1 · Zwei Körper ohne Volumenüberlappung haben 40 cm³ und 15 cm³. Wie groß ist das gemeinsame Volumen?
Lösung und Rechenweg ansehen
40 + 15 = 55 cm³.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–10 · Grundlagen und Wiederholung
Zusammengesetzte Körper: verstehen und üben
Zerlege Körper in bekannte Formen, addiere Volumina und ziehe Aussparungen ab. Bestimme Oberflächen über die tatsächlich vorhandenen Flächen und berücksichtige Kontaktstellen und Bohrungen.
Rauminhalt und Oberfläche getrennt planen
Vgesamt = V₁ + V₂
Das gilt für aneinandergefügte Teile ohne räumliche Überlappung. Für die Oberfläche musst du gemeinsame Kontaktflächen abziehen.
Lernschritt 1
Einen Körper in bekannte Teile zerlegen
Viele Körper bestehen aus Quadern, Prismen, Zylindern, Pyramiden, Kegeln oder Kugelteilen. Du brauchst dafür meist keine neue Spezialformel: Erkenne die Teile und verwende ihre bekannten Formeln.
Markiere in einer Skizze, welche Maße zu welchem Teil gehören. Eine Gesamthöhe kann aus mehreren Teilhöhen bestehen. Ein Durchmesser muss vor dem Einsetzen in eine Radiusformel halbiert werden.
Für Volumina gilt: Füge Teile ohne räumliche Überlappung durch Addition zusammen. Ein herausgeschnittenes Volumen ziehst du ab. Wenn sich zwei gedachte Teilkörper überlappen, darf der gemeinsame Raumbereich nicht doppelt gezählt werden.
Lernschritt 2
Zwei aufeinanderliegende Quader berechnen
Der untere Quader ist 6 cm lang, 4 cm tief und 2 cm hoch. Auf ihm liegt vollständig ein kleinerer Quader mit 3 cm Länge, 2 cm Tiefe und 2 cm Höhe.
Die beiden Körper berühren sich nur an einer Fläche. Ihre Rauminhalte überlappen sich nicht:
V₁ = 6 · 4 · 2 cm³ = 48 cm³
V₂ = 3 · 2 · 2 cm³ = 12 cm³
Vgesamt = 48 cm³ + 12 cm³ = 60 cm³
Die Gesamthöhe beträgt 4 cm. Trotzdem darfst du nicht 6 · 4 · 4 rechnen: Das würde den leeren Raum neben dem oberen Quader mitfüllen.
Lernschritt 3
Kontaktflächen bei der Oberfläche abziehen
Berechne zunächst die Oberflächen beider einzelnen Quader:
O₁ = 2(6 · 4 + 6 · 2 + 4 · 2) cm² = 88 cm²
O₂ = 2(3 · 2 + 3 · 2 + 2 · 2) cm² = 32 cm²
Die Kontaktfläche ist 3 · 2 cm² = 6 cm² groß. Sie wurde zweimal mitgezählt: als Teil der Oberseite des unteren Quaders und als Unterseite des oberen Quaders. Im zusammengefügten Körper liegt sie innen.
Ogesamt = O₁ + O₂ − 2 · AKontakt
Ogesamt = 88 cm² + 32 cm² − 12 cm² = 108 cm²
Diese Rechnung passt für zwei Körper, die ohne räumliche Überlappung an einer Fläche zusammengefügt sind. Bei mehreren Kontaktstellen ziehst du jede doppelt gezählte Kontaktfläche entsprechend ab.
Nur einmal 6 cm² abzuziehen wäre zu wenig. Beide ursprünglichen Körperoberflächen enthalten je eine Seite der später innenliegenden Verbindung.
Lernschritt 4
Die Oberfläche alternativ direkt zusammensetzen
Du kannst zur Kontrolle auch alle außenliegenden Flächen einzeln addieren. Im Quaderbeispiel sind das:
- Unterseite des großen Quaders: 24 cm².
- Seine vier Seitenflächen: 2 · 6 · 2 + 2 · 4 · 2 = 40 cm².
- Freier Teil seiner Oberseite: 24 − 6 = 18 cm².
- Vier Seitenflächen des kleinen Quaders: 2 · 3 · 2 + 2 · 2 · 2 = 20 cm².
- Oberseite des kleinen Quaders: 6 cm².
O = 24 + 40 + 18 + 20 + 6 = 108 cm²
Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. Bei komplizierteren Formen ist das direkte Aufzählen der benötigten Flächen oft übersichtlicher als eine große Gesamtformel.
Lernschritt 5
Eine durchgehende Bohrung: Volumen abziehen
Ein Würfel mit Kantenlänge 6 cm erhält eine senkrechte zylindrische Bohrung durch zwei gegenüberliegende Flächen. Der Bohrungsradius ist 1 cm, die Bohrung liegt vollständig innerhalb der Seitenränder.
Die Höhe des entfernten Zylinders ist 6 cm. Vom Würfelvolumen ziehst du diesen Zylinder ab:
V = 6³ cm³ − π · 1² · 6 cm³
V = 216 cm³ − 6π cm³ ≈ 197,15 cm³
Das ist das verbleibende Materialvolumen. Der Hohlraum selbst hat Volumen 6π cm³. Welche dieser Größen gefragt ist, musst du dem Aufgabentext entnehmen.
