Zerlege Körper in einfache Teile. Plane Volumen und Oberfläche getrennt: Kontaktflächen verschwinden im Inneren, eine Bohrung schafft dagegen neue Wände.
Hilfreiches Vorwissen: Quader, Zylinder, Kegel, Halbkugel, Kreisringe und Volumeneinheiten.
Addiere Volumina, entferne doppelte Kontaktflächen und prüfe die Wirkung einer Bohrung.
Zahlen mit Komma oder Punkt. π als pi, Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(...). Punkte als x | y. Gib exakte Werte oder die verlangte Rundung auf zwei Nachkommastellen an. Beachte die Einheit. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Rauminhalt und Oberfläche getrennt planen
Vgesamt = V₁ + V₂
Das gilt für aneinandergefügte Teile ohne räumliche Überlappung. Für die Oberfläche musst du gemeinsame Kontaktflächen abziehen.
Viele Körper bestehen aus Quadern, Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln oder Kugelteilen. Du brauchst dafür meist keine neue Spezialformel: Erkenne die Teile und verwende ihre bekannten Formeln.
Markiere in einer Skizze, welche Maße zu welchem Teil gehören. Eine Gesamthöhe kann aus mehreren Teilhöhen bestehen. Ein Durchmesser muss vor dem Einsetzen in eine Radiusformel halbiert werden.
Für Volumina gilt: Füge Teile ohne räumliche Überlappung durch Addition zusammen. Ein herausgeschnittenes Volumen ziehst du ab. Wenn sich zwei gedachte Teilkörper überlappen, darf der gemeinsame Raumbereich nicht doppelt gezählt werden.
Der untere Quader ist 6 cm lang, 4 cm tief und 2 cm hoch. Auf ihm liegt vollständig ein kleinerer Quader mit 3 cm Länge, 2 cm Tiefe und 2 cm Höhe.
Die beiden Körper berühren sich nur an einer Fläche. Ihre Rauminhalte überlappen sich nicht:
Beispiel – Schritt für Schritt
6 cm × 4 cm × 2 cm
Multipliziere mit seiner Höhe.
Beispiel – Schritt für Schritt
3 cm × 2 cm × 2 cm
Berechne die Grundfläche des oberen Quaders.
Verwende die Höhe des kleinen Quaders.
Beispiel – Schritt für Schritt
V₁ = 48 cm³ · V₂ = 12 cm³
Die Teile berühren sich nur an einer Fläche und überlappen sich nicht räumlich.
Addiere die beiden Rauminhalte.
Die Gesamthöhe beträgt 4 cm. Trotzdem darfst du nicht 6 · 4 · 4 rechnen: Das würde den leeren Raum neben dem oberen Quader mitfüllen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Berechne jedes Volumen einzeln mit seinen eigenen Maßen.
Die Teile überlappen sich nicht. Eine gemeinsame Kontaktfläche hat kein Volumen und wird hier nicht abgezogen.
Berechne zunächst die Oberflächen beider einzelnen Quader:
Beispiel – Schritt für Schritt
Unterer Quader: 6 cm × 4 cm × 2 cm
Ein Quader besitzt drei Paare gleich großer Rechtecksflächen.
Setze 6 cm, 4 cm und 2 cm ein. Alle drei Produkte in der Klammer sind Flächen.
Beispiel – Schritt für Schritt
Oberer Quader: 3 cm × 2 cm × 2 cm
Berechne zunächst die vollständige Oberfläche des kleinen Quaders.
Setze 3 cm, 2 cm und 2 cm ein.
Die Kontaktfläche ist 3 · 2 cm² = 6 cm² groß. Sie wurde zweimal mitgezählt: als Teil der Oberseite des unteren Quaders und als Unterseite des oberen Quaders. Im zusammengefügten Körper liegt sie innen.
Beispiel – Schritt für Schritt
O₁ = 88 cm² · O₂ = 32 cm²
Kontaktfläche: 3 cm × 2 cm
Der kleine Quader liegt mit seiner gesamten Unterseite auf dem großen.
Die vollständigen Einzeloberflächen enthalten die Kontaktstelle zweimal: unten am oberen und oben am unteren Teil.
Entferne beide nach dem Zusammenfügen innenliegenden Flächen.
Übrig bleibt die äußere Oberfläche. Die Teile dürfen sich für diesen Ansatz nicht räumlich überlappen.
Diese Rechnung passt für zwei Körper, die ohne räumliche Überlappung an einer Fläche zusammengefügt sind. Bei mehreren Kontaktstellen ziehst du jede doppelt gezählte Kontaktfläche entsprechend ab.
Nur einmal 6 cm² abzuziehen wäre zu wenig. Beide ursprünglichen Körperoberflächen enthalten je eine Seite der später innenliegenden Verbindung.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Zunächst zählen die vollständigen Einzeloberflächen.
Diese Fläche liegt nach dem Zusammenfügen innen und wurde bei beiden Würfeln gezählt.
