Auch Elektronen können Beugung und Interferenz zeigen. Berechne ihre Wellenlänge und untersuche, wie sich eine Beschleunigungsspannung auswirkt.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Elektronen werden an einem Detektor als einzelne Treffer registriert. Unter geeigneten Bedingungen entsteht aus vielen Treffern ein Beugungs- oder Interferenzmuster. Eine Beschreibung allein durch klassische Teilchenbahnen erklärt dieses Verhalten nicht.
Louis de Broglie verknüpfte den Impuls eines Quantenobjekts mit einer Wellenlänge. Diese Beziehung gilt auch für andere Materieteilchen. Die Welle ist keine mechanische Schlangenlinie, auf der das Elektron durch den Raum fliegt.
In der Quantenphysik beschreibt eine Wellenfunktion den Zustand. Ihr Betragsquadrat liefert eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Ortsmessungen. Die folgende Rechnung betrachtet Teilchen mit gut bestimmtem Impuls; ein räumlich begrenztes Wellenpaket enthält im Allgemeinen mehrere Impulsanteile.
Lernschritt 2
λ = hp
λ ist die de-Broglie-Wellenlänge, p der Betrag des Impulses und h ≈ 6,626 · 10−34 J·s die Planck-Konstante. Der Impuls wird in kg·m·s−1 angegeben; die berechnete Wellenlänge hat die Einheit Meter.
Bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit gilt näherungsweise p = m·v. Dann folgt:
λ = hm · v
Bei gleicher Masse halbiert doppelte Geschwindigkeit die Wellenlänge. Bei gleicher Geschwindigkeit hat das schwerere Teilchen die kürzere Wellenlänge. Bei gleichem Impuls haben hingegen alle Teilchen dieselbe de-Broglie-Wellenlänge.
Nahe der Lichtgeschwindigkeit muss der relativistische Impuls verwendet werden. Die Grundbeziehung λ = h/p bleibt bestehen.
Lernschritt 3
Ein Elektron startet näherungsweise aus Ruhe und durchläuft eine beschleunigende Potentialdifferenz mit dem Betrag U. Ohne Energieverluste nimmt seine kinetische Energie um eU zu. e ist der positive Betrag der Elementarladung.
Ekin = e · U = p²2me
p = √(2meeU); λ = h√(2meeU)
Verwendet werden me ≈ 9,109 · 10−31 kg und e ≈ 1,602 · 10−19 C. Für die praktische Kurzform gilt:
λ ≈ 1,226 nm√(UV)
U/V meint den Zahlenwert der Spannung in Volt. Vierfache Spannung liefert doppelte Geschwindigkeit und damit die halbe Wellenlänge. Die Aussage gilt in dieser nichtrelativistischen Näherung.
Impuls p bekannt: λ = h/p. Masse und langsame Geschwindigkeit bekannt: λ ≈ h/(m·v).
Eine Beschleunigungsspannung liefert Ekin = eU. Daraus folgt nichtrelativistisch p = √(2mₑeU).
In der SI-Formel kg, m/s, C und V einsetzen. In der Kurzform 1,226 nm/√(U/V) ist U/V der Zahlenwert in Volt.
Mehr Impuls bedeutet kürzere Wellenlänge. Vierfache Spannung halbiert λ. Nahe c brauchst du relativistische Größen.
Doppelt so viele Perioden auf derselben Strecke
Beide Skizzen benutzen denselben waagerechten Ortsmaßstab. Bei 400 V ist die Wellenlänge halb so groß wie bei 100 V. Die Klammern markieren jeweils eine volle Periode.
Die Kurven veranschaulichen nur die räumliche Phase einer idealisierten Materiewelle, nicht die Bahn des Elektrons. Ihre Höhe ist willkürlich gewählt. Sie ist weder eine gemessene Auslenkung noch die Wahrscheinlichkeitsdichte.
Lernschritt 4
Beginne bei 100 V. Sage die Wellenlänge bei 400 V voraus und überprüfe deine Vermutung mit dem Regler.
Modell: Elektronen aus Ruhe, keine Verluste, nichtrelativistische Rechnung. Der Bereich 10 bis 1000 V hält die relativistische Korrektur der Wellenlänge unter ungefähr 0,05 %.
Bei 400 V sind es etwa 0,0613 nm. Eine Halbierung der Wellenlänge braucht die vierfache Spannung, nicht die doppelte. Bei 200 V sinkt sie nur auf etwa 0,0867 nm.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Elektron startet näherungsweise aus Ruhe. Berechne Energie, Geschwindigkeit und de-Broglie-Wellenlänge.
Gegeben: U = 100 V; mₑ ≈ 9,109 · 10⁻³¹ kg; e ≈ 1,602 · 10⁻¹⁹ C.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Ekin = eU ≈ 1,602 · 10−17 J = 100 eV |
1Elektrische Energie übernehmen
C·V = J. Die Energieverluste und die Anfangsbewegung werden vernachlässigt. |
| v = √(2Ekin/mₑ) ≈ 5,93 · 106 m/s |
2Geschwindigkeit berechnen
Die Formel folgt aus Ekin = ½mv². Nutze hier die Energie in Joule. |
| v/c ≈ 0,0198 |
3Näherung prüfen
Knapp 2 % der Lichtgeschwindigkeit: Die nichtrelativistische Rechnung ist hier gut geeignet. |
| λ ≈ 1,226 nm√100 = 0,1226 nm |
4Wellenlänge berechnen
√100 = 10. In dieser Kurzform setzt du den Zahlenwert der Spannung in Volt ein. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Wellenlänge soll von 0,1226 nm auf 0,0613 nm sinken. Wie musst du die Spannung ändern?
