1 · Kann bei einzeln ausgesandten Elektronen Interferenz entstehen?
Lösung ansehen
Ja. Viele einzeln registrierte Ereignisse können zusammen ein Interferenzmuster bilden.
Physik verstehen und üben · Atom- und Quantenphysik
Physik · Oberstufe
Quantenobjekte am Doppelspalt: verstehen und üben
Ein Elektron trifft an einem einzelnen Ort auf. Viele Elektronen können trotzdem ein Interferenzmuster bilden. Untersuche, wie Einzelereignisse und Wahrscheinlichkeiten zusammenpassen.
Einzelne Treffer, gemeinsames Muster
Der einzelne Treffer ist nicht vorhersagbar. Die Verteilung vieler gleich vorbereiteter Quantenobjekte lässt sich berechnen.
Was ist am Doppelspalt quantenphysikalisch?
Eine geeignete Quelle sendet Elektronen auf zwei sehr schmale Spalte. Hinter den Spalten registriert ein Detektor die Ankunftsorte. Der Strahl kann so schwach sein, dass die Elektronen den Aufbau einzeln durchlaufen. Jeder Nachweis bleibt ein lokales Ereignis.
Zunächst wirken die Treffer ungeordnet. Mit vielen Wiederholungen werden bevorzugte Bereiche und dazwischen selten getroffene Bereiche sichtbar: ein Interferenzmuster. Es benötigt keine Zusammenstöße zwischen verschiedenen Elektronen.
Die klassische Vorstellung kleiner Kugeln mit jeweils unbekannter, aber sonst unveränderter Bahn erklärt dieses Muster nicht. Die Quantenbeschreibung verbindet Wahrscheinlichkeitsamplituden für beide Alternativen. Wir zeichnen deshalb keine behauptete Flugbahn eines einzelnen Elektrons.
Quelle, zwei Öffnungen und Nachweis
Für deutliche Interferenz müssen unter anderem die Vorbereitung, die Kohärenz und die Stabilität des Aufbaus passen. Der Detektor muss die räumlichen Unterschiede auflösen können.
Amplituden addieren, dann Wahrscheinlichkeit berechnen
P(x) ∝ |ψ₁(x) + ψ₂(x)|²
ψ₁ und ψ₂ sind die Beiträge der beiden Spaltalternativen zur Gesamtamplitude. Der Ausdruck rechts enthält zusätzlich zu den Einzelbeiträgen einen Interferenzterm. P(x) steht hier für eine örtliche Nachweisdichte; für die Wahrscheinlichkeit in einem Bereich wird über diesen Bereich summiert beziehungsweise integriert.
Bei vollständiger unterscheidbarer Weginformation verschwindet im unbedingten Schirmbild der Interferenzterm. Im idealisierten symmetrischen Vergleich bleibt die Summe der beiden Einzelspaltverteilungen:
PWeg(x) ∝ |ψ₁(x)|² + |ψ₂(x)|²
Die Proportionalitätszeichen erinnern daran, dass die Verteilungen normiert werden müssen. Beide Vergleiche unten enthalten gleich viele registrierte Treffer. Daraus folgt keine Aussage über die tatsächliche Übertragungsrate eines realen Wegdetektors.
Aus Treffern entsteht eine Verteilung
Füge zunächst 20 Treffer hinzu, danach mehrere Gruppen von 200. Vergleiche anschließend die beiden Versuchsbedingungen. Beim Wechsel beginnt eine neue Messreihe.
Noch keine Treffer. Die Kurve zeigt die theoretische relative Verteilung.
Didaktisches Fernfeldmodell: gleiche Spalte, gleiche Beiträge, feste Geometrie. Eine Einzelspalthülle wird mit oder ohne Interferenzfaktor verwendet. Die Treffer werden zufällig aus der jeweiligen Verteilung gezogen; es sind keine experimentellen Messdaten. Maximal 4000 Treffer pro Reihe.
Unterrichtsimpuls mit Auflösung
Kann man nach 20 Treffern schon jedes Minimum erkennen? Meist nicht. Viele Wiederholungen machen die Verteilung erkennbar. Ein Wechsel der Weginformation verändert die erwartete Verteilung und startet deshalb eine neue Reihe, statt alte Treffer nachträglich zu verschieben.
Streifenabstand für Elektronen berechnen
Gegeben sind λ = 0,10 nm, Spaltmittenabstand d = 1,0 µm und Schirmabstand L = 1,0 m. Im Fernfeld und bei kleinen Winkeln gilt näherungsweise für benachbarte Interferenzmaxima:
Δy ≈ λ · Ld
Δy ≈ 1,0 · 10−10 m · 1,0 m1,0 · 10−6 m = 1,0 · 10−4 m = 0,10 mm
Die Wellenlänge erhältst du für Materieteilchen aus λ = h/p. Verdoppelt sich bei gleicher Geometrie der Impuls, halbieren sich Wellenlänge und Streifenabstand. Mehr Elektronen pro Sekunde verändert allein die Geschwindigkeit des Musteraufbaus, solange sich Präparation und sonstige Bedingungen nicht ändern.
Endliche Spaltbreiten legen zusätzlich eine Beugungshülle über das Muster. Die einfache Abstandsformel beschreibt den Interferenzfaktor; Hüllkurve und Auflösung können die beobachtbaren Spitzen beeinflussen.
Was heißt „Weginformation ist verfügbar“?
Ein Wegnachweis koppelt die Spaltalternative an einen unterscheidbaren Zustand eines anderen Systems. Vollständig unterscheidbare Markierungen beseitigen die Interferenz im gesamten, nicht nach Markierungen sortierten Schirmbild. Dazu muss kein Mensch auf eine Anzeige schauen.
Teilweise unterscheidbare Markierungen können den Kontrast nur teilweise verringern. Die zwei Auswahlfelder zeigen bewusst die idealen Endfälle. Reale Detektoren können zusätzlich die Bewegungszustände verändern; das einfache Modell bildet diese technischen Details nicht ab.
Typische Fehldeutungen vermeiden
„Ein Elektron erzeugt schon einen Streifen“: Ein Nachweis ist lokal. Das Muster betrifft viele Wiederholungen.
„Der Mensch macht das Muster kaputt“: Entscheidend ist die physikalische Wechselwirkung und Unterscheidbarkeit, nicht Bewusstsein.
„Ohne Interferenz bleiben zwei dünne Streifen“: Auch jeder einzelne schmale Spalt verursacht Beugung. Deren Verteilungen können breit überlappen.
„Ein Minimum muss in jeder kleinen Stichprobe exakt sichtbar sein“: Endliche Auflösung und zufällige Häufigkeiten müssen berücksichtigt werden.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Was sagt die Theorie über den nächsten genauen Trefferort?
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Sie liefert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, keinen sicher vorhersagbaren Einzelort.
3 · Was addiert man ohne Weginformation zuerst?
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Die Wahrscheinlichkeitsamplituden. Erst danach bildet man das Betragsquadrat.
4 · Muss ein Mensch die Weginformation lesen?
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Nein. Entscheidend ist die physikalische Unterscheidbarkeit der Wegmarkierungen.
5 · L wird bei gleicher Geometrie sonst verdoppelt. Was folgt für Δy?
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Der Streifenabstand verdoppelt sich in der Kleinwinkelnäherung.
6 · λ = 0,20 nm, L = 1 m, d = 1 µm. Bestimme Δy.
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Δy ≈ 0,20 mm. Nanometer und Mikrometer zuvor in Meter umrechnen.
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