Heisenbergsche Unschärferelation: verstehen und üben

Was bedeutet „Unschärfe“?

Stell dir viele gleich vorbereitete Elektronen vor. An einer Gruppe misst du die x-Position, an einer anderen den x-Impuls. Die Ergebnisse bilden jeweils eine Verteilung. Ihre Standardabweichungen heißen Δx und Δp_x. Sie beschreiben die Streuung der möglichen Messwerte für denselben vorbereiteten Zustand.

Diese Streuung ist nicht einfach eine schlechte Skala am Messgerät. Auch ideal genaue Geräte beseitigen die quantenmechanische Untergrenze nicht. Ein realer Messfehler kann zusätzlich auftreten, ist aber eine andere Frage.

„Unschärfe“ meint hier auch nicht die Veränderung zwischen zwei Zeitpunkten. Δp_x ist keine auf das Elektron übertragene Stoßmenge und Δx keine zurückgelegte Strecke.

Die Beziehung richtig lesen

Δx · Δp_x ≥ ℏ2 = h4π

h ≈ 6,626 · 10⁻³⁴ J·s ist die Planck-Konstante. ℏ = h geteilt durch 2π heißt reduzierte Planck-Konstante. Die Untergrenze beträgt ungefähr 5,273 · 10⁻³⁵ J·s.

Das x am Impuls ist wichtig: Ort und Impuls gehören zur gleichen Raumrichtung. Die Formel setzt endliche Standardabweichungen voraus. Sie ist eine Ungleichung; viele Zustände liegen deutlich über der Untergrenze.

Δp_x ≥ ℏ2 · Δx

Halbierst du die vorgegebene Ortsstreuung, verdoppelt sich die kleinste erlaubte Impulsstreuung. Daraus folgt nicht, dass bei einer größeren Ortsstreuung die tatsächliche Impulsstreuung zwingend kleiner sein muss. Die Grenze lässt auch große Werte beider Streuungen zu.

Warum hilft die Vorstellung eines Wellenpakets?

Eine einzelne ideale Welle mit genau einer Wellenzahl ist räumlich nicht auf einen kleinen Bereich begrenzt. Um ein lokalisiertes Paket aufzubauen, überlagert man passende Wellenanteile mit verschiedenen Wellenzahlen.

Über p = ℏk gehören dazu verschiedene Impulsanteile. Stärkere räumliche Bündelung braucht eine ausreichende Breite im Impuls. Das ist eine mathematische Eigenschaft der Orts- und Impulsbeschreibung eines Zustands.

Die folgende Grafik zeigt keine schwingende Flugbahn. Sie stellt direkt erlaubte Kombinationen der beiden Standardabweichungen dar.

Wie verschiebt sich die Untergrenze?

Stelle Δx zuerst auf 0,10 nm, danach auf 0,20 nm. Sage voraus, wie sich die kleinste erlaubte Impulsstreuung verändert.

Ein Elektron auf atomarer Längenskala

Gegeben: Δx = 0,10 nm. Gesucht ist eine Untergrenze für Δp_x.

1. Umrechnen: 0,10 nm = 1,0 · 10⁻¹⁰ m.

Δp_x ≥ 1,0546 · 10⁻³⁴ J·s2 · 1,0 · 10⁻¹⁰ m ≈ 5,27 · 10⁻²⁵ kg·m·s⁻¹

2. Einheit prüfen: Joule ist kg·m²·s⁻². Multipliziert mit Sekunden und geteilt durch Meter ergibt sich kg·m·s⁻¹, die Impulseinheit.

3. Geschwindigkeit einordnen: Für ein nichtrelativistisches Elektron gilt p_x = m_ev_x und damit Δv_x = Δp_x geteilt durch m_e. Mit m_e ≈ 9,109 · 10⁻³¹ kg folgt:

Δv_x ≥ 5,27 · 10⁻²⁵ kg·m·s⁻¹9,109 · 10⁻³¹ kg ≈ 5,79 · 10⁵ m·s⁻¹

Das ist eine Geschwindigkeitsstreuung, nicht die sichere oder mittlere Geschwindigkeit des Elektrons. Die Umrechnung setzt einen insgesamt nichtrelativistischen Zustand voraus.

Was hat ein enger Spalt damit zu tun?

Ein engerer Spalt begrenzt die Querposition stärker und führt im passenden Beugungsversuch zu einer breiteren Verteilung der Querimpulse. Das ist eine anschauliche Verbindung zur Wellenbeschreibung.

Aber die Spaltbreite b ist nicht automatisch die Standardabweichung Δx. Ebenso ist der Winkel bis zum ersten Minimum nicht direkt Δp_x. Für die exakte Ungleichung braucht man die tatsächlichen Verteilungen und ihre Standardabweichungen. Aus groben Breitenabschätzungen erhält man nur Größenordnungen.

Diese Unterschiede sind entscheidend

Gleichheitszeichen immer verwenden: Die Rechnung liefert eine Untergrenze. Nur geeignete Zustände erreichen sie.

Δp mit p verwechseln: Die Streuung kann groß sein, obwohl der mittlere Impuls null ist.

Unschärfe als Störung durch den Beobachter erklären: Die hier verwendete Beziehung betrifft den vorbereiteten Zustand. Messrückwirkung ist eine zusätzliche Fragestellung.

Meter und Nanometer vermischen: Vor dem Einsetzen mit SI-Einheiten rechnen.

Beliebige Raumrichtungen kombinieren: Hier gehören x und p_x zusammen.

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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.

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