Mathe · etwa 35–50 Minuten
Du zählst vollständige Möglichkeiten ohne Lücken oder Doppelzählung und rechnest mit passenden Pfadwahrscheinlichkeiten.
Grundrechenarten, Brüche und einfache Wahrscheinlichkeiten.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten als Bruch mit / oder als Dezimalzahl mit Komma oder Punkt eingeben. Ohne Rundungsauftrag exakt rechnen.
02 · Verstehen
Eine Entscheidung nach der anderen
2 T-Shirts · 3 Hosen = 6 Outfits.
Ein vollständiger Weg im Baum beschreibt genau eine mögliche Zusammenstellung.
Du wählst ein T-Shirt in Rot oder Blau und dazu eine Hose: Jeans, Schwarz oder Beige. Jede der beiden T-Shirt-Optionen kann mit jeder der drei Hosen kombiniert werden.
Die sechs Outfits sind: Rot–Jeans, Rot–Schwarz, Rot–Beige, Blau–Jeans, Blau–Schwarz und Blau–Beige. Eine geordnete Liste hilft bei kleinen Aufgaben. Ein Baumdiagramm macht die aufeinanderfolgenden Entscheidungen sichtbar.
Lege zuerst fest, was als eine Möglichkeit zählt. Hier ist es ein Outfit aus genau einem T-Shirt und genau einer Hose.
Ein einzelner Ast ist noch kein vollständiges Outfit. Du brauchst die gesamte Folge der Entscheidungen. Die Astlängen und Winkel der Zeichnung haben hier keine rechnerische Bedeutung.
Wenn bei jedem Schritt die Anzahl der Möglichkeiten unabhängig davon gleich bleibt, welchen bisherigen Weg du genommen hast, kannst du die Anzahlen multiplizieren.
Gesamtzahl = Anzahl 1 · Anzahl 2 · …
Beispiel · Schritt für Schritt
2 T-Shirts; 3 Hosen
Danach zusätzlich: 2 Paar Schuhe
Wenn zu jedem Outfit 2 Paar Schuhe zur Wahl stehen, verdoppelt sich die Gesamtzahl.
„Gleich bleibt“ bedeutet nicht, dass in allen Schritten dieselbe Anzahl stehen muss. Nach jedem der beiden T-Shirts müssen in unserem Beispiel aber jeweils drei Hosen erlaubt sein.
Lösung · Schritt für Schritt
3 Brotsorten; 4 Beläge
Jeder Belag passt zu jedem Brot
Gewählt werden genau ein Brot und ein Belag. Jeder Belag passt zu jedem Brot.
Für jedes der drei Brote gibt es vier vollständige Möglichkeiten.
Ein Code besteht aus zwei Stellen. Erlaubt sind die Ziffern 1, 2 und 3. Die Reihenfolge zählt: 12 ist ein anderer Code als 21.
| Regel | Möglichkeiten pro Stelle | Anzahl |
|---|---|---|
| Wiederholung erlaubt | 3, danach wieder 3 | 3 · 3 = 9 |
| Keine Ziffer doppelt | 3, danach noch 2 | 3 · 2 = 6 |
Mit Wiederholung sind 11, 22 und 33 erlaubt. Ohne Wiederholung fallen genau diese drei Codes weg.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ziffern: 1, 2, 3
Zweistelliger Code; Reihenfolge zählt
Für jede Stelle sind alle drei Ziffern verfügbar, unabhängig von der vorigen Wahl.
Nach der ersten Auswahl stehen nur die zwei anderen Ziffern zur Verfügung. Die Reihenfolge zählt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ziffern: 1, 2, 3
Drei Stellen; keine Ziffer doppelt
Nach jeder Auswahl fällt eine der drei Ziffern weg.
Jede vollständige geordnete Ziffernfolge wird genau einmal gezählt.
Bei Zahlencodes kann eine führende 0 erlaubt sein, bei einer zweistelligen natürlichen Zahl nicht. Lies die Aufgabenstellung: „Code“ und „zweistellige Zahl“ können unterschiedliche Zählregeln haben.
Aus Anna, Ben und Cem sollen zwei Personen gewählt werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Anna, Ben und Cem
Jeweils zwei Personen werden gewählt
Für die erste Person gibt es drei Möglichkeiten, für die zweite zwei andere. Bei verschiedenen Rollen sind dies sechs unterschiedliche Zuordnungen.
Ohne Rollen wird jedes Team genau zweimal gezählt: etwa Anna–Ben und Ben–Anna. Die drei Teams sind Anna–Ben, Anna–Cem und Ben–Cem.
Einfach immer durch 2 zu teilen wäre falsch; wie oft etwas mehrfach gezählt wird, hängt von der Aufgabe ab.
Angenommen, das rote T-Shirt darf nur mit Jeans oder Schwarz kombiniert werden. Zum blauen sind weiterhin alle drei Hosen erlaubt. Dann hat der rote Ast zwei Enden und der blaue drei.
