1 · 4 T-Shirts und 3 Hosen: Wie viele Outfits bei freier Kombination?
Lösung und Rechenweg ansehen
4 · 3 = 12 Outfits.
Erklärung wiederholen →Mathe · Grundlagen und Wiederholung
Zählprinzip und Baumdiagramme: verstehen und üben
Zähle Möglichkeiten systematisch, ohne etwas zu vergessen oder doppelt zu zählen. Mit einem übersichtlichen Baumdiagramm, Beispielen mit und ohne Wiederholung und Selbstcheck.
Eine Entscheidung nach der anderen
2 T-Shirts · 3 Hosen = 6 Outfits.
Ein vollständiger Weg im Baum beschreibt genau eine mögliche Zusammenstellung.
Lernschritt 1
Möglichkeiten geordnet zählen
Du wählst ein T-Shirt in Rot oder Blau und dazu eine Hose: Jeans, Schwarz oder Beige. Jede der beiden T-Shirt-Optionen kann mit jeder der drei Hosen kombiniert werden.
Die sechs Outfits sind: Rot–Jeans, Rot–Schwarz, Rot–Beige, Blau–Jeans, Blau–Schwarz und Blau–Beige. Eine geordnete Liste hilft bei kleinen Aufgaben. Ein Baumdiagramm macht die aufeinanderfolgenden Entscheidungen sichtbar.
Lege zuerst fest, was als eine Möglichkeit zählt. Hier ist es ein Outfit aus genau einem T-Shirt und genau einer Hose.
Lernschritt 2
Das Baumdiagramm aufbauen
- Beginne mit einem Startpunkt.
- Zeichne für jede T-Shirt-Auswahl einen Ast.
- Zeichne von jedem dieser Knoten die drei möglichen Hosenäste.
- Lies jeden Weg vom Start bis zu einem Ende vollständig ab.
- Zähle die Enden: Es sind sechs.
Ein einzelner Ast ist noch kein vollständiges Outfit. Du brauchst die gesamte Folge der Entscheidungen. Die Astlängen und Winkel der Zeichnung haben hier keine rechnerische Bedeutung.
Lernschritt 3
Das Zählprinzip: Möglichkeiten multiplizieren
Wenn bei jedem Schritt die Anzahl der Möglichkeiten unabhängig davon gleich bleibt, welchen bisherigen Weg du genommen hast, kannst du die Anzahlen multiplizieren.
Gesamtzahl = Anzahl 1 · Anzahl 2 · …
Für die Outfits: 2 · 3 = 6. Kommen zu jedem Outfit zwei Paar Schuhe zur Auswahl hinzu, erhältst du 2 · 3 · 2 = 12 Möglichkeiten.
„Gleich bleibt“ bedeutet nicht, dass in allen Schritten dieselbe Anzahl stehen muss. Nach jedem der beiden T-Shirts müssen in unserem Beispiel aber jeweils drei Hosen erlaubt sein.
Probier es selbst: Es gibt 3 Brotsorten und 4 Beläge. Jeder Belag passt auf jedes Brot. Wie viele Zusammenstellungen gibt es?
Lösung ansehen
3 · 4 = 12. Gewählt werden genau ein Brot und ein Belag.
Lernschritt 4
Mit und ohne Wiederholung zählen
Ein Code besteht aus zwei Stellen. Erlaubt sind die Ziffern 1, 2 und 3. Die Reihenfolge zählt: 12 ist ein anderer Code als 21.
| Regel | Möglichkeiten pro Stelle | Anzahl |
|---|---|---|
| Wiederholung erlaubt | 3, danach wieder 3 | 3 · 3 = 9 |
| Keine Ziffer doppelt | 3, danach noch 2 | 3 · 2 = 6 |
Mit Wiederholung sind 11, 22 und 33 erlaubt. Ohne Wiederholung fallen genau diese drei Codes weg. Für drei Stellen ohne Wiederholung bleiben nacheinander 3, 2 und 1 Möglichkeiten: 3 · 2 · 1 = 6.
Bei Zahlencodes kann eine führende 0 erlaubt sein, bei einer zweistelligen natürlichen Zahl nicht. Lies die Aufgabenstellung: „Code“ und „zweistellige Zahl“ können unterschiedliche Zählregeln haben.
Lernschritt 5
Zählt die Reihenfolge oder nur die Auswahl?
Aus Anna, Ben und Cem sollen zwei Personen gewählt werden.
- Zwei verschiedene Rollen: Klassensprecher und Stellvertretung. Anna–Ben ist etwas anderes als Ben–Anna. Es gibt 3 · 2 = 6 Zuordnungen.
