mittelstücks um.
Ziehe 6 cm von der Gesamtlänge ab.
Die Probe bestätigt die angegebene Gesamtlänge.
Dein nächster Schritt
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Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nur die gewölbte Fläche. Bei einer geschlossenen Halbkugel kommt die ebene Kreisfläche πr² hinzu.
Nein. Weil der Radius in der Volumenformel in der dritten Potenz steht, brauchst du die dritte Wurzel.
Sie liegen an den Verbindungen zu den Halbkugeln im Inneren. Zur äußeren Oberfläche gehören nur die von außen sichtbaren Begrenzungsflächen.
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Gegeben ist der Durchmesser, nicht der Radius.