Beispiel · Schritt für Schritt
Rotes Shirt: 2 erlaubte Hosen
Blaues Shirt: 3 erlaubte Hosen
Die erlaubten Fortsetzungen hängen hier vom gewählten T-Shirt ab.
Jedes Outfit gehört entweder zum roten oder zum blauen T-Shirt. Es wird dadurch genau einmal gezählt.
Hier kannst du nicht 2 · 3 rechnen, weil zum roten T-Shirt keine drei Hosen erlaubt sind. Zähle die getrennten Fälle und addiere ihre Anzahlen. Dabei darf kein Outfit in beiden Fällen vorkommen.
Lösung · Schritt für Schritt
Suppe: 2 mögliche Desserts
Salat: 4 mögliche Desserts
Ein Menü beginnt entweder mit der Suppe oder mit dem Salat. Dazu wird eines der jeweils erlaubten Desserts gewählt.
Die beiden Fälle überschneiden sich nicht.
Ein Baumdiagramm kann zunächst nur Möglichkeiten darstellen. Es sagt dann noch nicht, wie wahrscheinlich jeder Weg ist. Die Outfitwahl muss beispielsweise nicht zufällig sein.
Bei einem Wahrscheinlichkeitsbaum stehen zusätzlich Wahrscheinlichkeiten an den Ästen. Entlang eines Weges werden diese multipliziert. Die Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender, verschiedener vollständiger Wege werden addiert.
Beim zweimaligen Werfen einer fairen Münze gibt es vier geordnete Ergebnisse: Kopf–Kopf, Kopf–Zahl, Zahl–Kopf, Zahl–Zahl. Die Würfe seien unabhängig.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwei unabhängige Würfe
mit einer fairen Münze
Bei der fairen Münze beträgt jede Einzelwahrscheinlichkeit ½. Wegen der unabhängigen Würfe gilt dies auch nach dem ersten Ergebnis.
Genau einmal Kopf umfasst Kopf–Zahl und Zahl–Kopf. Diese beiden vollständigen Ergebnisse schließen einander aus. Auch die anderen beiden Wege haben jeweils Wahrscheinlichkeit ¼.
Günstige Wege durch alle Wege zu teilen funktioniert nur, wenn die vollständigen Wege gleich wahrscheinlich sind. Die Anzahl der Äste allein beweist das nicht.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Lege zuerst fest, ob die Reihenfolge zählt, Wiederholungen erlaubt sind und welche Wege vollständige Ergebnisse darstellen.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
4 T-Shirts; 3 Hosen
Alle Kombinationen sind erlaubt
Zu jedem T-Shirt sind alle drei Hosen erlaubt.
Ein Outfit enthält genau ein T-Shirt und eine Hose.
Lösung · Schritt für Schritt
Ziffern: 1, 2, 3, 4
Zwei Stellen; Wiederholung erlaubt
Für die zweite Stelle bleiben alle vier Ziffern erlaubt.
Die Reihenfolge zählt; beide Stellen gehören zum vollständigen Code.
Lösung · Schritt für Schritt
Ziffern: 1, 2, 3, 4
Zwei Stellen; keine Wiederholung
Nach der ersten Ziffer bleiben drei andere übrig.
Zu jeder ersten Ziffer gibt es genau drei erlaubte Fortsetzungen.
Lösung · Schritt für Schritt
Anna, Ben und Cem
Zweierteams ohne Rollen
Für die zweite Person bleiben nach der ersten Auswahl zwei Möglichkeiten.
Jedes Zweierteam wurde zweimal gezählt. Die Teams sind Anna–Ben, Anna–Cem und Ben–Cem; Rollen gibt es nicht.
Lösung · Schritt für Schritt
Rotes Shirt: 2 Hosen
Blaues Shirt: 3 Hosen
Die Zahl erlaubter Hosen ist für die beiden Shirts verschieden.
Die Fälle überschneiden sich nicht. Deshalb addierst du ihre Anzahlen.
Nein. Dafür braucht es zusätzliche Angaben über den Zufallsvorgang und die Wahrscheinlichkeiten.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit Kombinatorik weiterlernen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Multipliziere die Anzahlen aufeinanderfolgender Auswahlschritte, wenn jeder bisherige Weg gleich viele Fortsetzungen hat. Addiere Anzahlen getrennter, nicht überlappender Fälle.
Ein vollständiger Weg vom Start bis zu einem Ende des Baums. Er beschreibt eine ganze Folge von Entscheidungen oder Ergebnissen.
Nein. Zum geordneten Zählen reicht ein Baum mit beschrifteten Möglichkeiten. Wahrscheinlichkeiten kommen bei Zufallsexperimenten hinzu.
Zu jedem der 2 T-Shirts passen alle 3 Hosen. Gewählt wird jeweils genau eines von jeder Sorte.