1 · Der Impuls verdreifacht sich. Was geschieht mit λ?
Lösung ansehen
Die Wellenlänge wird auf ein Drittel verkleinert.
Physik verstehen und üben · Atom- und Quantenphysik
Physik · Oberstufe
Materiewellen und de Broglie: verstehen und üben
Auch Elektronen können Beugung und Interferenz zeigen. Berechne ihre Wellenlänge und untersuche, wie sich eine Beschleunigungsspannung auswirkt.
Mehr Impuls, kürzere Wellenlänge
Die de-Broglie-Wellenlänge ist umgekehrt proportional zum Impuls. Verdoppelt sich der Impuls, halbiert sich die Wellenlänge.
Warum spricht man von Materiewellen?
Elektronen werden an einem Detektor als einzelne Treffer registriert. Unter geeigneten Bedingungen entsteht aus vielen Treffern ein Beugungs- oder Interferenzmuster. Eine Beschreibung allein durch klassische Teilchenbahnen erklärt dieses Verhalten nicht.
Louis de Broglie verknüpfte den Impuls eines Quantenobjekts mit einer Wellenlänge. Diese Beziehung gilt auch für andere Materieteilchen. Die Welle ist keine mechanische Schlangenlinie, auf der das Elektron durch den Raum fliegt.
In der Quantenphysik beschreibt eine Wellenfunktion den Zustand. Ihr Betragsquadrat liefert eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Ortsmessungen. Die folgende Rechnung betrachtet Teilchen mit gut bestimmtem Impuls; ein räumlich begrenztes Wellenpaket enthält im Allgemeinen mehrere Impulsanteile.
Die de-Broglie-Beziehung anwenden
λ = hp
λ ist die de-Broglie-Wellenlänge, p der Betrag des Impulses und h ≈ 6,626 · 10−34 J·s die Planck-Konstante. Der Impuls wird in kg·m·s−1 angegeben; die berechnete Wellenlänge hat die Einheit Meter.
Bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit gilt näherungsweise p = m·v. Dann folgt:
λ = hm · v
Bei gleicher Masse halbiert doppelte Geschwindigkeit die Wellenlänge. Bei gleicher Geschwindigkeit hat das schwerere Teilchen die kürzere Wellenlänge. Bei gleichem Impuls haben hingegen alle Teilchen dieselbe de-Broglie-Wellenlänge.
Nahe der Lichtgeschwindigkeit muss der relativistische Impuls verwendet werden. Die Grundbeziehung λ = h/p bleibt bestehen.
Elektronen durch eine Spannung beschleunigen
Ein Elektron startet näherungsweise aus Ruhe und durchläuft eine beschleunigende Potentialdifferenz mit dem Betrag U. Ohne Energieverluste nimmt seine kinetische Energie um eU zu. e ist der positive Betrag der Elementarladung.
Ekin = e · U = p²2me
p = √(2meeU); λ = h√(2meeU)
Verwendet werden me ≈ 9,109 · 10−31 kg und e ≈ 1,602 · 10−19 C. Für die praktische Kurzform gilt:
λ ≈ 1,226 nm√(UV)
U/V meint den Zahlenwert der Spannung in Volt. Vierfache Spannung liefert doppelte Geschwindigkeit und damit die halbe Wellenlänge. Die Aussage gilt in dieser nichtrelativistischen Näherung.
Spannung und Wellenlänge vergleichen
Beginne bei 100 V. Sage die Wellenlänge bei 400 V voraus und überprüfe deine Vermutung mit dem Regler.
100 V: λ ≈ 0,1226 nm; Ekin = 100 eV.
Modell: Elektronen aus Ruhe, keine Verluste, nichtrelativistische Rechnung. Der Bereich 10 bis 1000 V hält die relativistische Korrektur der Wellenlänge unter ungefähr 0,05 %.
Unterrichtsimpuls mit Auflösung
Bei 400 V sind es etwa 0,0613 nm. Eine Halbierung der Wellenlänge braucht die vierfache Spannung, nicht die doppelte. Bei 200 V sinkt sie nur auf etwa 0,0867 nm.
