1 · Eine Kugel hat d = 8 cm. Welchen Radius setzt du ein?
Lösung und Rechenweg ansehen
r = 4 cm, also die Hälfte des Durchmessers.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Kugel und Halbkugel: verstehen und üben
Berechne Volumen und Oberfläche von Kugeln und Halbkugeln. Unterscheide Radius und Durchmesser, gewölbte Fläche und Schnittkreis und setze Körper wie eine Kapsel richtig zusammen.
Fläche oder Rauminhalt?
O = 4πr²
V = πr³
Der Radius r steht bei der Oberfläche im Quadrat, beim Volumen in der dritten Potenz.
Lernschritt 1
Radius, Durchmesser und Kugel unterscheiden
Alle Punkte auf der Kugeloberfläche haben denselben Abstand r vom Mittelpunkt M. Diesen Abstand nennt man Radius. Der Durchmesser d führt durch den Mittelpunkt von einer Seite zur anderen:
d = 2r; r =
Mit Kugel ist in den Volumenaufgaben der ganze Körper einschließlich seines Inneren gemeint. Die Kugeloberfläche ist nur seine äußere Begrenzung.
Eine Halbkugel entsteht, wenn die Kugel genau durch den Mittelpunkt geteilt wird. Ein Schnitt an einer anderen Stelle erzeugt keine Halbkugel, sondern eine Kugelkappe und einen entsprechend größeren Restkörper.
Lernschritt 2
Eine Kugel vollständig berechnen
Eine Kugel hat Durchmesser d = 12 cm. Rechne zuerst den Radius aus: r = 6 cm.
1. Oberfläche berechnen.
O = 4πr² = 4π · 6² cm² = 144π cm² ≈ 452,39 cm²
2. Volumen berechnen.
V = πr³ = π · 6³ cm³ = 288π cm³ ≈ 904,78 cm³
Das Volumen entspricht im Modell etwa 904,78 ml. Für das Fassungsvermögen eines kugelförmigen Gefäßes müsste r dessen Innenradius sein.
Setze nicht den Durchmesser anstelle des Radius ein. Der doppelte Radius macht die Oberfläche viermal so groß und das Volumen achtmal so groß.
Lernschritt 3
Halbkugel: Welche Fläche ist gemeint?
Das Volumen einer Halbkugel ist die Hälfte des Kugelvolumens:
V = πr³
Bei der Oberfläche musst du die Aufgabe genauer lesen. Die gewölbte Fläche ist die Hälfte der Kugeloberfläche:
Agewölbt = 2πr²
Eine geschlossene Halbkugel hat zusätzlich einen ebenen Schnittkreis mit Fläche πr². Ihre gesamte Begrenzungsfläche ist:
O = 2πr² + πr² = 3πr²
Eine idealisierte halbkugelförmige Kuppel ohne Boden benötigt nur die gewölbte Fläche. Soll der flache Boden ebenfalls beschichtet werden, kommt die Kreisfläche dazu. Bei realer Wandstärke können außerdem innere Flächen und Randflächen eine Rolle spielen.
Lernschritt 4
Eine Halbkugel mit Boden berechnen
Eine geschlossene Halbkugel hat Radius r = 3 cm.
V = π · 3³ cm³ = 18π cm³ ≈ 56,55 cm³
Agewölbt = 2π · 3² cm² = 18π cm² ≈ 56,55 cm²
O = 3π · 3² cm² = 27π cm² ≈ 84,82 cm²
Dass Volumen und gewölbte Fläche hier dieselbe gerundete Zahl haben, ist Zufall dieses Beispiels. Sie beschreiben unterschiedliche Größen und haben unterschiedliche Einheiten.
Wenn nur die Außenwölbung gestrichen wird, rechnest du mit etwa 56,55 cm². Wenn auch die ebene Kreisfläche gestrichen wird, brauchst du etwa 84,82 cm² als geometrische Fläche.
Lernschritt 5
Den Radius aus Oberfläche oder Volumen bestimmen
Ist die Kugeloberfläche gegeben, stelle O = 4πr² um. Bei O = 100π cm² gilt:
r² = = 25 cm² → r = 5 cm
Du wählst die positive Quadratwurzel, weil r eine Länge ist. Beim gegebenen Kugelvolumen brauchst du dagegen eine dritte Wurzel.
r³ =
Für V = 36π cm³ ergibt sich:
r³ = 27 cm³ → r = ∛(27 cm³) = 3 cm
Eine Quadratwurzel wäre hier falsch: Gesucht ist die Zahl, deren dritte Potenz 27 ist. Prüfe den gefundenen Radius durch Einsetzen in die ursprüngliche Volumenformel.