Ausgangspunkt: U₁ = 100 V; λ₂ = λ₁/2.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| λ₂/λ₁ = √(U₁/U₂) |
1Verhältnis bilden
Die Wellenlänge ist umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Spannung. |
| U₂/U₁ = (λ₁/λ₂)² = 2² = 4 |
2Nach dem Spannungsverhältnis auflösen
Erst das Wellenlängenverhältnis umkehren, dann quadrieren. |
| U₂ = 4 · 100 V = 400 V |
3Spannung bestimmen
Kontrolle: 1,226 nm/√400 = 1,226 nm/20 = 0,0613 nm. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein langsames Neutron bewegt sich mit 2000 m/s. Berechne seine de-Broglie-Wellenlänge.
Gegeben: m ≈ 1,675 · 10⁻²⁷ kg; v = 2000 m/s; h ≈ 6,626 · 10⁻³⁴ J·s.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| p ≈ m·v = 3,350 · 10−24 kg·m/s |
1Impuls berechnen
2000 m/s ist sehr viel kleiner als c. Die Näherung p = mv ist geeignet. |
| λ = 6,626 · 10−34 J·s3,350 · 10−24 kg·m/s ≈ 1,98 · 10−10 m |
2Impuls in die Grundformel einsetzen
J·s = kg·m²/s. Nach dem Kürzen bleibt Meter. |
| λ ≈ 0,198 nm |
3In Nanometer umrechnen
1 nm = 10⁻⁹ m. Die Elektronen-Kurzform mit der Spannung gilt nicht für Neutronen. |
Lernschritt 6
Ein Elektronenstrahl trifft auf eine dünne Kristallprobe. Die regelmäßige Struktur beeinflusst die Wahrscheinlichkeitsamplituden. Hinter der Probe können charakteristische Intensitätsmaxima auftreten. Bei vielen unterschiedlich orientierten kleinen Kristallen entstehen unter passenden Bedingungen Beugungsringe.
Erhöht man die Beschleunigungsspannung, wird die Wellenlänge kürzer. Bei unveränderter Probe und Geometrie werden die Winkel derselben Beugungsordnung kleiner. Die Ringradien auf einem festen Schirm nehmen entsprechend ab.
Für deutliche Muster müssen unter anderem Strahlpräparation, Kohärenz, Probe und Detektor geeignet sein. Eine kurze Wellenlänge allein garantiert noch kein scharfes Mikroskopbild.
So wird Elektronenbeugung sichtbar
Eine Elektronenquelle erzeugt einen Strahl; eine Spannung beschleunigt die Elektronen. Hinter einer dünnen polykristallinen Probe kann auf einem Leuchtschirm ein Ringmuster erscheinen. Viele kleine, unterschiedlich orientierte Kristalle tragen dazu bei.
Die perspektivischen Ellipsen stehen für kreisförmige Ringe auf dem Schirm. Die grauen Linien markieren nur einen möglichen Streuwinkelbereich; sie sind keine beobachteten Elektronenbahnen. Einzelkristalle können stattdessen ein Muster aus Punkten liefern.
Die Zeichnung zeigt das Funktionsprinzip, kein maßstabsgerechtes Foto. Im realen Gerät befinden sich Quelle, Probe und Schirm in einer evakuierten Röhre.
Lernschritt 7
Ein Ball mit 0,10 kg Masse und 10 m·s−1 Geschwindigkeit hat einen Impuls von 1,0 kg·m·s−1. Damit ergibt sich λ ≈ 6,63 · 10−34 m. Diese Wellenlänge ist für gewöhnliche Beugungsaufbauten unvorstellbar klein.
Zusätzlich machen Wechselwirkungen mit der Umgebung die für beobachtbare Interferenz nötige Kohärenz bei Alltagsobjekten äußerst schwer aufrechtzuerhalten. Quantenverhalten ist deshalb nicht auf Elektronen beschränkt, aber im Alltag meist nicht als Beugungsmuster sichtbar.
Lernschritt 8
Für Elektronen λ = c/f verwenden: Diese Beziehung beschreibt Licht im Vakuum. Ein Elektron bewegt sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit.
Ekin = hc/λ einsetzen: Die Photonengleichung darf nicht auf die kinetische Energie massiver Elektronen übertragen werden.
Doppelte Spannung mit halber Wellenlänge verbinden: Die Wellenlänge hängt von der Wurzel der Spannung ab.
Eine gezeichnete Welle als Teilchenbahn lesen: Interferenz betrifft Quantenzustände und Messwahrscheinlichkeiten.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
Optional: Dein Fortschritt wird nur in diesem Browser gespeichert.
Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne die Materiewellenlänge aus dem Impuls oder nichtrelativistisch aus Masse und Geschwindigkeit. Für die zweite Variante gilt hier v ≤ 0,1 c. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
Die Wellenlänge wird auf ein Drittel verkleinert.
Ja, nach λ = h/p unabhängig von ihrer Masse.
200 eV, ungefähr 3,20 · 10⁻¹⁷ J.
Etwa 0,0613 nm: vierfache Spannung, halbe Wellenlänge.
800 V in der nichtrelativistischen Näherung.
Diese Photonengleichung gilt nicht für die kinetische Energie massiver Teilchen. Für langsame Elektronen verwendet man Ekin = p²/(2m) zusammen mit λ = h/p.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichung: OpenStax · University Physics 3. Texte, Zahlenbeispiele und Schaubilder sind eigenständig erstellt.
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