Ziehe beide Kontaktseiten ab. Probe: Der neue Quader ist 4 cm × 2 cm × 2 cm groß; auch 2 · (8 + 8 + 4) = 40.
Du kannst zur Kontrolle auch alle außenliegenden Flächen einzeln addieren. Im Quaderbeispiel sind das:
Beispiel – Schritt für Schritt
Unten: 6 cm × 4 cm × 2 cm
Oben: 3 cm × 2 cm × 2 cm
Zähle die Unterseite des großen Quaders.
Die vier Seitenflächen des großen Quaders liegen vollständig außen.
Ziehe von seiner Oberseite nur den bedeckten Teil ab.
Zähle die vier Seitenflächen des kleinen Quaders.
Seine Oberseite liegt ebenfalls außen; seine Unterseite ist eine Kontaktfläche und entfällt.
Addiere nur die außenliegenden Flächen. Jetzt ist kein weiterer Kontaktflächenabzug nötig.
Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. Bei komplizierteren Formen ist das direkte Aufzählen der benötigten Flächen oft übersichtlicher als eine große Gesamtformel.
Ein Würfel mit Kantenlänge 6 cm erhält eine senkrechte zylindrische Bohrung durch zwei gegenüberliegende Flächen. Der Bohrungsradius ist 1 cm, die Bohrung liegt vollständig innerhalb der Seitenränder.
Die Höhe des entfernten Zylinders ist 6 cm. Vom Würfelvolumen ziehst du diesen Zylinder ab:
Beispiel – Schritt für Schritt
Würfelkante: 6 cm · Bohrung: r = 1 cm, h = 6 cm
Berechne das ursprüngliche Materialvolumen.
Die senkrechte durchgehende Bohrung ist ein Zylinder von 6 cm Höhe; sie bleibt vollständig innerhalb der Seitenränder.
Ziehe den entfernten Zylinder ab.
Runde erst am Ende. Das verbleibende Material und der entfernte Hohlraum sind unterschiedliche gesuchte Größen.
Das ist das verbleibende Materialvolumen. Der Hohlraum selbst hat Volumen 6π cm³. Welche dieser Größen gefragt ist, musst du dem Aufgabentext entnehmen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beginne mit dem ursprünglichen Materialvolumen.
Die Bohrhöhe ist 4 cm. Der Radius muss quadriert werden.
Ziehe nur das entfernte Volumen ab und runde erst am Ende.
Vor der Bohrung hat der Würfel die Oberfläche 6 · 6² cm² = 216 cm². Durch die Bohrung entfallen oben und unten zwei Kreisflächen mit zusammen 2π cm².
Gleichzeitig entsteht die Wand des Bohrlochs. Ihre Fläche ist der Mantel eines Zylinders mit Radius 1 cm und Höhe 6 cm:
Beispiel – Schritt für Schritt
Bohrungsradius r = 1 cm · Bohrhöhe h = 6 cm
Die neu freigelegte Bohrungswand ist die Mantelfläche eines Zylinders.
Diese Fläche grenzt an den zugänglichen Hohlraum und zählt zur gesamten Materialoberfläche.
Für die gesamte Materialoberfläche einschließlich der zugänglichen Bohrungswand gilt daher:
Beispiel – Schritt für Schritt
Würfelkante: 6 cm · durchgehende Bohrung: r = 1 cm
Beginne mit der ursprünglichen Würfeloberfläche.
Oben und unten entfällt je ein Kreis. Bei einer durchgehenden Bohrung gibt es keinen geschlossenen Bohrlochboden.
Ziehe die Öffnungen ab und addiere die neue Bohrungswand.
Das ist die gesamte zugängliche Materialoberfläche. Sie ist größer als vor der Bohrung.
Das Materialvolumen ist kleiner geworden, die gesamte Oberfläche größer. Soll nur die äußere Würfelhülle ohne Bohrungswand beschichtet werden, gilt dagegen:
Beispiel – Schritt für Schritt
Würfelkante: 6 cm · Bohrungsradius: 1 cm
Gesucht: äußere Hülle ohne Bohrungswand
Ziehe nur die zwei Öffnungen von der ursprünglichen Würfelhülle ab; die Bohrungswand ist ausdrücklich nicht gefragt.
Diese Teilfläche ist kleiner als die gesamte Materialoberfläche einschließlich Bohrungswand.
Unterscheide die offene Bohrungswand von einer verdeckten Kontaktfläche zweier zusammengefügter Körper. Die Bohrungswand grenzt an den Hohlraum und kann je nach Aufgabe zur gesuchten Materialoberfläche gehören.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ausgangspunkt ist die Oberfläche vor der Bohrung.
Oben und unten fällt je eine Kreisfläche weg.
Die zugängliche Innenwand kommt als neue Oberfläche hinzu.
Weniger Material kann eine größere Oberfläche haben. Die gesuchte Fläche schließt hier die Bohrungswand ausdrücklich ein.
