Warum ist ein gebundener Kern leichter als seine getrennten Bestandteile? Berechne die Energiedifferenz und vergleiche Gesamtenergie und Energie pro Nukleon.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Vergleiche einen Kern im Grundzustand mit denselben Protonen und Neutronen, voneinander getrennt und jeweils in Ruhe. Die Summe der Massen der freien Teilchen ist größer als die Masse des gebundenen Kerns. Diese positive Differenz heißt Massendefekt.
Es fehlen keine Protonen oder Neutronen. Unterschiedlich ist die Energie des Systems. Ein gebundener Kern hat weniger Ruheenergie als seine vollständig getrennten Bestandteile. Die beim Binden abgegebene Energie muss in einer vollständigen Bilanz außerhalb des Kerns mitgezählt werden.
Masse und Energie sind über E = mc² verbunden. Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Die verringerte Ruhemasse des Kerns ist eine Systemeigenschaft, kein Hinweis auf verschwundene Nukleonen.
Weniger Ruheenergie bedeutet weniger Ruhemasse. Beim Binden wird Energie an die Umgebung abgegeben. Um den Kern vollständig zu zerlegen, musst du die Bindungsenergie wieder zuführen.
Die Nukleonen verschwinden dabei nicht. Schematische Energieniveaus, keine maßstäbliche Darstellung.
Lernschritt 2
Δm = Z · mp + N · mn − mKern
EB = Δm · c²
Z zählt Protonen, N Neutronen. mp und mn sind die Massen freier Protonen und Neutronen; mKern ist ausdrücklich die Kernmasse ohne Elektronenhülle. EB ist die gesamte Bindungsenergie des Kerns.
Setzt du Δm in Kilogramm und c in Metern pro Sekunde ein, erhältst du Joule. In der Kernphysik sind atomare Masseneinheiten und Megaelektronenvolt praktisch:
1 u · c² ≈ 931,494 MeV
1 MeV = 106 eV ≈ 1,60218 · 10−13 J
Beispiel: Ein Massendefekt von 0,0100 u entspricht etwa 9,31 MeV. u ist eine Masseneinheit, MeV eine Energieeinheit. Der Faktor c² verbindet beide.
Lies Z und A ab. Berechne die Neutronenzahl mit N = A − Z.
Kernmassen: mit Protonen rechnen. Atommassen: in der Schulnäherung mit Wasserstoff-1-Atomen rechnen.
Addiere die Massen der freien Bestandteile und ziehe die Masse des gebundenen Systems ab.
Bei Δm in u mit 931,494 MeV/u multiplizieren. Für den Mittelwert pro Nukleon anschließend durch A teilen.
Lernschritt 3
Viele Tabellen enthalten die Massen neutraler Atome, also Kern plus Elektronenhülle. Diese Werte darfst du nicht unverändert in eine Formel einsetzen, die nur freie Protonen und Neutronen mit einer Kernmasse vergleicht.
Eine praktische Schulnäherung verwendet die Masse mH des neutralen Wasserstoff-1-Atoms statt der Protonenmasse:
Δm ≈ Z · mH + N · mn − mAtom
Auf beiden Seiten stehen dann insgesamt Z Elektronen. Ihre Ruhemasse hebt sich auf. Unterschiede der elektronischen Bindungsenergien werden in dieser Näherung vernachlässigt. Für sehr genaue Kernbindungsenergien muss man sie korrigieren.
Verwende die Masse des konkreten Isotops. Die mittlere Atommasse eines natürlichen Isotopengemischs aus dem Periodensystem ist dafür ungeeignet.
Lernschritt 4
Wir rechnen mit neutralen Atommassen. Deshalb verwenden wir Wasserstoff-1 statt freier Protonen. Elektronische Bindungsenergien vernachlässigen wir.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie viel Energie ist nötig, um den Helium-4-Kern in freie Nukleonen zu zerlegen?
mH = 1,007825032 u · mn = 1,008664916 u · mHe = 4,002603254 u
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Z = 2; A = 4 N = 4 − 2 = 2 |
1Bestandteile bestimmen
Helium-4 enthält zwei Protonen und zwei Neutronen. |
| mfrei ≈ 2 · 1,007825032 u + 2 · 1,008664916 u = 4,032979896 u |
2Freie Bestandteile addieren
Die zwei Wasserstoffatome enthalten zusammen dieselbe Elektronenzahl wie das Heliumatom. |
| Δm ≈ 4,032979896 u − 4,002603254 u = 0,030376642 u |
3Gebundene Masse abziehen
Der gebundene Zustand hat weniger Ruhemasse. Die Differenz ist positiv. |
| EB ≈ 0,030376642 u · 931,494 MeV/u ≈ 28,30 MeV |
4Masse in Energie umrechnen
Die Einheit u kürzt sich. Runde erst das Endergebnis. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie stark ist Helium-4 im Durchschnitt pro Nukleon gebunden?