Lernschritt 6
Bei Bohrungen entsteht eine neue Oberfläche
Vor der Bohrung hat der Würfel die Oberfläche 6 · 6² cm² = 216 cm². Durch die Bohrung entfallen oben und unten zwei Kreisflächen mit zusammen 2π cm².
Gleichzeitig entsteht die Wand des Bohrlochs. Ihre Fläche ist der Mantel eines Zylinders mit Radius 1 cm und Höhe 6 cm:
MBohrung = 2π · 1 · 6 cm² = 12π cm²
Für die gesamte Materialoberfläche einschließlich der zugänglichen Bohrungswand gilt daher:
O = 216 cm² − 2π cm² + 12π cm²
O = 216 cm² + 10π cm² ≈ 247,42 cm²
Das Materialvolumen ist kleiner geworden, die gesamte Oberfläche größer. Soll nur die äußere Würfelhülle ohne Bohrungswand beschichtet werden, wäre dagegen 216 − 2π cm² die passende Fläche.
Unterscheide die offene Bohrungswand von einer verdeckten Kontaktfläche zweier zusammengefügter Körper. Die Bohrungswand grenzt an den Hohlraum und kann je nach Aufgabe zur gesuchten Materialoberfläche gehören.
Lernschritt 7
Ein Rohr mit Wandstärke berechnen
Ein gerades Rohr hat Außenradius R = 5 cm, Innenradius r = 3 cm und Länge h = 10 cm. Beide Enden sind offen. Das Materialvolumen ist die Differenz zweier Zylinder:
VMaterial = π(R² − r²)h
VMaterial = π(25 − 9) · 10 cm³ = 160π cm³ ≈ 502,65 cm³
Die Wandstärke beträgt R − r = 2 cm. Für die gesamte Materialoberfläche addierst du Außenmantel, Innenmantel und die beiden ringförmigen Stirnflächen:
O = 2πRh + 2πrh + 2π(R² − r²)
O = 100π + 60π + 32π = 192π cm² ≈ 603,19 cm²
„Offen“ bedeutet hier, dass keine vollen Kreisscheiben die Enden verschließen. Die ringförmigen Materialkanten an den Enden sind trotzdem vorhanden.
Lernschritt 8
So löst du zusammengesetzte Körper systematisch
- Skizziere die Form und ordne alle Maße den Teilkörpern zu.
- Kläre: Ist Materialvolumen, Hohlraum, Fassungsvermögen oder eine bestimmte Fläche gesucht?
- Berechne fehlende Teilhöhen und Radien.
- Addiere getrennte Teilvolumina oder ziehe Aussparungen ab.
- Erstelle für Oberflächen eine Liste aller benötigten Begrenzungsflächen.
- Entferne doppelt gezählte Kontaktflächen und ergänze neue Flächen an Aussparungen.
- Rechne mit einheitlichen Einheiten und runde erst am Ende.
Für das Fassungsvermögen eines Gefäßes benötigst du die Innenmaße. Für Materialverbrauch können dagegen Außen- und Innenmaße sowie Wandstärken entscheidend sein.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Zwei Einzeloberflächen sind 50 cm² und 30 cm², die gemeinsame Kontaktfläche 4 cm². Berechne die Gesamtoberfläche.
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50 + 30 − 2 · 4 = 72 cm².
Erklärung wiederholen →3 · Warum darfst du beim Quaderbeispiel nicht 6 · 4 · 4 rechnen?
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Damit würdest du den leeren Raum neben dem kleineren oberen Quader mitrechnen.
Erklärung wiederholen →4 · Welches Volumen entfernt eine durchgehende Bohrung mit r = 1 cm und h = 8 cm?
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V = πr²h = 8π cm³ ≈ 25,13 cm³.
Erklärung wiederholen →5 · Kann eine Bohrung die gesamte Oberfläche vergrößern?
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Ja. Die neue Bohrungswand kann größer sein als die wegfallenden Flächen an den Öffnungen.
Erklärung wiederholen →6 · Ein Rohr hat Außenradius 4 cm und Innenradius 3 cm. Wie dick ist die Wand?
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R − r = 1 cm. Die Radien werden subtrahiert, nicht die Durchmesser.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Muss ich bei Oberflächen immer die Kontaktfläche abziehen?
Wenn du vollständige Einzeloberflächen addiert hast, ziehst du jede doppelt gezählte Kontaktfläche zweimal ab. Beim direkten Aufzählen der außenliegenden Flächen lässt du sie von Anfang an weg.
Wird die Oberfläche durch Entfernen von Material immer kleiner?
Nein. Eine Bohrung oder Aussparung kann neue Begrenzungsflächen erzeugen. Deshalb musst du entfernte und neu entstandene Flächen getrennt betrachten.
Sind Materialvolumen und Fassungsvermögen dasselbe?
Nein. Materialvolumen beschreibt den Körperstoff; Fassungsvermögen beschreibt den nutzbaren Innenraum eines Gefäßes.