Zufallsexperimente und Ereignisse

02 · Verstehen

Was ist ein Zufallsexperiment?

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen einzelnes Ergebnis du vor der Durchführung nicht sicher kennst. Im mathematischen Modell sind die möglichen Ergebnisse festgelegt, und der Versuch lässt sich unter vergleichbaren Bedingungen wiederholen.

Beispiele sind das Werfen einer Münze, das Werfen eines Würfels oder das verdeckte Ziehen einer Kugel aus einem Beutel. Du legst vorher fest, was beobachtet wird: bei der Münze die obere Seite, beim Würfel die Augenzahl.

Ergebnis und Ergebnismenge unterscheiden

Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang. Beim Würfeln kann das die Augenzahl 4 sein. Die Ergebnismenge enthält alle Ergebnisse, die wir im Versuch unterscheiden. Häufig wird sie mit Ω bezeichnet, gesprochen „Omega“.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Beim einmaligen Münzwurf verwenden wir Ω = {Kopf, Zahl}. Seltene Sonderfälle wie eine auf dem Rand stehen bleibende Münze lassen wir im einfachen Modell weg oder legen fest, dass dann neu geworfen wird.

Beobachtest du beim Würfel nur „gerade“ oder „ungerade“, ist die Ergebnismenge anders als beim Beobachten der genauen Augenzahl. Die Beschreibung des Versuchs muss also zur Ergebnismenge passen.

Ein Ereignis sammelt passende Ergebnisse

Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Es umfasst genau die Ergebnisse, die zu einer bestimmten Aussage passen. Das Ereignis E = „gerade Zahl“ enthält 2, 4 und 6.

E = {2, 4, 6}

Wird eine 4 gewürfelt, ist das Ergebnis 4 eingetreten und zugleich das Ereignis E. Wird eine 3 gewürfelt, ist E nicht eingetreten.

Ein Ereignis kann auch nur ein einziges Ergebnis enthalten. Die Formulierungen „größer als“ und „mindestens“ unterscheiden sich darin, ob die Grenze dazugehört.

Gegenereignis, sicher und unmöglich

Das Gegenereignis zu E enthält alle Ergebnisse aus Ω, die nicht zu E gehören. Zu „gerade Zahl“ ist das „ungerade Zahl“: {1, 3, 5}.

Ereignis und Gegenereignis schließen sich aus und decken zusammen alle möglichen Ergebnisse ab. Zu „größer als 4“ lautet das Gegenereignis „höchstens 4“, also {1, 2, 3, 4}.

„Und“ und „oder“ richtig lesen

Das mathematische „oder“ schließt den Fall ein, dass beide Bedingungen erfüllt sind. Die 4 und die 6 gehören daher auch zu „A oder B“. In einer Ergebnismenge wird jedes Ergebnis nur einmal aufgeschrieben.

Bei mehreren Schritten zählt das ganze Ergebnis

Beim zweimaligen Münzwurf notieren wir die Reihenfolge. K steht für Kopf, Z für Zahl:

Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ}

KZ und ZK sind verschiedene Ergebnisse, obwohl beide einmal Kopf enthalten. Fasst du nur die Anzahl der Köpfe zusammen, erhältst du die Werte 0, 1 und 2. Diese drei Werte sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich.

Warum ist einmal Kopf wahrscheinlicher? Bei zwei unabhängigen Würfen einer fairen Münze sind KK, KZ, ZK und ZZ gleich wahrscheinlich. Unabhängig bedeutet hier: Das erste Wurfergebnis verändert die Chancen beim zweiten Wurf nicht.

Einen eigenen Versuch dokumentieren

1. Lege Versuch und Beobachtung fest, zum Beispiel „20-mal würfeln, Augenzahl notieren“.
2. Schreibe die Ergebnismenge auf.
3. Wähle ein Ereignis, etwa „gerade Zahl“.
4. Notiere jeden Versuch und markiere, ob das Ereignis eingetreten ist.
5. Zähle die Treffer. Das ist die absolute Häufigkeit.
6. Teile die Trefferzahl durch die Versuchszahl. Das ist die relative Häufigkeit.