Lernschritt 6
Was passiert bei doppeltem Radius?
Wenn alle Längen mit dem Faktor k > 0 vergrößert werden, wachsen Flächen mit k² und Volumina mit k³. Für Kugeln kannst du das direkt an den Potenzen von r ablesen.
- Doppelter Radius: vierfache Oberfläche, achtfaches Volumen.
- Dreifacher Radius: neunfache Oberfläche, 27-faches Volumen.
- Halber Radius: ein Viertel der Oberfläche, ein Achtel des Volumens.
Eine Kugel mit doppeltem Volumen hat deshalb nicht den doppelten Radius. Ihr Radius ist nur um den Faktor ∛2 ≈ 1,26 größer.
Diese Überlegung hilft auch bei einer Plausibilitätskontrolle: Wenn du den Radius verdoppelst und nur das doppelte Volumen erhältst, stimmt deine Rechnung nicht.
Lernschritt 7
Eine Kapsel aus Zylinder und zwei Halbkugeln
Eine Kapsel besteht aus einem geraden Zylinder und zwei passenden Halbkugeln. Alle Teile haben Radius r = 2 cm. Die Länge des zylindrischen Mittelstücks beträgt h = 5 cm. Die Gesamtlänge ist damit 5 + 2 · 2 = 9 cm.
Volumen: Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine ganze Kugel. Addiere Zylindervolumen und Kugelvolumen:
V = πr²h + πr³
V = 20π cm³ + π cm³ = π cm³ ≈ 96,34 cm³
Oberfläche: Außen sichtbar sind der Zylindermantel und die beiden gewölbten Halbkugelflächen. Die Verbindungsflächen liegen innen und zählen nicht mit:
O = 2πrh + 4πr²
O = 20π cm² + 16π cm² = 36π cm² ≈ 113,10 cm²
Ist stattdessen die Gesamtlänge L angegeben, musst du für das Mittelstück zuerst h = L − 2r berechnen. Die gesamte Kapsellänge als Zylinderhöhe einzusetzen würde das Volumen zu groß machen.
Lernschritt 8
Dein Rechenplan
- Erkenne, ob Kugel, Halbkugel oder ein zusammengesetzter Körper vorliegt.
- Rechne einen gegebenen Durchmesser in den Radius um.
- Kläre bei Flächenaufgaben, ob der Schnittkreis beziehungsweise Boden dazugehört.
- Setze alle Längen in derselben Einheit ein.
- Lass π in den Zwischenschritten stehen und runde erst am Ende.
- Prüfe Einheit und Größenordnung. Bei zusammengesetzten Körpern zählen innere Verbindungsflächen nicht zur äußeren Oberfläche.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne O für eine Kugel mit r = 2 cm.
Lösung und Rechenweg ansehen
O = 4π · 2² cm² = 16π cm² ≈ 50,27 cm².
Erklärung wiederholen →3 · Berechne V für eine Halbkugel mit r = 3 cm.
Lösung und Rechenweg ansehen
V = zwei Drittel · π · 3³ cm³ = 18π cm³ ≈ 56,55 cm³.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Oberfläche hat eine geschlossene Halbkugel mit r = 2 cm?
Lösung und Rechenweg ansehen
O = 3π · 2² cm² = 12π cm² ≈ 37,70 cm². Die ebene Kreisfläche ist enthalten.
Erklärung wiederholen →5 · Wie ändert sich das Kugelvolumen beim dreifachen Radius?
Lösung und Rechenweg ansehen
Es wächst mit 3³, wird also 27-mal so groß.
Erklärung wiederholen →6 · Eine Kapsel ist insgesamt 14 cm lang und hat r = 3 cm. Wie lang ist das zylindrische Mittelstück?
Lösung und Rechenweg ansehen
h = 14 cm − 2 · 3 cm = 8 cm.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist die Halbkugeloberfläche einfach die halbe Kugeloberfläche?
Nur die gewölbte Fläche. Bei einer geschlossenen Halbkugel kommt die ebene Kreisfläche πr² hinzu.
Brauche ich beim Radius aus dem Volumen eine Quadratwurzel?
Nein. Weil der Radius in der Volumenformel in der dritten Potenz steht, brauchst du die dritte Wurzel.
Warum fehlen bei der Kapsel die Kreisflächen des Zylinders?
Sie liegen an den Verbindungen zu den Halbkugeln im Inneren. Zur äußeren Oberfläche gehören nur die von außen sichtbaren Begrenzungsflächen.