Ein Elektron bei 100 V
Gegeben: Ein Elektron wird aus Ruhe durch 100 V beschleunigt. Gesucht sind Bewegungsenergie, Geschwindigkeit und Wellenlänge.
Ekin = eU ≈ 1,602 · 10−17 J = 100 eV
v = √(2eUme) ≈ 5,93 · 106 m·s−1
Das sind knapp 2 % der Lichtgeschwindigkeit. Die nichtrelativistische Näherung ist hier gut geeignet.
λ ≈ 1,226 nm√100 ≈ 0,1226 nm = 1,226 · 10−10 m
Diese Größenordnung ist mit Atomabständen in Kristallen vergleichbar. Solche Strukturen können deshalb Elektronen beugen. Für konkrete Beugungswinkel braucht man zusätzlich die Geometrie und Gitterabstände.
Was beobachtet man bei Elektronenbeugung?
Ein Elektronenstrahl trifft auf eine dünne Kristallprobe. Die regelmäßige Struktur beeinflusst die Wahrscheinlichkeitsamplituden. Hinter der Probe können charakteristische Intensitätsmaxima auftreten. Bei vielen unterschiedlich orientierten kleinen Kristallen entstehen unter passenden Bedingungen Beugungsringe.
Erhöht man die Beschleunigungsspannung, wird die Wellenlänge kürzer. Bei unveränderter Probe und Geometrie werden die Winkel derselben Beugungsordnung kleiner. Die Ringradien auf einem festen Schirm nehmen entsprechend ab.
Für deutliche Muster müssen unter anderem Strahlpräparation, Kohärenz, Probe und Detektor geeignet sein. Eine kurze Wellenlänge allein garantiert noch kein scharfes Mikroskopbild.
Warum sieht man bei einem Ball kein solches Muster?
Ein Ball mit 0,10 kg Masse und 10 m·s−1 Geschwindigkeit hat einen Impuls von 1,0 kg·m·s−1. Damit ergibt sich λ ≈ 6,63 · 10−34 m. Diese Wellenlänge ist für gewöhnliche Beugungsaufbauten unvorstellbar klein.
Zusätzlich machen Wechselwirkungen mit der Umgebung die für beobachtbare Interferenz nötige Kohärenz bei Alltagsobjekten äußerst schwer aufrechtzuerhalten. Quantenverhalten ist deshalb nicht auf Elektronen beschränkt, aber im Alltag meist nicht als Beugungsmuster sichtbar.
Typische Fehler vermeiden
Für Elektronen λ = c/f verwenden: Diese Beziehung beschreibt Licht im Vakuum. Ein Elektron bewegt sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit.
Ekin = hc/λ einsetzen: Die Photonengleichung darf nicht auf die kinetische Energie massiver Elektronen übertragen werden.
Doppelte Spannung mit halber Wellenlänge verbinden: Die Wellenlänge hängt von der Wurzel der Spannung ab.
Eine gezeichnete Welle als Teilchenbahn lesen: Interferenz betrifft Quantenzustände und Messwahrscheinlichkeiten.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Zwei Teilchen besitzen denselben Impuls. Haben sie dieselbe Wellenlänge?
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Ja, nach λ = h/p unabhängig von ihrer Masse.
3 · Welche kinetische Energie erhält ein Elektron aus Ruhe bei 200 V?
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200 eV, ungefähr 3,20 · 10⁻¹⁷ J.
4 · Bei 100 V gilt λ ≈ 0,1226 nm. Was folgt bei 400 V?
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Etwa 0,0613 nm: vierfache Spannung, halbe Wellenlänge.
5 · Welche Spannung halbiert λ gegenüber 200 V?
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800 V in der nichtrelativistischen Näherung.
6 · Warum darf für Elektronen nicht Ekin = hc/λ eingesetzt werden?
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Diese Photonengleichung gilt nicht für die kinetische Energie massiver Teilchen. Für langsame Elektronen verwendet man Ekin = p²/(2m) zusammen mit λ = h/p.
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