Ein gerades Rohr hat Außenradius R = 5 cm, Innenradius r = 3 cm und Länge h = 10 cm. Beide Enden sind offen. Das Materialvolumen ist die Differenz zweier Zylinder:
Beispiel – Schritt für Schritt
R = 5 cm; r = 3 cm; h = 10 cm
Das gerade Rohr hat konzentrische Innen- und Außenflächen, positive Länge und R > r > 0.
Die Materialquerschnittsfläche ist Außenkreis minus Innenkreis.
Multipliziere die Ringfläche mit der Rohrlänge. Das ist gleich Außenvolumen minus Hohlraumvolumen.
Runde erst nach der exakten Rechnung.
Die Wandstärke beträgt R − r = 2 cm. Für die gesamte Materialoberfläche addierst du Außenmantel, Innenmantel und die beiden ringförmigen Stirnflächen:
Beispiel – Schritt für Schritt
R = 5 cm; r = 3 cm; h = 10 cm
Beide Rohrenden sind offen
Berechne den äußeren Zylindermantel.
Auch die Innenwand gehört zur gesamten Materialoberfläche.
Beide offenen Enden besitzen ringförmige Stirnflächen. Es gibt keine verschließenden vollen Kreisscheiben.
Addiere alle vier Begrenzungsflächen des Rohrmaterials.
Alle Summanden sind Flächen; runde die Summe erst am Ende.
„Offen“ bedeutet hier, dass keine vollen Kreisscheiben die Enden verschließen. Die ringförmigen Materialkanten an den Enden sind trotzdem vorhanden.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Materialquerschnitt ist Außenkreis minus Innenkreis.
Multipliziere die Ringfläche mit der Rohrlänge.
Zur gesamten Materialoberfläche gehören Außenmantel, Innenmantel und beide ringförmigen Stirnflächen. Die Rohröffnungen werden nicht mit vollen Kreisscheiben verschlossen.
Für das Fassungsvermögen eines Gefäßes benötigst du die Innenmaße. Für Materialverbrauch können dagegen Außen- und Innenmaße sowie Wandstärken entscheidend sein.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
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Mathehelfer
Berechne einzelne Quader oder Zylinder als Zwischenschritt. Kontakte und Bohrungen planst du wie oben beschrieben; ein offenes Rohr lässt sich direkt berechnen.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
V₁ = 40 cm³ · V₂ = 15 cm³ · keine Überlappung
Ohne räumliche Überlappung darfst du die Teilvolumina addieren.
Schreibe die Kubikeinheit auf beiden Seiten passend dazu.
Lösung – Schritt für Schritt
O₁ = 50 cm² · O₂ = 30 cm²
Gemeinsame Kontaktfläche: 4 cm²
Die vollständigen Einzeloberflächen enthalten je eine der beiden später innenliegenden Kontaktseiten.
Bei bloßem Aneinanderfügen ohne Volumenüberlappung musst du die Kontaktfläche zweimal abziehen.
Lösung – Schritt für Schritt
Unten: 6 cm × 4 cm × 2 cm
Oben: 3 cm × 2 cm × 2 cm
Das wäre das Volumen des vollständig ausgefüllten umschließenden Quaders.
Tatsächlich ist die obere Schicht nur teilweise mit dem kleinen Quader gefüllt.
Die falsche Rechnung würde zusätzlich 36 cm³ leeren Raum neben dem oberen Teil mitzählen.
Lösung – Schritt für Schritt
Durchgehende Bohrung: r = 1 cm; h = 8 cm
Gesucht ist der entfernte zylindrische Hohlraum, nicht das verbleibende Material.
Setze Radius und durchgehende Bohrhöhe ein.
Runde erst am Ende.
Lösung – Schritt für Schritt
Würfelkante: 6 cm · durchgehende Bohrung: r = 1 cm
Im erklärten Würfelbeispiel entsteht eine Bohrungswand; zwei Öffnungskreise entfallen.
Die neue Wand ist größer als die entfernten Flächen. Daher kann eine Bohrung die gesamte Materialoberfläche vergrößern.
Lösung – Schritt für Schritt
Außenradius R = 4 cm · Innenradius r = 3 cm
Beim konzentrischen Rohr ist die Wandstärke die Differenz von Außen- und Innenradius.
Ziehe die Radien ab. Die Differenz der Durchmesser wäre doppelt so groß wie die Wandstärke.
Wenn du vollständige Einzeloberflächen addiert hast, ziehst du jede doppelt gezählte Kontaktfläche zweimal ab. Beim direkten Aufzählen der außenliegenden Flächen lässt du sie von Anfang an weg.
Nein. Eine Bohrung oder Aussparung kann neue Begrenzungsflächen erzeugen. Deshalb musst du entfernte und neu entstandene Flächen getrennt betrachten.
Nein. Materialvolumen beschreibt den Körperstoff; Fassungsvermögen beschreibt den nutzbaren Innenraum eines Gefäßes.
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Berechne die Grundfläche des unteren Quaders.