- Ein Zweierteam ohne Rollen: Anna und Ben bilden dasselbe Team wie Ben und Anna. Es gibt nur die drei Teams Anna–Ben, Anna–Cem und Ben–Cem.
Der Baum für eine geordnete Auswahl erzeugt beim Zweierteam jedes Team zweimal. Hier kannst du deshalb 6 : 2 = 3 rechnen. Einfach immer durch 2 zu teilen wäre aber falsch; wie oft etwas doppelt gezählt wird, hängt von der Aufgabe ab.
Lernschritt 6
Wenn nicht jeder Weg gleich viele Fortsetzungen hat
Angenommen, das rote T-Shirt darf nur mit Jeans oder Schwarz kombiniert werden. Zum blauen sind weiterhin alle drei Hosen erlaubt. Dann hat der rote Ast zwei Enden und der blaue drei.
2 + 3 = 5 Outfits
Hier kannst du nicht 2 · 3 rechnen, weil zum roten T-Shirt keine drei Hosen erlaubt sind. Zähle die getrennten Fälle und addiere ihre Anzahlen. Dabei darf kein Outfit in beiden Fällen vorkommen.
Probier es selbst: Ein Menü besteht aus einer Suppe oder einem Salat. Zur Suppe sind 2 Desserts erlaubt, zum Salat 4. Wie viele Menüs sind möglich?
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2 + 4 = 6. Die beiden Fälle überschneiden sich nicht.
Lernschritt 7
Zählen ist noch keine Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein Baumdiagramm kann zunächst nur Möglichkeiten darstellen. Es sagt dann noch nicht, wie wahrscheinlich jeder Weg ist. Die Outfitwahl muss beispielsweise nicht zufällig sein.
Bei einem Wahrscheinlichkeitsbaum stehen zusätzlich Wahrscheinlichkeiten an den Ästen. Entlang eines Weges werden diese multipliziert. Die Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender, verschiedener vollständiger Wege werden addiert.
Beim zweimaligen Werfen einer fairen Münze gibt es vier geordnete Ergebnisse: Kopf–Kopf, Kopf–Zahl, Zahl–Kopf, Zahl–Zahl. Bei unabhängigen Würfen hat jeder Weg die Wahrscheinlichkeit ½ · ½ = ¼. Genau einmal Kopf umfasst zwei Wege und hat Wahrscheinlichkeit ½.
Günstige Wege durch alle Wege zu teilen funktioniert nur, wenn die vollständigen Wege gleich wahrscheinlich sind. Die Anzahl der Äste allein beweist das nicht.
Lernschritt 8
Eine kurze Kontrolle vor dem Ergebnis
- Was genau zählt als vollständiges Ergebnis?
- Ist die Reihenfolge wichtig?
- Dürfen Dinge mehrfach vorkommen?
- Welche Kombinationen sind verboten?
- Habe ich einen Weg vergessen oder dasselbe Ergebnis mehrfach gezählt?
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Zweistelliger Code aus 1, 2, 3, 4 mit Wiederholung: Wie viele Codes?
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4 · 4 = 16. Für beide Stellen gibt es jeweils vier Möglichkeiten.
Erklärung wiederholen →3 · Derselbe Code ohne Wiederholung?
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4 · 3 = 12. Nach der ersten Ziffer bleiben drei andere übrig.
Erklärung wiederholen →4 · Wie viele Zweierteams aus Anna, Ben und Cem ohne Rollen?
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Drei: Anna–Ben, Anna–Cem und Ben–Cem. Die Reihenfolge zählt nicht.
Erklärung wiederholen →5 · Zum roten Shirt passen 2 Hosen, zum blauen 3. Wie viele Outfits?
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2 + 3 = 5. Addiere die getrennten Fälle.
Erklärung wiederholen →6 · Sind alle Wege eines beliebigen Baumdiagramms gleich wahrscheinlich?
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Nein. Dafür braucht es zusätzliche Angaben über den Zufallsvorgang und die Wahrscheinlichkeiten.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Zählprinzip und Baumdiagramme üben
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Danach: Wahrscheinlichkeiten an Baumdiagrammen
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Wann multipliziere ich und wann addiere ich?
Multipliziere die Anzahlen aufeinanderfolgender Auswahlschritte, wenn jeder bisherige Weg gleich viele Fortsetzungen hat. Addiere Anzahlen getrennter, nicht überlappender Fälle.
Was ist ein Pfad?
Ein vollständiger Weg vom Start bis zu einem Ende des Baums. Er beschreibt eine ganze Folge von Entscheidungen oder Ergebnissen.
Braucht jedes Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten?
Nein. Zum geordneten Zählen reicht ein Baum mit beschrifteten Möglichkeiten. Wahrscheinlichkeiten kommen bei Zufallsexperimenten hinzu.