EB ≈ 28,30 MeV · A = 4
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| EBA |
1Passende Vergleichsgröße wählen
Die Gesamtenergie allein eignet sich nicht zum Vergleich unterschiedlich großer Kerne. |
| 28,30 MeV4 ≈ 7,07 MeV |
2Durch die Massenzahl teilen
A zählt alle Protonen und Neutronen. Hier bezeichnet A keine Aktivität. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie groß ist die Bindungsenergie eines Helium-4-Kerns in Joule?
EB ≈ 28,30 MeV · 1 MeV ≈ 1,60218 · 10−13 J
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| EB ≈ 28,30 MeV · 1,60218 · 10−13 J/MeV |
1Umrechnungsfaktor einsetzen
MeV ist eine Energieeinheit. Bei dieser Umrechnung wird nicht noch einmal mit c² multipliziert. |
| EB ≈ 4,53 · 10−12 J |
2Ausrechnen und runden
Der kleine Joulewert gilt für genau einen Kern. |
Lernschritt 5
Wähle einen Kern und vergleiche beide Anzeigen. Die obere Skala reicht bis 100 MeV, die untere bis 9 MeV pro Nukleon.
Warum kann man die zwei Balken desselben Kerns nicht direkt nach Länge vergleichen? Sie zeigen verschiedene Größen auf verschiedenen Skalen. Vergleiche stattdessen zuerst die Gesamtenergie zwischen den Kernen, danach die Energie pro Nukleon.
Lernschritt 6
Die Bindungsenergie pro Nukleon steigt bei leichten Kernen im groben Verlauf zunächst stark an. Besonders hohe Werte liegen im Bereich der Eisen- und Nickelisotope. Bei sehr schweren Kernen ist sie wieder etwas niedriger. Einzelne Nuklide weichen vom glatten Trend ab.
Bei passenden Reaktionen leichter Kerne können stärker gebundene Produkte entstehen: Fusion kann dann Energie freisetzen. Auch die Spaltung eines schweren Kerns kann insgesamt stärker gebundene Produkte liefern. Entscheidend ist jeweils die vollständige Energiebilanz der konkreten Reaktion.
Q = (mvorher − mnachher) · c²
Q > 0 bedeutet eine positive Energiefreisetzung aus der Ruhemassebilanz. Für mnachher müssen alle Reaktionsprodukte einschließlich freier Teilchen berücksichtigt werden. Eine hohe mittlere Bindungsenergie allein beweist nicht, dass jedes Nuklid radioaktiv stabil ist oder dass eine bestimmte Reaktion von selbst abläuft.
Hin zu stärker gebundenen Produkten. Geeignete leichte Kerne können bei Fusion Energie freisetzen; geeignete schwere Kerne bei Spaltung.
Die Kurve zeigt nur den groben Trend, keine Messwerte oder einzelnen Nuklide. Die vollständige Massenbilanz entscheidet über die konkrete Reaktion.
Lernschritt 7
Atommassen mit Protonenmassen mischen: Die Elektronenbilanz muss stimmen.
Gesamtenergie und Energie pro Nukleon verwechseln: Für den Vergleich pro Nukleon durch A teilen.
Δm negativ berechnen und das Vorzeichen ignorieren: Beim gebundenen Kern lautet die Definition freie Bestandteile minus gebundener Kern.
Den Mittelwert als einzelne Abtrennenergie lesen: EB geteilt durch A ist nicht die Energie jeder denkbaren Teilchenabtrennung.
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Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Rechne einen bekannten positiven Massendefekt in Bindungsenergie um oder bestimme die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon. Die vorausgehende Massenbilanz muss alle beteiligten Teilchen berücksichtigen. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
Die Summe der Massen der freien Nukleonen.
Etwa 18,63 MeV.
8 MeV pro Nukleon.
Nein. Die Elektronen müssen korrekt berücksichtigt werden.
0,0100 u.
Nein. Das ist ein Durchschnitt. Eine bestimmte Abtrennenergie hängt vom Anfangs- und Endkern ab.
Isotopenmassen: NIST · Wasserstoff und NIST · Helium. Beispiele eigenständig berechnet.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichung: OpenStax · University Physics 3. Texte, Zahlenbeispiele und Schaubilder sind eigenständig erstellt.
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