1 · Welche Ergebnismenge passt zur Augenzahl eines üblichen sechsseitigen Würfels?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Zufallsexperimente und Ereignisse: verstehen und üben
Unterscheide Ergebnis, Ergebnismenge und Ereignis. Mit Würfel- und Münzbeispielen, Gegenereignissen, Aufgaben mit Lösungen und kostenlosen Materialien.
Ein Wurf – mehrere mögliche Ergebnisse
Ergebnis: eine 4.
Ereignis: eine gerade Zahl.
Das Ereignis tritt bei 2, 4 oder 6 ein.
Lernschritt 1
Was ist ein Zufallsexperiment?
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen einzelnes Ergebnis du vor der Durchführung nicht sicher kennst. Im mathematischen Modell sind die möglichen Ergebnisse festgelegt, und der Versuch lässt sich unter vergleichbaren Bedingungen wiederholen.
Beispiele sind das Werfen einer Münze, das Werfen eines Würfels oder das verdeckte Ziehen einer Kugel aus einem Beutel. Du legst vorher fest, was beobachtet wird: bei der Münze die obere Seite, beim Würfel die Augenzahl.
Zufällig bedeutet nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Ob Ergebnisse dieselbe Chance haben, ist eine zusätzliche Eigenschaft des Versuchs oder eine Annahme im Modell.
Lernschritt 2
Ergebnis und Ergebnismenge unterscheiden
Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang. Beim Würfeln kann das die Augenzahl 4 sein. Die Ergebnismenge enthält alle Ergebnisse, die wir im Versuch unterscheiden. Häufig wird sie mit Ω bezeichnet, gesprochen „Omega“.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Beim einmaligen Münzwurf verwenden wir Ω = {Kopf, Zahl}. Seltene Sonderfälle wie eine auf dem Rand stehen bleibende Münze lassen wir im einfachen Modell weg oder legen fest, dass dann neu geworfen wird.
Beobachtest du beim Würfel nur „gerade“ oder „ungerade“, ist die Ergebnismenge anders als beim Beobachten der genauen Augenzahl. Die Beschreibung des Versuchs muss also zur Ergebnismenge passen.
Lernschritt 3
Ein Ereignis sammelt passende Ergebnisse
Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Es umfasst genau die Ergebnisse, die zu einer bestimmten Aussage passen. Das Ereignis E = „gerade Zahl“ enthält 2, 4 und 6.
E = {2, 4, 6}
Wird eine 4 gewürfelt, ist das Ergebnis 4 eingetreten und zugleich das Ereignis E. Wird eine 3 gewürfelt, ist E nicht eingetreten.
| Ereignis beim Würfeln | Passende Ergebnisse |
|---|---|
| „größer als 4“ | {5, 6} |
| „mindestens 4“ | {4, 5, 6} |
| „höchstens 2“ | {1, 2} |
| „genau 3“ | {3} |
Ein Ereignis kann auch nur ein einziges Ergebnis enthalten. Die Formulierungen „größer als“ und „mindestens“ unterscheiden sich darin, ob die Grenze dazugehört.
Lernschritt 4
Gegenereignis, sicher und unmöglich
Das Gegenereignis zu E enthält alle Ergebnisse aus Ω, die nicht zu E gehören. Zu „gerade Zahl“ ist das „ungerade Zahl“: {1, 3, 5}.
Ereignis und Gegenereignis schließen sich aus und decken zusammen alle möglichen Ergebnisse ab. Zu „größer als 4“ lautet das Gegenereignis „höchstens 4“, also {1, 2, 3, 4}.
| Art | Beispiel beim üblichen sechsseitigen Würfel | Menge |
|---|---|---|
| Sicheres Ereignis | „Augenzahl von 1 bis 6“ | Ω |
| Unmögliches Ereignis | „Augenzahl 7“ | ∅, die leere Menge |
Probier es selbst: Was ist das Gegenereignis zu „mindestens 3“?
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„Kleiner als 3“, also {1, 2}. Die 3 gehört zum ursprünglichen Ereignis.
Lernschritt 5
„Und“ und „oder“ richtig lesen
Sei A = „gerade Zahl“ = {2, 4, 6} und B = „größer als 3“ = {4, 5, 6}.
- A und B: Beide Bedingungen müssen gelten. Passend sind {4, 6}.
- A oder B: Mindestens eine Bedingung muss gelten. Passend sind {2, 4, 5, 6}.
Das mathematische „oder“ schließt den Fall ein, dass beide Bedingungen erfüllt sind. Die 4 und die 6 gehören daher auch zu „A oder B“. In einer Ergebnismenge wird jedes Ergebnis nur einmal aufgeschrieben.
Lernschritt 6
Bei mehreren Schritten zählt das ganze Ergebnis
Beim zweimaligen Münzwurf notieren wir die Reihenfolge. K steht für Kopf, Z für Zahl:
Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ}
„Genau einmal Kopf“ umfasst KZ und ZK. „Mindestens einmal Kopf“ umfasst KK, KZ und ZK. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Kopf“ ist „keinmal Kopf“, also ZZ.
KZ und ZK sind verschiedene Ergebnisse, obwohl beide einmal Kopf enthalten. Eine Zusammenfassung nach der Anzahl der Köpfe ergibt die Werte 0, 1 und 2; diese sind bei einer fairen Münze nicht gleich wahrscheinlich.
Lernschritt 7
Einen eigenen Versuch dokumentieren
- Lege Versuch und Beobachtung fest, zum Beispiel „20-mal würfeln, Augenzahl notieren“.
- Schreibe die Ergebnismenge auf.
- Wähle ein Ereignis, etwa „gerade Zahl“.
- Notiere jeden Versuch und markiere, ob das Ereignis eingetreten ist.
- Zähle die Treffer. Das ist die absolute Häufigkeit.
- Teile die Trefferzahl durch die Versuchszahl. Das ist die relative Häufigkeit.
Falls bei 20 Würfen zwölf gerade Zahlen auftreten, beträgt die relative Häufigkeit 12 : 20 = 0,6 = 60 %. Das beschreibt diese Versuchsreihe. Es beweist nicht, dass die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl 60 % beträgt.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Schreibe das Ereignis „höchstens 3“ als Menge.
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{1, 2, 3}. Die 3 ist eingeschlossen.
Erklärung wiederholen →3 · Was ist das Gegenereignis zu „größer als 2“?
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„Höchstens 2“, also {1, 2}.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Ergebnisse erfüllen „gerade und größer als 3“?
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{4, 6}. Beide Bedingungen müssen erfüllt sein.
Erklärung wiederholen →5 · Welche Ergebnisse bedeuten beim zweimaligen Münzwurf „genau einmal Kopf“?
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KZ und ZK. KK wäre zweimal Kopf.
Erklärung wiederholen →6 · Ein Ereignis tritt 7-mal bei 20 Versuchen ein. Wie groß ist die relative Häufigkeit?
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7 : 20 = 0,35 = 35 %.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist ein Ereignis dasselbe wie ein Ergebnis?
Nein. Ein Ergebnis ist ein einzelner Ausgang. Ein Ereignis ist eine Menge passender Ergebnisse, die auch nur ein Ergebnis enthalten kann.
Was bedeutet die leere Menge ∅?
Sie enthält kein Ergebnis. Im betrachteten Modell beschreibt sie ein unmögliches Ereignis.
Muss ein Zufallsexperiment faire Ergebnisse haben?
Nein. Auch bei ungleichen Chancen kann der einzelne Ausgang ungewiss sein.